Математическое моделирование в оптимизации планирования авиационных перевозок: формулировки и методы решения типовых задач Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

2008

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Прикладная математика. Информатика

№ 132

УДК 629.7.07

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ОПТИМИЗАЦИИ ПЛАНИРОВАНИЯ АВИАЦИОННЫХ ПЕРЕВОЗОК: ФОРМУЛИРОВКИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Л.В. ВИНОГРАДОВ, Г.М. ФРИДМАН, С.М. ШЕБАЛОВ

Представлен обзор основных оптимизационных математических моделей, используемых на различных этапах планирования операций в авиатранспортной индустрии.

Введение

Начиная с середины прошлого века, индустрия авиаперевозок находится на переднем краю использования методов автоматизированного планирования и управления. Это объясняется как традиционно интенсивным использованием компьютеров в этой области, так и структурой возникающих задач, которая позволяет формализовать их в рамках разработанных методов. К настоящему времени сформирован целый комплекс задач оптимального планирования авиационных операций и подходов к их решению. Структура этого комплекса общепризнанна не только в академических кругах, но и зачастую дублируется бизнес-процессом составления расписания работы в авиакомпаниях. Такой симбиоз оказался чрезвычайно полезным для обеих сторон. Тесная связь с практикой не только позволила исследователям совершенствовать существующие формулировки и алгоритмы, но и способствовала появлению новых, как в случае, например, с управлением доходами, областей знаний. Практики, в свою очередь, получили доступ к наиболее современным методам принятия решений и смогли существенно улучшить эффективность своих операций. Таким образом, понимание общей структуры комплекса планирования авиационных операций, а также взаимосвязей и взаимозависимостей отдельных задач необходимо как разработчикам методов их решения, так и специалистам, применяющим эти методы на практике.

Целью данной статьи является описание традиционной структуры основных задач, возникающих в процессе автоматизации процессов принятия решений по планированию авиаперевозок, принятой в авиационно-техническом сообществе и ознакомление читателя с общепринятыми методами решения таких задач. Мы прежде всего сконцентрируемся на проблемах стратегического и тактического планирования, поскольку оптимизационные методы исследования операций требуют значительных вычислительных ресурсов и времени, а следовательно, наибольший эффект достигается в условиях, когда эти ресурсы доступны. В то же время, задачи операционного планирования обычно решаются в минимальные сроки, поэтому оптимизация часто оказывается вторичной. Кроме того, для таких задач характерно присутствие специфических внешних факторов, спланировать влияние которых практически невозможно.

1. Задачи планирования авиационных операций

Методы математического моделирования и исследования операций успешно применяются в задачах планирования авиатранспортных перевозок уже более 50 лет. Традиционно здесь выделяют четыре основных области. Это планирование расписания движения воздушных судов (ВС), управление доходами, планирование наземных операций обслуживания, а также управление процессами в день выполнения рейсов (рис. 1). Ввиду ограниченности объёма данной публикации мы остановимся только на задачах, относящихся к первым двум областям, поскольку именно при их решении методы оптимизации используются наиболее широко.

Задача составления расписания полетов

В настоящее время уровень развития алгоритмов и машинных ресурсов не позволяет решить общую задачу планирования расписания полетов. Поэтому её обычно разбивают на последовательность подзадач, решаемых таким образом, что решение одной является частью вводной информации для следующей. Такой подход, однако, часто приводит не только к получению субоптимальных решений, но и к невозможности определения решения из-за того, что требования последующих этапов не учитываются при решении предыдущих. Выделяют следующие этапы планирования [8]:

• планирование сети маршрутов и состава парка ВС,

• расстановка парка по рейсам,

• составление цепочек рейсов,

• составление расписания для экипажей ВС.

