CC BY
13
УДК 621. 3. 011.7
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ СОСТАВЛЯЮЩИХ КОМПОНЕНТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ГАУССОВСКОГО ШУМА
© 2006 г. Г.А. Пюкке, Н.Н. Портнягин
В работе [1] описан метод диагностирования электрических цепей на основе представления многокомпонентной схемы в виде многополюсной системы с последующим выбором оптимальных каналов прохождения тестовых сигналов. В качестве тестового сигнала, воздействующего на объект диагностирования (ОД), можно выбрать гауссовский шум с ограниченным спектром, плотностью где юп / 2п - полоса частот для спектра шума; Я(т) - корреляционная функция; Б - дисперсия (рис. 1):
S =
N, ю<юп;
0, ю >юп;
R(t) = (N / п x)sin(ran т); D = N(ran/ щ.
S = N
МЮп/л
Дюп
Рис. 1. Полоса частот и корреляционная функция тестового сигнала
Будем считать спектральную плотность тестового сигнала в пределах АЧХ ОД постоянной, если время корреляции шума много меньше всех существенных постоянных времени исследуемой системы. Выбирая достаточно широкую полосу частот Дюп, можно получить произвольно малую корреляцию между двумя значениями процесса. Применение белого шума позволяет отказаться от расчета фазовых соотношений при воздействии тестового сигнала на инерционные цепи. Это дает возможность ограничиться оценкой среднеквадратических значений величин при определении коэффициентов передачи многополюсных систем. Оценки основных статистических характеристик тестового сигнала (т^ , К^ (т), (ю), р©) выполняются по записи выборочной реализации стационарного случайного процесса £(/) конечной длительности. Измерение характеристик сводится к обработке реализаций этих процессов. Особенность задачи состоит в вводе в оперативную память машины большого объема исходных данных. Однако при проведении эксперимента число реализаций всегда ограничено, а длительность процесса конечна. Поэтому будем руководствоваться оценками соответствующих характеристик. Статистическая погрешность при измерении уменьшается с ростом длительности исследуемой
реализации или числа анализируемых реализаций. Поэтому, задавшись допустимым значением дисперсии будем определять длительность необходимой для измерений реализации или число реализаций. Методика измерений тестовых сигналов заключается в преобразовании реализаций процессов по определенному закону и измерении дисперсии с помощью квадратичного вольтметра. При этом на вход квадратичного преобразователя подается центрированная реализация
Т
Би = (1 /Т) | [и(0 - ти]2 Ж,
о
где и(р) - реализация; ти - математическое ожидание.
Следует отметить, что аналитический расчет параметров всей совокупности составляющих компонент ОД, при условии воздействия на цепь гауссов-ского шума, связан с значительными трудностями вычислительного характера. Поэтому целесообразно ввести единую величину эквивалентного сопротивления Яэ (не зависимо от характера рассматриваемой компоненты), моделируемого для каждой компоненты на основе расчета цепи методом узловых потенциалов, при воздействии на схему случайного гауссовско-го процесса. Расчет эквивалентного сопротивления можно выполнить, проведя реальный физический эксперимент или моделировать, используя известные пакеты расширения системы ЫАТЬЛБ (SШиШк и др.).
Метод расчета эквивалентного сопротивления компонент основывается на уравнивании значений потенциалов совокупности узлов цепи, при замене всех составляющих компонент различного характера на резистивные компоненты с последующим их регулированием. Процедура расчета включает следующие этапы:
1) подача на вход ранее выбранного канала прохождения тестового сигнала источника гауссовского шума с ограниченным спектром;
2) измерение среднеквадратических значений потенциалов узлов цепи;
3) замена всех компонент исследуемой цепи на резистивные элементы;
4) варьирование величинами сопротивлений рези-стивных элементов, при конечном подборе таких значений сопротивлений, которые обеспечат распределение потенциалов всех узлов цепи, равное первоначальному распределению.
Полученные значения сопротивлений резистив-ных элементов будут равны эквивалентным сопротив-
т
лениям соответствующих компонент. Правомерность таких преобразований можно показать на примере элементарных цепей.
Например, при воздействии гауссовского белого шума ивх(/)=п0(/) с нулевым математическим ожиданием М{п0(/)} = 0 и корреляционной функцией Кп (^, /2) = = (Ы0 /2)5(/2 - /1), где N0 - интенсивность спектральной плотности, на интегрирующую КС - цепь, напряжение ивых(0 на выходе КС - цепи определяется линейным дифференциальным уравнением: dUВЪDÍ(f)/dt + а ивых(/) = = а ивх(/). Общее решение при начальном условии
^вых = Uo и t
U в
= 0 имеет вид
(t) = U oe ""
+ ae "ат[ e ~алп 0(x)dт.
ляются соотношениями: тв вившемся режиме при t = (а/4) e-aT(1 - e-2at). В установившемся
При детерминированной величине и0 плотность вероятности напряжения на выходе при /0 = 0 будет определяться дельта-функцией р0 (и,ых(0)= 5(^^(0 -- и0). Математическое ожидание и корреляционная функция для описания гауссовского процесса опреде-
(/) = и0 е-01, в устано-твых (О = 0; Квых(/,/+т)= режиме
/ , КВЪк(т)=ВВЫхе-"~х[ где Д,ых = а^/4) - дисперсия.
