Математическое моделирование турбулентности при свободной конвекции воздуха Текст научной статьи по специальности «Физика»

Л Л Л Л f

А А Т-» Г Л О мЛЛ Г% А ~Т Л V _ Г ЛЛ Л Л

Л. Л. Eogiaoia, ß. А. Iaoaieiaa

/ О м «Л м W Л Л Г »Л» ГиЛ ЛОГГЛ Г Л О <» ГЛ м/\ W Л О » Л Л f ОЛ ЛЛ i Г /1 f Л

Aaeaioianeee ainoaaonoaaiiue oaoiieiae—aneee oieaaoneoao ei. A.A. 0ooiaa

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПРИ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ ВОЗДУХА

X >С > лллолллл . О л* /\ /\ > О.. л

loe íaoaiaoe-aneii íiaaeeoiaaiee ooaoiaoiuo ça. /ы Гу Гу Г Гу .. Г Гу Г Гу Гу Г Гу О Гу .. >> Гу Гу .. Г л* \ Гу Гу Г \ Гу \ •\ \ л* О >С .. О Г Гу О

aa- naiaiaiie eiiaaeoee aiçaooa aiçieeapo naouaçiua

\><Г.. ГГу^\\ л* /V .. \ Г Г Гу О л* /У \ ** Г \ \ /\ \ О \ \ \ О >C >

oooaiinoe, nayçaiiua n ionoonoaeai noiaeiinoe eoaoa-

.. > Г .. >£ > . > л* .. О Г Г Гу\ >£ О О Г \ \ л* > л* > О > /V

oee ice -eneaiiii oaeaiee nenoaiu aeooaoaioeaeuiuo

oöaaiaiee Íaaua-Ñoiena. Îaiie eç ïoe-ei iaonoie-eai-

л* > > . > л* .. О Г Г Гу /ыГу >С О О f > .. ..Гу Г \ О \ Г

noe aeaioeoia -eneaiiiai oaeaiey çaaa-e, ii iaeaio

iiaiep, yaeyaony ieçeia çia-aiea eeiaiaoe-aneiai ei-yooeoeaioa v ayçeinoe aiçaooa, aneaanoaea -aai -eaiu

r><\/\rOr\r .. >< О .. ** \ \ .. .. Л >>0 л^л../v .. ГО л* ../V /ыГу Г Г Гу

ooaaiaiee, ïoaanoaaeypuea neeu ayçeinoe, ia niiniaiu

çaaeoeaou oeoeooaoee eiaooeiiiuo ninoaaeypueo. ïi-

../V О r \ о \ О /■ .. О \ ~ .. О ~ .. \ r,\\r\r\\\.. \ rxr г.. or\rr\~*\..

eiœaiea iaiyaony, anee o-eouaaou oooaoeaioiinou.

/-Ч \ \0\/'/\0 .. /\ \ О r \ О /v/v .. Г \ /V ../\\0\0/'\..~ /\ /V Г \ Гу \ О \

Çaiaoiia aaeœaiea aiçaooa a ïiiauaieyo aiçieeaao

../V.. xi \ Г Гу \ \ О ^ Гу .. .. Гу \ Г Гу ^ \ О Г ..Гу .. Гу .. .. \ \ О Г .. Г

iia aaenoaeai oaçiinoe aai ieioiinoae, iiyaeypuaeny o

• •Ту Гу О >< Г Гу \ \ Г\^><0Гу\\0.. .. Гу Г .. \ \ Г Гу .. 0 0 Гу .. Гу .. Г Гу /ы л* > О Г

iiaaooiinoe iaaoaaaoaey eee aaeeçe aieaa oieiaiuo noai

e ieii, a oi aoaiy eae aaaee io ieo oeoeoeyoey aiçaooa ineaaááaao eee aiana ionoonoaoao. ôioy aaeœâiea aiçaooa a

ГуГГу/ыжОГуЛОУГу/ы ,.Гу\ О > О Г > •• л* Гу > Гу .. >< \ Гу \ .. Гу . ./V .. > л* > О > л* ••

iaiaoaaaaiuo ïiiauaieyo, eae ïoaaeei, ïieaaaaony eaie-

iaoiui, iaeuçy eneep-aou eieaeuiiai a^ama^y ayçein-

\ \ \ ~ . О \ .^V.. /V..0 r \ .. \r>trr..or\r/\**..г../V r .. \ \ \ О r

oe ça n-ao ïiyaeaiey oooaoeaioiuo ïoeunaoee aaeeçe «noai-

/\> > О /\ Г .. \ \ 0..0 Г \ О Г ГуГУГУГ

ee», o.a. aaeeçe ïiaaooiinoe iaaoaaaoaeae, noai eee ieii.