Рис. 1. Общая структура задач планирования авиационных перевозок

Задача планирования сети маршрутов и состава парка ВС

Подход к решению задачи планирования сети маршрутов и состава парка ВС зависит как от бизнес-модели самой авиакомпании, так и от состояния индустрии авиационных перевозок в целом. Общее решение включает в себя формирование хабов, выбор приоритетных рынков, планирование частот обслуживания, пересадочных банков - временных интервалов, предназначенных для повышения эффективности стыковок, сезонных изменений, а также определение наиболее подходящего для обслуживания выбранной маршрутной сети состава парка ВС. Задача планирования сети маршрутов и состава парка ВС решается в период от 5 лет до 1 года перед началом выполнения полетов.

На первом этапе решения определяются все продукты на всех рынках, обслуживаемых авиакомпанией. Под продуктом мы понимаем комбинацию, состоящую из маршрута, т. е. последовательности стыкующихся рейсов, класса бронирования и точки продажи. Следующим, ключевым, этапом является формирование прогноза полного потребительского спроса на потенциальные продукты, предлагаемые авиакомпанией, при наличии конкуренции и с учетом

организационных и ресурсных ограничений. В условиях, когда нет возможности получить информацию по объему рынка за предыдущий период, достаточную для прогнозирования пассажиропотока, применяют так называемые «гравитационные модели» [7]. Эти модели используют для оценки спроса различные социальные и экономические показатели и базируются на предположении, что зависимость спроса от таких факторов подчинена гравитационному закону, т.е. обратна квадрату условного расстояния и прямо пропорциональна произведению соответствующих показателей.

ТТ О а л.,. = К 1 1

где а, в, К - свободные параметры, определяемые при калибровке математической модели, Б. - спрос на авиаперевозки между аэропортами г и., Т и Т. - общие пассажиропотоки в аэропортах г и., О - параметр, определяющий уровень сервиса на данном рынке, а Р - средняя стоимость перевозки, которая более тесно связана с величиной спроса, чем географическое расстояние.

Если же накопленные данные по объёмам перевозок существенны и доступны, то применяются различные экстраполяционные методы. На втором шаге прогнозирования полный спрос на каждом рынке распределяется среди предлагаемых на нем продуктов в соответствии с выбранной стратегией моделирования потребительского поведения. Эта стратегия обычно определяется либо методом индикаторов качества сервиса, либо одной из разновидностей логит-метода [6] и периодически уточняется для поддержания требуемого уровня достоверности прогноза:

&

ехр| £1X

2 ехр | £ 1 Хг}

ГеМ I уеР

где Ху - это переменная, соответствующая у-му атрибуту продукта і, а Хі - вес этого атрибута. Тогда доля & продукта і определяется отношением качества этого продукта к суммарному качеству множества М всех продуктов на данном рынке.

Наконец, на последнем этапе, используя информацию о доступных собственных ресурсах авиакомпании, а также ее конкурентов, строится прогноз для удовлетворенного спроса, и по его величине рассчитываются потенциальные характеристики экономической деятельности авиакомпании.

Сложившийся в настоящее время дефицит воздушных судов, когда заказы на производство и поставку новых судов приходится делать за несколько лет до начала их эксплуатации, ограничивает вариативность при планировании состава парка ВС. Исходя из этого оптимальный состав можно определить, опробовав доступные варианты состава парка на предполагаемой сети маршрутов.

Задача расстановки парка по рейсам

Задача расстановки парка, т.е. типов ВС, по рейсам - одна из наиболее хорошо изученных и часто возникающих на практике [9]. Традиционно задача сводится к определению расстановки ВС, обеспечивающей наибольшую суммарную прибыль от выполнения полетов при использовании ограниченных ресурсов, доступных авиакомпании. Общая прибыль рассчитывается как сумма величин прибыли для каждого рейса, которые, в свою очередь, представляют собой разности между доходами от использования назначенного на данный рейс типа ВС, и затратами на выполнение рейса.