Процесс на выходе КС - цепи одновременно является и гауссовским и марковским. Корреляционной функции соответствует спектральная плотность сигнала на выходе: £вых = 2а Бвых /(а2+ ю2). Заранее можно установить, как распределяется дисперсия случайного процесса по частотам составляющих его гармоник. При прохождении через линейные звенья у нормальных процессов не изменяются законы распреде-
ления, но изменяется корреляционная функция. Для анализа нормальных процессов достаточно определить функцию корреляции и математическое ожидание.
Оценку величины тестового сигнала можно выполнять по спектральной плотности среднего квадрата случайного напряжения или тока, поскольку значение среднего квадрата не зависит от соотношения фаз суммируемых гармоник. Выделяя из ансамбля какую -либо реализацию хк(/) и ограничив ее длительность конечным интервалом Т, можно найти спектральную плотность Хкт (ю). Тогда среднюю мощность к - реализации на отрезке Т можно найти:
Хк2(0 = (1/2п) ] (\Хкт (ю)|2 / Т)ёю = (1/2п) ] (ю)йЮ>,
где (ю) - спектральная плотность средней мощности к-й реализации.
Так как измерения выполняются на конечном промежутке времени [0,Т], то с уменьшением полосы пропускания относительная погрешность измерений будет возрастать [2]. Адекватность методики расчета эквивалентного сопротивления общепринятым методам анализа резистивных электрических цепей может быть дана при количественной оценке с использованием пакета моделирования динамических систем БтиНпк. Возможности БтиНпк позволяют, используя графический интерфейс пользователя, построить функциональную блок-схему моделируемого устройства и выполнять редактирование математических выражений непосредственно в блоках функциональной схемы. На рис. 2 показана модель системы измерения при воздействии на КС-цепь шумового сигнала.
Рис. 2. Модель системы измерения
Функциональная схема включает следующие компоненты: модель интегрирующей ЛС-цепи (Fcn4 , integrator); модель квадратичного вольтметра, включающего блок возведения в квадрат^,,, Fcn2), блоки осреднения и интегрирования в интервале [0, Т] (Transfer Fcn, Transfer Fcnl, Transfer Fcn2, Transfer Fcn3), блок нормирования (Fcnb Fcn3); осциллографы (Scope, Scopel, Scope2, Scope3); анализатор спектра (Spektrum analyzer); источник белого шума с ограниченным спектром (Band Limitec White Noise); устройство представления цифровой информации (Display).
Сигнал от генератора белого шума поступает на вход интегрирующей цепи. Измеряется его средне-квадратическое значение, регистрируется временной график выборки (осциллограф Scope), выполняется анализ спектра (Spektrum analyzer). Измеряется сред-неквадратическое значение сигнала на выходе цепи и регистрируется временной график выборки (Scope3). Необходимо изучить закономерности, имеющие место при воздействии шума на инерционные электрические цепи, содержащие реактивные компоненты.
Если будет подтверждено, что имеет место алгебраическое (скалярное) сложение напряжений, пропорциональных величинам эквивалентных сопротивлений реактивных элементов, то можно будет отказаться от анализа фазовых соотношений при диагностировании инерционных электрических цепей и пользоваться оценкой только среднеквадратических значений шумовых сигналов.
Необходимо отметить, что при аналитическом описании ЛС-цепи линейным дифференциальным уравнением, не может быть использовано понятие реактивное сопротивление емкости (из-за хаотичности параметров шумового сигнала). Поэтому моделирование выполняется на уровне дифференциального уравнения ивых(^ = СRd ивх(()/dt - CR d U^^/dt, без аналитического описания зависимостей ивых(^, U^t). В окне Blok Parameters: Band - Limited White Noise пакета Simulink задается фиксированное значение мощности белого шума для континуальных систем: Noise power = [0,1 ед.]. Измеряется среднеквадратичное значение сигнала на входе ивых = 1 ед. При постоянном значении величины сопротивления резистора интегрирующей ЛС-цепи R = 1 кОм, выполняется варьирование величиной коэффициента пропорциональности а = 1/ЛС. Одновременно измеряется сред-неквадратическое значение сигнала на выходе RC-цепи. При достижении величины выходного напряжения ивых = 0,5 ед. фиксируется значение коэффициента а = 64,35 и вычисляется значение величины емкости конденсатора С = 10-3/64,35 mF. Если входное напряжение ивх разделится поровну между резистором и конденсатором при равенстве сопротивления резистора R и эквивалентного сопротивления конденсатора Лэ = Л, то имеет место алгебраическое (скалярное, а не векторное) деление напряжения. Точность проведенных измерений определяется шириной полосы частот тестового сигнала, которую можно регулировать в соответствии с необходимыми требованиями к точности. На рис. 3 приведена осциллограмма выборки входного сигнала.
Рис. 3. Временная диаграмма выборки входного тестового сигнала
На рис. 4 представлены результаты измерений при моделировании ЛС-цепи.
б)
Рис. 4. Результаты измерения сигнала: а - на входе интегрирующей цепи; б - на выходе интегрирующей цепи
Знакопеременное и хаотичное изменение фазовых сдвигов между напряжениями на конденсаторе и резисторе по гармоническим составляющим (рис. 5) приводит к нулевому осреднению фазы по частоте и свидетельствует о скалярном характере сложения напряжений ис и Пк.
х 10"15 Transfer Function (phase)
0 5 10 15 20 25 30 Frequency (rads/sec)
Рис. 5. Хаотичное распределение фазы по частоте
Как следует из рис. 4 величина напряжения в установившемся режиме составляет половину входного напряжения, что при заданной длине выборки 10 с (которой будет соответствовать конечная полоса частот сигнала) подтвердит предположение о скалярном характере сложения величин напряжений. Резюмируя проведенные исследования, можно сделать вывод о возможности подбора параметров шумового сигнала, обеспечивающих скалярные операции с величинами напряжений на реактивных элементах.
