CC BY
25
УДК 538.911
С.Г. Гестрин, Е.А. Сальникова
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СПИНОВЫХ ВОЛН, ЛОКАЛИЗОВАННЫХ НА ДИСЛОКАЦИИ В ФЕРРОДИЭЛЕКТРИКЕ (МАКРОСКОПИЧЕСКИЙ ПОДХОД)
На основе анализа уравнения движения магнитного момента получено дисперсионное уравнение для спиновых волн, локализованных на дислокации в ферродиэлектрическом кристалле. Рассмотрены осесимметричные и винтовые возмущения. И^ледована зависимость амплитуды локализованных волн от расстояния до линейного дефекта.
Изучена поляризация локализованных спиновых волн.
Дислокации, спиновые волны, ферродиэлектрики, магнитный момент, локализация волн.
S.G. Gestrin, E.A. Salnikova
MATHEMATICAL MODELLING OF THE SPIN WAVES LOCALIZED ON THE DISLOCATION IN FERRODIELECTRIC (THE MACROSCOPICAL APPROACH)
On the base of the analysis of the equation of the movement the magnetic moment is received the dispersion equation for the spin waves, localized on a dislocation in the ferrodielectric crystal. Axis-symmetric and screw indignations are considered. Dependency of the amplitude of the localized waves from distance before linear defect is researched. The polarization of the localized spin waves is studied.
Dislocation, spin waves, ferrodielectric, magnetic moment, waves' localization.
В ряде работ [1-8] было показано, что наличие в кристаллах дефектов структуры приводит к локализации на них различных типов волн. Их амплитуда убывает с удалением от одномерного дефекта (дислокации) в основном по экспоненциальному закону ~ (кг)-l2exp(-Kr), где к - поперечное волновое число, r - расстояние до дислокации; а частота отделена конечным интервалом от спектра объемных колебаний. В [1] подробно исследованы локализованные звуковые колебания. В работе [2] получены дисперсионные уравнения для двух ветвей поляритонов, локализованных на дислокациях в ионных кристаллах. Законы дисперсии осесимметричных и винтовых плазменных волн, распространяющихся вдоль заряженных дислокаций в полупроводниках, найдены в [3, 4]. Влияние дефектов кристаллической структуры на экситоны Френкеля рассмотрено в [5].
Как известно, в ферромагнетиках существуют элементарные возбуждения спиновой системы, имеющие характер волн и называемые спиновыми волнами (магнонами). Они представляют собой колебания относительной ориентации спинов в решетке [6]. В [7, 8]
показано, что наличие одномерного дефекта в ферродиэлектрике (СгБг3, ЕиО, ЕиБ) приводит к возможности локализации на нем данного типа возмущений. Кристалл представлялся в виде решетки, в узлах которой находятся атомы, все спины которых в основном состоянии параллельны. Для энергии взаимодействия двух атомов, обладающих спинами $ и 3}-, использовалась модель Гейзенберга: и = -, где J- обменный
интеграл (микроскопическое рассмотрение).
Ниже предполагается, что длина спиновой волны велика по сравнению с постоянной решетки а. В этом случае закон дисперсии волн &{к) будет выражен через феноменологические параметры (материальные константы), входящие в макроскопические уравнения движения магнитных моментов [9].
Уравнение движения прецессирующего магнитного момента [10]:
дМ я\е\
dt 2mc
Здесь напряженность «эффективного поля»:
H _ d2M
H эф _ aik - -
dxdx.
(1)
+ H.
(2)
М - плотность магнитного момента (намагниченность), тензор а* определяется симметрией кристалла. В одноосных кристаллах симметричный тензор второго ранга агк имеет компоненты а=ау =а1, а г = а 2 (ось 2 - ось симметрии кристалла); в
кубическом кристалле агк = абгк.
Если тело не находится во внешнем магнитном поле, то поле внутри него целиком связано с распределением намагниченности и представляет собой, вообще говоря, величину того же порядка, что и М. В этом смысле член Н в (2) представляет собой релятивистский эффект. Поэтому если рассматривать чисто обменное приближение, второй член в (2) следует опустить, так что уравнение движения приобретает вид:
дМ _ g\e
dt 2mc
-а.
d2M
dx, dx,
(3)
Если предположить, что в кристалле имеется дислокация, расположенная вдоль оси
2, то уравнение (3) примет вид:
dM _ g|e
dt 2mc
-a,.
d M dx.dx,
- a25(p)p
g|e
2mc
d M
dz2
M
(4)
Здесь a - постоянная решетки, в - характеризует обменное взаимодействие атомов, расположенных вдоль оси дислокации, §(р ) - двумерная дельта-функция.
