Математическое моделирование технологического процесса обкатки галтели коленчатого вала Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.43

Н. Д. Чайнов, В. В. Сусликов

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА ОБКАТКИ ГАЛТЕЛИ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА

Представлены основные соотношения метода конечных элементов в инкрементальной постановке расчета физически нелинейной задачи определения напряженно-деформированного состояния заготовки коленчатого вала в процессе обкатки галтелей. Остаточные напряжения в заготовке устанавливают с помощью упруго-пластической модели материала. Проведено сравнение результатов расчета напряженно-деформированного состояния с экспериментальными данными.

E-mail: v.suslikov@gmail.com

Ключевые слова: коленчатый вал, обкатка, метод конечных элементов, остаточные напряжения.

Коленчатый вал должен обладать высоким запасом циклической прочности для безотказной работы в период всего срока службы двигателя. Как правило, поломки коленчатых валов носят усталостный характер: в местах наибольшей концентрации напряжений начинается развитие усталостных трещин. Такими местами являются края отверстий для смазывания в шейках и галтели сопряжения щек с шейками (наиболее вероятное место).

В процессе изготовления коленчатого вала галтели для повышения выносливости подвергают поверхностному пластическому деформированию (ППД). К этому типу обработки относят обдувку дробью, чеканку, обкатку и др. Наиболее эффективной для обработки галтелей коленчатых валов является обкатка роликом или шариком.

Эффект от обкатки проявляется в уменьшении шероховатости поверхности заготовки (ликвидация поверхностных микронеровностей и формирование сглаженного микропрофиля), упрочнении в зоне контактной деформации и создании поля благоприятных остаточных напряжений. Остаточная напряженность поверхностно-деформированных деталей является главной причиной повышения их усталостной прочности [1].

Во время работы в обкатанных деталях возникающие напряжения растяжения от внешней нагрузки суммируются с остаточными напряжениями сжатия, при этом опасные растягивающие напряжения уменьшаются. В процессе обкатки поверхность заготовки коленчатого вала претерпевает пластическую деформацию, поэтому задача определения напряженно-деформированного состояния является физически нелинейной как следствие нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями в пластической области работы материала.

Задача определения напряженно-деформированного состояния коленчатого вала в процессе обкатки может быть решена на основе тех же вариационных принципов, что и задачи механики упругого тела. Если найдено решение линейной задачи, то можно получить решение нелинейной задачи с помощью некоторого итерационного процесса, на каждом шаге которого материальные константы выбирают так, чтобы они удовлетворяли определяющим уравнениям [2].

Хотя процесс формоизменения заготовки коленчатого вала при обработке ППД сопровождается деформациями, значительно превышающими возможные упругие деформации, в данном случае учитывать последние крайне необходимо. Связано это с тем, что после завершения ППД (снятие усилия обкатки) в заготовке коленчатого вала сохраняются самоуравновешенные остаточные напряжения, механизм образования которых определяется законом о разгрузке. Из изложенного ясно, что модель материала заготовки коленчатого вала должна быть упруго-пластической.

Зависимость компонентов деформаций от компонентов напряжений выражается законом Гука, который справедлив до образования пластических деформаций:

S = E[(1 + ~

где / и Е — коэффициент Пуассона и модуль упругости первого

рода; 8 ^ — символ Кронекера.

Пластические деформации в упрочняемом материале возникают, когда компоненты напряжений удовлетворяют условию пластичности:

Р С, X) = 0, (1)

где х — параметр упрочнения [3].

Условие пластичности принимают в виде зависимости Максвелла — Хуберта — Мизеса, устанавливающей связь между интенсивностью напряжений в точке с и напряжением текучести <ст :

С =с , Т X являющейся функцией накопленных пластических деформаций

= Л,

интенсивности скорости деформаций ¿г в данный момент и температуры т.

Связь приращений пластических деформаций с условием пластичности устанавливает ассоциированный закон течения

dF

dap _ , (2)

да,

где Я — неопределенный коэффициент пропорциональности.

Этот закон трактуют как требование ортогональности вектора приращений пластических деформаций поверхности пластичности в и-мерном пространстве напряжений. Изменение деформации при бесконечно малом приращении напряжения может быть представлено в виде суммы упругой и пластической частей, т. е.

dstJ = dse + dep. (3)

Связь между скоростями точки и компонентами тензора скоростей деформаций задают в виде соотношений Коши для малых деформаций:

. _ 1 sü _ 2

r_dvL+дрл KdxJ дх' J

где — компоненты вектора скорости смещения точки по осям координат дх^ (/, у = 1, 2, 3).

Также должно быть выполнено условие несжимаемости

ёу = 0. (4)

Функционал баланса мощности внутренних и внешних сил включает в себя скорость рассеяния энергии деформации и мощность, развиваемую действующими на заготовку внешними силами £ на скоростях смещений [4]:

Ф - ¡а^У -1- ¡а^У -1. (5)

У 5 У 5

В соответствии с вариационным принципом из всех кинематически возможных полей скоростей, отвечающих условию несжимаемости, истинное поле скоростей сообщает абсолютный минимум функционалу Ф:

5Ф = 0.