Следует отметить, что точность выполнения принципа скалярного сложения возрастает с увеличением ширины полосы частот тестового шумового сигнала. Однако возможности пакета БтиНпк и реальных применяемых сигналов всегда ограничены, чем и объясняется возникновение погрешности при использовании белого шума с ограниченным спектром.
В данном эксперименте эквивалентное сопротивление конденсатора при фиксированной полосе частот шумового сигнала составит Яэ = 1 кОм. Скалярный характер сложения напряжений ис и иЯ должен сохраняться при вариации величиной емкости конденсатора в интервале [0, ^). Необходимо показать, что деление напряжения на резистивно-емкостном делителе выполняется пропорционально величинам Яэ и Я, при изменении емкости в широких пределах (т.е. также как и при воздействии шума на резистивный делитель). В табл. 1 приведены результаты моделирования интегрирующей ЯС-цепи при начальном условии ивх = 1В и постоянной величине сопротивления резистора Я = 1 кОм.
При вариации величиной емкости конденсатора С 1 1
в пределах [-
] mF (миллифарада) вы-
64,35 131788 числяются значения ивых и строится график (на рис. 6 кривая 1) зависимости ивых (а), где а = 1/ЯС - коэффициент пропорциональности. В качестве сопрягающей выбрана точка Т с координатами (64,35; 0,5). Выполняется последовательное удвоение и деление пополам величины а по обе стороны от сопрягающей точки. В табл. 1 приведены также значения напряжения ивыхЯ на выходе резистивного делителя при аналогичном удвоении и делении величины сопротивления выходного резистора Яэ по обе стороны от сопрягающей точки. На рис. 6 приведен график (кривая 2) зависимости ивыхЯ (Яэ). Анализ полученных результатов подтверждает соответствие характера изменения емкости конденсатора характеру изменения активного сопротивления резистора при воздействии на электрическую цепь широкополосного шума. Это дает возможность исключить из рассмотрения анализ фазовых соотношений, выполняемый при использовании детерминированных синусоидальных сигналов и использовать белый шум в качестве тестового сигнала при диагностировании электрических цепей, содержащих реактивные элементы. По мере возрастания порядка и размерности диагностируемой электрической цепи методика и алгоритм определения эквивалентного сопротивления реактивных элементов сохраняется.
Таблица 1
Результаты моделирования ЙС-цепи
ИКС, с-1 C, Ф К, Ом ^вью В ивХ, В ^ВЫХ^ В Расхождение, %
64,35 10-3/64,35 1 0,5 1 0,5 0
32,175 10-3/32,175 1 0,356 1 0,3333 6
16,087 10-3/16,087 1 0,2417 1 0,2 17
8,0437 10-3/8,0437 1 0,1551 1 0,1111 28
4,0218 10-3/4,0218 1 0,0946 1 0,0588 37
2,0109 10-3/2,0109 1 0,0567 1 0,0303 46
1,0054 10-3/1,0054 1 0,0342 1 0,0153 55
0,5027 10-3/0,5027 1 0,0233 1 0,0077 67
0,2513 10-3/0,2513 1 0,0193 1 0,0038 80
0,1256 10-3/0,1256 1 0,0148 1 0,0019 87
0,0628 10-3/0,0628 1 0,0096 1 0,0009 90
128,7 10-3/128,7 1 0,6565 1 0,6666 1,5
257,4 10-3/257,4 1 0,8015 1 0,8 0,18
514,8 10-3/514,8 1 0,8995 1 0,8888 1,18
1029,6 10-3/1029,6 1 0,9508 1 0,9411 1,02
2059,2 10-3/2059,2 1 0,9759 1 0,9696 0,64
4118,4 10-3/4118,4 1 0,988 1 0,9846 0,34
8236,8 10-3/8236,8 1 0,9941 1 0,9922 0,19
16473,6 10-3/16473,6 1 0,9971 1 0,9961 0,1
32947,2 10-3/32947,2 1 0,9986 1 0,9980 0,06
65894,4 10-3/65894,4 1 0,9994 1 0,9990 0,04
131788 10-3/131788 1 0,9997 1 0,9995 0,02
Цвь1 (Ra), U
0,9
0,8
0,7
0,6 ---:--
0,5 —
0,4 ---;-"
0,3
0,2 -
0,1---!" "
0,й"2 Ю"' 10° 101 ю2 ю3 Ю4 Ю5 ^э
Рис. 6. Графики изменения выходных напряжений делителей при вариациях величинами емкости и эквивалентного сопротивления
Аналитически это можно сделать, решив задачу в форме Коши для потенциалов узлов электрической цепи и выполнив алгоритм последовательной вариации величинами параметров эквивалентных сопротивлений инерционных элементов с использованием общепринятых методов оптимизации (наименьших квадратов, Зейделя и др.).
Наращивать порядок дифференциального уравнения по мере возрастания порядка диагностируемой цепи не рационально, т. к. это приводит к усложнению анализа и вычислений. Следует отметить, что при решении практических задач можно избежать сложных аналитических решений, выполнив алгоритм последовательных вариаций эквивалентными сопротивлениями реактивных элементов. Алгоритм, кроме перечисленных выше пунктов определения эквивалентного сопротивления, включает итерационную
процедуру подстройки ранее уравновешенных потенциалов узлов, что в конечном итоге приведет к эквивалентному распределению потенциалов всех узлов схемы, после чего становятся известными эквивалентные сопротивления реактивных элементов.
