CC BY
13Математическое моделирование термонапряженного состояния наплавляемого слитка вакуумного дугового переплава
Потапов В.И. ([email protected]), Бугаев М.С.
Южно-Уральский Государственный университет филиал в г. Златоусте
Получение слитков металла с заданными технологическими свойствами — основная задача вакуумного дугового переплава. В работах [1, 4] разработана тепловая теория формирования слитка ВДП. Однако в рамках одной тепловой теории формирования слитка не удается установить связи между некоторыми свойствами слитка, такими как усадочные явления.
В работах [2, 3, 5] рассмотрены задачи математического моделирования термонапряженного состояния слитка кристаллизирующегося в изложнице и непрерывного слитка. Условия формирования слитка в изложнице и при непрерывной разливке отличаются от условий формирования слитка в печи вакуумного дугового переплава (ВДП).
В данной работе ставится задача по созданию математической модели термонапряженного состояния слитка ВДП в процессе его наплавления с целью улучшения и прогнозирования качества слитка. Считая известным температурное поле слитка, математическая модель должна содержать уравнения связи между напряжениями, температурой, упругими, вязкими и пластическими деформациями в любой точке слитка, в любой момент времени. В виду сложности напряженно-деформированного состояния слитка (упругое, вязкое, пластическое) связь между напряжениями и деформациями можно установить в тензорном виде. Получение таких уравнений и их решение в общем виде приводят к непреодалимым трудностям. Поэтому в данной работе в соответствии с конкретным процессом формирования слитка, приняты частные модели линейно-упругой, линейно-вязкой и малых упругопластических деформаций. Рассматриваются в данной работе динамические осесимметричные процессы в большом интервале температур с учетом различных видов деформаций, имеющих место при формировании слитка.
Итак, в математической модели введем тензор напряжения и получим связь (условие равновесия) между его компонентами. Введем тензор деформации и получим связь между его компонентами (уравнения совместности). И, наконец, установим связи (определяющие уравнения) между компонентами тензора напряжений и соответствующими компонентами тензора деформации с учетом свойств упругости, вязкости и пластичности, в предположении изотропности изучаемой среды.
Математическую модель напряженно-деформированного состояния слитка ВДП можно записать в виде трёх подсистем дифференциальных уравнений (1), а
именно, уравнений равновесия, уравнений совместности деформаций и определяющих уравнений упруговязкопластической среды.
I'к —
$1к
1
+-Sгk
2п
2 g
т 0 — 3к ( -аАТ)
дТг + Тг -Тв дтг
дг дт
г
Г2 . ь Г2 . да 2
+
дг
а 2 ^ 2 8г . д 8г
дх дев дг
дх
дх = 0
0
уравнение термонапряжений упруговязкой среды
уравнение равновесия
(1)
д 2УГ
дГ2 дгдг
— - \ -ев]
уравнение совместности деформаций
Уравнения (1) дополнены начальными условиями:
Тк = 0 при г = 0
и граничными условиями:
Т = 0, тг = 0 при г = Я для любых г, г, тк = 0, ( = 0 при х = 0, х = Н, для
любых г, г. В уравнениях (1) приняты обозначения:
— екк - ео81к — компоненты девиаторов деформаций; ек — компоненты
тензора деформаций; ео — (ег + ев+ег )/3; 8 ¡к —
1 при 1 — к 0 при 1 Ф к
Т —
температура; — а1к - ао81к — компоненты девиаторов напряжений; Т 1к — компоненты тензора напряжений; 2g — то /уо; то, уо — интенсивность касательных напряжений, деформаций сдвига; п — коэффициент вязкости; к — (3Л + 2G )/3 — модуль объемного сжатия; G — упругий модуль сдвига; а — коэффициент линейного температурного расширения среды; тгх — касательные
ди дw
напряжения; Угг —
+ ■
дх дг
и, v, w
компоненты вектора перемещения.
Преобразуем систему (1). Для этого в определяющих уравнениях (два первых) выразим напряжение через деформации, получим
д екк +
дг
3к
--1
2 g
1 д д д 2 дх дг дг
—аАТ 2 g
_ , тт дщ дщ
Введем потенциальную функцию щ, что и — , УУ — —;—, тогда
дг
дг
дг2
д
£ 2 =
дz2
£е
1 д V . 2 д V
— у = 25 / г2
Г
дг
дгд2'
£о =
д2 V + 1 ду + д2у
дг
Подставим (3) в (2), получим
V 2у = а№ Решение уравнения в виде
1
V Л---V + V
т ГГ т г т 2.
г дг д2 9к
1 2
= 3 ^
4 я + 3к 9к
аАТ.
