Математическое моделирование сил нормального контактного давления на грани двухкромочного ножа при резании рыбы Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 664.9.022

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИЛ НОРМАЛЬНОГО КОНТАКТНОГО ДАВЛЕНИЯ НА ГРАНИ ДВУХКРОМОЧНОГО НОЖА

ПРИ РЕЗАНИИ РЫБЫ

О. В. Агеев, В. А. Наумов, Ю. А. Фатыхов, Н. В. Самойлова

MATHEMATICAL SIMULATION OF NORMAL CONTACT PRESSURE FORCES ON THE FACETS OF DOUBLE-EDGE KNIFE DURING FISH

CUTTING

O. V. Ageev, V.A. Naumov, Ju. A. Fatykhov, N. V. Samojlova

Разработана математическая модель для определения нормального контактного давления на заднюю наклонную грань двухкромочного ножа. Предложены математические модели для расчета размерной и безразмерной сил нормального контактного давления. При резании рыбы ножом с двумя кромками вязкоупругая энергия аккумулируется в материале и высвобождается после полного погружения в материал боковых граней. Положение крайней точки контакта и объем присоединенной каверны зависят от углов заточки граней и скорости резания. Предельное положение крайней точки при увеличении скорости ножа определяется отношением тангенсов углов заточки. Сила нормального контактного давления зависит от толщины ножа, углов заточки граней, меры эластичности материала и скорости ножа. При увеличении безразмерной скорости ножа безразмерная сила достигает предела, зависящего от углов заточки и меры эластичности материала. Длина боковой грани на предел силы практически не влияет. При мере эластичности материала, равной 2, безразмерной высоте ножа, равной 2, и отношениях тангенсов углов заточки 0,7; 0,8; 0,9; 1,0 предел безразмерной силы составляет соответственно 0,735; 0,96; 1,215; 1,5. При безразмерной высоте ножа, равной 2, отношении тангенсов углов заточки, равном 0,7, и мерах эластичности материала 2; 3; 4; 5 предел составляет соответственно 0,735; 0,98; 1,225; 1,47. Отсутствие у ножа боковых граней оказывает влияние на положение крайней точки контакта и силу нормальных контактных давлений лишь при малых и средних скоростях ножа. Это объясняется тем, что при высоких скоростях процесс релаксации напряжений протекает малое время перед разгрузкой материала. При отсутствии у ножа боковых граней также образуется присоединенная каверна, обусловленная диссипацией энергии в материале, что объясняется скачкообразным изменением режима нагружения демпфера элемента Кельвина-Фойгта в реологической модели материала при контакте с угловой точкой ножа.

рыба, резание, нож, грань, реология, вязкоупругость, давление, сила, трение, модель, моделирование

A mathematical model to determine the normal contact pressure on the back inclined facet of a double-edge knife has been developed. Mathematical models for calcu-

lating dimensional and dimensionless forces of normal contact pressure have been proposed. When cutting a fish with a double-edge knife, viscoelastic energy is accumulated in the material and released after the side facets are immersed completely into the material. The position of the extreme contact point and the volume of the attached cavity depend on the facets sharpening angles and the cutting speed. The limiting position of the extreme point with increasing knife speed is determined by the ratio of the sharpening angles tangents. The normal contact pressure force depends on the knife thickness, the facets sharpening angles, the material elasticity and the knife speed. As the dimensionless knife speed increases, the dimensionless force reaches its limit depending on the sharpening angles and the material elasticity. The length of the side facet has no impact on the force limit. When the material elasticity is equal to 2, the dimensionless knife height equals 2 and the ratio of the tangent angles is 0.7; 0.8; 0.9; 1,0, then the limit of the dimensionless force is 0.735; 0.96; 1,215; 1.5, respectively. When the dimensionless knife height is equal to 2, the ratio of the tangent angles equals 0.7 and the elasticity measure of the material is 2; 3; 4; 5, then the limit of the dimensionless force is 0.735, 0.98; 1.225; 1.47, respectively. Deficiency of the knife side edges affects the position of the extreme contact point and the force of normal contact pressures only at small and medium knife speeds. This is explained by the fact that at high speeds the process of stress relaxation takes a short time before the material is relieved. At the deficiency of the knife side edges, an associated cavern is also formed due to energy dissipation in the material, which is explained by a jump-like change in the loading regime of the Kelvin-Voigt dampener in the rheological model of the material when in contact with the corner point of the knife.

fish, cutting, knife, edge, rheology, viscoelasticity, pressure, force, friction, model, simulation

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время резание рыбы лезвием является основным технологическим процессом при первичной обработке сырья [1]. Резание осуществляется ножами различных видов, которые приводятся в движение электродвигателями. Для научно обоснованного выбора геометрии лезвия, а также определения параметров электропривода необходимо знать полезные и вредные силы сопротивлений, приложенные к лезвию со стороны объекта обработки [2].

Настоящая работа является продолжением работ авторов [3-6]. В работе [3] экспериментально исследованы структурно-механические свойства рыбы. Проведены подбор и идентификация механической модели реологических свойств рыбы. Показано, что механическому поведению ткани рыбы соответствует трехэлементная модель вязкоупругого материала - модель Кельвина (стандартное вязко-упругое тело). В работе [4] разработаны математические модели сил нормального контактного давления на наклонные грани ножа при резании рыбы в одномерной постановке. В работе [5] проведено математическое моделирование сил нормального контактного давления на боковые грани ножа. В указанных работах показано, что силы нормального контактного давления на наклонные и боковые грани существенно зависят от глубины погружения ножа, геометрии лезвия, реологических свойств материала, а также от скорости движения ножа. В работе [6] определено, что при движении ножа в материале образуется присоединенная каверна,

объем которой связан с энергетическими потерями, обусловленными диссипацией энергии в вязкоупругом материале. Сокращение объема присоединенной каверны соответствует снижению количества вязкоупругой энергии, безвозвратно рассеянной в материале вследствие релаксации напряжений.

