Математическое моделирование спроса Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СПРОСА

© Дамиров В.М.*

Сарапульский политехнический институт (филиал)

Ижевского государственного технического университета, г. Сарапул

В статье рассмотрены проблемы доработки предложенной ранее многокритериальной модели, предназначенной для моделирования спроса потребителей на группу товаров, выпускаемых предприятием. Предложенная ранее модель позволяет учитывать основные факторы, влияющие на спрос.

Разработанная на основе нее новая математическая модель позволяет провести моделирование спроса для группы потребителей с различным уровнем доходов, минимизировать себестоимость продукции и максимизировать прибыль. Разработанная модель является моделью нечеткой многокритериальной оптимизации. В статье дана постановка нечеткой задачи оптимизации для целевой функции с интервальными коэффициентами и рассмотрены некоторые из методов ее решения, а именно поиск компромиссного решения и определение компромиссного решения при помощи метода редукции.

Также в статье была произведена общая постановка задачи многокритериальной оптимизации, рассмотрены методы решения данной задачи, а именно метод приведения ее к однокритериальному виду и метод декомпозиции. Для решения поставленной нечеткой многокритериальной задачи моделирования спроса потребителей был выбран метод декомпозиции.

В условиях мирового экономического кризиса, при наблюдающемся спаде производства и уменьшении доходов потребителей, а соответственно и их покупательной способности, очень важно иметь наиболее четкий прогноз спроса на группу товаров, выпускаемых или продаваемых предприятием.

Под спросом будем понимать объем товара, который может быть реализован на рынке в определенный период времени по заданной цене.

Для прогнозирования спроса можно использовать математическое моделирование.

Целью работы является повышение эффективности управления предприятием, за счет планирования выпуска продукции.

Для достижения цели была поставлена задача - разработать математическую модель для исследования потребительского спроса на группу товаров, выпускаемых предприятием.

* Доцент кафедры «Технология машиностроения металлорежущие станки и инструменты», к.п.н.

1. Анализ основных факторов, влияющих на спрос

Спрос на продукцию серьезно ограничивает объем ее производства, т.е. влияет на предложение товаров предприятия потребителям. На спрос может влиять множество факторов, рассмотрим их более подробно (рис. 1).

И Т.П.

Рис. 1. Факторы, влияющие на спрос

Сразу следует отметить, что влияние внешнеэкономических факторов на спрос учитывать будет достаточно сложно, поскольку доля влияния данных факторов может существенно колебаться в зависимости от видов товаров, состава населения, мест продажи товаров и т.п. Кроме того само влияние данных факторов на спрос достаточно сложно определить как при помощи математических методов, так и при помощи методов экспертных оценок.

Процент влияния факторов каждой категории на спрос показан на рис. 2.

Поскольку, как уже говорилось выше, влияние внешнеэкономических факторов достаточно сложно учесть и процент их влияния на спрос, как

можно увидеть на рис. 2, не велик, то в дальнейшем будем рассматривать только экономические факторы.

10%

Рис. 2. Влияние факторов на спрос

При этом необходимо учитывать то, что значение данных факторов для каждого товара также может значительно колебаться.

Следовательно, необходимо разработать математическую модель для моделирования потребительского спроса на группу товаров, выпускаемых предприятием. При этом данная модель должна позволять учесть не только влияние экономических факторов на спрос, но и долю такого влияния для каждого из товаров.

2. Постановка задачи

Рассмотрим поставленную перед нами задачу, на содержательном уровне ее можно описать следующим образом: потребитель при фиксированной цене и растущем доходе сначала увеличивает потребление данного товара до некого максимального значения, а затем дальнейший рост дохода ведет к снижению потребления данного товара до некого оптимального уровня. Снижение вызывается, во-первых, ростом затрат на транспортировку и хранение товара и ограниченностью возможностей для хранения запасов; во-вторых, перераспределением растущего дохода в пользу более дорогих товаров, которые становятся доступны по мере роста благосостояния потребителя [1].

Если формализовать данную задачу то можно прийти к известной «задаче о рюкзаке»: имеется совокупность объектов, обладающих двумя признаками, необходимо составить набор таким образом, чтобы максимизировать оценку по одному из признаков, при существующем ограничении на второй признак. Задача о рюкзаке бывает двух типов - дискретная задача о рюкзаке и непрерывная задача о рюкзаке. В первом случае все предметы неделимы, а во втором делимы.

В формализованном виде постановка задачи будет строиться на следующих утверждениях.

1. Покупатель собирается потратить некую денежную сумму Ь на покупку множества товаров X = {хь х2, ..., хп}.

2. Товары X = {х1, х2, ., хп} продаются по цене р1, р2, ., рп соответственно, т.е. каждому элементу множества X соответствует элемент множества Р = {^1,Р2, ...,Рп}.