Полученные значения эквивалентных сопротивлений будут использованы для построения диагностической модели, что обеспечит согласование результатов теоретических расчетов с результатами практических измерений.
Таким образом, успешное проведение диагностических экспериментов с применением широкого спектра комплектующих компонент позволило упростить процесс проведения диагностического эксперимента за счет введения единой величины эквивалентного сопротивления на основе использования тестового сигнала в виде белого шума с ограниченным спектром, что свидетельствуют о возможности внедрения разработанных методов в производство.
Литература
1. Сотсков Б.С. Основы теории и расчета элементов и устройств автоматики и вычислительной техники. - М., 1970.
2.Акулов Ю.И., Коробков А.Ф., Мнушко Ю.В. Судовая электроника и электроавтоматика. - М., 1982.
Камчатский государственный технический университет, г. Петропавловск-Камчатский
1 июля 2006 г.
УДК 621.313
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТРОЙСТВ ГЕНЕРИРОВАНИЯ ТЕПЛОВОЙ ЭНЕРГИИ НА ОСНОВЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ С РАЗДЕЛЕННЫМИ НАГРЕВАТЕЛЬНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
© 2006 г. О.С. Амосов, С.Н. Иванов, А.В. Еськова
Повышение эффективности и разработка технологий экономии использования электроэнергии неразрывно связано с проектированием, исследованием и внедрением новых или усовершенствованием существующих систем управления электротехническими
объектами и устройствами промышленного и бытового назначения.
В качестве нагревательных устройств могут быть использованы электронагревательные устройства трансформаторного типа. Они представляют собой
понижающий трансформатор, первичная обмотка которого подключена к сети, а вторичная обмотка замкнута накоротко и является тепловыделяющим элементом. Недостатком данных устройств является то, что передача тепловой мощности нагреваемой средой осуществляется в основном за счет естественного теплообмена или требует внешнего источника механической энергии, например насоса или компрессора. Устраняет указанный недостаток реализация тепловыделяющего элемента в виде вращающейся короткозамкнутой вторичной обмотки. Тем не менее, даже при наличии вращающегося тепловыделяющего элемента, все вышеописанные устройства имеют общий недостаток, связанный с тем, что, являясь по существу короткозамкнутой обмоткой асинхронного двигателя, в режимах близких к синхронным, количество тепловых потерь, выделяющихся в теплогенери-рующем элементе, в значительной степени уменьшается вследствие сближения скоростей вращения магнитного поля и подвижного элемента.
Для повышения теплопроизводительности с целью исключения влияния на параметры электронагревателей скорости вращения тепловыделяющего элемента в конструкцию устройства необходимо ввести такие источники тепла, показатели которых не связаны непосредственно со скоростью вращения теплоге-нерирующего элемента.
Эти технические решения реализованы в новом классе устройств генерирования тепловой энергии на основе электромеханического преобразователя с разделенными нагревательными элементами (ЭМПРЭ).
В качестве обобщенной модели электронагревательного устройства предлагается следующая схема (рис. 1).
слоем изоляционного материала. Теплоотдача производится с двух поверхностей: с внутренней поверхности ННЭ и поверхности вращающейся вторичной обмотки, что обеспечивает повышение теплопроизво-дительности в номинальных режимах работы ЭМПРЭ.
Выходные параметры ВНЭ, ННЭ и сетевой обмотки образуют вектор состояния х и контролируются с помощью системы измерений (СИ), учитывающей изменение внешних и/или внутренних воздействующих факторов, включающей комплект первичных датчиков, например, температуры, давления, линейного или углового перемещения. При изменении любого из выходных параметров система измерений фиксирует ее отклонение от требуемой величины с учетом значений векторов щ, V и формирует вектор измерений г, поступающий на устройство управления (УУ). Устройство управления формирует вектор управляющих сигналов и, обеспечивая регулирование энергетических параметров сетевой обмотки.
Таким образом, использование функционально-логического устройства управления, автоматически регулирующего параметры первичного напряжения в зависимости от выходных характеристик устройства, обеспечивает возможность требуемого изменения и поддержания их эксплуатационных показателей [1].
Принципиально новым элементом рассматриваемой схемы является ЭМПРЭ [2]. ЭМПРЭ соответствует модель, состоящая из двух пар обмоток на статоре и пары обмоток на роторе (рис. 2), и представленная системой уравнений напряжений, описывающих процессы в устройстве: [и]=[г]*[/], где [и] - столбец напряжений по осям а, в, [Т] - столбец токов по осям а, в; [г] - матрица сопротивлений, состоящая из суб-
ЭМПРЭ состоит из магнитопровода с размещен ной на нём сетевой обмоткой и разделенных нагревательных элементов. Вращающийся нагревательный элемент (ВНЭ) в виде короткозамкнутой вторичной обмотки, выполненной из электропроводящего материала, закреплен в подшипниковых узлах. Неподвижный нагревательный элемент (ННЭ) из электропроводящего материала установлен между сетевой и вторичной обмоткой.