Применим полученное уравнение к распространению волн, в которых плотность магнитного момента совершает малые колебания, прецессируя относительно своего равновесного значения М0, направленного вдоль оси 2. Положим M _ M0 + m, где m -малая величина, и линеаризуем уравнение, отбросив члены второго порядка по m . Поскольку абсолютная величина M _ M0, то в этом приближении m L M0. Будем в дальнейшем рассматривать волны, распространяющиеся вдоль оси 2, m <х exp i (kz -rot). Из (4) для кристалла с кубической симметрией находим:
• - g|el
- mm _ ——а
2mc
- k2 +
d2 d
dx2 dy1
m, Mn
+ a
k2S(p)P lp\m(0),M,, ]. (5)
2mc
Из (5) находим:
- mmx _
_ g|e
2mc _ g|el
-aM 0
- к2 +
д2 д
2
my + a2 к 25(p )pM o-^my (0),
2mc
- mmy _ -
y 2mc
aM 0
- к2 +
д2 д
2
g\
mx- a 2к 25(p)P M o-^m(o).
2mc
Согласно (б) и (7) находим:
mx _ -imy ■
т. е. решение описывает волну, поляризованную по кругу. Из (7) и (8) имеем уравнение для тх:
{ д2
д
2
(
дх2 дy
к2-и
2mc
Л
g|e| aM<
m
_ -—a2к2б(р)mx (o). a
Переходя в (9) к цилиндрическим координатам, получим:
д mx 1 дmx 1 д mx
(
др2 р др р2 дф2
к2-и
2mc g|e|aM,
mx
_ -—a2к25(j3)mx (o). a
(б)
(7)
(8)
(9)
(10)
Будем предполагать далее, что зависимость mx и my от азимутального угла ф определяется множителем expіпф, где n _ 0,± 1,±2,..., тогда из (10):
д 2m 1 дm
- +
др p др
к2-и
2mc
g|e|aM 0
n
p
m _ -
1 —a2k2 (o).
2n a
P
(11)
Решение уравнения (11) имеет вид:
m
(р)_^—a 2 к 2 m„,x (o)k
2п a
к2-и
2mc
g|e| aM<
-Р
(12)
Равенство (12) характеризует зависимость амплитуды волны от расстояния до дислокации (Кп(х) - функция Макдональда). Как видно из (12), амплитуда волны с удалением от дислокации убывает в основном по экспоненциальному закону ( Кп (х) « у/п/2х ехр(-х), при х»1) [3].
Рассмотрим вначале осесимметричное возмущение (п = 0) и воспользуемся интегральным представлением функции К0(х):
mo, х (Р) _ “ a 2к "mo, х (o)k
2п a
.V
к2-и
2mc
g|e| aM(
-Р
_-—a2к2 g2M0 mo,x (o)x
2mc
(1З)
к dк
- ад
Г______________________
(2п)2 Г и gH aMo
2mc
(к2 +к2)
Гcos(cpcos ф))ф .
Заменим верхний бесконечный предел интегрирования в (13) на конечное значение к0 ~ 1/а. То обстоятельство, что предел интегрирования в формуле (13) определяется лишь по порядку величины и имеет характер некоторого параметра «обрезания», связано с модельным предположением о 5-образной локализации возмущения на оси дислокации в уравнении (4). Полагая в (13) р = 0, находим дисперсионное уравнение для осесимметричных волн, локализованных на дислокации:
1 + _L a2 к2 geM0 ^ к dic
2п
2mc
a M 0
_ 0
2mc
(к2 +к2)
(14)
mx~
X
e
Выполняя интегрирование в (14) и пренебрегая малыми членами порядка величины
^Н\аМ< 2тс
0 7 2
к2-и
^НОм
2тс
<< 1,
(15)
0 к2 0
находим
и0
аМо 2 ё\е\аМо 2 ( 4па Л
10 7 2 6 Г Г"'0 2
—к-------—------к0 ехр
2тс 2тс
22
V
-а к
(16)
Первое слагаемое в правой части (16) задает закон дисперсии объемных спиновых волн [10].