Вследствие того что решение вариационного уравнения должно удовлетворять условию несжимаемости и граничным условиям, необходимо использовать специальные процедуры минимизации функционала совместно с упомянутыми условиями.

В применяемом для расчета программном комплексе ВЕБОКМ-3П используется подход к учету данного условия, основанный на методе дополнительных функций (пенальти). Строится модифицированный функционал вида

Ф = Ф +

\ 2 KS dV,

где К — большая положительная константа (штраф), используемая для приближенного учета условия несжимаемости в элементе. Среднее напряжение в этом случае можно найти так:

с = Кёу,

где ёу — малое (но не равное нулю вследствие приближенного выполнения условия несжимаемости) изменение объема в точке.

Для минимизации функционала (4) на всей области определения применяют метод конечных элементов (МКЭ) с шаговой концепцией [5].

Тогда соотношение (3) запишем в виде

d{s} = [ D]-1 d{a} +

dF д{а}'

Л,

(6)

где — вектор-столбец деформаций элемента; [Б] — матрица

упругости; Л{с} — вектор-столбец напряжений элемента [2]. Дифференцируя равенство (1), получаем

dF

.dR

d{a} - АЛ = 0,

(7)

где введено обозначение

dF , 1

А =--d у — .

дх Л

Соотношения (6) и (7) можно записать в симметричной матричной форме:

ds1 ds2

[ D]-

dF

дс1 dF да2

dF dF

дст1 do2

- А

( d^l der,

v Л J

Неопределенную постоянную X можно исключить, избегая при этом умножения и деления на величину а, которая в общем случае может быть равна нулю. В результате получаем выражение, в явном виде определяющее изменение напряжений через изменение деформаций:

d{R} = [ Dtpd{s}.

Здесь [D]; = [D]-{d}j—-jj—-j [D]

dF j j dF До} J |д{о}

А + I [D]J dF

_д{о}К Чд{о}^

— упруго-пластическая матрица. Она симметрична и имеет смысл независимо от того, равна ли нулю величина А.

В упрочняемом материале % определяют как пластическую часть работы при пластическом деформировании, т. е.

й % = {с}т ё{еу. Используя закон течения (2), получаем

й% = Х{с}т дС. (8)

д{с}

Очевидно, что X можно исключить из (8):

д^ д^ А = -—{с}т

д% д{с}

Связь между скоростями точек и скоростями деформации имеет следующий вид:

{£} = [ £]{£},

где [В] — матрица деформации; {£} — вектор-столбец скоростей точек. Уравнение (5) для элемента в матричной форме принимает вид

4лг = [[В]т[Б4[В]йУ{¿е} - Г[N]т{/й, (9)

ё{ё } уе

где N — матрица формы элемента.

Суммирование уравнений (9) по всем элементам приводит к системе нелинейных алгебраических уравнений равновесия относительно неизвестных узловых скоростей точек

[ К ({*})] {¿} -{^({¿})} = 0,

где

К({<}) ^[В]т [Б]ер[В— матрица жесткости системы;

вектор узловых внешних сил системы.

Нелинейность задачи ведет к нарушению принципа суперпозиции и ее решение существенным образом зависит от истории (пути) нагружения. В случае сложного непропорционального нагружения решение может быть получено лишь разбиением пути нагружения на малые интервалы и суммированием найденных на каждом интервале решений.

Для реализации шаговой концепции МКЭ следует сформулировать в инкрементальной форме, когда разрешающие уравнения записывают не для конечных величин узловых внешних воздействий, а для их приращений в пределах каждого шага. При этом процесс деформирования тела удобно представить как процесс движения его точек, а решение задачи отыскивать, последовательно переходя от шага к шагу, в виде скорости узловых точек {<} в момент времени

* + А*, т. е. {<} = {<} + {А<}. При этом вектор решения на каждом шаге {А<} должен быть найден из системы уравнений равновесия МКЭ, но записанной в инкрементальной форме [5]:

}) = [К ({<})] {А<}-{М({<})} = 0, (10)

где [ К ({< }) ] — матрица жесткости системы, являющаяся функцией

ее состояния в момент времени {А<} — вектор-столбец неизвестных значений приращений узловых скоростей за время А*;

{М({<})} — вектор приращений узловых внешних сил системы,

зависящий от {< } вследствие температурных деформаций.

Процедура шагового метода представлена графически на рис. 1. При решении задачи приходится иметь дело с конечными временными интервалами, что, как видно на рис. 1, ведет к накоплению погрешности приближенного решения от точного. Для устранения этого недостатка на каждом временном шаге используется итерационный алгоритм Ньютона — Рафсона (рис. 2).

Допустим, что известно решение уравнения (10) {А<}. Тогда вариация (10) из положения равновесия по {<(А<)} будет иметь вид

< ({<}) = <([ К ({<})] {А<} - {АЯ({<})}) = 0.

За "нулевое" приближение принимают упругое решение для физически нелинейной задачи.