3. Каждый товар из множестваX = (xb x2, xn} имеется максимальный объем Q = (qb q2, ..., qn} соответственно.

4. Считается, что покупка каждого товара характеризуется некоторым коэффициентом полезности С = (Ci, C2, ..., Cn} соответственно.

3. Параметризация задачи

Разработаем на основе предположений 1-4 математическую модель для проведения моделирования спроса. Предположения 1 и 2 можно представить виде следующего ограничения(1):

-b (i)

i=i

Предположение 3 дает более широкие возможности для имитационного моделирования, поскольку предлагает учитывать максимальный объем каждого товара. Ограничение, соответствующее данному предположению приведено ниже (2):

■x- ^ qt (2)

где qt - максимальный объем /-го товара.

Последнее предположение позволяет сформировать целевую функцию, разрабатываемой модели (3):

n

ZC‘x‘ ^ max (3)

i=i

При этом под коэффициентом полезности будем понимать некое обобщенное значение, на основании которого потребитель принимает решение

о покупке того или иного из товаров, выпускаемых предприятием.

Данный коэффициент должен учитывать следующие параметры:

- качество товара;

- цена взаимозаменяемого товара;

- цена сопрягаемого товара;

- важность товара для потребителя.

- и т.д.

Представим все факторы, влияющие на спрос i-ro товара, учитываемые в разрабатываемой модели в виде множества - Fi = (F1i, F2i, ., FKi}.

Логично предположить, что коэффициент полезности i-го товара, можно рассчитать по следующей формуле:

С- =± F j=1 ij

Однако в данном случае возникает проблема неоднородности значений показателей Fij; действительно, некоторые из них представляют собой количественные показатели, а некоторые качественные.

Для определения значений нечисловых параметров предлагается использовать пятибалльную шкалу, где 5 - самая высокая оценка, а 1 - самая низкая.

Однако, даже после приведения качественных показателей к количественному виду, возникает проблема неодинаковой размерности показателей; следовательно, необходимо привести показатели в безразмерный вид.

3.1. Приведение параметров к безразмерному виду

Как уже было сказано выше, следующим шагом для получения коэффициента полезности товара является приведение всех параметров к единому безразмерному виду.

Для этого можно использовать следующую функцию (5), приведенную В [2].

fj'(X) =

/М - fi (X,.)

Для позитивно ориентированных критериев

М т

~ (5)

/ (X.) — f т

,1— Для негативно ориентированных критериев

/* М у’ т

1 /

где//(Х,) - значениеу-го критерия для вариантаX, в безразмерном виде;

/(X) - значение у-го критерия для варианта X, в определенных единицах измерения;

гМ

/ - максимальное;

/т - минимальное значения критерия / на определенном множестве альтернатив {X,}.

Таким образом, множество показателей Fi будет преобразовано в безразмерное множество Fi' следующим образом (6) согласно (5).

Р у = (F1M-F1,) / (F1M-Fr) (6)

3.2. Применение метода экспертных оценок для получения весовых коэффициентов

После приведения значений к безразмерному виду, необходимо определить весовые коэффициенты каждого из параметров для каждого из исследуемых товаров. Для расчета весовых коэффициентов можно использовать метод экспертных оценок, а именно: метод ранжирования.

На сегодняшний день данный метод применяется достаточно часто как в системах поддержки принятия решений, так и в других областях. Данный метод описан во многих источниках, например, в [2].

Содержательная постановка задачи, метода ранжирования, может быть сформулирована следующим образом. Из множества существующих вариантов решений надо выбрать наилучший, с учетом одного свойства, которое характеризуется соответствующим качественным критерием. Для решения этой задачи методом ранжирования экспертам может быть предложено сравнить варианты альтернативных решений на основе учета отдельного свойства /. При этом каждому варианту эксперт должен присвоить ранг (номер), который увеличивается с уменьшением оцениваемого свойства [2]. Рассмотрим основные моменты данного метода, согласно [2].

Пусть есть п вариантов решений, отдельное свойство I оценивает т экспертов. Обозначим через X1/ ранг /-того свойства/-го варианта в оценке /-го эксперта. Сумма рангов в ранжирования 1-го эксперта:

X/ =ЦхУ = 0.5п(п +1) (7)

/=1

При одинаковой оценке нескольких вариантов, эксперты должны придерживаться следующего правила: вариантам с одинаковой оценкой придается ранг, равный среднему арифметическому значению мест, которые они между собою делят. По результатам опрашивания экспертов строится матрица X/, что отображает результаты оценок экспертов. Элементом матрицы будет значения Xу.

Наилучший вариант А будет тот, который соответствует условию:

шш^/} (8)

где X / - суммарный ранг/-го варианта по свойству /.

