CC BY
83Заключение
Предложенный подход и разработанная инструментальная система, ориентированные на решение задач извлечения знаний и понимания текста на естественном языке, предоставляют исследователю удобные и развитые механизмы для анализа разнородной информации, представленной в виде электронных информационных ресурсов.
Инструмент получения информации и знаний, ориентированных на конкретного человека-эксперта, учитывающий как общие знания о предметной области, так и его личную модель понимания, является неоценимым подспорьем для любых научно-технических и коммерческих исследований.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Андреев В.. Батищев С., Виттих В., Ивкушкин К., Минаков И., Ржевский Г., Сафронов А., Скобелев П. Методы и средства создания открытых мультиагентных систем для поддержки процессов принятия решений // Известия академии наук. Теория и системы управления. 2003. № 1.
2. Андреев В В., Ивкушкин КВ., Мичаков И.А., Ржевский И.А., Скобелев П.О. Конструктор онтологий для разработки мультиагентных систем // Тр. 3-й Междунар. конф. по проблемам управления и моделирования сложных систем. Самара. 4-9 сентября 2001. Самара: СНЦ РАН, 2001. С. 480-488.
3. Андреев В В, Ивкушкин К В.. Карягин Д.В.. Минаков И.А., Ржевский Г.А., Скобелев И.О.. Томин М.С. Разработка мультиагентной системы понимания текста // Тр. 3-й Междунар. конф. по проблемам управления и моделирования сложных систем. Самара, 4-9 сентября 2001. Самара: СНЦ РАН, 2001. С. 489-495.
4 Андреев В В Волхонцев Д.В. Ивкушкин К В., Карягин Д.В., Минаков И А., Ржевский Г.А., Скобелев П О. Муль-
тиагентная система извлечения знаний //Тр. 3-й Междунар. конф. по проблемам управления и моделирования ложных систем. Самара, 4-9 сентября 2001. Самара: СНЦ РАН, 2001. С. 206-212.
5. Минаков И.А. Разработка автоматизированной системы построения отологии предметной области на основе анализа текстов на естественном языке // Вестн. Самар, гос. техн. у-та. Сер. «Технические науки». Самара: СамП'У, 2004. Вып. 20. С. 44-48.
6. Андреев В . Гельфанд М., Ивкушкин К., Казаков А., Новичков П., Томин М.. Вольман С.. Минаков И, Скобелев II. Мультиагентная система для интеллектуального поиска рефератов стачей по молекулярной биологии. // Тр. 4-й Междунар. конф. по проблемам управления и моделирования сложных систем. Самара, 17-24 июня 2002. Самара: СНЦ РАН. 2002. С. 338 - 345.
7. Андреев В.. Минаков П., Лахин О , Сальков А., Скобелев П. Развитие элементов самоорганизации и эволюции в мультиагентном гортале социокультурных ресурсов Самарской области // Тр. 6-й Междунар. конф. по проблемам управления и моделирования сложных систем Самара, 14-17 июня 2004. Самара: СНЦ РАН, 2004. С. 277281.
8. Алексеев А.. Вольман С., Минаков И., Орлов А., Томин М Создание мультиагентной системы автоматической обработки, преобразования и коррекции логистических сообщений стандартных форматов обмена бизнес-данными // Тр. 6-й Междунар. конф, по проблемам управления и моделирования сложных систем, Самара. 14-17 июня 2004. Самара: СНЦ РАН. 2004. С. 270-276.
9. Андреев В . Вольман С, Ивкушкин К, Карягин Д., Минаков И. Пименов А., Скобелев П., Томин М. Разработка мультиагентной системы интеллектуальной обработки и классификации документов // Тр. 5-й Междунар. конф. по проблемам управления и моделирования сложных систем. Самара, 17-21 июня 2003. Самара: СНЦ РАН. 2003. С. 317-323.
Статья поступила в редакцию 14.10.2004 г
УДК 621.865.8
В. Н. Нестеров, К. В.Жеребятьев
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ШЕСТИЗВЕННОГО МАНИПУЛЯТОРА УНИВЕРСАЛЬНОГО ПРОМЫШЛЕННОГО РОБОТА.
ПРЯМАЯ КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ РОБОТА ПР125
Получена кинематическая модель шестизвенного манипулятора универсального промышленного робота, необходимая для моделирования погрешностей и верификации алгоритмов систем управления манипуляторами.
К важнейшим задачам, возникающим в процессе разработки, проектирования и доводки универсальных промышленных роботов, относятся задачи создания и верификации алгоритмов систем управления манипуляторами. Решение первой из них требует исследования структуры, геометрии и кинематики механической системы с пространственными многоподвижными ме-
ханизмами. Решение второй органично вытекает из первой, поскольку требует построения математических моделей погрешностей универсальных манипуляторов и осуществления их компенсации перед сдачей в эксплуатацию. К последним относятся погрешности повторяемости и позиционирования [1].
Предметом исследования кинематики манипулятора является описание геометрии движения манипулятора относительно некоторой заданной абсолютной системы координат без учета сил и моментов, порождающих это движение. Здесь выделяют две основные задачи. Первая из них, называемая прямой задачей, или задачей анализа, заключается в поиске закона изменения абсолютных координат характеристической точки ТСР (ЮоКсеЩег-рошО на выходном звене манипулятора по заданным законам изменения относительных или абсолютных присоединенных координат сочленений звеньев. Вторая задача, называемая обратной, или задачей синтеза, состоит в определении по требуемым траекториям изменения положения характеристической точки выходного звена соответствующих им изменений углов сочленений в приводах манипулятора.