Согласно работе [6], после погружения в материал крайней точки боковой грани ножа начинается процесс разгрузки деформированного материала, обусловленный геометрической формой лезвия. При этом высвобождается запасенная в материале вязкоупругая энергия и происходит восстановительная деформация. Для использования высвобождаемой энергии необходимо сохранить контакт материала с ножом после погружения крайней точки боковой грани. Этого возможно достичь, если снабдить нож задними наклонными гранями, образующими вторую кромку. Для определения результирующей макроскопической силы трения [5] требуется разработать математическую модель сил нормального контактного давления на заднюю наклонную грань.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИЛ НОРМАЛЬНОГО КОНТАКТНОГО ДАВЛЕНИЯ

Рассмотрим двухкромочный нож, геометрическая форма которого показана на рис. 1. Такой нож имеет переднюю кромку с углом заточки 2ос и заднюю кромку с углом заточки 2/3. Нормальные контактные давления на заднюю наклонную грань (отрезок ЕН ) обусловлены напряжениями в мышечной ткани, которая деформировалась передними наклонными и боковыми гранями ножа. Установим взаимосвязь между напряжением в материале и восстановительной вязкоупругой деформацией при разгрузке материала на задней наклонной грани.

Из рис. 1 видим, что относительная деформация материала при погружении задней наклонной грани в материал изменяется от максимального значения 8/1 до нуля. Однако в отличие от процесса раздвижения материала передней наклонной гранью [4] существует крайняя точка контакта О. На отрезке СЕ имеется контакт задней наклонной грани с материалом, а на отрезке ОН контакт отсутствует. После прекращения контакта материал полностью разгружается и происходит восстановительная деформация материала с образованием присоединенной каверны [6]. Следовательно, нормальные контактные давления действуют на заднюю наклонную грань только на отрезке ОЕ, на котором происходит использование высвобождаемой при разгрузке вязкоупругой энергии. В общем случае положение крайней точки контакта О неизвестно.

Сокращение относительной деформации в процессе погружения задней кромки ножа приводит к снижению напряжений в материале до нулевого значения в крайней точке контакта. Следовательно, для нахождения силы нормальных контактных давлений материала на заднюю наклонную грань необходимо решить задачу определения напряжений в вязкоупругом материале при изменении относительной деформации на отрезке ОЕ, а также задачу определения координат крайней точки контакта О. По-прежнему будем считать, что напряжения в материале возникают только в области контакта материала с лезвием и являются нормальными к поверхности ножа, а напряжения, касательные к поверхности грани - отсутствуют.

О

Рис. 1. Схема движения двухкромочного ножа в пищевом материале Fig. 1. The sheme of double-edge knife movement in the food material

Перейдем в систему координат с центром в точке E . Заметим, что в связи с прямой формой задней наклонной грани ЕН при установившемся движении ножа разгрузка материала происходит с постоянной скоростью v • tgß. Тогда относительная деформация S зависит от времени t, скорости движения ножа в материале v и половины угла заточки задней кромки ножа ß следующим образом:

-vtgß de_=-vtgß

1 dt I

где t - время с момента полного погружения боковой грани ножа в материал.

В модели вязкоупругого материала (рис. 2 в [4]) элемент Гука и элемент Кельвина-Фойгта соединены последовательно. Следовательно, напряжения <тндет на реологических элементах будут равны, а деформации суммируются:

СГнак.п=°' 0=СГЬ (2)

е = ей+ех. (3)

В подвижной системе координат (х, у ), связанной с режущей кромкой ножа (точка О на рис. 1), зависимость напряжения в элементе Кельвина-Фойгта от деформации определяется следующим дифференциальным уравнением:

СГ,

П'У •

йу

(4)

Зависимость напряжения в элементе Гука от деформации определяется

следующим выражением:

°накп = ¿0 = Е0 ' £0 ■ (5)

Из выражений (4) и (5) имеем:

_ Онаш ~ Е\ ' Б\ .

йу

т1 -V

¿4) =■

Еп

Продифференцируем уравнение (3) и получим:

с1&г\ (%£ 1

с1е

с1у с1у с1у

С учетом (1), (6) и (7) представим выражение (8) в следующем виде:

ёе йу

¿(-у^&П)

и а

накл

+

&ШКЛ • 81

(6)

(7)

(8) (9)

Выполнив преобразования, придем к следующему дифференциальному уравнению:

с!(Т„

Е0+Ех

^накл

Ео-Е^Ъ/З Е0-ЩР

-0.

(10)

77 • V • I I

накл в материале как нормальное контакт-

(Лу 77 -V

Интерпретируем напряжение <т ное давление рнакл на заднюю наклонную грань [5]. Тогда дифференциальное уравнение (10) примет следующий вид:

Ф н

, - /-о • • Щр Е0 ■

= 0.