-1—< Гу О ** \ Г Гу . >/\ ..>¿> O f \ \ \ /\/\ Г >¿ > Г Гу Г >¿ О .. /V Г

Eçaanoii, -oi ïoe aaeœaiee aaçiiaoaçiie noaau o

noaiee oioieooaony ïiaoaie-iue neie. ôooaoeaioiue ïiaoaie-iue neie eiaao ainoaoi-ii neiœiop noooe-oooo: ai 15 % aai oieueiu çaieiaao oaaiiaaniue ïia-

^ .. Гу Г Гу ЛЛД Л*Л1 f \ • • > О > Г \ •• Л Г л* ..>¿/\.. О ^ ^ Гу Гу О Г О >С Л

neie, a eioioii iaaepaaaony aaeain ïoioannia aaiaoa-

oee e aenneïaoee yiaoaee oooaoeaioiuo ïoeunaoee, a

Г О ••Гу Гу О Г Г Гу Гу ъ \ О Г Гу О ..>¿>>/\/\>0> Л Гу Г Гу \ Г Гу •• /\> Г

iaïinoaanoaaiii e noaiea ïoeiueaao oiieee ayçeee

Гу Гу Гу \ Гу >¿ Л/V..O Гу Г Г \ ,, Гу •• ..>< О Г .. \ .. \

ïianeie, a eioioii iieaeoeyoiay ayçeinou ïoaiaeaaa-

О > Г \ •• Л Г >< Г Г .. О Г \ Г Гу Г ТО •• Г Гу •• /\>> Л >^\ГуГГуГуО^ГГу\

ao iaa oooaoeaioiie. Iaœao ayçeei e oaaiiaaniui ïianeiyie oanïieaaaaony ïaoaoiaiay iaeanou.

ïieoyiïeoe-aneay aeïioaça ïoaiaoey [i] ïiçai-

....0\ r \ r \ \ \rxrr.. or\rr\r \ r \ .. /V л*

eyao iaeoe oooaoeaioiue aiaeia vo eeiaiaoe-aneiai eiyooeoeaioa ayçeinoe a oaaiiaaniii ïianeia:

v o = l2 \du¡dy\ , (1)

где u - компонента осредненной скорости, параллельная поверхности стенки; y - расстояние по нормали от стенки до расчетной точки; l - длина пути смешения, пропор-

циональная расстоянию до обтекаемой поверхности,

l = ку. (2)

..Ол*.. Г чГу \ Гу ,, Г Г \ ,, Г Гу О >С>>0 Г

Vaanu к - oieaaonaeuiay íinoiyiiay, yeniaoeiai-

\ \ .... Г Г, Г \ Г .. О Г Г Г\ О Г \ . О Г \ .. /V /\ \ /\ >4 /V Г ..О \\ /V /У г о

oaeuii iaeaaiiua gia-aiey eioioie easao a aeaiagiia

lo 0,4 ai 0,43, iae-ai lineaaiaa niioaaonoaoao onei-aeyi neaáie ooóáoeaioiinoe.

Зависимости для турбулентного движения вблизи стенки обычно представляют в безразмерном виде, вводя безразмерные физические величины

u+ = u¡u, , y+ = уи„/\ , l+ = lu,jv ,

aaa u* - aeiaie-aneay neioinou, íoaanoaaeypuay ni-

áie óe^e-aneop aaee-eio n sagiaoiinoup neioinoe,

Г t > Г Л f>.0f>0 ЛЛл^ЛЛО.. .. Г Гу ^ Гу Г \ ..>< .. О Г \ ..

oaoaeoaoegopuop gia-aiea eanaoaeuiiai iaioysaiey

ia liaaooiinoe noaiee,

no '

p - leioiinou aagiiáaagiie noaau.