т

т1

X/ =Х X1/ (9)

Необходимый вариант обработки результатов опроса экспертов - определение их согласованности. Для этого рассчитывается коэффициент конкордации:

/ 12Б1

т

.2,_3 (10)

'(п3 -п) -т'У1Т1

/=1

При полном согласии экспертов коэффициент равен единице, при полном несогласии нулю, т.е. 0 < К < 1 чем ближе он к единице, тем согласованней мнения экспертов.

Далее рассчитывается дисперсия рангов по объектам Б:

Б1 = £а\ а\ = (X/ -Xсер)2 = 0,5т(п +1) (11)

/=1

/=1

Вектор оценки одного эксперта:

м

Т ) (12)

где - число повторов ^-ранга в ранжировании /-го эксперта.

Существует два метода взвешивания критериев: нормирование рангов и перевод рангов в диапазон возможных значений. Для определения весовых коэффициентов каждого из факторов предлагается использовать первый метод.

х, преобразуется в х/:

х,’ = (ш * п) - х, (13)

Значение весовых коэффициентов считается по формуле:

х<

р, =

х (14)

К]

,=1

После проведения экспертного оценивания и получения весовых коэффициентов критериев множество .Р/ преобразуется в множество Г", каждый элемент множества рассчитывается по формуле (14):

РУ' = ¥,’ -р, (15)

3.3. Получение коэффициента полезности товара при помощи метода линейной свертки критериев

После получения весовых коэффициентов остается только получить из множества параметров коэффициент полезности товара, для этого можно использовать метод линейной свертки критериев (13), также описанный в [2].

V, =£ а, / (А,) (16)

]=1

где - степень важности критерия/;

/¡(А,) - оценка параметра А по /-му критерию.

В данной статье предлагается степенью важности считать весовой коэффициент критерия.

Следовательно, коэффициент полезности / -го товара С, можно рассчитать по формуле (17):

С, =&", (17)

,=1

3.4. Математическая модель задачи Таким образом, получена следующая модель задачи (18):

п

^С,х, ^ тах ¡=1

с, =Х р %

^ (18)

п

X РіХ - Ь

І=1

Хі < д,, і =1, ..., п Хі > 0, і = 1, ..., п

где С - коэффициент полезности цена ¡-го товара.

Рис. 3. Схема имитационного моделирования спроса

Разработанная модель является моделью задачи линейного программирования. Наиболее подходящим методом для решения данной задачи

является симплекс метод. Постановку задачи симплекс метода можно найти, например, в [3-5].

Данная модель отличается от предложенных ранее моделей, например В [1], наличием дополнительного ограничения, в котором учитывается максимальный объем товара, которое позволяет при проведении моделирования отсеять неподходящие для предприятия варианты.

Также в разработанной модели в качестве коэффициента полезности выступает не абстрактная функция полезности, как в [1], а конкретное значение, которое учитывает степень влияния каждого экономического фактора на спрос данного товара. При этом следует отметить, что список таких факторов является не постоянным и может меняться в зависимости от группы товаров. Однако при проведении моделирования одной группы такой список должен быть одинаков для каждого из товаров, при этом весовые коэффициенты одного и того же фактора могут существенно отличаться в зависимости от товара.

Общая схема имитационного моделирования при помощи предложенной модели показана на рис. 3.

Данный метод целесообразней всего использовать при анализе возможности изменения цены на группу товаров, которое выпускает предприятие, в процессе в процессе всего жизненного цикла товаров.

II. Нечеткая многокритериальная модель спроса

Рассмотрим предложенную ранее модель, предназначенную для проведения моделирования спроса на группу товаров выпускаемых предприятием (19).

Основной целью такого моделирования является повышение эффективности управления предприятием.

n

^CjXj ^ max

/=1

YjPXi <b (19)

/=1

Xi < qi, i =1, ..., n xi > 0, i = 1, ..., n

где Ci - коэффициент полезности i-го товара;

Pi - цена i-го товара;

Xi - объем i-ro товара, который купит потребитель;

b - доход;

qt - максимальный объем i-ro товара.

Коэффициент полезности товара учитывает основные факторы, влияющие на спрос, и рассчитывается с использованием медов ранжирования и линейной свертки критериев.

1. Максимизация прибыли и минимизация себестоимости

Предложенная ранее модель не учитывает нескольких важных моментов, а именно:

1. Цена товара не должна быть ниже себестоимости, поскольку такая цена даже при достаточно большом спросе, приведет к убыткам предприятия, что не допустимо, поскольку, основной целью данной работы является повышение эффективности управления предприятием. Следовательно, в предложенную ранее модель необходимо ввести еще одно ограничение, которое будет учитывать зависимость цены товара от себестоимости.

Р, > Б,

где- себестоимость /'-го товара.

