УДК 621.43
Н. Д. Чайнов, В. В. Сусликов
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА ОБКАТКИ ГАЛТЕЛИ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Представлены основные соотношения метода конечных элементов в инкрементальной постановке расчета физически нелинейной задачи определения напряженно-деформированного состояния заготовки коленчатого вала в процессе обкатки галтелей. Остаточные напряжения в заготовке устанавливают с помощью упруго-пластической модели материала. Проведено сравнение результатов расчета напряженно-деформированного состояния с экспериментальными данными.
E-mail: v.suslikov@gmail.com
Ключевые слова: коленчатый вал, обкатка, метод конечных элементов, остаточные напряжения.
Коленчатый вал должен обладать высоким запасом циклической прочности для безотказной работы в период всего срока службы двигателя. Как правило, поломки коленчатых валов носят усталостный характер: в местах наибольшей концентрации напряжений начинается развитие усталостных трещин. Такими местами являются края отверстий для смазывания в шейках и галтели сопряжения щек с шейками (наиболее вероятное место).
В процессе изготовления коленчатого вала галтели для повышения выносливости подвергают поверхностному пластическому деформированию (ППД). К этому типу обработки относят обдувку дробью, чеканку, обкатку и др. Наиболее эффективной для обработки галтелей коленчатых валов является обкатка роликом или шариком.
Эффект от обкатки проявляется в уменьшении шероховатости поверхности заготовки (ликвидация поверхностных микронеровностей и формирование сглаженного микропрофиля), упрочнении в зоне контактной деформации и создании поля благоприятных остаточных напряжений. Остаточная напряженность поверхностно-деформированных деталей является главной причиной повышения их усталостной прочности [1].
Во время работы в обкатанных деталях возникающие напряжения растяжения от внешней нагрузки суммируются с остаточными напряжениями сжатия, при этом опасные растягивающие напряжения уменьшаются. В процессе обкатки поверхность заготовки коленчатого вала претерпевает пластическую деформацию, поэтому задача определения напряженно-деформированного состояния является физически нелинейной как следствие нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями в пластической области работы материала.
Задача определения напряженно-деформированного состояния коленчатого вала в процессе обкатки может быть решена на основе тех же вариационных принципов, что и задачи механики упругого тела. Если найдено решение линейной задачи, то можно получить решение нелинейной задачи с помощью некоторого итерационного процесса, на каждом шаге которого материальные константы выбирают так, чтобы они удовлетворяли определяющим уравнениям [2].
Хотя процесс формоизменения заготовки коленчатого вала при обработке ППД сопровождается деформациями, значительно превышающими возможные упругие деформации, в данном случае учитывать последние крайне необходимо. Связано это с тем, что после завершения ППД (снятие усилия обкатки) в заготовке коленчатого вала сохраняются самоуравновешенные остаточные напряжения, механизм образования которых определяется законом о разгрузке. Из изложенного ясно, что модель материала заготовки коленчатого вала должна быть упруго-пластической.
Зависимость компонентов деформаций от компонентов напряжений выражается законом Гука, который справедлив до образования пластических деформаций:
S = E[(1 + ~
где / и Е — коэффициент Пуассона и модуль упругости первого
рода; 8 ^ — символ Кронекера.
Пластические деформации в упрочняемом материале возникают, когда компоненты напряжений удовлетворяют условию пластичности:
Р С, X) = 0, (1)
где х — параметр упрочнения [3].
Условие пластичности принимают в виде зависимости Максвелла — Хуберта — Мизеса, устанавливающей связь между интенсивностью напряжений в точке с и напряжением текучести <ст :
С =с , Т X являющейся функцией накопленных пластических деформаций
= Л,
интенсивности скорости деформаций ¿г в данный момент и температуры т.
Связь приращений пластических деформаций с условием пластичности устанавливает ассоциированный закон течения
dF
dap _ , (2)
да,
где Я — неопределенный коэффициент пропорциональности.
Этот закон трактуют как требование ортогональности вектора приращений пластических деформаций поверхности пластичности в и-мерном пространстве напряжений. Изменение деформации при бесконечно малом приращении напряжения может быть представлено в виде суммы упругой и пластической частей, т. е.
dstJ = dse + dep. (3)
Связь между скоростями точки и компонентами тензора скоростей деформаций задают в виде соотношений Коши для малых деформаций:
. _ 1 sü _ 2
r_dvL+дрл KdxJ дх' J
где — компоненты вектора скорости смещения точки по осям координат дх^ (/, у = 1, 2, 3).
Также должно быть выполнено условие несжимаемости
ёу = 0. (4)
Функционал баланса мощности внутренних и внешних сил включает в себя скорость рассеяния энергии деформации и мощность, развиваемую действующими на заготовку внешними силами £ на скоростях смещений [4]:
Ф - ¡а^У -1- ¡а^У -1. (5)
У 5 У 5
В соответствии с вариационным принципом из всех кинематически возможных полей скоростей, отвечающих условию несжимаемости, истинное поле скоростей сообщает абсолютный минимум функционалу Ф:
5Ф = 0.