-V T r. .. \ Г Гу л* Л ..Гу Л О О X >С \ Г .. \ .. .. л* ГуГу \ Г Гу О^ЛО Л Г >< Г Г .. О Г

Niaeanii aeiioaga Ioaiaoey, niioiieaiea oooáoeai-

oiie v, e iieaeoeyóiie v ay^einoe a áee^e noaiee gaae-

л^ЛЛ \ Гу .... Гу Гу Гу Л ГО >С> \ О >С Г Гу Г .. .. \ Г Гу .. Г \ \ ** \ О О Г \ .. 1

neo oieuei io áagoagiaoiie aeeiu iooe niaeaiey l+:

Vf = (\l4l+1 -1)/2 . (3)

В вязком подслое и переходной области турбулентные пульсации заглушаются, в результате чего длина пути смешения становится заметно меньше значений, вычисленных по линейной зависимости (2). Чтобы получить возможность применять гипотезу Пранд-тля не только в равновесном подслое, но и непосредственно у поверхности стенки, потребовалось уточнить формулу для длины пути смешения в области j+<60 [2]:

l+ =ку+{ 1 -exp [-y+/(A-0,25 y+/A)]}, (4)

aaa iasaiaoo ^=30. Niaeanii ooaaiaiep (4), a aygeii iianeia ioe y+<i0

г о >< л л о >< ( л •• •• •• л г л • • ( л л ~ л о о г л ** 1 г л о г .. л о л ^ .. .. /\

аадбад1аб1ау аее1а юое шаеашу I+ 01а1иеааопу а1 ааёе^е1й, 1а Юаайеа^йаё 1,25, а 00ба0еа1о1ау ауд-

е1пои, ай-епеанау и бююеа (3), поанаеопу да1ао-

г л. л о г •• о л /\ •• о /у г •• • • >е г /\ г -х -г •• о •• ' о л /\ллоллл»# л /\ г о

11 1а1иеа 11еаеоеуб11ё. Меааоао 1о1аоеои, -о1 аад-

>е \ л о >с г /у. о о л > ^ л о л /\ л л/\ о л ^ л л \ .. л л .. л \

бадтбпа баппо1у1еа 1о поа1ее у+ пжао поаои 1аеш

г о л л... •• л. л. \ г* л ол г л о г •• о г \ .. г* о /\л о л >е \ л о г* /\/\ >с \ г* г* л /\

1а о1еие1 да п-ао 01а1и0а1еу ааиаобе-апет1 баппо1-

у 1еу 1о поа1ее, 11 е да п-ао шежа1еу ае1а1е-апе1ё

л....л\ ..л. гг.... г/у г* о .. о г \

пе1б1пое м* а1еюи а1 1оеу. №аа1ааоаеип, п ааааа1е-

а10о1—1ашё дааепеипое (4) аеноада 1ба1аоеу (1)

• •>С Л /\ Г >С О •• Л Г Г/У Л •• (лЛЛ/\/\ЛЛ## /\ г •• л \ ~ л о г /\ л ..л о

1бе1абаеа ппшаппои 0-еойааои ааееде поа1ее аажа

/\ л о г •• г* •• \ г /\ о • • >с/\ •• /\ •• о г л •• \ г >е г г .. ог\г/Уп^\\ л л хл\ о л /\ п*/у

1-а1и пеаайа 1б1уаеа1еу о0ба0еа1о11пое е, еб11а о1а1,

нпоашю^ о0ба0еедабе^ иаба1е—11а1 пе1у 1бе а1дбапоа1ее а ш пехбшое а1да0ба.

Центральным моментом в математическом моделировании свободной конвекции вблизи стенки становится определение динамической скорости и* методом итераций. С этой целью обычно используют логарифмический закон распределения безразмерной скорости и+, представленный кривой 1 на рис. 1. Однако логарифмический закон справедлив только на достаточном удалении от стенки в области развитой турбулентности.

Необходимое распределение безразмерной скорости и+вблизи стенки в вязком подслое и переходной области найдено путем интегрирования выражения гипотезы Прандтля для производной этой скорости по безразмерному расстоянию от стенки у+ с учетом уточненной зависимости (4):

du+

V4/+41 -1

212

Результат представлен кривой 2 на рис. 1. Сопоставление кривых 1 и 2 показывает, что при у+< 40 величина безразмерной скорости становится заметно меньше значений, рассчитанных по логарифмическому закону.

lj

f "3

J

I

1

а 10 Л0 -Mi Ю *

Таким образом, ламинарное и турбулентное движение газообразной среды подчиняются разным закономерностям. Поэтому и способы расчета динамической скорости или касательного напряжения на стенке оказываются разными. Если течение вблизи стенки ламинарное, динамическую скорость определяют с помощью дискретного представления односторонней производной от скорости и на стенке:

(5)

u „=.lv —

При развитом турбулентном течении следует вычислить безразмерную скорость и+ по зависимостям, представленным на рис. 1, после чего динамическая скорость находится из соотношения