Ф-М- пикл т ]

77 • V • / /

Решение дифференциального уравнения (11) имеет вид:

Рпакл =С-еМк-у)~

I

■У

С

учетом

работы

[5]

и

(11) (12)

обозначения

1 ^ • 77 • V ■ ¡л ■ Ща т = 1 + -—-—. п й • ехр

Е^-д уравнения (12):

Г Г

к-

ь —

\ V

Хща

запишем граничные условия для

Рнакл (Ус ) = 0'

S-g-т

Рнакл(О)

l

(13)

(14)

Решение дифференциального уравнения (11), удовлетворяющее первому условию (13) с учетом у е (О,У(}), имеет вид:

.л -Л - »2

-rj-v-tgfi^

ехр(k-[y-yG]) %-tgP % -n-v-tgp

l

l

EI •/

Подставим второе условие (14) в выражение (15) и сократим l:

Е?

exp (-k-yG)-

£ -rj-v-tgfi

Ел

Сократим t, и получим следующее уравнение:

Уо +

Е i

•exp (-k-yG)-

^•r/'V S-т

El tgjB

= 0.

(15)

(16)

(17)

Путем решения уравнения (17) численным методом на ЭВМ определим искомую ординату Ус крайней точки контакта О. На рис. 2 приведены зависимости указанной координаты от угла заточки /? задней наклонной грани и скорости ножа.

. м

0.024

0.016

0.00Ё

\\ 4 3 2

. М

0.015

0.01

0.005

1

2

3

4

10

15

20

/3'

ю

40

70

100 130

а

б

a

Рис. 2. Координата крайней точки контакта О на задней наклонной грани: а - зависимость от угла заточки при различных значениях толщины ножа (v = 0,1 м/с; а = 6°): 1 - 8 = 0,0015 м; 2 - 8 = 0,002 м; 3 - 8 = 0,0025 м; 4 - 8 = 0,003 м; б - зависимость от безразмерной скорости при различных

значениях угла заточки: 1 - ¡3= 6°; 2 - ^=10°; 3 - ¡5= 20°; 4 - ^=40° Fig. 2. The coordinate of the extreme contact point О on the back inclined facet: - dependence on the sharpening angle for different knife thicknesses; б - dependence on the dimensionless velocity for different values of the sharpening angle

Используя выражение (16), исключим ус из выражения (15). Из (16) имеем:

Ел

ехр(- к-уе ^^^ т. Ел

Из (15) имеем:

£' ' Уа

Е(

2

ехр(Аг-у) ¿;■tgP -т] ■v■tgfi .

Рнакп (

Рнаю

V_

¡■ехр(к-ус)

I

л

I

■■у +

1-Е\

2

Е

I

1-Е\

2

^-ехр(к-у)

>УР ■ У а +

Е

2

1-Е{

ехр(к ■ у) 1-ехр(к-ус)

ехр(-к ■ у(;) ■

(18)

(19)

(20)

(21)

Подставив правую часть выражения (18) в выражение (21), получим окончательное выражение для нормального контактного давления на заднюю наклонную грань:

С \

Е, ■ г)-V -т

Е

2

ЪР

ехр(к-у)-у-

Е2

(22)

Выражение (22) имеет физический смысл при у е (0,^) в подвижной системе координат, связанной с точкой Е . Определим, возможен ли полный контакт материала с задней наклонной гранью, условия которого согласно (16) представим следующим образом:

(23)

^Р

Е}

•ехр

-к-

tgP.

Е

(24)

Решение уравнения (24) относительно ~ показывает, что оно не имеет положительных корней. Это означает невозможность полного контакта материала с задней наклонной гранью ножа при его движении с произвольной скоростью. Таким образом, при движении ножа всегда образуется присоединенная каверна, что ожидаемо, поскольку раздвижение вязкоупругого материала лезвием является необратимым термодинамическим процессом.

Пусть нож не имеет боковой грани ВЕ . Тогда граничные условия для уравнения (22) в соответствии с [5] выглядят следующим образом:

РмакЛУа) = ®'' (25)

р (0 ) =

± накл \ /

I

Щ-1

(26)

Решение дифференциального уравнения (11), удовлетворяющее первому условию (25) с учетом у е (0,^), имеет вид:

рн

% • tgP • Ус +

rj-v-tgfl

et

exp(b[v-vG]) q-tgp у д~-n-vtgp ^

I I

Подставив второе условие (26) в выражение (27) и сократив /, В,, получим следующее уравнение:

tgfi-yo +

Z-rj-vtgP

E

<5 • л • v

ехр(-А: • ) - ^^ + И' ¡£а) -8 = 0- (28)

E i

Путем решения уравнения (28) численным методом определим искомую ординату Уо крайней точки контакта О ножа, не имеющего боковой грани. На рис. 3 приведены зависимости координаты Уо крайней точки контакта О от угла заточки Р задней наклонной грани и скорости ножа.

