CC BY
37
УДК 692.48:51 ББК 38.442-04В631
Я. Криг, М. Вацка, Б. Петрашкова
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРОПИЛЬНОЙ КОНСТРУКЦИИ БАШНИ «ШТРАМБЕРСКАЯ ТРУБА»
J. Krieg, M. Vacka, B. Petraskova
MATHEMATICAL MODELING OF THE RAFTER CONSTRUCTION OF THE TOWER "STRAMBERK PIPE”
Приводится историческое и архитектурное описание башни «Штрамберская труба», которая является примером неразвертывающейся линейчатой поверхности, часто встречающейся в строительной практике. Рассматриваются понятия торсальной и регулярной прямой линейчатой поверхности, плоские сечения башни «Штрамберская труба». Проведен аналитический расчет длины стропил, их начальной и конечной точки, длины гребня. Приводится решение конструкции крыши.
Ключевые слова: башня «Штрамберская труба», развертывающиеся и неразвертывающие-ся линейчатые поверхности, направляющая кривая, торсальная прямая, регулярная прямая, гребень, стропило, мауэрлат, горизонтальный раскос, стропильная стяжка, прогон.
The historical and architectural description of the tower "Stramberk pipe", which is a sample of nondevelopable linear surface frequently used in the construction practice, is given. The concepts of torso and regular line of ruled surface, planar sections of the tower “Stramberk pipe” are considered.
The analytical calculation of the length of the rafters, their start and end points and the length of the ridge is made. The design of the roof construction is offered.
Key words: tower " Stramberk pipe", developable and nondevelopable linear surfaces, control curve, torso line, regular line, ridge, rafter, rafter plate, horizontal diagonal, rafter coupling, binding rafter.
Башня «Штрамберская труба» с точки зрения истории и архитектуры
Башня, называемая «Штрамберская труба», является частью замка в одноименном городе Штрамберк, находящемся в Моравско-Силезской области в Чешской Республике. Возникновение замка относится предположительно ко второй половине XII в. Историки считают, однако, что замок был построен в первой половине XIV в. моравским маркграфом Яном Генрихом (братом императора Карла IV), который в 1359 г. повысил замок в статусе до города (рис. 1). Замок был удобно расположен на скалистом мысе в седловине между Котоучем и Белым холмом (место нахождения: 450 м, 49°36'34'' с. ш., 18°07'00'' в. д.) [1].
Штрамберский замок (историческое название Страленберг или Стрмбрег) является одним из видов франконормандского замка с прямоугольной планировкой и главной башней со стороны северо-востока. Башня «Штрамберская труба» - это огромная готическая башня цилиндрического типа, построенная из карьерного камня. Ее высота - 35 м, внешний диаметр - 10 м. На протяжении веков замок принадлежал разным владельцам. Разрушение замка началось в 1523 г. и завершилось в 1783 г., когда фронтон развалился и здание замка в конечном итоге обветшало такз что остались только башня, части двора и стен. Спасение замка началось в 1899 г., когда его получил Клуб чешских туристов по рекомендации штрамберского врача Адольфа Грстки. Девятнадцатого октября 1902 г. началась реконструкция Штрамберского замка по проекту крупного чешского архитектора Камила Гильберта (рис. 2) [2].
Рис. 1. Предполагаемый средневековый вид замка [3]
Рис. 2. Предложение Камила Гильберта о восстановлении замка [4]
Тогда были отремонтированы стены, и башня получила высокую коническую крышу с формой искривленной поверхности (которая используется в архитектуре для подключения кругового карниза с горизонтальным коньком), покрытую кровельным гонтом. Строительство вел знаменитый моравский архитектор Фредерик Карлседр из Прибора. Верхний этаж башни окружен крытой деревянной дорожкой на каменных кронштейнах, доступной изнутри башни по деревянной лестнице. С 1903 г. и по сей день башня служит в качестве смотровой.
Башня «Штрамберская труба» с точки зрения математики
Башня является одним из видов неразвертывающихся поверхностей, использующихся в архитектуре, например, для подключения кругового выступа с горизонтальным хребтом кровли. Неразвертывающиеся линейчатые поверхности, как правило, вводятся с помощью трех пространственных кривых - направляющих кривых. Создавать образующую прямую поверхности, это значит найти на этих кривых по одной точке, чтобы они лежали на прямой. Башня «Штрамберская труба» имеет как направляющую кривую окружность, так и две скрещивающиеся прямые, параллельные плоскости окружности. В случае моравского Штрамберка обе скрещивающиеся прямые являются взаимно перпендикулярными, и воображаемая прямая, перпендикулярно возведенная в центре круга, перпендикулярна обеим скрещивающимся прямым. На рис. 3 и 4 представлена направляющая окружность, размещенная на горизонтальной поверхности, а скрещивающиеся прямые обозначены p1, p2 и пересекаются с вертикальной осью Z.