Для увеличения электрического и теплового сопротивления наружная поверхность ННЭ изолируется
\ща
Wiß
Рис. 2. Модель ЭМПРЭ
Получены дифференциальные уравнения напряжений для всех трех пар обмоток, выраженные через токи, в развернутой форме:
fUs Л
u1a
Ma
rf + _ jf dt 'a
—M 2
-m s
dt d dt
-M
M
dt
rs +_ jf
r2a 2a
dt
d
M s
11a
11a « p
dt -M
M
12a
dt
—m 2 dt 2
rr + _ jr
r1a+ L1a dt
Lfß « p
M11ß « p
M 12ß « p
12a « p
u1ß ufß
*2ß
и уравнение вращающего момента
-L1
«,
r1ß"
dt
dt
M
11ß
M
d
M
dt d
11ß
dt
M
M = - M,, (/fa"/fa 'Tß) +
+1M 2
2 m 11 (
(' 2ß 'Тс
21ß
(1)
'1ß' 2a
или выраженные через потокосцепления:
d¥fa . ..s , d¥;
0 = 'la r 1a +
0 = i{a r{a +
0 = '1ß 4 +
dt
d ¥ fa dt
d ¥ ;ß
dt
U = ' '
0 = ifß rf +
U 2ß = ' 2ßr 2ß +
+
dt
d ¥fß , dt ' d ¥ 2 ß
(2)
dt
где полные потокосцепления обмоток определяются соотношениями:
¥s - js js + js Ms + ir Msr •
T 1a '1a^ 1a ^ '2a™ 12a ^ '1a™ 11a '
¥s = js jf + js Ms + ir Msr
T 2a _ 2a 2a '1a™ 21a '1a™ 21a
¥ ira = 4 La + '1aM "a + ' SaMШ • (3)
¥ r = jr jr + js M rs + is M rs • ¥ 1ß = ' 1ß L1ß + '1ßM 11ß + ' 2ßM 12ß •
¥sß = '1(3 Lfß + i1ßMffß + '2ßM 1S2ß •
¥ f = 'f jf + 'r Mfr + 'f M f ¥ 2ß = ' 2ßL 2ß + 4ß™ 21ß + 4ß™ 21ß •
Пары обмоток ротора обозначены w1ar, w1ßr, пары обмоток статора - w2af, w2ßf, обмотки неподвижного нагревательного элемента (ННЭ) - w1af, w1ßf, при этом угловая частота « Ф 0, u1ar = u1ßr = 0, так как ротор выполнен в виде вращающейся короткозамкнутой обмотки (ВНЭ) и u1af = u1ßf = 0, для ННЭ, выполненного в виде короткозамкнутой обмотки.
В уравнениях i - токи, r - активные сопротивления, M - взаимная индуктивность, j - полная индуктивность.
В результате математическая модель ЭМПРЭ представлена системой уравнений (1)-(3), в которых независимые переменные (напряжения) и зависимые переменные (токи и частота вращения) связаны нелинейной зависимостью, обусловленной характеристикой ферромагнитных материалов.
1ß
Л1
dt
d
M
dt
12ß
12ß
dt
M
21ß 2ß
г23 + L
dt
2ß
( ;f Л
1a
1a
Коэффициенты перед зависимыми переменными (активные сопротивления, индуктивности, взаимные индуктивно-сти) являются параметрами устройства.
На основе математической модели электромагнитных процессов предложена модель тепловых процессов в ННЭ с
учетом свойств материала, геометрических размеров, частоты питающего напряжения, скорости вращения магнитного поля [3]:
в р =-
Р Т
k то S
1,12 ПО
Ртгэ = I I ВгЕ1уYuAdxdy = 4рВ52т3/ 2/,уАкр ,
0 0
где Ртгэ - тепловая мощность в ТГЭ; #р - рабочая температура, град.; р - число пар полюсов; В5 -индукция в воздушном зазоре, Тл; т - полюсное деление; / - частота сети, Гц; I, - длина активной части статора, м; у - удельная электрическая проводимость, См/м; Акр - коэффициент краевого эффекта; кТО -коэффициент теплоотдачи, Вт/град- м2; - площадь теплоотдающей поверхности, м2.
Коэффициент теплоотдачи зависит от скорости среды, состояния поверхности тела, формы канала. Конструктивная особенность ННЭ состоит в том, что он имеет форму полого тонкостенного цилиндра, выполненного из немагнитного материала.
Математическая модель была использована для расчета устройства со следующими параметрами: номинальная отдаваемая мощность 10 кВт, частота сети 50 Гц, напряжение сети 220 В, количество фаз статора 3. Фрагмент программы определения параметров ЭМПРЭ, включающей расчет температуры ННЭ, приведен на рис. 3.
к! := 15 - 2 - 1ь
- 3
Д :- 0.05 -10
P :- 4 - p -BS2 - т3 - f 2 - lakt - Y -Д- k
T :=■
P
20-lakt-n-D
T - 86,863
- температура неподвижного нагревательного элемента
Рис. 3. Фрагмент программы расчета температуры ННЭ
Таким образом, предлагаемая математическая модель ЭМПРЭ может быть использована при проекти-
ровании, оптимизации устройства с заданными выходными параметрами.
Литература
1. Пат. 33479 РФ, МКИ H 05 B 6/10, F 25 B 29/00. Управляемый электронагреватель / Ю.Г. Кабалдин, А.М. Шпилев, О.С. Амосов, С.Н. Иванов (Россия). -
№2003115260/20; заявл. 23.05.2003; опубл. 20.10.2003, Бюл. № 29.
