CC BY
18
педагогические науки
Талалов Сергей Владимирович МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ...
УДК 378
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ В МАГИСТРАТУРЕ:
СТРУКТУРА СПЕЦИАЛЬНОГО КУРСА
© 2017
Талалов Сергей Владимирович, доктор физико - математических наук, профессор кафедры «Прикладная математика и информатика» Тольяттинский государственный университет (445020, Россия, Тольятти, ул. Белорусская, 14, e-mail: svt_19@mail.ru)
Аннотация. В статье рассмотрены проблемы построения и особенности структуры специального курса «Непрерывные математические модели», предусмотренного учебным планом магистратуры направления «Прикладная математика и информатика». Структура курса рассматривается на примере изучения и построения определенных математических моделей, представляющих интерес для квантовой информатики. Обсуждается и подчеркивается связь различных этапов построения моделей с различными разделами математики и математической физики, изученными ранее. Обсуждается роль компьютерных экспериментов, проводимых в различных программах аналитических вычислений на практических занятиях.
Ключевые слова: образование, магистратура, подготовка магистров, двухуровневая система образования, высшее образование, математическое моделирование, спецкурс, математическая физика, энионы, компьютерные эксперименты, струны, косы.
MATHEMATICAL MODELING OF COMPLICATED SYSTEMS ON MASTER'S LEVEL: THE STRUCTURE OF THE SPECIAL COURSE
© 2017
Talalov Sergei Vladimirovich, doctor of physical and mathematical sciences, professor of the department of applied mathematics and informatics Togliatti State University (445020, Russia, Togliatti, 14 Belorusskaya str., e-mail: svt_19@mail.ru)
Abstract. The problems of the constructing and the structure features of the special course "Continuous mathematical models" are considered. The course is provided by the master's educational plane of the direction "Applied mathematics and informatics". The structure of this course is considered on the example of the leaning and construction of the certain models of the quantum informatics. The connection of the different stages of the models building with the various parts of the mathematics and mathematical physics is discussed. The role of computing simulation with help a certain software is discussed too.
Keywords: education, master's, tasks, preparation of masters, two-tier system of education, higher education, mathematical modeling, special course, mathematical physics, anyons, computer simulations, strings, braids.
При построении таких специальных курсов магистерской программы "Математическое моделирование" направления 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" как «Непрерывные математические модели», приходится сталкиваться с неожиданной проблемой, о которой автор обычно говорит студентам на первом занятии. Проблема заключается в том, что каждый пишущий на эту тему - прежде всего имеются ввиду авторы доступных учебников - видит содержание самого понятия «Математическое моделирование» по-своему - причем так, что между двумя разными учебниками пересечений не так много. Намеренно не приводя здесь большое количество ссылок на конкретные учебники (ср., например, [1] и [2]; остальные доступные книги несложно найти в электронных библиотечных системах, например) автор данной статьи полагает такую ситуацию нормальной. Она связана, в частности, с тем, что структура модели, ее адекватность, не могут не отражать общую степень математизации той отрасли знаний, в которой моделирование выполняется. Так, наиболее развитой частью обсуждаемой области математики, несомненно, является математическая физика, которая, по определению академика В.С. Владимирова, является "теорией математических моделей физических явлений" [3]. Таким образом, мы имеем здесь существование теории математического моделирования. В этой связи автор предпочел при выборе содержания специального курса, упомянутого в начале статьи, не сводить его к перечислению математических моделей в различных областях знаний, а сосредоточится на построении модели определенных и достаточно сложных физических систем, интересных прежде всего с точки зрения их приложения к информационным технологиям будущего.