М

0.024

0.016

0.00S

\\ 4 3 2

(\l

М

0.015

0.01

0.005

1

2 ~\

3

4

10

15

20

10

40

70

100 130

а б

Рис. 3. Координата крайней точки контакта G на задней наклонной грани ножа

с отсутствующей боковой гранью: а - зависимость от угла заточки Р при различных значениях толщины ножа (v = 0,1 м/с; ОС = 6°): 1 - 8 = 0,0015 м; 2 - 8 = 0,002 м; 3 - 8 =0,0025 м; 4 - 8 = 0,003 м; б - зависимость от безразмерной скорости при различных значениях при различных значениях угла заточки Р : 1 - Р= 6°; 2 - Р=10°; 3 - /?= 20°; 4 - Р= 40° Fig. 3. The coordinate of the extreme contact point G on the back inclined facet of the knife with no side facet: a - dependence on the sharpening angle P for different knife thicknesses; б - dependence on the dimensionless velocity for different values

of the sharpening angle P

Используя выражение (28), исключим yG из выражения (27). Из (28) имеем:

tgfi-yo + Из (27) имеем:

tgP -exp(-k-yG ) = tll!. (tgp + M-tga ) + s Et Ei

Рь

1 \

I

1-Е

■I

£-ехр {к-у)

ШР'Уо +

ь-п-^-ШР

Е 2

ехр(-к ■ у(;)

(30)

равенство:

/

Р.

Подстановка правой части выражения (30) в выражение (29) дает

■I

накл

I

ЕЕ

рн

^•ехр(Ьу)

• ) + 8;

Е2

1

i

V

е 2

/ ■ /-Г

е

2

+ ¡и-гёа) +8

I

■ ехр(£ ■ у)'

(31)

V

i i i • ел

Окончательное выражение для нормального контактного давления на заднюю наклонную грань ножа, не имеющего боковую грань, выглядит следующим образом:

Р.....=

Е2

V Е1

ехр(Ь.у)

ЪР

Е2

(32)

Выражение (32) имеет физический смысл при в системе

координат, связанной с точкой Е .

Определим, возможен ли полный контакт материала с задней наклонной гранью ножа при отсутствии боковой грани. Условие полного контакта в этом случае согласно (32) выглядит следующим образом:

(33)

'уР

е}

•ехр

-к-

8

tgP

+ = 0- (34)

Е

Решение уравнения (34) относительно V показывает, что оно не имеет положительных корней. Это означает невозможность полного контакта материала с задней наклонной гранью ножа без боковой грани при его движении с любой скоростью. Таким образом, при движении двухкромочного ножа при отсутствии боковой грани в материале также всегда образуется присоединенная каверна.

Определим силу нормального контактного давления на заднюю наклонную грань ножа Р5 . Элемент указанной силы, действующей на грань ножа в

элементарной полоске ёу длиной 1к :

<*Р5 =]к-Рпак,п^У ■ (35)

Сила нормального контактного давления на заднюю наклонную грань ножа с учетом (22) и (35) определяется следующим выражением:

= / 1

Уа

I

О

[Г \

г] • V + 8 -т

Е1

2

ехр (к ■ у)- у -

Е

ду.

(36)

Используем формулу Ньютона-Лейбница и получим выражение для силы нормального контактного давления на наклонную грань ножа:

I

Г Е, - г/ -V ^д • г Л

V Е1

2

Е

1

2

(37)

Введем безразмерную скорость V :

К<Ео+Е\) - _Уо Е0+Ех

- V--, У о ~ — > К ~

1 К П'у

р = ехр

Гк-8Л

= 1-ехр

т

(—) \ V

V • /?„

Е,

; ео1 =

0

Ел

- V • /?,„ • е,

Е2

01' X ~ 2

= V • е.

Т ~ 1 + X' ехр(£ • К) = 1 + V • е

01

Е{ -8 / Ща

'-О

01

1-ехр

1-ехр

V V у

ехр

(-Я л

V V у

V ,7 У. Ло = —:

К

С учетом выражения для безразмерной скорости из (17) получим уравнение для безразмерной координаты ус :

(Уо +1;-е01)-ехр

V '' У

Из (37) получим выражение для безразмерной силы Р5 :

1-ехр

г _ -Уо

V

Р0

- 2 - - - - (рг)2

2

(38)

I

■к

т ; 5

Разработанные математические модели (37), (38) позволяют варьировать безразмерными скоростью и высотой ножа, модулями упругости материала для исследования зависимостей размерной и безразмерной сил нормального контактного давления от указанных параметров.

На рис. 4, 5 показаны зависимости размерной Р5 и безразмерной Р5 сил от безразмерной скорости V при различных длинах боковой грани Я . На рис. 6 изображены зависимости безразмерной силы Д от угла заточки задней наклонной грани ножа при различных его толщинах 8 и отношениях е01 (мерах эластичности материала). На рис. 7, 8 показано влияние безразмерной высоты ножа Л и отношения углов заточки наклонных граней 1ар на безразмерные координа-

2

1

2

ту УG и силу Р5 . На рис. 9 приведен контурный график с зависимостью силы нормального контактного давления на заднюю наклонную грань Р5 от угла заточки задней наклонной грани и толщины ножа.

а б

Рис. 4. Сила нормального контактного давления на заднюю наклонную грань

(е01= 5; tap = 0,8): а-размерная (Р0 = 6 Н); б - безразмерная:

l-R0=4-2-R0=5-3-R0=6-4-R0=7 Fig. 4. The force of the normal contact pressure on the back inclined facet: а - dimension ( P0 = 6 Н); б - dimensionless

а б

Рис. 5. Сила нормального контактного давления на заднюю наклонную грань

(е01=5; tap = 0,8: а-размерная (Р0 = 6 Н); б-безразмерная:

1-Rq=7-2-R0 =3,3 - RQ = 1,2; 4 - R0 =0,001 Fig. 5. The force of the normal contact pressure on the back inclined facet: а - dimension ( P0 = 6 Н); б - dimensionless

Р5, Н

у

4

---2 _ 1

10

15

20

25

/з'