2. Пат. 46139 РФ, МКИ Н 05 В 6/10, Е 25 В 29/00. Теплоге-нерирующий электромеханический преобразователь / В.М. Кузьмин, О.С. Амосов, А.В. Еськова, С.Н. Иванов (Россия). - №2004137050/22; заявл. 17.12.2004; опубл. 10.06.2005, Бюл. № 16.
3. Поклонов С.В. Асинхронные двигатели герметичных электронасосов. - Л., 1987.
Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет 31 мая 2006 г.
УДК 621.586
АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ РАСЧЕТА ОДНОРОДНЫХ ДЛИННЫХ ЛИНИИ
© 2006 г. О.М. Шикульская
В случае, когда невозможно рассчитать линию с распределенными параметрами аналитическим методом, используются приближенные вычислительные методы (метод замещения или метод параметрических структурных схем). При этом линия с распределенными параметрами заменяется п-звенной линией с сосредоточенными параметрами комплексного продольного сопротивления гпр и комплексной погонной поперечной проводимости gп.
Увеличение числа звенев п в схеме позволяет повысить точность получаемых результатов, но при этом существенно увеличивается трудоемкость подобных расчетов.
Метод параметрических структурных схем (ПСС) предлагает более простой способ решения. В работе [1] был выполнен анализ погрешностей расчета методом ПСС по сравнению с классическим методом для однозвенной и двухзвенной цепи. Однако дальнейшее увеличение количества звеньев настолько повышает трудоемкость выполнения преобразований, что позволило получить зависимости для определения выходных величин с использованием аппарата цепных дробей для п > 3 практически невозможно.
В связи с этим возникает проблема автоматизации расчета линии с распределенными параметрами методом ПСС (рис. 1) с использованием алгоритма, который не предполагает предварительного получения
математических зависимостей для различного количества звеньев цепи.
Авторами были разработаны и проанализированы два алгоритма для расчета коэффициента преобразования линии с распределенными параметрами (циклический и рекурсивный алгоритмы).
Коэффициент преобразования определяется по формуле
k1 = -
U1
= 1 G i Л i II G 2 Л 2 | ...I ОпЛ
U в
С использованием аппарата цепных дробей значения эффективных параметров записываются в виде выражений
Ri =
Gi =
0,
1
1
1
1
1
W
Ф г
С ф0'+1) WФ0-+1)
W W
Ф n Ф n
1 1
1 1
С W С , W, ^ С W
^Ф г "ф г ф(г+1) фО+i) Ф n "ф n
; (i)
. (2)
Учитывая однородность линии с распределенными параметрами,
Gl = G2 =... = G и Л1 = Л2 =... = Л.
U0
А Ii А Ui А 12 А
Gi Rl G2 Л2
Un-
Рис. 1. Параметрическая структурная схема линии с распределенными параметрами
Для разработки циклического алгоритма из выражений (1) и (2) были получены зависимости
GnRn -
GR 1 + GR
Gn-1 Rn-1 =-
GR
1 + GR +
Gn-2 Rn-2 --
GR 1 + GR
GR
1 + GR +
GR
GR
1+ 1+ GR 2
1 + 7—- 1
1 + GR
Gn - iRn-i =■
GR
1 + GR + -
GR
1+
GR
1+
GR 1 + GR
■ 2i—1 2i-2
2 1
Анализ этих зависимостей показал, что количе-
GR
ство отношений типа
Для реализации рекурсивного алгоритма в соответствии с описанными условиями были получены
зависимости:
/ * * л
Rn-i Gn-i
Rn-iGn-i
1 + Rn.1Gn_1 + х(1) Произведение 1-го от конца цепи элементарного звена определяется по формулам
0, при I = 0;
x(i) -
Rn-iGn-i+1
R G
1 + Л n-i+1^ n-i+1
при i > 0.
1 + x(i -1)
Блок-схема рекурсивного алгоритма представлена на рис. 26.
1 GR в формуле для определения произведения 1-й от конца цепи пары параметров G и R равно 2/-1 (/ - порядковый номер звена от конца цепи), причем при увеличении / на 1 количество подобных отношений увеличивается на 2. Полученная зависимость лежит в основе построения циклического алгоритма расчета погрешностей на ЭВМ (рис. 2а).
Любое вычисление, предполагающее выполнение циклов, можно реализовать не прибегая к циклам, в частности, используя рекурсивный алгоритм [2]. Рекурсивный алгоритм — это алгоритм, решающий задачу путем решения одного или нескольких более узких вариантов той же задачи.
Рекурсия относится к одному из фундаментальных понятий в математических и компьютерных науках. В языках программирования рекурсивной программой называют программу, которая обращается к самой себе (подобно тому, как в математике рекурсивной функцией называют функцию, которая определена через понятия самой этой функции). Рекурсивная программа не может вызывать себя до бесконечности, поскольку в этом случае она никогда не завершилась бы (точно так же рекурсивная функция не может всегда определяться понятиями самой функции, поскольку тогда определение стало бы циклическим). Следовательно, вторая важная особенность рекурсивной программы — наличие условия завершения, позволяющего программе прекратить вызывать себя (применительно к математике это условие, при выполнении которого функция перестает определяться понятиями самой этой функции). Все практические вычисления можно представить рекурсивными структурами.
|gr= =n2/p2|
gr
k= =y
i= =1
y= GR 1+У
GR ^i+y
i= +1
Рис. 2. Блок-схемы алгоритмов вычисления коэффициентов преобразования линии с распределенными параметрами
по ПСС
1
Оба алгоритма были реализованы. Результаты выполнения программ оказались идентичными. Однако более предпочтительным является рекурсивный алгоритм, так как рекурсия позволяет выразить сложные алгоритмы в компактной форме без ущерба для эффективности и разрабатывать изящные и эффективные структуры данных и алгоритмы для широчайшего спектра применений.