2. С точки зрения эффективности управления предприятием, основной целью имитационного моделирования спроса, является максимизация прибыли самого предприятия. Данное утверждение можно необходимо представить в виде следующей целевой функции:

п

X РЯ‘ ^ тах

i =1

3. Кроме максимизации прибыли предприятия, эффективное управление предполагает минимизацию затрат на изготовления той или иной продукции, т.е. минимизацию себестоимости. Следовательно, в предложенную ранее модель добавляется еще одна целевая функция:

п

^ шп

i =1

Однако при рассмотрении себестоимости не рационально ограничиваться одним значением. Необходимо указать интервал значений для себестоимости, т.е. Б, е ... Б,и],, = 1 ... п

Такая задача оптимизации называется - нечеткой.

4. Также необходимо учитывать, что разрабатываемая имитационная модель предназначена для применения на конкретных предприятиях. Следовательно, количество продукции определенного вида на каждом из складов конечно, а значит, в данной модели необходимо учитывать и объемы складов. Ограничение на склад можно описать следующим образом:

±4, * о

, =1

где О - размер склада.

Проведем анализ основных методов нечеткой оптимизации, которые можно применить для минимизации себестоимости, описанных в [1].

1.1. Постановка задачилинейного программирования с нечеткими целевыми функциями

Предположим что только один элемент из пространства [SjL ... SiU] х [S2L ... S2U] х ... х [SnL ... Snu] является истинным вектором коэффициентов целевой функции, минимизации себестоимости. Тогда данная задача имеет единственный вектор целевой функции, но возникает проблема, которая содержит бесконечное множество целевых функций следующего вида:

z(q) = STq ^ min (20)

Данные функции должны быть минимизированы одновременно для q е Q, где Q = {q: q < O; q> 0}. Все векторы S е Rn из ограниченного интервала S0 = {s: SL< s < su}; slT = {siL, s^L, ..., SnL}; suT ={siU, S2U, ..., SnU}

должны рассматриваться как параметры.

«Полное» решение задачи линейного программирования с интервальными коэффициентами вида (21):

min{z(q) = STq | q: q < O; q > 0} (21)

определяется как:

E = {q eQ 13q eQ, 3st e S 0S'Tq > Sl_q, Vq eQ }

Нахождение такого «полного» решения является не только затруднительным, но и требует больших затрат. Поэтому достаточно часто в задачах оптимизации с несколькими целевыми функциями вместо множества эффективных решений ищут одно компромиссное [1].

Определение компромиссного решения приводится в [1].

Пусть функция Н:Р^\Я-функция предпочтения для задачи (21), то элемент q е Q называется компромиссным решением задачи (20), если q е Ей H(q*) > H(q), Vq е Q.

1.2. Поиск компромиссного решения

Для определения компромиссного решения задачи линейного программирования существуют различные функции, называемые функциями предпочтения. Данные функции преобразовывают множество целевых функций в единственную компромиссную целевую функцию.

Простейший метод использующий данный подход и описанный в [1], заключается в том что выбирается одно значение st для каждого интервала [SiL ... S,u] и вместо задачи (20) необходимо решить следующую задачу линейного программирования:

min{z (q) = £Stqt | q <O ;q >o} (22)

i =1

Исключив два крайних случая, максимальный и минимальный, получим:

zmin SL q, zmax SU q

Для получения компромиссного решения s необходимо выбрать в каждом интервале значение с наибольшей вероятностью появления. Но если у ЛПР нет достаточно сведений для принятия такого решения, то можно выбрать середину данного интервала [SiL ... S,u] получим:

z = 0.5[Zmin(q) + Zmax(q)] = 0.5[SlT + SuT]q (23)

Дальнейшим развитием такого подхода является использование целевой функции, которая базируется на решающем правиле Гурвица.

Критерий Гурвица основан на следующих двух предположениях: природа может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью 1 - а и в самом выгодном - с вероятностью а, где а - коэффициент доверия [1].

z(q) = (1 - T)Zmin(q) + TZmax(q) = [(1 - t)SlT + TSj]q (24)

где т - параметр оптимизма, который отражает отношения к риску со стороны ЛПР.

Основным недостатком описанных выше подходов является то, что все они работают не с целым интервалом S0, ас отдельными его значениями.

Если у ЛПР нет возможности выбрать только одно какое-либо значение из интервала S0, необходимо использовать косвенный путь построения компромиссной целевой функции описанный в[1].

Сначала происходит фиксация множество состояний природы:

Zj, j = 1 ... w

как состояний неопределенности. Выбор состояний происходит таким образом, что бы у ЛПР была возможность:

1) привести вероятность СОСТОЯНИЙ p(Zj)

2) наиболее точно определить параметры для каждого из состояний.

Исходя из всего вышесказанного, используя подход Бернулли, ожидаемая величина:

q=^LsTjqp(z j) =YjsTp (zjq (25)

j=1 j=1

выбирается функцией компромисса.

