Научная статья на тему 'Математическое моделирование термонапряженного состояния наплавляемого слитка вакуумного дугового переплава'

Математическое моделирование термонапряженного состояния наплавляемого слитка вакуумного дугового переплава Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
74
14
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Потапов В. И., Бугаев М. С.

В работе рассмотрена осесимметричная задача динамики термонапряженного состояния слитка вакуумного дугового переплава в нестационарном неоднородном температурном поле.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Mathematical modeling melted ingot thermostressed state under vacuum arc remelting

The paper considere the axially symmetric problem on the dynamics of the ingot thermostressed state under vacuum arc remelting in unstationary in homogeneous temperature pathern

Текст научной работы на тему «Математическое моделирование термонапряженного состояния наплавляемого слитка вакуумного дугового переплава»

Математическое моделирование термонапряженного состояния наплавляемого слитка вакуумного дугового переплава

Потапов В.И. (potap-v@mail.ru), Бугаев М.С.

Южно-Уральский Государственный университет филиал в г. Златоусте

Получение слитков металла с заданными технологическими свойствами — основная задача вакуумного дугового переплава. В работах [1, 4] разработана тепловая теория формирования слитка ВДП. Однако в рамках одной тепловой теории формирования слитка не удается установить связи между некоторыми свойствами слитка, такими как усадочные явления.

В работах [2, 3, 5] рассмотрены задачи математического моделирования термонапряженного состояния слитка кристаллизирующегося в изложнице и непрерывного слитка. Условия формирования слитка в изложнице и при непрерывной разливке отличаются от условий формирования слитка в печи вакуумного дугового переплава (ВДП).

В данной работе ставится задача по созданию математической модели термонапряженного состояния слитка ВДП в процессе его наплавления с целью улучшения и прогнозирования качества слитка. Считая известным температурное поле слитка, математическая модель должна содержать уравнения связи между напряжениями, температурой, упругими, вязкими и пластическими деформациями в любой точке слитка, в любой момент времени. В виду сложности напряженно-деформированного состояния слитка (упругое, вязкое, пластическое) связь между напряжениями и деформациями можно установить в тензорном виде. Получение таких уравнений и их решение в общем виде приводят к непреодалимым трудностям. Поэтому в данной работе в соответствии с конкретным процессом формирования слитка, приняты частные модели линейно-упругой, линейно-вязкой и малых упругопластических деформаций. Рассматриваются в данной работе динамические осесимметричные процессы в большом интервале температур с учетом различных видов деформаций, имеющих место при формировании слитка.

Итак, в математической модели введем тензор напряжения и получим связь (условие равновесия) между его компонентами. Введем тензор деформации и получим связь между его компонентами (уравнения совместности). И, наконец, установим связи (определяющие уравнения) между компонентами тензора напряжений и соответствующими компонентами тензора деформации с учетом свойств упругости, вязкости и пластичности, в предположении изотропности изучаемой среды.

Математическую модель напряженно-деформированного состояния слитка ВДП можно записать в виде трёх подсистем дифференциальных уравнений (1), а

именно, уравнений равновесия, уравнений совместности деформаций и определяющих уравнений упруговязкопластической среды.

I'к —

$1к

1

+-Sгk

2п

2 g

т 0 — 3к ( -аАТ)

дТг + Тг -Тв дтг

дг дт

г

Г2 . ь Г2 . да 2

+

дг

а 2 ^ 2 8г . д 8г

дх дев дг

дх

дх = 0

0

уравнение термонапряжений упруговязкой среды

уравнение равновесия

(1)

д 2УГ

дГ2 дгдг

— - \ -ев]

уравнение совместности деформаций

Уравнения (1) дополнены начальными условиями:

Тк = 0 при г = 0

и граничными условиями:

Т = 0, тг = 0 при г = Я для любых г, г, тк = 0, ( = 0 при х = 0, х = Н, для

любых г, г. В уравнениях (1) приняты обозначения:

— екк - ео81к — компоненты девиаторов деформаций; ек — компоненты

тензора деформаций; ео — (ег + ев+ег )/3; 8 ¡к —

1 при 1 — к 0 при 1 Ф к

Т —

температура; — а1к - ао81к — компоненты девиаторов напряжений; Т 1к — компоненты тензора напряжений; 2g — то /уо; то, уо — интенсивность касательных напряжений, деформаций сдвига; п — коэффициент вязкости; к — (3Л + 2G )/3 — модуль объемного сжатия; G — упругий модуль сдвига; а — коэффициент линейного температурного расширения среды; тгх — касательные

ди дw

напряжения; Угг —

+ ■

дх дг

и, v, w

компоненты вектора перемещения.

Преобразуем систему (1). Для этого в определяющих уравнениях (два первых) выразим напряжение через деформации, получим

д екк +

дг

--1

2 g

1 д д д 2 дх дг дг

—аАТ 2 g

_ , тт дщ дщ

Введем потенциальную функцию щ, что и — , УУ — —;—, тогда

дг

дг

дг2

д

£ 2 =

дz2

£е

1 д V . 2 д V

— у = 25 / г2

Г

дг

дгд2'

£о =

д2 V + 1 ду + д2у

дг

Подставим (3) в (2), получим

V 2у = а№ Решение уравнения в виде

1

V Л---V + V

т ГГ т г т 2.

г дг д2 9к

1 2

= 3 ^

4 я + 3к 9к

аАТ.