Литература
1. Петрова И.Ю. Энергоинформационный метод анализа и синтеза чувствительных элементов систем управления: дис. ... докт. техн. наук. Самара, 1996. - С. 109-120.
2. Седжвик Р. Фундаментальные алгоритмы на С++. Анализ. Структуры данных. Сортировка. Поиск / пер. с англ. Роберт Седжвик. - СПб., 2002.
Астраханский государственный технический университет
23мая 2006 г.
УДК 621.586
Uo
1 - S —,
1 . , ^ / -*J /2
z dz
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТОВОЛОКОННОЙ ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
© 2006 г. О.М. Шикульская
Для выяснения влияния неоднородностей (перегородок, окон) в волноводе на распределение волн в областях вдали от неоднородностей волновод рассматривают как линию с распределенными параметрами по аналогии с электрической длинной линией.
Электрическими линиями с распределенными параметрами (длинными линиями) называют такие линии, в которых для одного и того же момента времени ток и напряжение непрерывно изменяются при переходе от одной точки (сечения) к другой [1].
Эффект непрерывного изменения тока напряжения вдоль линии имеет место вследствие того, что линии обладают распределенными продольными и поперечными сопротивлениями.
Линию с распределенными параметрами называют однородной, если равны друг другу все продольные сопротивления участков линии одинаковой длины и равны друг другу все поперечные сопротивления участков линии одинаковой длины.
Линию с распределенными параметрами называют неоднородной, если продольные сопротивления в ней и поперечные сопротивления неодинаковы.
Наиболее точным является классический метод исследования длинных линий, заключающийся в аналитическом решении дифференциальных уравнений. Он применим к однородным линиям с распределенными параметрами.
Рассмотрим случай, когда величины комплексного продольного сопротивления гпр и комплексной погонной поперечной проводимости £п линии постоянны, а питающее напряжение изменяется по синусоидальному закону U=U0 sin mt и подводится к проводам линии с одного конца (рис. 1).
Рис. 1. Схема длинной линии с подводом напряжения с одного конца
Система линейных дифференциальных уравнений, описывающая распределение токов и напряжений для элементарного участка линии длиной может быть записана в виде
Ш = (12 -11 )гпрdz;
{ Я = Щ п й2.
После решения системы дифференциальных уравнений и подстановки граничных условий [1] получаем выражение для определения выходного напряжения
U вых U вых
1
:ß = W^r
ГДе Р=^лТпр g п
продольная жесткость; gn кость.
chß
W - длина линии; гпр - погонная
погонная поперечная ем-
Однако в рассматриваемом случае оптоволоконная линия может быть представлена только как неоднородная линия с распределенными параметрами, которая не описывается дифференциальными уравнениями классического метода исследования длинных линий.
В таких случаях пользуются приближенными методами.
Одним из таких методов является метод замещения. Для анализа оптоволоконной линии составляют схему замещения (рис. 2), в которой волновод заменен линией с распределенными параметрами, а неодно -родность представляют некоторым четырехполюсником с сосредоточенными параметрами, которые находят опытным путем [1].
Значения реакции и воздействия для отдельных участков цепи с распределенными параметрами находятся соответственно из выражений
*
11 = а1 и 0;
и1 = агЯ1 и 0; 15 = а 5-я4-а 4-я 3-а 3-Я 2-а 2-а1-и 0;
и 5 = я5 -а*5- я4-а4- я3-а3-я2-а2-яг с?!-и 0;
* * * *
и„ = яп-ап-яп ч- а„ _г...-и 0.
Эффективные значения 1-й пары параметров определяются через их реальные значения по структурной схеме на рис. 36 по следующим формулам:
R, =-
1
R
г+1
Рис. 2. Схема замещения линии с распределенными параметрами
Однако более простой способ решения длинных линий предлагает энергоинформационный метод [2].
Энергоинформационная модель упругой механической линии с распределенными параметрами была разработана с учетом параметров удельной продольной емкости и удельной поперечной жесткости [3]. Однако в общем случае параметрами длинной линии являются комплексное удельное продольное сопротивление и комплексная удельная поперечная проводимость.
Параметрическая структурная схема цепи с
распределенными параметрами длиной Ж может
**
быть представлена в виде п пар параметров Я^ и а{ (рис. 3а).
Для упрощения расчета вводятся эффективные параметры, учитывающие обратные связи (рис. 36).
G,
R
n-1
Gn
- + Rn
G, =
G, + Т
R, + "
R
i+1
G,
R
п - 1
Gn
- + Rn
С использованием аппарата цепных дробей значения эффективных параметров записываются в виде выражений
11 111
R, =
G, =
0,
W Г ,n W W W
" ф г ф(г+1) ф(г+1) ф n "ф n
Г W Г W, Г W
ф г "ф г ф(г+1) ф(г+1) ф п "ф п
а)
Uo
А Ii Ä Ui h Ä Un-1 * In Ä
Gi Ri G2 R2 Gn Rn
Un
б)
Рис. 3. Параметрическая структурная схема линии: а - с распределенными параметрами; б - с эффективными параметрами
1
1
1
Зависимость выходной величины от входной определяется формулой
Un =
Ri Gl
R 2 G 2
/ * * \ R,Gt
/ * * \ RnGn
U n.