Вследствие того что решение вариационного уравнения должно удовлетворять условию несжимаемости и граничным условиям, необходимо использовать специальные процедуры минимизации функционала совместно с упомянутыми условиями.
В применяемом для расчета программном комплексе ВЕБОКМ-3П используется подход к учету данного условия, основанный на методе дополнительных функций (пенальти). Строится модифицированный функционал вида
Ф = Ф +
\ 2 KS dV,
где К — большая положительная константа (штраф), используемая для приближенного учета условия несжимаемости в элементе. Среднее напряжение в этом случае можно найти так:
с = Кёу,
где ёу — малое (но не равное нулю вследствие приближенного выполнения условия несжимаемости) изменение объема в точке.
Для минимизации функционала (4) на всей области определения применяют метод конечных элементов (МКЭ) с шаговой концепцией [5].
Тогда соотношение (3) запишем в виде
d{s} = [ D]-1 d{a} +
dF д{а}'
Л,
(6)
где — вектор-столбец деформаций элемента; [Б] — матрица
упругости; Л{с} — вектор-столбец напряжений элемента [2]. Дифференцируя равенство (1), получаем
dF
.dR
d{a} - АЛ = 0,
(7)
где введено обозначение
dF , 1
А =--d у — .
дх Л
Соотношения (6) и (7) можно записать в симметричной матричной форме:
ds1 ds2
[ D]-
dF
дс1 dF да2
dF dF
дст1 do2
- А
( d^l der,
v Л J
Неопределенную постоянную X можно исключить, избегая при этом умножения и деления на величину а, которая в общем случае может быть равна нулю. В результате получаем выражение, в явном виде определяющее изменение напряжений через изменение деформаций:
d{R} = [ Dtpd{s}.
Здесь [D]; = [D]-{d}j—-jj—-j [D]
dF j j dF До} J |д{о}
А + I [D]J dF
_д{о}К Чд{о}^
— упруго-пластическая матрица. Она симметрична и имеет смысл независимо от того, равна ли нулю величина А.
В упрочняемом материале % определяют как пластическую часть работы при пластическом деформировании, т. е.
й % = {с}т ё{еу. Используя закон течения (2), получаем
й% = Х{с}т дС. (8)
д{с}
Очевидно, что X можно исключить из (8):
д^ д^ А = -—{с}т
д% д{с}
Связь между скоростями точек и скоростями деформации имеет следующий вид:
{£} = [ £]{£},
где [В] — матрица деформации; {£} — вектор-столбец скоростей точек. Уравнение (5) для элемента в матричной форме принимает вид
4лг = [[В]т[Б4[В]йУ{¿е} - Г[N]т{/й, (9)
ё{ё } уе
где N — матрица формы элемента.
Суммирование уравнений (9) по всем элементам приводит к системе нелинейных алгебраических уравнений равновесия относительно неизвестных узловых скоростей точек
[ К ({*})] {¿} -{^({¿})} = 0,
где
К({<}) ^[В]т [Б]ер[В— матрица жесткости системы;
вектор узловых внешних сил системы.
Нелинейность задачи ведет к нарушению принципа суперпозиции и ее решение существенным образом зависит от истории (пути) нагружения. В случае сложного непропорционального нагружения решение может быть получено лишь разбиением пути нагружения на малые интервалы и суммированием найденных на каждом интервале решений.
Для реализации шаговой концепции МКЭ следует сформулировать в инкрементальной форме, когда разрешающие уравнения записывают не для конечных величин узловых внешних воздействий, а для их приращений в пределах каждого шага. При этом процесс деформирования тела удобно представить как процесс движения его точек, а решение задачи отыскивать, последовательно переходя от шага к шагу, в виде скорости узловых точек {<} в момент времени
* + А*, т. е. {<} = {<} + {А<}. При этом вектор решения на каждом шаге {А<} должен быть найден из системы уравнений равновесия МКЭ, но записанной в инкрементальной форме [5]:
}) = [К ({<})] {А<}-{М({<})} = 0, (10)
где [ К ({< }) ] — матрица жесткости системы, являющаяся функцией
ее состояния в момент времени {А<} — вектор-столбец неизвестных значений приращений узловых скоростей за время А*;
{М({<})} — вектор приращений узловых внешних сил системы,
зависящий от {< } вследствие температурных деформаций.
Процедура шагового метода представлена графически на рис. 1. При решении задачи приходится иметь дело с конечными временными интервалами, что, как видно на рис. 1, ведет к накоплению погрешности приближенного решения от точного. Для устранения этого недостатка на каждом временном шаге используется итерационный алгоритм Ньютона — Рафсона (рис. 2).
Допустим, что известно решение уравнения (10) {А<}. Тогда вариация (10) из положения равновесия по {<(А<)} будет иметь вид
< ({<}) = <([ К ({<})] {А<} - {АЯ({<})}) = 0.
За "нулевое" приближение принимают упругое решение для физически нелинейной задачи.