Так как sp(zj) е S0, для каждого из векторов состояний и для любого распределения вероятностей {p(zj)}, то любая функция компромисса при-

ведет к эффективному решению оптимизационной задачи. Но не решенным остается вопрос о возможности получении необходимой информации о значениях (р^)}, ^ }[1].

2. Общая постановка задачи

Необходимо провести моделирование спроса на группу товаров, выпускаемых предприятием для потребителей с разным уровнем дохода.

Основной целью данного моделирования является повышение эффективности управления предприятием.

Пусть 3 = (1 ... т} множество потребителей с доходом

На основе проведенного ранее анализа автором сформулирована следующая математическая модель, предназначенная для имитационного моделирования спроса:

т п

X Т£уху ^ тах

] =1 < =1

п

XРЛ< ^ тах

I =1

п

£ ^ шп

I =1

£ Тр,х,<Ъ (26

] =1 < =1

Ъ, * О

1 =1

р, > 8

8, е [# ... 8,и]

Ху < д,, = 1, ..., п,] = 1, ..., т Ху > 0, , = 1, ..., п,] = 1, ..., т

Данная модель является моделью многокритериальной нечеткой оптимизации.

В общем, виде задача многокритериальной оптимизации может быть определена следующим образом.

2.1 Постановка задачи многокритериальной оптимизации

Для каждого объекта (проекта, минимизация затрат и т.п.) вводят вектор - критерий П = (Ж1, Ы2, ..., Ыт} в котором частный критерий Щ представляет функцию параметров х1, х2, ..., хп (которые определяют, например, характеристики управлений проектом и т.п.). Функциональная зависимость частных критериев от параметров задачи задается, и тогда основная математическая модель многокритериальной оптимизации будет сформулирована так:

(Х) £ тпхЯ 1 = 1т

[ X = )Х/Х 6 кп, Че (Х) ^ о) е е1,V,V < п

В этой модели X - множество допустимых решений, удовлетворяющих определенным ограничениям, которые даны в виде системных неравенств Че (Х) < 0 накладываемых на векторпараметров х =(Х1, Х2, ..., Хп }[2].

Функция Л (Х1, Х2, ..., Хп) будет называться у-той целевой функцией, а вся совокупность (Х1), ., /т (Хт) образует векторную целевую функцию многокритериальной оптимизации [2].

2.2. Преобразование из многокритериальной в однокритериальную задачу

Одним из возможных путей решения многокритериальных задач является путь преобразования из многокритериальной в однокритериальную задачу. Рассмотрим более подробно такой подход, приведенный в [3].

Отметим, что поскольку Е(х) является неким вектором, то любые компоненты Е(х) являются конкурирующими и отсутствует некое единое решение поставленной задачи. Вместо него для описания характеристик целей используется концепция множества точек неулучшаемых решений (так называемая оптимальность по Паретто). Неухудшаемое решением будем называть такое решение, при котором улучшение в одной из целей приводит к ухудшению в другой.

Рассмотрим данную концепцию детальней. Пусть существует некая область допустимых решений О в параметрическом пространстве х е Х. Данное пространство удовлетворяет все принятые ограничения, т.е.:

О = (х е Яп}

при заданных в (10) ограничениях.

Отсюда возможно определить соответствующую область допустимых решений для пространства целевых функций Л.

Л = {у е Я„}

где у = Е(х) при условии Х е О.

Определение точки неулучшаемого решения приведено в [3].

Точка х е О является неулучшаемым решением, если для некоторой окрестности х нет некого Ах такого, что (х + Ах) ейи:

Е^х’ + Ах) < Е^х*), , =1, ., т Е1(х* + Ах) < Е}(х*), для некого у

Поскольку любая из точек пространства О, то есть пространства, не имеющего неухудшаемых точек, является точкой, в которой любое улуч-

шение может быть достигнуто во всех выбранных целях, то ясно, что такая точка не представляет никакой ценности. Следовательно, многокритериальная оптимизация должна включать в себя определенную генерацию и выбор точек с неулучшаемыми решениями [3].

2.3. Декомпозиция многокритериальной нечеткой задачи моделирования потребительского спроса

Следующим путем для решения многокритериальной задачи является ее декомпозиция, т.е. разбиение, на отдельные однокритериальные задачи оптимизации. Пример такой декомпозиции можно найти в [4].

Именно данный подход и предлагается использовать для решения разработанной имитационной модели спроса.

Сначала решим две однокритериальных задачи оптимизации для минимизации себестоимости и максимизации прибыли. При этом необходимо помнить, что первая задача является задачей нечеткой оптимизации.

1. Минимизация себестоимости.