(4)

(5)

г 4 я + 3к

проведено конечно-разностным методом. В качестве разностной сетки взята совокупность точек пересечения прямых: 2 = шк, г = иАг, г = пАг в области Э, где ш = 0, 1, ..., Е ; и = 1, 2, ..., К ; п = 0, 1, ...; к > 0, Аг >0, Аг >0. После дискретизации уравнения (5) получим

'1 1 ^ ( 1 1 ^ ^и + Уm-l,u) 9каАТ

Vш, и = V

ш,и+1

Аг 2гАг

ш,и—1

Аг2 2гАг

+ ■

к2

(4 Я + 3к)'

(6)

Если считать значения уш±1, и±1 известными, то формула (6) позволяет рассчитать и значения уш,и. Для проведения вычислений по (6) для ш = 1, 2, ..., Е - 1; и = 2, ..., к - 1 должны заранее иметь значения функции у при ш = 0, ш = ЕП, и = 1, и = к, т.е. у0,П; уЕ,П и уш, к- Эти значения подбираются таким образом, чтобы на границах области Э удовлетворялись граничные условия:

Оо,и = 0; То,и = 0; аР,и = 0; тР,и = 0.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Так как при вычислении уш, и по формуле (6) значения уш±1, и±1 также неизвестны, то формула (6) для всех ш, и применяется многократно до тех пор, пока значения функции у для одних и тех же ш, и не совпадут с требуемой точностью. Т.е. фактически уравнение (5), а значит, и (6) решаются итерационным методом.

Для нахождения компонентов напряжения используем разностный аналог

Я

п+1 &ш,и

= / • 2 яА£ +

СГп

1

-Аг

П

(7)

В каждый момент времени г = пАг вычисляются функции у по формуле (6), компоненты деформации — по (3), компоненты напряжений — по (7). При переходе к следующему моменту времени г = (п + 1)Аг при расчетах по указанным формулам используются соответствующие значения, найденные в предыдущий момент времени. Эта схема алгоритма представлена на рис. 1 является частью большой блок-схемы, включающей и блок-схему, где решалась тепловая задача формирования слитка ВДП [4].

Рис. 1. Блок-схема алгоритма

На рис. 2 показано распределение интенсивности напряжений по радиусу r слитка в различных сечениях по высоте для момента, равного шести часам наплавления слитка. Из рисунка видно, что при достаточном охлаждении (кривая I) в слитке возникают большие растягивающие напряжения в его центре (r/R = 0). Это можно объяснить тем, что поверхность слитка затвердевает почти мгновенно и, охлаждаясь, в дальнейшем приобретает достаточную жесткость. За счет усадки корочка преодолевает силы сцепления с внутренней поверхностью кристаллизатора и усадка её становится более-менее свободной. Деформация сжатия поверхностных слоев вызывает возникновение сжимающих напряжений <Ув= аЕв (точки B, D, F). Если температура внутренних слоев достаточно высокая, то напряжения сжатия, передаваемые с поверхностных слоев на внутренние (горячие), быстро релаксируются за счет вязкой и пластической деформации

Обсуждение результатов

1) рассмотрена осесимметричная двумерная задача о термонапряжениях. В итоге получена математическая модель термонапряженного состояния слитка. В модели нашли отражение все виды деформаций: упругая, вязкая, пластическая;

2) система дифференциальных уравнений решалась конечно-разностным методом с использованием компьютера;

3) расчеты термонапряжений в слитке показывают на наличие больших растягивающих напряжений в осевой зоне слитка. С увеличением диаметра электрода уменьшается локализация деформации в осевой зоне и, значит, уменьшается вероятность образования трещин. В появившихся же трещинах улучшаются возможности подпитки для процесса "самозалечивания" трещин;

4) с увеличением диаметра электрода ухудшаются условия для срыва слитка с контактного пояска. Значит, меньше будет задиров и надрывов на поверхности слитка;

5) в случае зависания слитка на контактном пояске возникают продольные растягивающие напряжения за счет веса слитка, в 1,5 раза превышающие продольные термонапряжения. При развитии пластической деформации в перешейке контактного пояска должно наблюдаться явление упрочнения металла корочки.

Литература

1. Исследование температурных полей при вакуумном дуговом переплаве/ Г.А. Хасин, М.С. Бугаев, В.И. Потапов и др.// Известия вузов. Черная металлургия. — 1981. — № 4. — С. 56-59.

2. Математическое моделирование термонапряженного слитка/ В.В. Белоусов, Л.И. Круптман, Ф.В. Недопекин и др.// Теоретическая и прикладная механика. — Киев: Техника, 1987. — Вып. 18. — С. 123-127.

3. Недопекин Ф.В., Белоусов В.В., Солонар А.Е. Математическое моделирование термоупругих напряжений в затвердевающем стальном слитке //Промышленная теплотехника, 1988. — Т. 10, № 1. — С. 48-52.

4. Потапов В.И. Математическое моделирование теплофизических процессов при вакуумном дуговом переплаве// Материалы 2 Всероссийской ФАМ 2003 конференции. — Красноярск: ИВМ СО АН РАН. — С. 130-135.

5. Моделирование и оптимизация режимов затвердевания и напряженного состояния непрерывного слитка/ Клявинь Я.Я., Позняк А.А., Якубович Е.А.// Гидромех. и тепломассообмен при получ. матер. — М.: 1990. — С. 178-191.

6. Адамов Е.В. Моделирование процесса конечного упругопластического деформирования цилиндрического тела в неоднородном температурном поле// Материалы III Международной конференции «Математическое моделирование в образовании, науке, производстве». — Тирасполь: 2003. — С. 353-354.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.