CC BY
22
УДК 539.3;612.13
К.С. АХВЕРДИЕВ, Г.В. ЧУДИНОВ, Е.В. ФОМИЧЕВ, М.К. АХВЕРДИЕВА
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРАТИФИЦИРОВАННОГО ТЕЧЕНИЯ КРОВИ В КРОВЕНОСНОМ СОСУДЕ В ВИДЕ МОДЕЛИ РАЗДЕЛЬНОГО ТЕЧЕНИЯ ДВУХ НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЕЙ В СУЖАЮЩЕЙСЯ КОНИЧЕСКОЙ ТРУБКЕ
В работе на основе модели раздельного течения двух несмешивающихся жидкостей в сужающейся конической трубке решена задача о математическом моделировании стратифицированного течения крови в кровеносном сосуде. Дана оценка влияния вязкостных отношений слоев на профили распределения скоростей и на относительный расход.
Ключевые слова: модель, стратифицированное течение, коническая трубка, при-стенчатый эффект.
Как известно [1-3], кровь, движущаяся по кровеносным сосудам, может рассматриваться как суспензия (жидкость со взвешанными в ней частицами). Течение такой суспензии обладает такими свойствами, что в узкой зоне около стенок сосуда взвешанные частицы отсутствуют. Это явление носит название пристенчатого эффекта. При этом концентрация жидкости большой вязкости практически равна нулю у стенок сосуда и максимальна в окрестности ее оси. Таким образом, учет пристенчатого эффекта требует при изучении движения крови в кровеносных сосудах учесть слоистый характер ее движения, опираясь на уравнения Навье-Стокса.
В данной работе решается задача о стратифицированном (слоистом) течении двух несмешивающихся жидкостей в сужающейся конической трубке (рис.1).
Рис.1. Схематическое изображение слоистой жидкости в конической трубке
В качестве исходных уравнений берется линейная система уравнений Навье-Стокса для случая «тонкого слоя» для вязкой несжимаемой жидкости:
д 2ь _ 1 дь _ 1 д р дь г V г дь
г- + —
д
(1)
где ь 2.,ь г - компоненты вектора скорости; т - динамический коэффициент вязкости; р - давление в слоях; г, z - цилиндрическая система коэффициентов.
г
Г
Система уравнений (1) решается при следующих граничных условиях:
- условие прилипания жидкости к стенкам трубки;
- ограниченность функции V г и V г на оси трубки;
- на границе раздела слоев равенство нормальных и касательных напряжений и условие (стратифицирование) раздельного течения жидкости.
Входное и выходное давление считается заданными.
Введем функцию тока у і (г,г) по формулам:
дуі дуі
ги г = - , ги , = . (2)
г д г г д г
С учетом (2) уравнения (1) можно записать в виде:
д2 1 д у і 1 д 1 д у і 1 dpi
т-Т - + -т------^ > (і = 1,2)- (3)
д г г д г г д гг д г т і д г
Точное автомодельное решение задачи. Решение системы уравнений (3) будем искать в виде
1 Фі _ с
у,--У, (X, X-
m, dz e "z e‘z Подставив (4) в (3), получим:
d2 1 dy . 1 d 1 dy
(4)
+ T--гг - С(i - 1,2). (5)
dX2 X dX X dX X dX
Граничные условия при этом записываем в виде:
dy 2 dy 1 dy 2
-X- - опри X- A2 -£ - -jX-при X- A;
d 2іУ, d 2i± 2 . di
m 1 ^ "m 2^ ПРИ X = A'; ^ = 0ПРИ X = 0' (6)
a — a z a — а z
Здесь r - A2e , r - A1e - соответственно уравнения контура стенки конической трубки и границы раздела слоев жидкости
(A2 > A1), а - const.
Условия раздельного (стратифицированного) движения на границе раздела слоев автоматически выполняются, поскольку
V Axea za при X - A1,
поэтому на границе раздела вектор скорости направлен по касательной к контуру раздела слоев жидкостей.
Решение задачи (5)-(6) находим непосредственным интегрированием, в результате получаем:
= ^ К + > У 2 = ^ + С5Х К + С6Х • (7)
Используя граничные условия (5) для определения постоянных интегрирования, придем к следующей системе алгебраических уравнений:
г А
+ г5 41П А2 + Г6 А2 = °
г А3 г Аъ
Гз = °, ^ + Г4 А - + Г5 А11п А + Гб А
3 А12 г1 + г4 - — 3 г2 А12 + г51п А1 + г5 + г6 . (8)
4 т 1 4
Решив систему (8), получим:
Г -Ьк Г • Г - Р вых Рвх
Ст— С0. С0 —
1 т 2’ 2 т2(еа 1 - еа2°У
А2 А А2 г А2
г - 0; г - г ^ + г 1пА - г ^ Г1А1
где
’ 4_ 2 4 5 А2 2 4 4
г2 А 1 - ^ + А г2 ^ - 1 2
>5 - —-А 4 А ; гб - - - г5 1п А2. (9)
¿2 1п А - 1п А 4
т 1 А2 т 1 А2
Расход в любом сечении трубки определяется выражением:
Q - Ql + О2, (10)
А1 г г А4 г А2
Q1 - г X 3 + г4Х (%- гА + г^‘
2
2 г г / \ А А
°2 - г2Х + г5Х К + г6Х - ( А2 - А14) + г5 АР - А
гЪА.(А2 - А2) + г5 ^1пА, > А
С учетом формул (2) и (7) для компоненты скорости VI получим следующие выражения:
VГ - ^ + г4 ,0 X 4;
+
1 X2
и 2 = С2у + С5К + С6 ,
Из формул (11) с учетом (9) будем иметь:
А, X
А2.