Рис. 3. Пример образующей прямой
Рис. 4. Пример большего количества образующих прямых
Образующие прямые линейчатых поверхностей делятся на торсальные - это прямые поверхности, которые во всех своих точках имеют касательные плоскости относительно данной поверхности, являющиеся тождественными; в противоположном случае эти прямые поверхности будут носить название регулярных. На башне «Штрамберская труба» существуют четыре торсальные прямые (рис. 5), остальные являются регулярными. Сечения, параллельные плоскости направляющей окружности, являются эллипсами (рис. 6).
Рис. 5. Торсальные прямые башни Рис. 6. Эллиптическое сечение
Поиск образующих прямых поверхностей достаточно сложен. Для расчета параметров башни «Штрамберская труба» могут быть использованы полученные нами формулы, которые приводятся ниже. Входными значениями являются радиус окружности г, высота гребня a и высота второй направляющей прямой Ь (рис. 7).
Рис. 7. Входные значения для расчетов параметров башни «Штрамберская труба»
Для параметров 5, tе R и г,аЬе R + (в нашем случаеa < Ь ) возможны следующие три уравнения:
- направляющей окружности:
к:х2 + у2 = г2, г = 0,
- направляющей прямой:
р1: х = 0, у = t, г = а ,
- другой направляющей прямой:
р2 : х = 5, у = 0, г = Ь
с направляющим вектором й^ =(1;0;0).
Чтобы построить произвольную образующую прямую, проходящую через точку Z = [х0; у0;0] (для ее координат верно х0 + у0 = г2), которая лежит на окружности к, создаем плоскость р = Хр2, определённую точкой Z и прямой р2.
Плоскость р мы определим с помощью векторов йр = (1; 0;0) и BZ = (х0; У0; — Ь). Для вектора нормали Пр плоскости р получим пр = (1;0;0)х(х;у; — Ь) = (0;Ь;у0). Используя свойства В = [0;0; Ь]е р, мы получим уравнение плоскости
р :ЬУ + У0г — У0Ь = 0.
Поскольку точка Р находится на гребне башни, она является пересечением плоскости р и прямой рь поэтому
Р =
0; . а
Длина стропила равна:
\рг\ =
1
(х0 - °) + I Уо
Уо(ь - а)
+ (0 - а )2
_ V Хо2 (і2 - а 2)+ а 2 (г2 + Ь2)
Ь ) Ь
Конкретное применение полученных формул показано в примере.
Пример. Для г _ 3, а _ 4, Ь _ 6 при выборе Хо _ 2 отправной точкой для стропила, лежащего на мауэрлате, является точка Z _ [2; ±л/5;о], а конечной точкой стропила на коньке -
10 72
Р _
0- ± 4
0; ± з ; 4
, длина стропила \Р2 | _
3
Кроме того, при выборе у0 _ г _ 3, т. е. х0 _ 0, является точка Р _ [0; 1;4], а точка Р -
крайней точкой хребта, и, таким образом, общая длина хребта составляет 2.
Приведенные выше формулы были использованы для решения фермы реальной башни «Штрамберская труба» с диаметром кругового плана 10 м, высотой гребня 12 м и длиной хребта 4,8 м. Крайняя точка хребта Р _ [0;2,4;12]. Из формулы
2,4
_ У0(Ь - а) Ь
получим
600
Ь _-----23,077.
26
Центральный угол стропил на началах круговой планировки составляет 10°. Расчет координат точек Z и Р приведен в таблице.
Ь
2
Т аблица координат точек Z и Р стропил
а[°] а [гай] х0[тт] Уо[тт] го[тт] хр[тт] Ур[тт] 1р[тт]
0 0,000 5 000 0 0 0 0 12 000
10 0,175 4 924 868 0 0 417 12 000
20 0,349 4 698 1 710 0 0 821 12 000
30 0,524 4 330 2 500 0 0 1 200 12 000
40 0,698 3 830 3 214 0 0 1 543 12 000
50 0,873 3 214 3 830 0 0 1 839 12 000
60 1,047 2 500 4 330 0 0 2 078 12 000
70 1,222 1 710 4 698 0 0 2 255 12 000
80 1,396 868 4 924 0 0 2 364 12 000
90 1,571 0 5 000 0 0 2 400 12 000
100 1,745 -868 4 924 0 0 2 364 12 000
110 1,920 -1 710 4 698 0 0 2 255 12 000
120 2,094 -2 500 4 330 0 0 2 078 12 000
130 2,269 -3 214 3 830 0 0 1 839 12 000
140 2,443 -3 830 3 214 0 0 1 543 12 000
150 2,618 -4 330 2 500 0 0 1 200 12 000
160 2,793 -4 698 1 710 0 0 821 12 000
170 2,967 -4 924 868 0 0 417 12 000
180 3,142 -5 000 0 0 0 0 12 000
190 3,316 -4 924 -868 0 0 -417 12 000
200 3,491 -4 698 -1 710 0 0 -821 12 000
210 3,665 -4 330 -2 500 0 0 -1 200 12 000
220 3,840 -3 830 -3 214 0 0 -1 543 12 000
230 4,014 -3 214 -3 830 0 0 -1 839 12 000
240 4,189 -2 500 -4 330 0 0 -2 078 12 000
250 4,363 -1 710 -4 698 0 0 -2 255 12 000
260 4,538 -868 -4 924 0 0 -2 364 12 000
270 4,712 0 -5 000 0 0 -2 400 12 000
280 4,887 868 -4 924 0 0 -2 364 12 000
290 5,061 1 710 -4 698 0 0 -2 255 12 000
300 5,236 2 500 -4 330 0 0 -2 078 12 000
310 5,411 3 214 -3 830 0 0 -1 839 12 000
320 5,585 3 830 -3 214 0 0 -1 543 12 000
330 5,760 4 330 -2 500 0 0 -1 200 12 000