п

£ 8^1 ^ тт

I =1

Ъ, * О (29)

I =1

Чг ^ 0

8, е & ... Б,и]

2. Максимизация прибыли:

п

XР-Ч- ^ тах

'=1 > 8 (3°)

Рг > 8

Рг > 0

После чего на каждом такте расчета у будем последовательно решать однокритериальную задачу моделирования спроса:

п

^СуХу ^ тах

1=1

1^Р<Ху <Ьу (31)

1=1

Ху < Чг, г = 1, ..., п,у = 1, ..., т Ху > 0, г = 1, ..., п,у = 1, ..., т

Как мы видим, разработанные модели тесно связаны между собою общими параметрами, поэтому на любом шаге моделирования спроса может возникнуть необходимость пересчитать показатели, получаемые в моделях (29) и (30).

Каждую из моделей (29)-(31) можно привести к целочисленному виду, поэтому при их решении целесообразно использование методы линейной целочисленной оптимизации.

Ш. Применение методов мелкозернистых вычислений

в однородных вычислительных средах для моделирования спроса с использованием численных методов и нейронных сетей

Предложено рассмотреть цену не как параметр, а как функцию многих переменных, в число которых входят и затраты на производство. При этом затраты на производство также представлены в виде монотонной для каждой переменной и имеющей разрывы на координатных плоскостях функции, которая стремится к минимуму. Для минимизации затрат предложено использовать численные методы, а именно метод наискорейшего спуска. Построен алгоритм нахождения минимума с использованием данного метода.

Для исследования и моделирования цены предлагается использовать нейронные сети. Рассмотрена теорема Колмогорова, на котором базируется такое исследование, и ее улучшение, которое позволяет применить данную теорему на практике.

После проведенного исследования построенной модели был сделан вывод о невозможности ее расчета последовательно и предложено использовать методы мелкозернистых вычислений в однородных средах. Кроме того, были выделены основные потоки для параллельных вычислений.

Одним из важнейших факторов, влияющих на разработку стратегии производственного предприятия на рынке готовой продукции, является спрос потребителей. Так как для точного планирования объема выпускаемой продукции нужно четко оценивать ситуацию на рынке, то есть проводить анализ спроса и исследования конкурентоспособности товаров, выпускаемых предприятием.

Произвести анализ спроса теоретически очень сложно, так как любое использование статистики, социологических исследований и тому подобное дает лишь приблизительный результат.

Исследование спроса на группу товаров, выпускаемых предприятием, является основой для управления хозяйственной деятельностью предприятия, планирования продаж и закупок и ценообразования на продукцию.

Для разработки стратегии развития предприятия необходимо не только учитывать текущий спрос на продукцию, но и проводить его моделирование.

Для моделирования спроса можно использовать следующие методы:

- статистическое моделирование;

- обобщённые математические модели или принципы (системный анализ в узком смысле [1]);

- аксиоматические методы моделирования (системный анализ в широком смысле или системный подход [1]).

- методы экстраполяции.

Применение методов статистического моделирования базируется на применении случайных чисел. А именно, под статистическим моделированием подразумевается численный метод решения математических задач, при котором искомые величины представляют вероятностными характеристиками какого-либо случайного явления, это явление моделируется, после чего нужные характеристики приближённо определяют путём статистической обработки «наблюдений» модели [2].

Однако в сложных процессах и явлениях, к каковым можно отнести и моделирование спроса, часто проявленные и зафиксированные статистические параметры не могут быть признаны решающими или определяющими. Хотя данные методы и имеют механизмы ранжирования параметров. Кроме того статистические методы почти не приспособлены для выявления существенных и неизвестных ранее факторов.

К другим методам математического моделирования относятся математические модели (линейное и нелинейное программирование, марковские цепи и процессы и другие), которые позволяют выявлять существенные и неизвестные ранее факторы процесса или явления. Но любая математическая модель может применяться только в определенных границах, т.е. имеет ограничения по применению. Именно поэтому в системном анализе данный подход описывается как системный подход в «узком смысле» [1].

Использование системного подхода «в широком смысле» [1], то есть с позиций заимствования его аксиоматических методов для моделирования экономических процессов и явлений[1], хотя и позволяет провести более подробное моделирование, является достаточно сложно формализирован-ным методом, поскольку предполагает переход к более широким обобщениям в экономической науке путём совершенствования аксиоматических принципов для моделирования (системный подход [1]).

Экстраполяция базируется на распространении сложившихся в прошлом тенденций на будущее. Однако такой подход лучше всего применять при краткосрочном прогнозировании, поскольку рынок готовой продукции в наше время достаточно нестабилен. Особенно это касается продукции, не являющейся товарами ежедневного спроса.

Из проведенного исследования видно, что для моделирования и прогнозирования спроса на группу товаров, выпускаемой предприятием, наиболее эффективно использовать методы математического моделирования.