„= u/u +

(6)

Рис. 1. Безразмерная зависимость скорости и+ от расстояния у+ по закону: 1 - логарифмическому; 2 - уточненному

TO>COf*//\,, Г/\ Г >С О Л Л ^ /У .. Л Г Г /У Г г* Л. Л. Г \ /\ Г ГУ ГУ о г \ о л л

Iaöaoiaiue öasei, naygaiiue n aigieeiiaaieai e

>C \ ><Л^ЛЛЛЛОЛ Л Г >i Г Г •• О Г Л Г/У г* Л Л Л Л ..Л. Л Г л О Г \ \ /У . Л /\ /V /\

öagöanoaieai ooöaoeaioiinoe, iaei ego-ai, oae -oi aig-

л/\ (по ../\../\..олло л г >< г г .. о г \ г г, г» ..г.... ~ л .. л г \ .. /\ /\ \ .. .. г /\ л/

iisiia liyaeaiea ooöaoeaioiuo loeunaoee e eieaeuiuo

gia-aiee ooöaoeaioiie aygeinoe a ioaaeuiuo -anoyo ea-

\\Г\>СГ/\г*/\ /\ .. О ..Л1 Л /\ /\ Л /У Г /У . Г/У Г О л л /\ /\ \ о л ^ ..

ieiaöiiai a oaeii lioiea iau-ii ia öann-eouaaaony.

xoiau a iaoaiaoe-aneie iiaaee naiaiaiie eiiaaeoee aig-

• •(^Л Г л О n* \ .. /\ •• Л •• Г Л О •• Л О ^»»Л Г /У Г Л Г >i Г Г ||ОМ Г/У rv \ \ ••>£ о ••

aooa o-anou aeeyiea aasa neaaie ooöaoeaioiinoe, löaa-

еы Л Л/\####ОЛ ## О ## О г*/\/\ Г >С \ Г Л. Л ы \ Г .. \ >С /У /У \ Л •• . \ /У /У /y>i\ Г .. /У

noaaeyaony oaeaniiaöagiui linooeeöiaaou, -oi oiöioeu

(5) e (6) aiinyo naie aeeaa a aaee-eio eanaoaeuiiai ia-

..><.. о r \ .. ..>c/y../\ >c .. \ /у r \ .. .. г/\ л /у ** о /\ г •••• >e г/\ г л •• л л г >с г г .. о г

löysaiey löiliöoeiiaeuii iieaeoeyöiie eee ooöaoeaioiie aygeinoe aaeege noaiee, niioääonoääiii. Ä yoii neo. Л О /\ О •• Л л Л Г Л О **>i /\**/\>С •• Л /У Г Л •• •• Г Л •• /У Л г* \ л о •• .. г/\л г г \ ••

-aa aaee-eia u*2, löiliöoeiiaeuiay eanaoaeuiiio ialöy-

олл-| ••><л/\л><оллол /\ о о г г/у о >е о •• г о о (л.олло

saiep Gn,, löeiaöaoaao agaaeaiiia nöaaiaa gia-aiea:

Согласно выражению (7), решающее влияние на режим движения оказывает скорость воздуха u вблизи стенки. При малых значениях скорости становится малой и безразмерное расстояние y+ . В непосредственной близости к стенке при y+<4, согласно кривой 2 рис. 1, выполняется равенство u+ = y+, соответствующее ламинарному течению, так что при низкой скорости выражение (7) переходит в пределе в формулу (5).

Если же скорость воздуха u приобретает большие значения, то второе слагаемое в числителе формулы (7) увеличивается в квадратичной зависимости, возрастает также и коэффициент турбулентной вязкости пт . В результате первое слагаемое в числителе формулы (7) становится много меньше второго, что как раз и характерно для турбулентного режима течения.

В любом случае увеличение скорости воздуха u приво-дитк возрастанию турбулентной вязкости в пограничном слое, что в конечном итоге обеспечиваетустойчивость численной процедуры математического моделирования сво-боднойконвекции воздуха в обогреваемых помещениях.

ЛИТЕРАТУРА

1. Прандтль Л. Результаты последнего времени по изучению турбулентности // Проблемы турбулентности. - М.: ОНТИ, 1936. - с. 9-34.

2. Кузнецов В.А. Уточнение гипотез пристенной турбулентности // ИФЖ - Т. 50, № 6. - 1986. - с. 917-922.