340 5,934 4 698 -1 710 0 0 -821 12 000
350 6,109 4 924 -868 0 0 -417 12 000
Башня «Штрамберская труба» с точки зрения строительства
Идеальное структурное решение крыши башни «Штрамберская труба» - это деревянная стропильная конструкция (ферма), построенная на круглой платформе кладки несущих стен башни с внутренним диаметром 8 м, наружным диаметром (включая выступ) 12,4 м и высотой конька 12 м от базы стропильной фермы. Основание фермы состоит из гексагонального мауэрлата (рис. 8, элемент 1), который крепится к стене башни толщиной 1,65 м. С мауэрлатом связаны две вяжущие балки (рис. 8, элемент 2) перпендикулярно коньку крыши. По направлению конька крыши изготовлены два обмена вяжущей балки (рис. 9, элемент 3). В местах связи вяжущих балок и их обмена находятся два столбика (рис. 8, элемент 4), которые несут верхний прогон (рис. 8, элемент 5). На мауэрлате веерообразно прикреплены коротыши (рис. 9, элемент 6), которые несут стропила (рис. 9, элемент 7) на круглой платформе диаметром 10 м. Они образуют форму крыши с углом наклона 70°. Переход на выступ обеспечивают кобылки (рис. 9, элемент 8), связанные с опорными стропилами.
Рис. 8. Продольное сечение Рис. 9. Поперечное сечение
стропильной фермы башни стропильной фермы башни
Горизонтальное крепление стропильной фермы обеспечивается на двух этажах. Первый этаж расположен на высоте 4,4 м над базой стропильной фермы. Крепление состоит из пары стропильных стяжек (рис. 8, элемент 9), соединяющих столбики и торсальные стропила в направлении параллельном коньку крыши. У других стропил находятся горизонтальные раскосы (рис. 9, элемент 10). Второй этаж находится на высоте 8,4 м над базой стропильной фермы и построен в том же порядке, что и первый этаж. Пара стропильных затяжек здесь ещё прикреплена подвесным стропилом (рис. 8, элемент 11), которое, в свою очередь, прикреплено к верхнему прогону. Крыша завершена верхним прогоном длиной 4,8 м, на котором заканчиваются стропила. Пространственное крепление стропильной фермы дополняют укосины (рис. 8, элемент 12), выполненные в двух взаимно перпендикулярных направлениях, т. е. параллельно и перпендикулярно коньку крыши. Установленная стропильная ферма показана на рис. 10-12 [3].
Рис. 10. Установка стропильной фермы л ^ -
Рис. 11. Укладка стропил и кобылок на коротыши на кладку башни г г
Рис. 12. Вид снизу на ферму
Заключение
Архитектора Камила Гильберта, который был ведущим чешским специалистом по реставрации исторических памятников, при проектировании крыши башни в Штрамберке вдохновила, вероятно, форма башен средневековых укреплений. Им была создана высокая коническая крыша, которую математики перевели в идеальную форму искривленной поверхности. Благодаря таланту Камила Гилберта крыша башни «Штрамберская труба» по-прежнему остается интересной с точки зрения математиков, историков и архитекторов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Miskovsky P. Nase rozhledny. - Praha: Dokoran, 2005. - 287 s.
2. PlacekM: Ilustrovana encyklopedie moravskych hradi, hradki a tvrzi. - Praha: Libri, 2001. - 768 s.
3. www.hrady.cz. Stёpanek J. P., 2002; Komarek P. Z., 2006.
4. Tichanek J., Sery. Z. Slechticka sidla na Novojicinsku, Butterfly, 2003. - 483 s.
Статья поступила в редакцию 19.06.2012 ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Ярослав Криг - Технико-экономический институт в Чешских Будейовицах, Чешская Республика;
RNDr; ассистент кафедры «Естественные науки»; [email protected].
Jaroslav Krieg - The Institute of Technology and Business in Ceske Budejovice, Czech Republic; RNDr; Assistant of the Department "Natural Sciences"; [email protected].
Милан Вацка - Технико-экономический институт в Чешских Будейовицах, Чешская Республика;
RNDr; ассистент кафедры «Естественные науки»; [email protected].
Milan Vacka - The Institute of Technology and Business in Ceske Budejovice, Czech Republic; RNDr; Assistant of the Department "Natural Sciences"; [email protected].
Бланка Петрашкова - Технико-экономический институт в Чешских Будейовицах, Чешская Республика; ассистент кафедры «Естественные науки»; [email protected].
Blanka Petriiiskovei - The Institute of Technology and Business in Ceske Budejovice, Czech Republic; Assistant of the Department "Natural Sciences"; [email protected].