(11)
(1)
X2
+ С4
т 2 X
2 А + А
2
т ,4 4 4 4 т
А2
(1)
(2)
2
X = о
А
4
I (1)
2 IX = о
где А =
X2
С2^ + + С6
—2:
4
XI
4
А2 ^ + А 1п А
о X
А,;
4 т 1
А А,
— + А 1п— 4_________А
А2
X
А2
4
4 т
А1 _ А2 _ А1 ^ 2 + А 1п-4-
4 _ 1
А, X —2, (12)
4 4 т 1
т 2
1п
А,
Л
+
т 2 _ 1п
Л
т а2 т 1 -2
Из зависимостей, приведенных на рис.2, следует, что чем меньше вязкость слоя жидкости, прилегающая к стенкам сосуда, тем более максимальное значение относительной осевой составляющей скорости этого слоя.
С учетом формул (11) для относительного значения расхода 0 = ( 0\ + 02) / 0 получим следующее выражение:
А т 2 + А_ А_+ А 1пА- _ _ А т 2
'= , + — = , + ■ 4 4 02 —2 _ —4
,6
А —2 + А
4
— 2 — 2 — — 2
—2 I А 1„ —2 I —2
4
1п
2—
8
(—Г _ —2)
(13)
Значения относительного расхода Q при различных значениях отношения
А2/А1 т/щ ! + 0 = § 0,
1/8 1/2 1,658
1/4 1/2 1,771
1/3 1/2 1,875
1/8 1/3 1,6379
1/4 1/3 1,718
1/3 1/3 1,78
1/8 1/4 1,632
1/4 1/4 1,705
1/3 1/4 1,761
V
2
V
4
2
V
2
С
4
Из зависимостей, приведенных в таблице, следует, что чем меньше
, тем меньше относительное значение расхода О. При этом с уве-
личением толщины пристенчатого слоя относительное значение расхода О резко возрастает. Как и следовало ожидать, при т 2 = т 1 в предель-
Библиографический список
1. Каро К. Механика кровообращения / К.Каро, Т.Педли, Р.Шротер, У.Сид. - М.: Мир, 1981. - С.179-187.
2. Cavalcanti S. Hemodynamics of an artery with midi stenosis // J. Biomech. - 1995. - 28. - №4. - P.387-399.
3. Pedley T.J. The fluid mechanics of large blood vessels. - London: Cambridge University Press, 1980. - 540 p.
Материал поступил в редакцию 08.07.08.
K.S. AKHVERDIEV, J.V. CHUDINOV, E.V. FOMICHEV, M.K. AKHERDIEVA
MATHEMATICAL MODELING OF STRATIFIED CURRENT OF BLOOD IN ABLOODVESSEL IN THE FORM OF A MODEL OF SEPARATE CURRENT OF TWO UNMIXED LIQUIDS IN A NARROWING CONIC TUBE
The problem of mathematical modelling of stratified blood current in a blood vessel has been soled in the paper on the basis of a model of separated current of two inmixed liquids in a narrowing conic tube. The influence of viscidity relations of strata on the types of speed distribution and relative expenses nave been evaluated.
ном случае A1 ® 0, Q1 ® 0, Q ® 1.
Рис. 2. Эпюра распределения относительной осевой составляющей скорости (А1 = 0,03см, А2 - А1 = 0,04 см)
АХВЕРДИЕВ Камил Самедович (р.1938), заведующий кафедрой «Высшая математика-2» Ростовского государственного университета путей сообщения, доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ. Окончил Азербайджанский государственный университет (1962). Научные интересы: гидродинамическая теория смазки.
Имеет 350 научных работ.
ЧУДИНОВ Георгий Викторович (р.1965), доктор медицинских наук Ростовской областной клинической больницы (РОКБ) сердечно-сосудистой хирургии, кардиохирург.
Автор более 100 научных работ.
ФОМИЧЕВ Евгений Викторович (р.1977), сердечно-сосудистый хирург Ростовской областной клинической больницы (РОКБ).
Имеет более 200 научных работ.
АХВЕРДИЕВА Милана Камиловна, кандидат медицинских наук Ростовского государственного медицинского университета (РГМУ).
Область научных интересов: кардиология.
Имеет более 100 научных работ.