1 1 |д<5| V >
Рис. 1. Шаговый метод:
Е — точное решение
Рис. 2. Шагово-итерационный метод:
Е — точное решение
Пусть вектор-столбец {А< *)} есть *-е приближение к корню уравнения
Е ({А5}) = [К ({<}) ]{А<}-{АЯ({< })} = 0. (11)
Тогда поправка к приближенному решению {А<*)}
{А(А<)(*+1)} = -[ К ({А<*)}) ]-1 Е '({А<( *)}),
где Е '({А<(*)}) — уточненное значение функции с учетом зависимости {АЯ({< })}.
Отсюда (* + 1)-е приближение к корню уравнения (11)
{(А<)(*+1)} = {(А<)(*)} + {А(А<)(*+1)}, * = 0, 1, 2, ...
По существу, Е '({А<*)}) является неуравновешенным вектор-
столбцом нагрузки {ЛК({<})} (невязкой сил).
Процесс вычислений заканчивается, когда достигнута заданная точность решения в, т. е. при выполнении условия для невязки скоростей:
||<(а5)|| - £, (12)
где ||<(а<)|| = ^{(АЯ)} {<(А5)}{А<т {а< — евклидова норма.
Помимо невязки скорости критерием сходимости в БЕБОКМ-ЗБ служит невязка сил, рассчитываемая аналогично (12) с заменой невязки скоростей на невязку сил.
Как уже отмечалось, данный алгоритм решения реализован в специализированном инженерном программном комплексе БЕБОЯМ-ЗБ, предназначенном для анализа методом МКЭ в трехмерной постановке процессов обработки металлов давлением, термической и механической обработок. БЕБОЯМ-ЗБ позволяет проверить, отработать и оптимизировать технологические процессы.
Конечно-элементная модель для процесса обкатки галтелей коленчатого вала роликами представлена на рис. 3. Участок заготовки вала с галтелью обкатывают три ролика, расположенные равномерно по окружности. Ролики создают усилие обкатки, а заготовке сообщается вращательное движение через центры.
Рис. 3. Конечно-элементная модель для процесса обкатки галтелей заготовки коленчатого вала
Модель заготовки состоит из 95 000 линейных тетраэдров со сгущением в районе галтели, где деформации наиболее значительны, а также в месте контакта заготовки с центрами. Модель материала заготовки упруго-пластическая с изотропным упрочнением.
Каждый ролик состоит из 50 000 линейных тетраэдров. Модель материала ролика также упруго-пластическая с изотропным упрочнением.
На рис. 4 показано распределение окружных остаточных напряжений по глубине заготовки коленчатого вала.
Остаточные напряжения сжатия достигают максимального значения у поверхности заготовки. С увеличением глубины эти напряжения уменьшаются, постепенно переходя в растягивающие. Остаточные напряжения существуют в ненагруженной детали и являются самоуравновешенными.
-jpg —224 —200 -100 <£ МПаГ
Рис. 4. Распределение окружных остаточных напряжений о по глубине Ь заготовки коленчатого вала
_10
_20
|JÜ
I 40
1 | 50
100
Как уже отмечалось, эффект от созданного поля остаточных сжимающих напряжений заключается в повышении усталостной прочности галтели на изгиб. Прирост предела выносливости может доходить до 80 %, что является преимуществом этого метода повышения усталостной прочности по сравнению с другими.
Также был проведен расчет процесса обкатки гладкого вала тремя роликами. Характер распределения окружных остаточных напряжений можно сравнить с результатами экспериментов [6] (рис. 5). Несмотря на разные параметры процессов обкатки в качественном отношении их можно считать приемлемыми. Для более строгих выводов необходимо провести уточненные расчеты и сравнить результаты с опытными данными применительно к рассматриваемому коленчатому валу.
<7, МПа -100
-50
<7, МПа 50 75 -400 -200
50
1 1 _0.3
L7
_ 0.9\.
—1-2 /
U5 /
Ч I _0.5
1
сг ^
_2
2,5
L, мм
L, мм
б
Рис. 5. Распределение остаточных напряжений о по глубине Ь заготовки гладкого вала:
а — расчет БЕРОИМ-ЗД; б — экспериментальные данные [5]
а
Возможность численного решения задачи в упруго-пластической постановке является важным преимуществом при дальнейшей оптимизации параметров процесса обкатки галтелей вала. Это обстоятельство в перспективе позволит сократить количество дорогостоящих экспериментов, что является наиболее актуальным сегодня.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кудрявцев И. В. Внутренние напряжения как резерв прочности в машиностроении. М.: Машгиз, 1951. 240 с.
2. Зенкевич О. К. Метод конечных элементов в технике: пер. с англ. под ред. Б.Е. Победри. М.: Мир, 1975. 542 с.
3. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. 400 с.
4. Штамповка с кручением / Н.А. Шестаков, А.В. Власов, В.А. Демин, В.Н. Субич. М.: МГИУ, 2008. 389 с.
5. Клованич С. Ф. МКЭ в нелинейных задачах инженерной механики. Запорожье: Изд-во журнала "Свет геотехники", 2009. 400 с.
6. Несущая способность и расчет деталей машин на прочность: руководство и справ. пособие / под ред. С.В. Серенсена. М.: Машиностроение, 1975. 488 с.
Статья поступила в редакцию 26.09.2012