(4)
(5)
г 4 я + 3к
проведено конечно-разностным методом. В качестве разностной сетки взята совокупность точек пересечения прямых: 2 = шк, г = иАг, г = пАг в области Э, где ш = 0, 1, ..., Е ; и = 1, 2, ..., К ; п = 0, 1, ...; к > 0, Аг >0, Аг >0. После дискретизации уравнения (5) получим
'1 1 ^ ( 1 1 ^ ^и + Уm-l,u) 9каАТ
Vш, и = V
ш,и+1
Аг 2гАг
ш,и—1
Аг2 2гАг
+ ■
к2
(4 Я + 3к)'
(6)
Если считать значения уш±1, и±1 известными, то формула (6) позволяет рассчитать и значения уш,и. Для проведения вычислений по (6) для ш = 1, 2, ..., Е - 1; и = 2, ..., к - 1 должны заранее иметь значения функции у при ш = 0, ш = ЕП, и = 1, и = к, т.е. у0,П; уЕ,П и уш, к- Эти значения подбираются таким образом, чтобы на границах области Э удовлетворялись граничные условия:
Оо,и = 0; То,и = 0; аР,и = 0; тР,и = 0.
Так как при вычислении уш, и по формуле (6) значения уш±1, и±1 также неизвестны, то формула (6) для всех ш, и применяется многократно до тех пор, пока значения функции у для одних и тех же ш, и не совпадут с требуемой точностью. Т.е. фактически уравнение (5), а значит, и (6) решаются итерационным методом.
Для нахождения компонентов напряжения используем разностный аналог
Я
п+1 &ш,и
= / • 2 яА£ +
СГп
1
-Аг
П
(7)
В каждый момент времени г = пАг вычисляются функции у по формуле (6), компоненты деформации — по (3), компоненты напряжений — по (7). При переходе к следующему моменту времени г = (п + 1)Аг при расчетах по указанным формулам используются соответствующие значения, найденные в предыдущий момент времени. Эта схема алгоритма представлена на рис. 1 является частью большой блок-схемы, включающей и блок-схему, где решалась тепловая задача формирования слитка ВДП [4].
Рис. 1. Блок-схема алгоритма
На рис. 2 показано распределение интенсивности напряжений по радиусу r слитка в различных сечениях по высоте для момента, равного шести часам наплавления слитка. Из рисунка видно, что при достаточном охлаждении (кривая I) в слитке возникают большие растягивающие напряжения в его центре (r/R = 0). Это можно объяснить тем, что поверхность слитка затвердевает почти мгновенно и, охлаждаясь, в дальнейшем приобретает достаточную жесткость. За счет усадки корочка преодолевает силы сцепления с внутренней поверхностью кристаллизатора и усадка её становится более-менее свободной. Деформация сжатия поверхностных слоев вызывает возникновение сжимающих напряжений <Ув= аЕв (точки B, D, F). Если температура внутренних слоев достаточно высокая, то напряжения сжатия, передаваемые с поверхностных слоев на внутренние (горячие), быстро релаксируются за счет вязкой и пластической деформации
Обсуждение результатов
1) рассмотрена осесимметричная двумерная задача о термонапряжениях. В итоге получена математическая модель термонапряженного состояния слитка. В модели нашли отражение все виды деформаций: упругая, вязкая, пластическая;
2) система дифференциальных уравнений решалась конечно-разностным методом с использованием компьютера;
3) расчеты термонапряжений в слитке показывают на наличие больших растягивающих напряжений в осевой зоне слитка. С увеличением диаметра электрода уменьшается локализация деформации в осевой зоне и, значит, уменьшается вероятность образования трещин. В появившихся же трещинах улучшаются возможности подпитки для процесса "самозалечивания" трещин;
4) с увеличением диаметра электрода ухудшаются условия для срыва слитка с контактного пояска. Значит, меньше будет задиров и надрывов на поверхности слитка;
5) в случае зависания слитка на контактном пояске возникают продольные растягивающие напряжения за счет веса слитка, в 1,5 раза превышающие продольные термонапряжения. При развитии пластической деформации в перешейке контактного пояска должно наблюдаться явление упрочнения металла корочки.
Литература
1. Исследование температурных полей при вакуумном дуговом переплаве/ Г.А. Хасин, М.С. Бугаев, В.И. Потапов и др.// Известия вузов. Черная металлургия. — 1981. — № 4. — С. 56-59.
2. Математическое моделирование термонапряженного слитка/ В.В. Белоусов, Л.И. Круптман, Ф.В. Недопекин и др.// Теоретическая и прикладная механика. — Киев: Техника, 1987. — Вып. 18. — С. 123-127.
3. Недопекин Ф.В., Белоусов В.В., Солонар А.Е. Математическое моделирование термоупругих напряжений в затвердевающем стальном слитке //Промышленная теплотехника, 1988. — Т. 10, № 1. — С. 48-52.
4. Потапов В.И. Математическое моделирование теплофизических процессов при вакуумном дуговом переплаве// Материалы 2 Всероссийской ФАМ 2003 конференции. — Красноярск: ИВМ СО АН РАН. — С. 130-135.
5. Моделирование и оптимизация режимов затвердевания и напряженного состояния непрерывного слитка/ Клявинь Я.Я., Позняк А.А., Якубович Е.А.// Гидромех. и тепломассообмен при получ. матер. — М.: 1990. — С. 178-191.
6. Адамов Е.В. Моделирование процесса конечного упругопластического деформирования цилиндрического тела в неоднородном температурном поле// Материалы III Международной конференции «Математическое моделирование в образовании, науке, производстве». — Тирасполь: 2003. — С. 353-354.