MaxZZcvxj Zxj = 1 Vie F (1)

ieF jeA jeA

yS]t- + Z xj - уф+ - Z xj =0 Vj e As e S,t e T (2)

jeIsjt jeOsjt

Z y^to + Z x£ nj Vj e A (3)

seS ieCL

xj e{0,1}, yjt Z 0

где cij - прибыль от выполнения рейса i самолетом типа j, Nj - количество самолетов типа j в парке авиакомпании, а F, A и S - множества рейсов, типов самолетов и аэропортов соответственно. Бинарная переменная xij принимает значение 1, если рейс i обслуживается самолетом типа j, а целочисленная переменная ysjt равна количеству самолетов типа j, находящихся в аэропорту s в момент времени t.

Основные условия, формулируемые для описания ограниченности ресурсов - это условие покрытия, требующее, чтобы на каждый запланированный рейс было назначено ВС одного, и только одного типа; условие баланса, гарантирующее равенство числа прилетов и вылетов, на которые назначены ВС одного типа, и условие мощности самолетного парка, задающее верхнюю границу для количества используемых самолетов каждого типа. На практике общая формулировка задачи включает в себя и большое число дополнительных ограничений, необходимых для того, чтобы решение удовлетворяло всем операционным требованиям, а также позволяло учитывать особенности задач на следующих этапах - составления расписания экипажей и составления цепочек полетов.

Задачу расстановки типов ВС по рейсам часто решают совместно с задачей расстановки самих рейсов во времени [10], для чего каждый рейс представляют в виде набора нескольких копий, разнесенных по времени, а задачу дополняют условием выбора единственной копии.

ZZ 4=1 Vi e F,

jeAceC(i)

где C(i) - множество всех копий рейса i.

Естественно, размерность задачи, с точки зрения количества неизвестных и ограничений, существенно увеличивается, однако разработанные приемы агрегирования позволяют уменьшить расчетное время до приемлемых пределов. Преимущества, достигаемые гибкостью решения во времени, не ограничиваются оптимальным соответствием предложенных услуг существующему спросу, но связаны также с улучшением качества стыковок, что часто позволяет выполнить запланированное количество рейсов меньшим количеством ВС.

Задача составления цепочек рейсов

После распределения типов ВС по рейсам необходимо определить последовательность выполнения рейсов для каждого борта в парке ВС, другими словами, требуется составить цепочки рейсов [3]. Обычно главным критерием выбора цепочки рейсов является условие выполнения всех процедур технического обслуживания (ТО). В качестве побочных критериев оптимизации выступают максимизация утилизации флота, увеличение дохода за счет предоставления пассажирам, летящим с пересадкой, сквозных стыковок, равномерность распределения предельно коротких стыковок и другие операционные требования.

На практике наиболее распространен эвристический метод составления цепочек рейсов, основанный на использовании ближайшей доступной стыковки для получения начального решения и дальнейшем итерационном его улучшении с помощью перестановок циклических перелетов. В последние годы было разработано несколько методов, использующих «струнный» подход, при котором сначала составляются все возможные последовательности рейсов между двумя ТО, а затем выбирается оптимальное подмножество этих последовательностей.

Задача составления расписания для пилотов и бортпроводников

Одной из существенных статей расходов авиакомпании является заработная плата пилотов и бортпроводников, которая зависит не только от налета, но и от общего времени вне базы, количества ночевок вне базы, минимальной гарантированной оплаты и т.д. Авиакомпании выгодно оптимизировать работу экипажей, чтобы уменьшить долю оплачиваемого времени, не используемого непосредственно для выполнения полетов. Для этого их рабочий график должен включать в себя как можно меньше ночевок вдали от базы, длительных ожиданий следующего рейса в аэропорту, сверхурочных работ, допустимых правилами, но оплачиваемых по повышенному тарифу. Задача осложняется огромным количеством ограничений и правил, регламентирующих качество расписания работы экипажей.

При решении задачи составления расписания летного состава используют хорошо известную в математическом программировании задачу покрытия, в которой из множества всех допустимых правилами связок необходимо выбрать оптимальное подмножество таким образом, чтобы каждый рейс был включён в одну, и только одну, связку.

Min^ срхр; ^ xp = 1 Vi е F xp е{0,1},

ре P ре Pi

где ср - стоимость выполнения эстафеты р, F - множество всех рейсов, Pi - множество всех эстафет, содержащих рейс i, а хр - бинарная переменная, равная 1, если эстафета р содержится в оптимальном решении задачи.