Р5, н

\

\ V

V V \2\

10

15

а

20 25

б

Рис. 6. Сила нормального контактного давления на заднюю наклонную грань

(V = 200; а = 5°; / = 0,05 м; L =3): а) е01 = 2; 1 - 8 = 1 мм; 2-8=2 мм; 3-8=3 мм; 4-8=4 мм; 6)8= 3 мм; 1- е01 = 2; 2 - е01 = 3,5; 3 - е01= 5; 4 - е01= 7 Fig. 6. The force of the normal contact pressure on the back inclined facet

0.6

0.4

0.2

1 A

/Р/ аг/

10

20

30

40

0.6

0.4

0.2

10

4

3

2

1

20

а

30 40

б

Рис. 7. Безразмерная координата крайней точки контакта на задней кромке ножа (e01 = 2): а) tap = 0,8; 1 - L = 1,5; 2 - L = 3; 3 - L = 5; 4 - L = 8;

б) L = 3; 1 - taf, = 0,7; 2 - ta„ = 0,8; 3 - tap = 0,9; 4 - ^ = 1,0

Fig. 7. The dimensionless coordinate of the extreme contact point on the back knife

edge

Рис. 8. Безразмерная сила нормального контактного давления на заднюю наклонную грань (е01 = 2): a) tap = 0,8; 1 - L = 1,5; 2-L = 3;3-L = 5;4-L = 8;

б) L = 3; 1 - taf} = 0,7; 2 - taf} = 0,8; 3 - ta„ = 0,9; 4 - taf} = 1,0 Fig. 8. The dimensionless force of the normal contact pressure on the back inclined facet

—— 3 ' /

1 -

5 10 15 20 25 /3°

Рис. 9. Зависимость силы нормального контактного давления на заднюю наклонную грань ножа р (в ньютонах) от угла заточки и толщины ножа

при е01 =2; v = 200; а = 5°; / = 0,05 м; L =3

Fig. 9. Dependence of the normal contact pressure force on the back inclined facet of the knife (in newtons) on the sharpening angle and the thickness of the knife

Аналогично определим силу нормального контактного давления на заднюю наклонную грань ножа с отсутствующей боковой гранью р :

Р =

I

Е

1

(ехр(£ • ус ^1) к-ХёР

2

При Я0 = 0:

г -1 + V • е.

01

1-ехр

'-О

V v Л

(39)

(40)

Из (39) и (40) получим выражение для безразмерной силы нормального контактного давления на заднюю наклонную грань ножа с отсутствующей боковой гранью:

Рб =

1 - ехр

' у1] • ((Я2 • е0\ -ус ■ е01 - (Уо)2

2

(41)

Разработанные модели (39), (41) позволяют варьировать безразмерной скоростью ножа, безразмерной высотой ножа, модулями упругости материала для исследования зависимостей размерной и безразмерной сил нормального контактного давления на заднюю наклонную грань ножа при отсутствии боковой грани от указанных параметров.

На рис. 10 приведены зависимости размерной Рб и безразмерной Р6 сил от безразмерной скорости V при различных отношениях углов заточки наклонных граней Хар; на рис. 11 - контурный график с зависимостью силы

нормального контактного давления на заднюю наклонную грань ножа с отсутствующей боковой гранью от угла его заточки и толщины; на контурных графиках рис. 12, 13 - сравнительные зависимости сил нормальных контактных давлений на заднюю наклонную грань Р5 и Рб от угла заточки и толщины ножа -при малой и большой безразмерных его скоростях.

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ Проанализируем влияние различных параметров процесса резания на положение крайней точки контакта. Результаты моделирования, представленные на рис. 2, а, показывают, что с увеличением угла заточки задней наклонной грани координата крайней точки контакта монотонно нелинейно снижается. Увеличение угла заточки при постоянной толщине ножа соответствует увеличению скорости разгрузки материала (см. рис. 1).

2

Рис. 10. Сила нормального контактного давления на заднюю наклонную грань ножа с отсутствующей боковой гранью (e01 = 3): а - размерная (P0 = 6 Н);

б - безразмерная: 1 - tap = 0,7; 2 - tap = 0,8; 3 - tap = 0,9; 4 - tap = 1,0

Fig. 10. The force of the normal contact pressure on the back inclined facet of the knife with no side facet (e01 = 3): а - dimension (P0 = 6 Н); б - dimensionless

S. 7^

1 --

5 10 15 20 25 ¡3°

Рис. 11. Зависимость силы нормального контактного давления на заднюю наклонную грань ножа с отсутствующей боковой гранью P6 (в ньютонах) от угла заточки и толщины ножа при е01 = 2; V = 200; ОС = 5°; / = 0,05 м Fig. 11. Dependence of the normal contact pressure force on the back inclined facet of the knife with no side facet P6 (in newtons) on the sharpening angle and the thickness

of the knife

Рис. 12. Силы нормальных контактных давлений на заднюю наклонную грань р и Р6 (в ньютонах) при V = 20 (е01 = 2; а =5°; / = 0,05 м) Fig. 12. The forces of the normal contact pressures on the back inclined facet P5

and P6 (in newtons)

s

з

5 10 15 20 25 /3°

Рис 13. Силы нормальных контактных давлений на заднюю наклонную грань р и Р6 (в ньютонах) при V = 200 (e0l=2; а = 5°; / = 0,05 м) Fig. 13. The forces of the normal contact pressures on the back inclined facet P5

and P6 (in newtons)