1 1 |д<5| V >

Рис. 1. Шаговый метод:

Е — точное решение

Рис. 2. Шагово-итерационный метод:

Е — точное решение

Пусть вектор-столбец {А< *)} есть *-е приближение к корню уравнения

Е ({А5}) = [К ({<}) ]{А<}-{АЯ({< })} = 0. (11)

Тогда поправка к приближенному решению {А<*)}

{А(А<)(*+1)} = -[ К ({А<*)}) ]-1 Е '({А<( *)}),

где Е '({А<(*)}) — уточненное значение функции с учетом зависимости {АЯ({< })}.

Отсюда (* + 1)-е приближение к корню уравнения (11)

{(А<)(*+1)} = {(А<)(*)} + {А(А<)(*+1)}, * = 0, 1, 2, ...

По существу, Е '({А<*)}) является неуравновешенным вектор-

столбцом нагрузки {ЛК({<})} (невязкой сил).

Процесс вычислений заканчивается, когда достигнута заданная точность решения в, т. е. при выполнении условия для невязки скоростей:

||<(а5)|| - £, (12)

где ||<(а<)|| = ^{(АЯ)} {<(А5)}{А<т {а< — евклидова норма.

Помимо невязки скорости критерием сходимости в БЕБОКМ-ЗБ служит невязка сил, рассчитываемая аналогично (12) с заменой невязки скоростей на невязку сил.

Как уже отмечалось, данный алгоритм решения реализован в специализированном инженерном программном комплексе БЕБОЯМ-ЗБ, предназначенном для анализа методом МКЭ в трехмерной постановке процессов обработки металлов давлением, термической и механической обработок. БЕБОЯМ-ЗБ позволяет проверить, отработать и оптимизировать технологические процессы.

Конечно-элементная модель для процесса обкатки галтелей коленчатого вала роликами представлена на рис. 3. Участок заготовки вала с галтелью обкатывают три ролика, расположенные равномерно по окружности. Ролики создают усилие обкатки, а заготовке сообщается вращательное движение через центры.

Рис. 3. Конечно-элементная модель для процесса обкатки галтелей заготовки коленчатого вала

Модель заготовки состоит из 95 000 линейных тетраэдров со сгущением в районе галтели, где деформации наиболее значительны, а также в месте контакта заготовки с центрами. Модель материала заготовки упруго-пластическая с изотропным упрочнением.

Каждый ролик состоит из 50 000 линейных тетраэдров. Модель материала ролика также упруго-пластическая с изотропным упрочнением.

На рис. 4 показано распределение окружных остаточных напряжений по глубине заготовки коленчатого вала.

Остаточные напряжения сжатия достигают максимального значения у поверхности заготовки. С увеличением глубины эти напряжения уменьшаются, постепенно переходя в растягивающие. Остаточные напряжения существуют в ненагруженной детали и являются самоуравновешенными.

-jpg —224 —200 -100 <£ МПаГ

Рис. 4. Распределение окружных остаточных напряжений о по глубине Ь заготовки коленчатого вала

_10

_20

|JÜ

I 40

1 | 50

100

Как уже отмечалось, эффект от созданного поля остаточных сжимающих напряжений заключается в повышении усталостной прочности галтели на изгиб. Прирост предела выносливости может доходить до 80 %, что является преимуществом этого метода повышения усталостной прочности по сравнению с другими.

Также был проведен расчет процесса обкатки гладкого вала тремя роликами. Характер распределения окружных остаточных напряжений можно сравнить с результатами экспериментов [6] (рис. 5). Несмотря на разные параметры процессов обкатки в качественном отношении их можно считать приемлемыми. Для более строгих выводов необходимо провести уточненные расчеты и сравнить результаты с опытными данными применительно к рассматриваемому коленчатому валу.

<7, МПа -100

-50

<7, МПа 50 75 -400 -200

50

1 1 _0.3

L7

_ 0.9\.

—1-2 /

U5 /

Ч I _0.5

1

сг ^

_2

2,5

L, мм

L, мм

б

Рис. 5. Распределение остаточных напряжений о по глубине Ь заготовки гладкого вала:

а — расчет БЕРОИМ-ЗД; б — экспериментальные данные [5]

а

Возможность численного решения задачи в упруго-пластической постановке является важным преимуществом при дальнейшей оптимизации параметров процесса обкатки галтелей вала. Это обстоятельство в перспективе позволит сократить количество дорогостоящих экспериментов, что является наиболее актуальным сегодня.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кудрявцев И. В. Внутренние напряжения как резерв прочности в машиностроении. М.: Машгиз, 1951. 240 с.

2. Зенкевич О. К. Метод конечных элементов в технике: пер. с англ. под ред. Б.Е. Победри. М.: Мир, 1975. 542 с.

3. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. 400 с.

4. Штамповка с кручением / Н.А. Шестаков, А.В. Власов, В.А. Демин, В.Н. Субич. М.: МГИУ, 2008. 389 с.

5. Клованич С. Ф. МКЭ в нелинейных задачах инженерной механики. Запорожье: Изд-во журнала "Свет геотехники", 2009. 400 с.

6. Несущая способность и расчет деталей машин на прочность: руководство и справ. пособие / под ред. С.В. Серенсена. М.: Машиностроение, 1975. 488 с.

Статья поступила в редакцию 26.09.2012