1. Постановка задачи

Ранее нами была разработана следующая многокритериальная нечеткая математическая модель для проведения имитационного моделирования спроса на группу товаров выпускаемых предприятием (32):

XX с

а =1 1=1

XР Аг ^ таХ

/=1

п

£ 8 д ^ тт

/=1

т п

X XРгха < Ьа

а =1 >=1

Ъ, * О

(32)

Рг > №г

х га < д г , 1 = 1, х,а > 0, г = 1,

№ ... №?]

- п, а = 1 , п, а = 1

, т , т

где Сг - коэффициент полезности цена г-го товара; рг - цена г-го товара;

х г - объем г-го товара, который купит потребитель;

Ьа - доход а-го потребителя;

дг - максимальный объем г-го товара;

^ - себестоимость г-го товара;

О - размер склада.

Рассмотрим более подробно такой параметр данной модели, как цена товара. Представим цену товара как функцию нескольких переменных, а именно:

р(2, Рг, К, Я, 1п)

где 2 - затраты на производство товара;

Рг - прогноз продаж товара (как правило, рассматривается три варианта прогноза - оптимистический, пессимистический и средний варианты);

К - показатель качества товара. Данный показатель может определяться при помощи методов экспертных оценок и приводиться к единой шкале;

Я - целевой уровень рентабельности;

1п - коэффициент инфляции.

Необходимо отметить, что затраты на производство товара также можно представить в виде функции многих переменных.

1=1

2(01, Q2, ..., 0\) ^ тт

1.1. Метод наискорейшего спуска

Проведем более детальное исследование функции затрат, как функции многих переменных.

Можно утверждать, что данная функция является монотонной для каждой переменной и имеющей разрывы на координатных плоскостях. Для минимизации данной функции можно использовать численные методы, а именно метод наискорейшего спуска. Данный метод описан в [3-7].

Направление наискорейшего спуска задается антиградиентом УГ (33):

х[“+1] = х{и ]-1[“]У^ (х[и ]) (33)

Iм выбирается:

- постоянной, тогда метод может расходиться;

- при помощи дробного шага, т.е. длина шага при спуске делится на заданное число;

- наискорейшим спуском (34):

Iм = а^тшя Р(Xм -Л[и]УР(Xм)) (34)

Алгоритм данного метода показан на рис. 4.

Рис. 4. Алгоритм метода наискорейшего спуска

1.2. Нейронные сети

Если для моделирования затрат как функции многих переменных достаточно использовать численные методы, то при представлении цены как функции многих переменных такой подход не применим. Поскольку цена является не только одним из важнейших факторов, который влияет на спрос но и одним из наиболее важным факторов при планировании прибыли предприятия.

Кроме того, в современной Российской экономике процесс ценообразования достаточно специфичен, и зачастую, не опирается на использование каких либо методов или стратегий ценообразования. При этом, как правило, назначается максимально возможная цена, что приводит к тому, что предприятие быстро теряет свою конкурентоспособность.

Следовательно, при проведении моделирования цены на конкретный товар, необходимо учитывать еще и специфику ценообразования на данном конкретном предприятии, для которого и проводится моделирование спроса.

Однако не какой из математических методов не дает такой возможности в полной мере. Поэтому принято решение для моделирования цены использовать методы искусственного интеллекта. Поскольку использование этих методов позволит наиболее четко и полно провести моделирование цены с учетов всех возможных факторов, влияющих на нее.

Из всех методов искусственного интеллекта наиболее оптимальными для проведения моделирования цены являются нейронные сети, которые позволяют принять решение, близкое к тому которое принял бы человек в той или иной конкретной ситуации.

Под нейронной сетью (нейросеть) будем понимать набор нейронов, которые определенным образом связанных между собой [8, 9].

Для решения поставленной задачи - моделирования цены на товар, выпускаемый предприятием, как функции многих переменных достаточно использовать трехслойный перцептрон с п входами и одним выходом.

Первый слой - вход, только передает входные сигналы ко всем Н нейронам второго слоя. Каждый нейрон второго слоя имеет п входов, у каждого из них есть весовые коэффициенты ^л, ^ц, ..., ДЛЯ г -го нейрона. При получении входного сигнала нейрон суммирует их согласно весовым коэффициентам, после чего применяет к результату передаточную функцию и пересылает на вход одного и нейронов третьего слоя. После этого нейрон третьего слоя суммирует полученные со второго слоя результаты согласно весовым коэффициентам у,. Предположим, что передаточные функции в скрытом слое являются сигмоидными, а в выходном слое используется функция р(х) = х, т.е. взвешенная сумма выходов второго слоя и будет ответом нейросети [8].

Тогда, при подаче на входы перцептрона любых чисел х1, х2, ..., хп, получаем на выходе значение некоторой функции ^(х1, х2, ..., хп), которое

является ответом (реакцией) нейросети. Ответ нейросети при этом зависит как от входного сигнала, так и от значений ее внутренних параметров - весовых коэффициентов нейронов [8].

Пример такой нейросети показан на рис. 5.