Несмотря на простоту формулировки, поиск оптимального решения данной задачи далеко не тривиален. Дело в том, что число связок, которые можно составить из данного множества рейсов, экспоненциально зависит от количества рейсов, для крупных авиакомпаний может достигать сотен миллионов. При таком количестве переменных базовый метод ветвей и границ, применяемый для решения целочисленных задач, не позволяет найти удовлетворительное решение в приемлемый на практике временной интервал. Поэтому при решении этой задачи применяют метод ветвей и оценок, использующий, в свою очередь, комбинаторные методы для сужения пространства поиска без потери качества [5].

На следующем этапе выбранные задания объединяются в месячные полетные планы, которые, кроме непосредственно полетов, включают в себя отпуск, переподготовку и т.д. Затем пилоты и бортпроводники, в зависимости от принятой в авиакомпании практики, назначаются или выбирают наиболее подходящие для них планы. В последнее время появились попытки объединить эти два этапа. Для этого приоритеты летного состава используются как критерии оптимальности при создании месячных планов.

2. Задача управления доходами

Отдельной задачей тактического планирования является задача выработки стратегии оптимального управления доходами. Эта задача решается на всю глубину продаж, которая обычно составляет от 6 месяцев до 1 года. Задача управления доходами решается в два этапа: сначала определяются цены на предлагаемые продукты, а затем вырабатывается оптимальная стратегия продаж при заданных ценах. Ввиду использования большого количества специализированных правил, а также высокого уровня нестабильности методы оптимизации не получили широкого применения на первом этапе, поэтому мы сосредоточимся на описании второго. В основе выработки оптимального управления продажами лежит идея сегментации спроса, позволяющая максимизировать доход путем разделения покупателей на классы и назначения разной цены за единицу продукта для разных классов. Обычно при решении задачи выделяют три подзадачи: прогнозирование спроса, определение верхнего предела продаж и определение оптимального уровня продаж для каждого класса [11].

Прогнозирование спроса

Прогнозирование спроса может проводиться либо на уровне отдельных рейсов, либо на уровне маршрутов, что позволяет учесть взаимодействие пассажиропотоков на различных рейсах [4].

Первым шагом при прогнозировании спроса является сбор и классификация информации о пассажиропотоках на каждом из обслуживаемых маршрутов за предшествующий прогнозу период времени. В зависимости от выбранного метода прогнозирования этот период может составлять от нескольких недель до двух лет. Затем по собранным данным об удовлетворенном спросе необходимо оценить полный спрос. Такая оценка необходима, поскольку на практике невозможно зафиксировать количество запросов, неудовлетворенных из-за недостатка вместимости ВС. Для этой цели используется информация о доступности продукта в период реализации удовлетворенного спроса. Часто за неудовлетворенный спрос в период, когда продукт был недоступен, принимают удовлетворенный спрос на этот же или близкий продукт, в близкий по характеристикам период, когда он был доступен. Более продвинутыми являются методы, основанные на вероятностных характеристиках полного спроса.

Следующим шагом после оценки полного спроса за предшествующий период является прогнозирование величины полного спроса. При этом используются такие инструменты теории вероятностей как временные ряды, фильтры Калмана, экспоненциальное сглаживание, а для достижения максимальной точности учитывают вторичный спрос, сезонность, особые периоды и т. д.

В простейшем варианте неудовлетворенный спрос существует, только если полный спрос больше вместимости и равен разности между ними. Однако для учета случайной природы спроса при нахождении величины неудовлетворенного спроса необходимо пользоваться вероятностными методами. Этот спрос на некоторые продукты порождает вторичный спрос на смежные продукты, обладающие излишком вместимости. При этом различают:

• горизонтальный вторичный спрос - при невозможности покупки билета на наиболее привлекательный маршрут, пассажир выбирает следующий;

• вертикальный вторичный спрос - при недоступности билета по первоначальной цене пассажир покупает билет на тот же маршрут, но по более высокой цене.