Соответственно с увеличением скорости разгрузки нарастает отставание высокоэластической восстановительной деформации от процесса разгрузки. При этом с ростом толщины ножа ожидаемо увеличивается координата крайней точки контакта, поскольку запасенная в материале вязкоупругая энергия зависит от величины деформации. Одновременно рис. 2, б демонстрирует, что с увеличением безразмерной скорости ножа координата крайней точки контакта монотонно нелинейно возрастает и достигает предела. Это объясняется релаксацией напряжений в материале при его деформировании боковой гранью. С ростом скорости ножа сокращается время, в течение которого происходит релаксация напряжений при контакте материала с боковой гранью. Вследствие этого диссипация энергии, запасенной в деформированном вязкоупругом материале, осуществляется в существенно меньшем количестве. При больших скоростях ножа процесс релаксации практически не успевает протекать, и влияние скорости на положение крайней точки контакта заметно снижается. Причем с увеличением скорости разгрузки материала, определяемой величиной угла заточки грани, снижается влияние процесса релаксации напряжений на положение крайней точки контакта.

При отсутствии у ножа боковой грани не происходит релаксация напряжений при постоянной деформации материала. Поэтому результаты моделирования, представленные на рис. 3, а, в целом соответствуют результатам на рис. 2, а, однако из-за отсутствия диссипации энергии координата крайней точки контакта больше для ножа без боковой грани. Это соответствует сокращению объема присоединенной каверны.

Как и следовало ожидать, при отсутствии релаксации напряжений влияние скорости ножа на положение крайней точки контакта несущественно и заметно лишь при малых скоростях (рис. 3, б). В связи с этим пределы координаты крайней точки контакта совпадают с пределами, соответствующими ножу с боковой гранью.

Рис. 4, 5 демонстрируют, что размерная и безразмерная силы нормального контактного давления на заднюю наклонную грань с увеличением безразмерной скорости монотонно нелинейно возрастают и достигают пределов. Безразмерная длина боковой грани оказывает влияние на величины указанных сил только при малых скоростях ножа, в связи с чем пределы сил практически не зависят от длины боковой грани. С ее увеличением процесс релаксации напряжений протекает дольше, а силы нормального контактного давления снижаются вследствие диссипации вязкоупругой энергии в материале. В то же время, как видно по рис. 5, при сокращении безразмерной длины боковой грани размерная и безразмерная силы при малых скоростях существенно возрастают, поскольку диссипация вязкоупругой энергии становится малой. Пределы указанных сил зависят от меры эластичности материала и отношения тангенсов углов заточки.

Результаты моделирования, представленные на рис. 6, показывают, что с увеличением угла заточки задней наклонной грани сила нормального контактного давления монотонно нелинейно снижается. Это является следствием сокращения площади контакта материала с наклонной гранью, поскольку координата крайней точки контакта также снижается (рис. 2, а). При этом увеличение толщины приводит к возрастанию указанной силы вследствие увеличения деформации материала. В то же время при возрастании меры эластичности материала указанная сила увеличивается, что объясняется усилением мгновенно-упругих свойств сырья.

При достижении углом заточки задней наклонной грани значения 90° сила нормального контактного давления принимает нулевое значение.

Рис. 7, 8 демонстрируют зависимости безразмерной координаты крайней точки контакта и безразмерной силы нормального контактного давления на заднюю наклонную грань от безразмерной скорости при изменении геометрических параметров ножа - безразмерной высоты и отношения тангенсов углов заточки граней. С увеличением безразмерной высоты ножа координата крайней точки контакта снижается, объем присоединенной каверны увеличивается, что объясняется диссипацией вязкоупругой энергии в материале. При увеличении отношения тангенсов углов заточки указанная координата возрастает, что связано с уменьшением скорости разгрузки материала и означает рост площади контакта. При любых безразмерных высотах ножа предел безразмерной координаты крайней точки контакта равен отношению тангенсов углов заточки передней и задней наклонных граней.

С увеличением безразмерной высоты ножа безразмерная сила нормального контактного давления снижается при малых и средних скоростях, что объясняется релаксацией напряжений в материале. При увеличении отношения тангенсов углов заточки указанная сила возрастает, что связано с уменьшением скорости разгрузки материала и ростом площади контакта материала с наклонной гранью.

От безразмерной высоты ножа предел силы практически не зависит, однако зависит от меры эластичности материала и отношения тангенсов углов заточки. При мере эластичности материала, равной 2, безразмерной высоте ножа, равной 2, и отношениях тангенсов углов заточки 0,7; 0,8; 0,9; 1,0 предел безразмерной силы составляет соответственно 0,735; 0,96; 1,215; 1,5. При безразмерной высоте ножа, равной 2, отношении тангенсов углов заточки, равном 0,7, и мерах эластичности материала 2; 3; 4; 5 предел составляет соответственно 0,735; 0,98; 1,225; 1,47.

Контурный график на рис. 9 показывает зависимости размерной силы нормального контактного давления на заднюю наклонную грань от геометрических параметров ножа. Как видно из данного графика, указанная сила монотонно нелинейно возрастает при снижении угла заточки задней грани (вследствие увеличения площади контакта материала с ножом), а также при увеличении толщины ножа (вследствие роста деформации материала наклонной и боковыми гранями).