Для разработки математической модели на основе энергоинформационного метода было найдено соответствие между параметрами и величинами параметрической структурной схемы и реальными физическими величинами:
U = Ei; Ii = Hi; Rt = Zвг =VL0i/C0l ;
L0i = Ма ; C0i =£а ;
Ri = Z ййш = а!
Разработанная математическая модель с распределенными параметрами волновода позволяет автоматизировать его расчет.
Литература
1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. - М., 1978.
2. Петрова И.Ю. Энергоинформационный метод анализа и синтеза чувствительных элементов систем управления: дис. ... докт. техн. наук. - Самара, 1996. - С. 109-120.
3. Шикульская О.М. Распределенные энергоинформационные модели упругих элементов микроэлектронных преобразователей давления: дис. ... канд. техн. наук. - Астрахань, 2000. - С. 36-39.
Астраханский государственный технический университет
23 мая 2006 г.
Uo
УДК 681.5
АНАЛИЗ ДОСТОВЕРНОСТИ РАСЧЕТА ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ МЕТОДОМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
© 2006 г. О.М. Шикульская
Все существующие методы исследования процессов в длинных линиях любой физической природы (магнитных, тепловых, акустических, механических, оптических и других) предполагают сведение задач исследования из областей явлений соответствующей природы к задачам теории электрических цепей.
Наиболее точным является классический метод исследования, заключающийся в аналитическом решении дифференциальных уравнений.
В тех случаях, когда допустим приблизительный учет продольного сопротивления и поперечной проводимости, может быть использован метод параметрических структурных схем (ПСС) [1].
Анализ погрешности расчета методом ПСС был проведен только для упругих длинных линий с учетом параметров удельной продольной емкости и удельной поперечной жесткости. Однако в общем случае параметрами длинной линии являются комплексное удельное продольное сопротивление и комплексная удельная поперечная проводимость.
Для проведения сравнительного анализа методов расчета такой длинной линии выбран случай, когда величины комплексного продольного сопротивления гпр и комплексной погонной поперечной проводимости £п линии постоянны, а питающее напряжение изменяется по синусоидальному закону U=U0 sin mí и подводится к проводам линии с одного конца (рис. 1).
1 - Ч Ii ^ S —,
1 . , I J2
z dz
Рис. 1. Схема длинной линии с подводом напряжения с одного конца
После решения системы дифференциальных уравнений, описывающих длинную линию, и подстановки граничных условий [1] получаем выражение для определения выходного напряжения
U вых U вых
1
chß
где
ß = ; w-
длина линии; гпр - погонная
продольная жесткость; gn - погонная поперечная емкость.
Uo
А Ii Ä Ui I2 Ä
Gi Ri G2 R2
Un-
Рис. 2. Параметрическая структурная схема линии с распределенными параметрами с эффективными параметрами
Параметрическая структурная схема цепи с распределенными параметрами длиной W может быть
**
представлена в виде п пар параметров Я^ и а{ (рис. 2).
Значения реакции и воздействия для отдельных участков цепи с распределенными параметрами находятся соответственно из выражений
U,
= Rn-Gn-Rn-r Gn-i-...-U o.
Ri =-
Rp
i + -
GPRP
(i)
i + -
GpRp
i + .
Gi =
GpRp 'i + GpRp
GP
i + -
GpRp
(2)
i + -
GpRp
i + .
GpRp 'i + GpRp
u1 - U
вых вых
X ='
U в
С целью упрощения подобных расчетов выражение (2) было представлено в виде
k1 - k
X=
k
(3)
где k1 =
U1
U в
и k =
U в
U в
- значения коэффициен-
Эффективные значения первой пары параметров при наличии нагрузки в конце цепи в виде ап определяются через их реальные значения по структурной схеме на рис. 2 по следующим формулам:
тов преобразования определенных соответственно методом ПСС и классическим методом.
Из формул (1) и (3) получено выражение, позволяющее произвести обработку данных на ЭВМ:
k1 =
/ * * \ G i R i
( * G 2 R 2
Л
( *
Л
G n Rt
Был выполнен расчет на ЭВМ, который позволил определить предельное значение коэффициента в, равное 5,99. При в = 6 ивых = 0.
На основании произведенного расчета был построен график зависимостей выходных величин от значений коэффициента в для расчета классическим методом и методом ПСС с различным количеством звеньев цепи (рис. 3).
Эффективные значения остальных параметров определяются аналогично.
Увеличение числа звенев п в ПСС предположительно позволяет повысить точность получаемых результатов, но при этом существенно увеличивается трудоемкость подобных расчетов.
Целью сравнительного анализа расчетов методом ПСС и классическим методом являлось определение оптимального числа звеньев п.
Погрешность расчета по ПСС по сравнению с классическим методом расчета определяется по формуле
0
1 2 3 4 5
Рис. 3. График зависимости выходной величины ивых от коэффициента в: -4 - - классический метод;-О - п = 3; -А- - п = 4; -■- - п = 5; —Ж— - п = 6
Данный анализ показал достоверность расчета длинных линий методом ПСС.
Литература
где и вых и и вых - значения выходных механических напряжений, определенных соответственно методом ПСС и классическим методом.
1. Шикульская О.М. Распределенные энергоинформационные модели упругих элементов микроэлектронных преобразователей давления: дис. ... канд. техн. наук. - Астрахань, 2000. - С. 65-73.
Астраханский государственный технический университет
23 мая 2006 г.
*
*