Рейс 1 Рейс 2

Первичный спрос на продукт по полной цене

Первичный спрос на про дукт по цене со скидкой

X

Первичный неудовлетворенный спрос

вертикальный вторичный спрос

горизонтальный вторичный спрос

Потерянный

спрос

Полная

цена

Цена со скидкой

Рис. 2. Динамическая структура пассажирского спроса

Еще одним фактором, влияющим как на величину, так и на состав спроса, является сезонность. При этом под сезоном часто понимают не только традиционные разделение на лето - сезон высокого спроса, осень и весну - переходные периоды и зиму - сезон низкого спроса, но и различные дни недели. Для учета сезонности при прогнозировании спроса обычно используют

исторические данные только соответствующего сезона. Альтернативным подходом является предварительное «десезонирование» информации, на основе которой строится прогноз.

Рис. 3. Г одовая и недельная сезонность пассажирского спроса

Наконец, поскольку спрос в периоды праздников и специальных событий существенно отличается от спроса в обычные дни, он прогнозируется отдельно и может существенно корректироваться плановыми службами авиакомпании.

Определение верхнего предела продаж

Получив прогноз на полный спрос на каждый запланированный рейс, необходимо определить оптимальное количество билетов, которые могут быть проданы на маршруты, содержащие этот рейс. Стандартной практикой в индустрии авиаперевозок является продажа билетов в количестве большем, чем число фактических посадочных мест в самолете. Этот подход позволяет авиалиниям смоделировать поведение покупателя, а также различные операционные нарушения расписания, и тем самым уменьшить число незанятых кресел на каждом рейсе. Выделяют две основные причины, по которым использование этой тактики необходимо: отказ от бронирования и неявка на регистрацию, суммарный эффект которых может достигать 60% от всех бронирований [12]. Иногда такой подход приводит к ситуациям, когда некоторым пассажирам может быть отказано в вылете и предоставлена компенсация. В результате верхний предел продаж определяется оптимальным балансом между потерянным доходом от незанятых мест и расходами на предоставление компенсаций. Математически для каждого рейса такой баланс находится решением уравнения

dF(х - с())_ . dx ,

где е@) - оценка вероятности отказа от бронирования на данном рейсе, $(1) - количество проданных на момент времени I мест, а/- средняя стоимость перелета. Функция F(x) задаёт значение вероятной компенсации за отказ от перевозки при заданном верхнем пределе продаж х.

Оптимизация управления продажами рейса

В основе выработки оптимальной стратегии продаж лежит максимизация математического ожидания полученной прибыли [13]. Теоретически это достигается методами динамического программирования, однако на нынешнем этапе развития они требуют значительных вычислительных ресурсов и недостаточно стабильны для массового применения. Поэтому широкое распространение получили эвристические методы, базирующиеся на максимизации математического ожидания дохода и позволяющие найти близкое к оптимальному решение в практически приемлемые сроки [14]. Стандартным подходом является периодическое решение задачи распределения ресурсов

Мах ^ fpxp

peP

X Xp £ C "i e F

PePi

Xp £ Dp "P e P ,

где xp - количество мест, выделенных покупателям продукта p; fp - выручка, полученная от продажи единицы продукта p; Dp - оценка остаточного спроса на продукт p; C, - остаточная вместимость на рейсе i. Значения двойственных переменных, полученные при решении этой задачи, могут быть использованы при принятии решений о продажах, поскольку отражают уровень востребованности соответствующих рейсов.

Заключение

В настоящее время сформирован значительный аппарат подходов и методик решения задач оптимизации авиационных операций. Использование этих методов способствует значительному повышению эффективности деятельности авиапредприятия. При этом результат достигается не только за счет увеличения дохода при использовании оптимального решения, но и благодаря улучшению регулярности выполнения расписания, снижению расходов на процессы хранения и обработки информации, выработке общей стратегии развития и другим факторам.