Результаты моделирования, представленные на рис. 10, относятся к ножу без боковой грани и демонстрируют, что сила нормального контактного давления с увеличением безразмерной скорости ножа монотонно нелинейно увеличивается и достигает предела. Увеличение отношения тангенсов углов заточки приводит к существенному возрастанию силы, поскольку увеличивается площадь контакта материала с ножом. При мере эластичности материала, равной 3, и отношениях тангенсов углов заточки 0,7; 0,8; 0,9; 1,0 предел безразмерной силы составляет соответственно 0,98; 1,28; 1,62; 2. Отметим, что пределы сил Р5 и Р6 при больших скоростях совпадают.

Результаты на рис. 11 соответствуют результатам на рис. 9. Вместе с тем рис. 12, 13 показывают, что при малых скоростях ножа силы нормальных контактных давлений для ножа с боковой гранью и без боковой грани заметно отличаются при малых углах заточки задней грани и больших толщинах ножа. При больших скоростях ножа указанные силы практически не отличаются. Причиной этого, как указывалось выше, является влияние релаксации напряжений при по-

стоянной деформации материала боковой гранью ножа. При отсутствии же боковой грани диссипация энергии не протекает, а вязкоупругая энергия сохраняется и высвобождается при разгрузке материала на задней наклонной грани. На рис. 12, 13 линии, соответствующие силе Р5, расположены выше линий, соответствующих силе Рб. Это означает, что в случае отсутствия боковой грани при одинаковом угле заточке задней наклонной грани определенное значение силы нормального контактного давления будет достигнуто при меньшей толщине ножа.

С учетом вышеизложенного следует отметить, что при движении ножа в вязкоупругом материале происходят преобразования энергии. При раздвижении материала передними наклонными гранями механическая энергия движения ножа преобразуется в вязкоупругую энергию материала. В процессе релаксации напряжений вязкоупругая энергия превращается в тепловую. При разгрузке материала на задних наклонных гранях осуществляется обратное преобразование вязкоупругой энергии материала в механическую энергию движения ножа.

Согласно [7], вязкоупругой является энергия механически вязкоупруго измененного тела, освобождаемая при снятии нагрузки. Указанный вид энергии условно относится к потенциальному, в то время как механическая и тепловая энергии отнесены к кинетическим видам. Запасенная вязкоупругая энергия может превращаться в гравистатический, гравидинамический, механический, тепловой, электростатический, электродинамический и магнитостатический виды энергии. В процессе резания вязкоупругая энергия при разгрузке превращается в механическую и тепловую.

В трехэлементной реологической модели материала (рис. 2 в [4]) вязкоупругая энергия накапливается в пружинах, а в реальном теле накопление связано с наличием межмолекулярных сил притяжения и отталкивания. Как видно из результатов моделирования (рис. 3-13), преобразование энергии при раздвиже-нии материала лезвием всегда сопровождается потерями, обусловленными переходом части энергии в тепловой вид. Это связано с необратимым в термодинамическом смысле характере деформации элементарного объема вязкоупругого материала. Наличие цикла частично обратимого превращения энергии из механического в вязкоупругий вид позволяет ожидать сокращения энергетических затрат на преодоление макроскопической силы трения [5] при движении в материале двухкромочного ножа. Такой энергетический выигрыш будет заметно зависеть от протекания термодинамически необратимого релаксационного процесса, т. е. определяется длиной боковой грани ножа, скоростью резания и реологическими свойствами материала. Показателем производства энтропии при деформировании материала является объем присоединенной каверны, который сокращается с увеличением скорости ножа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. При резании рыбы двухкромочным ножом вязкоупругая энергия аккумулируется в материале при его деформировании передней наклонной гранью и частично высвобождается после полного погружения в материал боковой грани. При этом на задние наклонные грани действуют силы нормального контактного давления и образуется присоединенная каверна. В процессе резания происходит частично обратимое преобразование механической энергии движения ножа в по-

тенциальную вязкоупругую и тепловую энергии, а также производится энтропия, показателем которой является объем присоединенной каверны.

2. Положение крайней точки контакта на задней наклонной грани и соответственно объем присоединенной каверны зависят от углов заточки граней и скорости резания. Предельное положение указанной точки определяется отношением тангенсов указанных углов.

3. Математическое моделирование показывает, что сила нормального контактного давления зависит от толщины ножа, углов заточки грани, меры эластичности материала и скорости ножа. При увеличении безразмерной скорости ножа безразмерная сила достигает предельного значения, зависящего от углов заточки граней и меры эластичности материала. Длина боковой грани на предельное значение силы практически не влияет.

4. Отсутствие у ножа боковых граней оказывает влияние на положение крайней точки контакта и силу нормальных контактных давлений лишь при малых и средних скоростях ножа. Это объясняется тем, что при высоких скоростях процесс релаксации напряжений протекает малое время перед разгрузкой материала.

5. При отсутствии у ножа боковых граней, тем не менее образуется присоединенная каверна, обусловленная диссипацией энергии в материале. Это объясняется скачкообразным изменением в угловой точке ножа режима нагружения демпфера элемента Кельвина-Фойгта в трехэлементной реологической модели материала.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Бредихин, С. А. Технологическое оборудование рыбоперерабатывающих производств / С. А. Бредихин. - Москва: МОРКНИГА, 2013. - 749 с.

2. Агеев, О. В. Совершенствование технологического оборудования для первичной обработки рыбы: опыт, проблематика, системный подход: научная монография / О. В. Агеев, Ю. А. Фатыхов. - Калининград: Изд-во ФГБОУ ВПО «КГТУ», 2015. - 261 с.