Х1

Х3

Рис. 5. Пример трехслойной нейронной сети

Представление функции множества переменных при помощи нейронных сетей базируется на теореме Колмогорова, описанной в [8].

Любая непрерывная функция от п переменных Р(х\, х2, ..., хп) может быть представлена при помощи операций сложения, умножения и суперпозиции из непрерывных функций одной переменной [8].

2 п+1 п

х2,...,хп) = (X Ну )) (35)

]=1 >=1

где gj и Ну - непрерывные функции, при этом Ну не зависит от начальной функции Р.

Однако на практике данную теорему применить достаточно сложно, т.к. функции Ну вычисляются с трудом и не являются гладкими. Кроме того не очень понятно как подбирать коэффициенты gj для заданной функции Е

Для достижения более значимых результатов необходимо провести ослабление требований а именно:

- вместо точного соответствия функций использовать приближенное;

- можно увеличить число нейронов в скрытом слое нейросети.

Новый вариант теоремы Колмогорова, который учитывает приведенные выше требования, описан в [8].

Пусть Р(х1, х2, ..., хп) - любая непрерывная функция, тогда существует такое число Н и наборы чисел Vу, щ и V , что функция:

н

/ (xl, х2,...,хп ) =Х VP(WІ1 х1 + х2 + ... + ™пхп + Щ ) (36)

1=1

приближает данную функцию с погрешностью не более е на всей области определения[8].

Формула (36) полностью идентична функции, которая реализуется перцептроном нейронной трехслойной сети и описана в [10].

2. Мелкозернистые вычисления в однородных средах

После введения цены как функции многих переменных в разработанную автором математическую модель (32) невозможно ее итерационное последовательное решение, предложенное ранее.

Данную задачу можно решить только при помощи применения методов параллельного вычисления, а именно мелкозернистых вычислений, так как именно для них используются модели нейронных сетей. Под мелкозернистыми вычислениями будем понимать большое количество относительно простых вычислительных задач.

В нашем случае можно говорить о параллельном решении следующих задач:

1. минимизация затрат при помощи численных методов, а именно метода наискорейшего спуска;

2. определение цены на товар как функции многих переменных;

3. минимизация себестоимости;

4. максимизация прибыли;

5. моделирование спроса.

Как можно заметить, из предыдущего описания задачи приведены в укрупненном виде, и каждая из них состоит из большого количества мелких подзадач.

Если рассмотреть данные задачи с точки зрения классификации вычислительных задач, то они представляют собой потоки. Следовательно, можно говорить о том, что данный подход рациональней применять в однородных вычислительных средах.

Однородные вычислительные среды являются развитием однородных вычислительных систем. Под однородной вычислительной системой будем понимать такую систему, в которой почти все простые задачи примерно одинаковы по объему вычислений и связаны между собой одинаковыми схемами обмена. Т.е. система для решения сложной задачи может быть построена при помощи неких стандартных одинаковых блоков.

Кроме того в однородной вычислительной системе соблюдаются принципы параллельности задач и переменности логической структуры.

Вычислительные среды представляют собой многомерную решетчатую структуру.

** *

В работе рассмотрены вопросы использования методов мелкозернистых вычислений в однородных вычислительных средах при моделировании спроса на группу товаров, выпускаемых предприятием. В математической модели используются методы искусственного интеллекта, а именно: как нейронные сети, так и численные методы - метод наискорейшего спуска.

Список литературы:

1. Блауберг И.В., Юдин Э.Г. Становление и сущность системного подхода. - М.: Наука, 1973. - 269 с.

2. Волков Е.А. Численные методы. - М.: Наука, 1982. - 254 с.

3. Ермаков С.М. Методы Монте-Карло и смежные вопросы. - М.: Наука, 1971. - 471 с.

4. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. - М.: Наука, 1989. -430 с.

5. ТурчакЛ.И. Основычисленныхметодов. - М.: Наука, 1987. - 318 с.

6. Steven C.C., Raymond С. Numerical Methods for Engineers: With Software and Programming Applications. - McGraw-Hill Science / Engineering / Math, 2001. - 944 p.

7. Hamming R.W. Numerical Methods for Scientists and Engineers. - Dover Publications, 1987. - 721 p.

8. Струнков Т. Думал ли Гильберт о нейронных сетях? // PC Week RE. -1999. - № 13.

9. Хайкин С. Нейронные сети: полный курс. - М.: Вильямс, 2006. - 1104 с.

10. Круглов В.В., Борисов В.В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика. - М.: Горячая линия - Телеком, 2001. - 382 с.

11. Корнеев В. Будущее высокопроизводительных вычислительных систем // Открытые системы. - 2003. - № 5.

12. Малышкин В.Э. Введение в параллельное программирование мультикомпьютеров. - Новосибирск: ИВМ и МГ СО РАН, 2003. - 268 с.