Одной из таких технологий, как известно, является квантовая информатика - активно развивающаяся в настоящее время часть информатики, которая в будущем позволит создавать вычислительные системы недостижимой ныне мощности (см., например, [4]). Возможность построения квантового компьютера связа-
на, прежде всего, с возможностью физической реализацией кубитов - неких элементарных «ячеек» для хранения квантовой информации. Здесь существует ряд подходов, на которых мы не будем останавливаться. Одним из перспективных направлений в области построения и реализации алгоритмов квантовых вычислений является направление, предложенное в конце ХХ - начале XXI века в работах А.Ю. Китаева [5]. Данное направление связано с возможностью физической реализации таких (устойчивых к ошибкам) алгоритмов при помощи системы энионов - гипотетических частиц на плоскости, обладающих дробной статистикой. Здесь необходимо особо остановиться на важности и целесообразности построения математических моделей таких систем. Для этого необходимо напомнить, что известные в природе "элементарные" частицы (попутно необходимо напомнить простейшие сведения из школьного и общего курса физики) не могут быть энионами. Статистикой энионов могут обладать только квазичастицы - особые коллективные возбуждения многочастичных планарных (т.е двухмерных) систем, которые демонстрируют «части-цеподобные» свойства. Однако реальное, «физическое» получение таких систем - дело чрезвычайно сложное и дорогостоящее. Поэтому особую важность и ценность представляет построение математических моделей таких объектов и последующее изучение на построенных моделях их свойств. Объяснение принципиальных отличий свойств планарных систем от свойств обычных, трехмерных систем, потребует некоторого экскурса в ранее пройденные математические темы, а также ознакомления с определенными новыми понятиями - такими, например, как симметрия. Так, пространственная симметрия нашего «обычного» трехмерного пространства описывается группой движений Е(3), которая имеет подгруппу SO(3) - описывающую вращательную симметрию трехмерного пространства. На плоскости мы имеем соответственно группы Е(2) и SO(2). Особые свойсва энионов - планарных квазичастиц - связаны с тем, что группы SO(3) и SO(2) имеют различную топологиче-
Talalov Sergei Vladimirovich pedagogical
MATHEMATICAL MODELING ... sciences
скую структуру. Объяснение данной темы является хорошим примером показать, как сложные и абстрактные математические понятия и структуры (многие из которых были пройдены при прохождении бакалаврских курсов) являются полезными при построении моделей в области информатики будущего. Так, магистрантам необходимо пояснить, что особые свойства энионов обусловлены тем фактом, что группа SO(2) - группа вращений плоскости - является многосвязной. Поэтому мировые линии таких частиц образуют косы различной топологии. Здесь также целесообразно сделать небольшой экскурс в раздел малоразмерной топологии - теорию узлов. Одним из разделов данной теории, является, как известно теория кос и зацеплений. Фактически мы имеем следующую ситуацию: энионы совершают определенные движения на плоскости, которые включают в себя также и перестановки. Мировые линии группы таких частиц реализуют некоторую вычислительную процедуру. Топологические характеристики, как известно, являются устойчивыми к достаточно малым (геометрическим) деформациям объектов, поэтому «алгоритм»
- коса определенной топологии - является устойчивой к внешним воздействиям. Данное направление активно развивается в последние десятилетия (см. например, лекции [6], где отражен начальный этап развития).
Как уже отмечалось, с точки зрения физической реализации таких алгоритмов имеется определенная трудность: реальные частицы «живут» в трехмерном пространстве и обладают статистикой либо бозонов, либо фермионов. Это означает, что энионы могут быть реализованы только как планарные квазичастицы - т.е. коллективные возбуждения некой системы обычных частиц, «живущих» на квази-плоской структуре (например, тонкой пленке, либо границе раздела двух сред). Физическая реализация таких объектов является непростой задачей и представляет собой отдельное направление исследований. В этой связи представляет несомненный интерес математическое моделирование планарных систем с большим числом степеней свободы.
Одна из простейших динамических систем с бесконечным числом степеней свободы на плоскости - это «струна» - кривая X = Х(^), эволюционирующая в соответствии с заданным действием (Намбу -Гото, например; в данном случае имеется ввиду нерелятивистская редукция такого объекта). Простое введение в математическую теорию струны можно найти, например, в книге [7]. Такая кривая может иметь устойчивые особенности
- точки возврата, мировые линии которых образуют различные («крашеные») косы нетривиальной топологии. Подход, основанный на данном наблюдении, был развит в ряде работ автора (см, например, [8-10]). Основные моменты данного подхода заключаются в следующем. Эволюционирующей кривой - струне - сопоставляется пара вспомогательных спектральных задач первого порядка. Такие задачи представляют собой системы 2 х 2 обыкновенных дифференциальных уравнений вида
dT(t,x)/dx + Q(x±t; Щ£,х) = 0, (1)
где Q(x; X) и Т(х) - матрицы 2х2 (разные для разных спектральных задач), X - спектральный параметр. Струна, в том числе все ее точки возврата, восстанавливаются по матричным элементам матриц Т(1,х). При таком подходе оказывается возможным сопоставить данные рассеяния спектральных задач (1) косам мировых линий точек возврата. При этом можно проводить как численные решения данных дифференциальных уравнений, так и использовать явные формулы для так называемых ^солитонных решений. Формулы могут быть взяты, например, из работ автора на данную тему. Различному количеству точек дискретного спектра соответствуют косы с различным числом нитей, а различным спектральным конфигурациям данных рассеяния - косы различной топологии. На практических занятиях магистранты выполняют следующие действия, используя, по своему усмотрению, программы аналитических вычис-90
лений MathLab, MathCad и другие аналогичные:
1. Построение N-солитонных решений систем (1) по заданным формулам;
2. Построение и анимация планарной струны с точками возврата, отвечающей данным значениям спектра;
3. Пространственное построение мировых линий точек возврата (данный раздел дается на самостоятельную домашнюю работу);
4. Компьютерные эксперименты, позволяющие видеть, как изменение количества и расположения собственных чисел спектральных задач (1) приводит к изменению топологии кос мировых линий.