Рассмотрим теперь винтовые возмущения с п = 1. Из (12) находим:
т
1,х
(р) = -1 - а2кгти (о)Х,
Ґ
2п а
Л
к- -и
2 тс ^у| а М
Л
-Р
(17)
Воспользуемся известным интегральным представлением модифицированной функции Бесселя второго рода:
^ ^ 1
^я-|а (аи) = | і 2 (і2 + а2)-ц-1 (иійі.
2Ц Г(д +1)'
Полагая в (18) ^= 1, а = х, t = х',и = р, д = 0, переходя к новой безразмерной переменной интегрирования х = х'р, а также заменяя верхний бесконечный предел интегрирования на х0р, находим:
(18)
1 ХоР
К,(ХР) = -|-
«уп *
х
ХР о х + Х Р
У1( х) йх.
(19)
Учитывая, что функция J1(х) ~ х/2 при х << 1, а х2/х2 + х2р2 * 1 при х >> хр : представим приближенно (14) в виде суммы двух интегралов, вычисление которых дает:
К,(ха) ^ У (Хоа) * ^ У, (Х„а), (Х << Хо).
8 Х Х
Из (17) и (2о) получим закон дисперсии спиновой волны при п = 1:
амо к2 - §\е\амо Х2(-а2к2
(2о)
2тс
2тс
1 о 2 - Хо
а
-у1 (Хоа)| .
(21)
Приведем также окончательное выражение, характеризующее колебания в локализованных на дислокации волнах:
т„
х (p, z, ф; ґ) = -П-!а а 2к 2т (о)к 2п а
Л
2 тс £Іе|а м о
Л
ехр і
і {кг + пф - и і).
(22)
Таким образом, нами проанализировано уравнение движения магнитного момента, на основе чего в рамках макроскопического подхода получены дисперсионные уравнения для осесимметричных (16) и винтовых (21) спиновых волн, локализованных на дислокации в ферродиэлектрике. Показано, что найденные решения представляют собой волны, поляризованные по кругу. Также исследована зависимость амплитуды локализованных волн от расстояния до дефекта.
Р
ЛИТЕРАТУРА
1. Косевич А.М. Основы механики кристаллической решетки / А.М. Косевич. М.: Наука, 1972. 28о с.
2. Гестрин С.Г. Локализация поляритонов вблизи дислокаций в ионных кристаллах / С.Г. Гестрин // Известия вузов. Физика. 1996. № 1о. С. 45-5о.
3. Гестрин С.Г. Локализация плазменных колебаний вблизи заряженных дислокаций и дислокационных стенок в полупроводниках / С.Г. Гестрин // Известия вузов. Физика. 1998. № 2. С. 92-95.
4. Гестрин С.Г. Винтовые колебания, локализованные на заряженных дислокациях в полупроводниковых кристаллах / С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников, Е.В. Щукина // Известия вузов. Физика. 2ооб. № 1о. С. 66-69.
5. Гестрин С.Г. Локализация экситонов Френкеля на дислокациях / С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников // Известия вузов. Физика. 2оо5. № 7. С. 23-25.
6. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела / Ч. Киттель. М.: Наука, 1978. 792 с.
7. Гестрин С. Г. Математическое моделирование взаимодействия спиновых волн с
дислокациями в ферромагнетиках / С.Г. Гестрин, Е.А. Сальникова // Вестник
Саратовского государственного технического университета. 2оо9. № 2(38). С. 17-23.
8. Гестрин С. Г. Локализация спиновых волн на дислокациях в ферромагнетиках (микроскопическое рассмотрение) / С.Г. Гестрин, Е.А. Сальникова // Физика твердого тела: материалы Российско-немецкой конф. Астрахань: АГУ, 2оо9.-С.69-71.
9. Гестрин С. Г. Локализация спиновых волн на дислокациях в ферромагнетиках (макроскопическое рассмотрение) / С.Г. Гестрин, Е.А. Сальникова // Физика твердого тела: материалы Российско-немецкой конф. Астрахань: АГУ, 2оо9. С. 67-69.
10. Ландау Л.Д. Теоретическая физика: в 12 т. Т. IX. Статистическая физика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1978. 447 с.
Гестрин Сергей Геннадьевич -
доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладная физика» Саратовского государственного технического университета
Сальникова Екатерина Александровна -
студентка
Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского
Gestrin Sergey Gennadyevich -
Doctor of Technical Science,
Professor of the Department of «Applied Physics» of Saratov State Technical University
Salnikova Yekaterina Aleksandrovna -
a student
of Saratov State University in the name of N.G. Chernyshevskiy
Статья поступила в редакцию 05.02.10, принята к опубликованию 08.04.10