В [2] мы подробно остановимся на направлениях развития представленных подходов, результатах их внедрения, а также особенностях российского рынка программных продуктов в области автоматизации планирования авиационных операций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Виноградов Л.В., Фридман Г.М., Шебалов С.М. Модель для оптимизации / Авиатранспортное обозрение. №85, декабрь 2007.

2. Виноградов Л.В., Фридман Г.М., Шебалов С.М. Математическое моделирование в оптимизации планирования авиационных перевозок: перспективы развития и эффект от использования / Статья в настоящем Научном Вестнике.

3. Егорова А.А., Козлов С.А. Информационные системы: методы и средства проектирования // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Прикладная математика. Информатика, № 105, 2006.

4. Комаристый Е.Н. Математические подходы к анализу спроса на пассажирские авиаперевозки / Маркетинг и маркетинговые исследования, №3 (51), июнь 2004, стр. 10-16.

5. Barnhart C., Johnson E., Nemhauser G., Savelsburg M., Vance P. Branch-and-Price: Column Generation for Solving Huge Integer Programs. Operations Research, vol. 46, No. 3, 1998, pp 316-329.

6. Coldren G.M., Koppelman, F.S. Modeling the Competition among Air-travel Itinerary Shares: GEV Model Development. Transportation Research - Part A 39 (4), 2005, pp. 345-365.

7. Doganis R. Flying off course. The economics of international airlines. Routledge, Taylor and Francis Group, 2005.

8. Klabjan D. Large-scale Models in the Airline Industry. Working paper, Department of Mechanical and Industrial Engineering, University of Illinois at Urbana-Champaign, Urbana IL, 2003.

9. Lohatepanont M. Airline Fleet Assignment and Schedule Design: Integrated Models and Algorithms. PhD Dissertation, Massachusetts Institute of Technology, 2001.

10. Rexing B., Barnhart C., Kniker T., Jarrah A., Krishnamurthy N. Airline Fleet Assignment with Time Windows. Transportation Science, vol. 34, No. 1, 2000, pp 1-20.

11. Subramanian C.J., Lautenbacher J., Stidman S.J. Yield Management with Overbooking, Cancellations and No Shows. Transportation Science, vol. 34, 1999, pp. 147-167.

12. Smith B.C., Darrow R.M. and Liemkuler J.F. Yield Management at American Airlines. Interfaces, vol 22, 1992, pp. 8-31.

13. Talluri, K.T. and van Ryzin G.J. The Theory and Practice of Revenue Management. Kluwer Academic Publishers, Norwell Massachusetts, 2004.

14. Vinod, B. Origin-and-Destination Yield Management. The Handbook of Airline Economics, D. Jenkins (ed.), The Aviation Weekly Group of the McGraw-Hill Companies, New York, NY, 1995, pp. 459-468.

MATHEMATICAL MODELS FOR AIRLINE OPERATIONS PLANNING

Vinogradov L.V., Fridman G.M., Shebalov S.M.

We present an overview of the airline planning process and describe optimization models used at its different stages.

Сведения об авторах

Виноградов Леонид Вадимович, 1973 г.р., окончил СПбУГА (1996), директор по разработке программного обеспечения ОАО «РИВЦ-Пулково», область научных интересов - применение методов оптимизации планирования операций при практическом создании программного обеспечения для предприятий гражданской авиации.

Фридман Григорий Морицович, 1963 г.р., окончил СПбГМТУ (1986), доктор технических наук, профессор кафедры экономической кибернетики и математических методов в экономике СПбГУЭФ и кафедры прикладной математики и математического моделирования СПбГМТУ, автор более 50 научных работ, область научных интересов - методы оптимизации, оптимизация планирования операций в авиатранспортной индустрии, механика жидкости

Шебалов Сергей Михайлович, 1975 г.р., окончил СПбГМТУ (1998), старший аналитик научноисследовательской группы холдинга Sabre, автор 15 научных работ, область научных интересов - математическое программирование, методы оптимального управления, оптимизация планирования операций в авиатранспортной индустрии.