В заключительной части курса делается обзор дальнейшего развития модели, которое связано с ее квантованием. Квантование такого объекта является более сложной задачей, лежащей, конечно, вне учебного плана направления подготовки магистров «Прикладная математика и информатика». Поэтому данная часть исследования модели в спецкурсе представлена в форме проблемной лекции. Помимо общего экскурса в квантовую теорию и квантовую информатику, делается краткий популярный обзор квантовой версии модели, которая была построена в работе [9] (см. так же [10]) при помощи метода бозон - фермионного соответствия [11]. Предварительно была определена и исследована гамильтонова структура теории, наиболее подходящая в предлагаемом подходе. Следует заметить, что фундаментальные гамильтоновы переменные, фазовое пространство и связи отличаются от стандартных, принятых в теории струн. В итоге был вычислен спектр энергий E системы при произвольном значении общего собственного момента (спина) S. Спектр имеет следующий вид: E = aS + ß, где а и ß - собственные числа (константы, принимающие некоторое дискретное множество значений) определенных операторов в гильбертовом пространстве состояний рассматриваемой системы. В лекции дается также краткий обзор направлений дальнейшего развития модели, в которой предстоит установить связь различных состояний системы и топологии кос точек возврата струны в квантовом случае. Это будет означать сопоставление квантового состояния определенному «алгоритму».
Выводы. В итоге прохождения рассматриваемого курса студенты приобретают компетенции, связанные с построением достаточно сложной математической модели. Рассматриваемая модель демонстрирует необходимость синтеза знаний умений навыков, полученных в ходе изучения математических курсов бакалавриата и магистратуры. Кроме этого, на практических занятиях отрабатываются навыки работы с востребованными на практике программами аналитических вычислений, в том числе - в плане построения и визуализации трехмерных графических объектов. Несомненно, важным представляется выполненное в ходе исследования модели введение в квантовую информатику, которая в недалеком будущем может стать основой информационных технологий.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Голубева Н. В. Математическое моделирование систем и процессов [Электронный ресурс] : [учебное пособие] / Н. В. Голубева. - Санкт-Петербург : Лань, 2013.
- 192 с. : ил. - (Учебники для вузов. Специальная литература). - ISBN 978-5-8114-1424-6.
2. Юдович В. И. Математические модели естественных наук [Электронный ресурс] : учеб. пособие / В. И. Юдович. - Санкт-Петербург : Лань, 2011. - 336 с. : ил.
- (Учебники для вузов. Специальная литература). - ISBN 978-5-8114-1118-4.
3. Владимиров В.С. Что такое математическая физика? Препринт № НС-06/001 Математического института РАН . Москва. 2006.
4. Риффель Э., Полак В. Основы квантовых вычислений // Квантовые компьютеры и квантовые вычисления. Т.1. № 1. С. 4 - 57. 2000._
Karelian Scientific Journal. 2017. Т. 6. № 4(21)
педагогические науки
Талалов Сергей Владимирович
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ...
5. KitaevA.Yu. Fault - tolerant quantum computation bya nyons. / A. Yu. Kitaev/ AnnalsPhys. - 2003. - V. 303.
- P. 2 - 30.
6. PreskillJ. // Lect. Notes for Phys. 2004. V.219. p. 2
- 68.
7. Anderson M.R. The mathematical theory of cosmic strings. Bristol, IOP Publishing. 2003.
8. Талалов С.В. Об описании кос в терминах спектральных задач первого порядка. / С. В. Талалов / ТМФ. - 2009. - Т. 159. - No 1. - С. 58 - 63.
9. Talalov S.V. / The anyon model: an example inspired by string theory. / S.V. Talalov / Int. Journ. Mod. Phys. A. -2011. - V. 26. - No 3. -P. 2757 - 2772.
10. Talalov S.V. / The System of Interacting Anyons: A Visual Model Inspired by String Theory. / in book:, Progress in String Theory Reseach (editor Fred P. Davis), Nova Science Publishers, - 2016. - P. 53 - 88.
11. Погребков А.К. Бозон-фермионное соответствие и квантовые интегрируемые и бездисперсные модели. / Успехи матем. наук. - 2003. - Т.58. - вып. 5. - С. 163 -196.
Статья поступила в редакцию 07.10.2017 Статья принята к публикации 26.12.2017