3. Агеев, О. В. Выбор и идентификация реологической модели структурно-механических свойств мышечной ткани рыбы / О. В. Агеев, Ю. А. Фатыхов, Н. В. Самойлова // Известия Калининградского государственного технического университета. - 2018. - № 49. - С. 61-78.

4. Математическое моделирование сил нормального контактного давления на наклонные грани ножа при резании рыбы / О. В. Агеев [и др.] // Известия Калининградского государственного технического университета. - 2017. - № 47. - С. 80-96.

5. Агеев, О. В. Математическое моделирование сил нормального контактного давления на боковые грани ножа при резании пищевых материалов / О. В. Агеев, В. А. Наумов, Ю. А. Фатыхов // Научный журнал Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики. Сер.: Процессы и аппараты пищевых производств. - 2017. - № 4. - С. 27-42. - Б01: 10.17586/2310-1164-2017-10-4-27-42.

6. Агеев, О. В. Математическое моделирование процесса восстановительной деформации материала и образования присоединенной каверны при резании

рыбы / О. В. Агеев, В. А. Наумов, Ю. А. Фатыхов // Известия Калининградского государственного технического университета. - 2018. - № 48. - C. 61-78.

7. Malkin, Ya. А. Rheology: conception, methods, and applications / Ya. А. Malkin, A. I. Isayev. - Toronto: ChemTec Publishing, 2012. - 510 p.

REFERENCES

1. Bredihin S. A. Tehnologicheskoe oborudovanie rybopererabatyvajushhih pro-izvodstv [Manufacturing equipment of fish processing productions]. Moscow, MORKNIGA, 2013, 749 c.

2. Ageev O. V., Fatykhov Yu. A. Sovershenstvovanie tekhnologicheskogo obo-rudovaniya dlya pervichnoi obrabotki ryby: opyt, problematika, sistemnyi podkhod [Perfection of manufacturing equipment for primary fish processing: experience, problems, system approach]. Kaliningrad, Izdatel'stvo FGBOU VPO "KGTU", 2015, 261 p.

3. Ageev O. V., Fatykhov Yu. A., Samoilova N. V. Vybor i identifikacija reo-logicheskoj modeli strukturno-mehanicheskih svojstv myshechnoj tkani ryby [Selection and identification of rheological model of the structural-mechanical properties of muscular fish tissue]. Izvestija Kaliningradskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universi-teta, 2018, no. 49, pp. 61-78.

4. Ageev O. V., Naumov V. A., Fatykhov Yu. A., Samoilova N. V. Matematich-eskoe modelirovanie sil normal'nogo kontaktnogo davleniya na naklonnye grani nozha pri rezanii ryby [Mathematical simulation of normal contact pressure forces of inclined knife facets during fish processing]. Izvestija Kaliningradskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta, 2017, no. 47, pp. 80-96.

5. Ageev O. V., Naumov V. A., Fatykhov Yu. A. Matematicheskoe modelirovanie sil normal'nogo kontaktnogo davlenija na bokovye grani nozha pri rezanii pish-hevyh materialov [Mathematical simulation of normal contact pressure forces on side knife facets during cutting of food materials]. Nauchnyj zhurnal Sankt-Peterburgskogo nacional'nogo issledovatel'skogo universiteta informacionnyh tehnologij, mehaniki i optiki. Serija: Processy i apparatypishhevyhproizvodstv, 2017, no. 4 (34), pp. 27-42.

6. Ageev O. V., Naumov V. A., Fatykhov Yu. A. Matematicheskoe modelirovanie processa vosstanovitel'noj deformacii materiala i obrazovanija prisoedinennoj kaverny pri rezanii ryby [Mathematical simulation of the material strain recovery process and attached cavity formation during fish cutting]. Izvestija Kaliningradskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta, 2018, no. 48, pp. 61-68.

7. Malkin Ya. А., Isayev A. I. Rheology: conception, methods, and applications. Toronto, ChemTec Publishing, 2012, 510 p.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Агеев Олег Вячеславович - Калининградский государственный технический университет; кандидат технических наук; доцент кафедры пищевых и холодильных машин;

E-mail: oleg.ageev@klgtu.ru

Ageev Oleg Vjatcheslavovich - Kaliningrad State Technical University; PhD in Engineering, Associate Professor, Department of Food and Refrigeration Machines; E-mail: oleg.ageev@klgtu.ru

Наумов Владимир Аркадьевич - Калининградский государственный технический университет; доктор технических наук, профессор; заведующий кафедрой водных ресурсов и водопользования; E-mail: van-old@rambler.ru

Naumov Vladimir Arkadievich - Kaliningrad State Technical University; Doctor of Engineering, Professor; Head of Water Resources and Water Management Department; E-mail: van-old@rambler.ru

Фатыхов Юрий Адгамович - Калининградский государственный технический университет; доктор технических наук, профессор; заведующий кафедрой пищевых и холодильных машин; E-mail: yuriy.fatyhov@klgtu.ru

Fatykhov Juriy Adgamovich - Kaliningrad State Technical University; Doctor of Engineering, Professor; Head of the Department of Food and Refrigeration Machines; E-mail: yuriy.fatyhov@klgtu.ru

Самойлова Наталья Владмимировна - Калининградский государственный технический университет; аспирант кафедры пищевых и холодильных машин;

E-mail: procyon@mail.ru

Samojlova Natalia Vladimirovna - Kaliningrad State Technical University; Post-graduate student of the Department of Food and Refrigeration Machines;

E-mail: procyon@mail.ru