Рассмотрим решение первой задачи применительно к структуре шестизвенного универсального манипулятора, являющейся в настоящее время наиболее перспективной для построения различных типов промышленных роботов.
Под механизмом данного манипулятора будем понимать разомкнутую цепь звеньев, последовательно соединенных вращательными кинематическими парами пятого класса. Первое звено манипулятора будем называть его основанием, а последнее - конечным звеном. Все звенья манипулятора рассматриваются как твердые тела. Пронумеруем звенья в порядке возрастания, начиная от основания, которому присвоим индекс 0, до конечного звена, которому присвоим индекс п.
Соседние звенья соединяются элементарным сочленением, имеющим две соприкасающиеся поверхности, скользящие друг относительно друга. Из шести типов различных элементарных сочленений: вращательного, поступательного, цилиндрического, сферического, винтового и плоского, наиболее часто используют вращательное и поступательное [2]. Прономеруем сочленения манипулятора в том же порядке, что и звенья. Сочленением 1 будет считаться точка соединения звена 1 и основания манипулятора. В соответствии с первоначальной постановкой каждое звено соединено не более чем с двумя другими с тем, чтобы не было образовано замкнутых цепей.
Для каждого последующего / -того звена на оси его сочленения определяется ортонорми-рованная декартова система координат О1Х1, где 1 = 1,...,п\ п - число сочленений. Далее выбираются правила привязки систем координат к звеньям манипулятора. Если принять соглашение Денавита и Хартенберга [3], то каждая система координат формируется на основе следующих правил:
- ось 2, направляют вдоль оси (/ +1)-го сочленения;
- ось X1 совпадает с общим перпендикуляром к осям (/ — |)-го и /-того сочленений и направлена от (/ - 1)-го сочленения;
- ось у, выбирается по правилу правой тройки векторов.
При этом остается некоторая свобода привязки 0-й базовой и п-й систем координат: координатная ось 2о направляется вдоль оси первого сочленения, а последняя, п -ная система координат, может быть связана с любой точкой и -ного звена так, чтобы ось Х„ была перпендикулярна оси 2,1-1 •
В этом случае взаимное расположение (/-1)-го и /-того звеньев манипулятора определяется представленными в табл. 1 четырьмя геометрическими параметрами.
Положительные направления векторов расстояний принимаются при совпадении их направлений с направлениями соответствующих координатных осей, а углов - по правилу правого винта. Все отсчеты производятся относительно нулевого положения механизма.
Однако при определенных соотношениях параметров, например, при малом угле а, между осями смежных сочленений (звено с квазипараллельными осями), такое описание становится плохо обусловленным. Действительно, если расстояние между осями сочленений в плоскости X 1-\ К|_| (конструктивная длина звена) обозначить /,, а расстояние между осями и 2, -а,, то для параметра </, можно записать:
\JlzfL
51п_(а,)
Таблица 1
Параметры модели Денавита-Хартенберга
Параметр Определение параметров модели
У/ Присоединенный угол между осями Х1-1 и X,. определяемый поворотом ОСИ Х,~\ вокруг оси 2/-1 ДО совпадения по направлению с осью X,
di Расстояние между осями Х)-1 и X/, определяемое вдоль оси 2)-\
а, Расстояние между осями 2/-1 и 2,, измеряемое вдоль оси X,
а, Угол между ОСЯМИ 2,-1 И 2, , определяемый поворотом ОСИ 2,-1 вокруг ОСИ X, ДО совпадения по направлению с осью 2;
Тогда для малых а, получаем:
Пт |</,(а,)| = ос.
а, -->0
Для описания таких звеньев можно использовать соглашение Хайяти [4], заключающееся в следующем:
- ось 2, направляют вдоль оси (/-1) -го сочленения;
- начало системы координат О, X, У,2, помещают в плоскости х,- 1Ю-1;
- ось X, лежит в плоскости, проходящей через точку О, 1 па оси / -того сочленения и направлена от этой оси.
Тогда взаимное расположение (/ — 1)-го и /-того звеньев манипулятора определяется параметрами, представленными в табл. 2.
Таблица 2
Параметры модели Хайяти
Параметр Определение параметров модели
У, Присоединенный угол между ОСЯМИ Х/-\ и X1 1 определяемый поворотом ОСИ Хг-\ вокруг оси 2,-1 > до совпадения по направлению с осью X,
а, Расстояние между осями 2,-1 11 2,, измеряемое вдоль оси X,
а, Угол между ОСЯМИ 2,-1 И 2/ • определяемый поворотом ОСИ 2,-1 вокруг ОСИ X, ДО совпадения по направлению с осью 2,
м Угол между осями Х'-\ и X,, определяемый поворотом ОСИ X, 1 вокруг оси У, до совпадения по направлению с осью X,
Наличие в модели угла /?. приводит к определенным трудностям при анализе и требует
дополнительных вычислений.
Возможен и другой подход, основанный на модификации О-Х модели [5]. В этом случае предлагаемые соглашения следующие:
- ось 2, направляют вдоль оси (/ + 1)-го сочленения;
- начало системы координат О/Х/У,!, помещают в плоскости ЛГ<-|У/~|;
ось X, лежит в плоскости Х,-\Ум. перпендикулярна проекции оси 2, на эту плоскость и направлена от оси 2/-1.
Для данной модели геометрические параметры, позволяющие описать взаимное расположение (/ -1) -го и / -того звеньев манипулятора, представлены в табл. 3.
Приведенный набор параметров устойчив, поскольку связь между линейными параметрами звена не зависит от угла а, и определяется соотношением
*? + «?=/?.
Обобщенный набор параметров /-того звена для исходной и модифицированной Д-Х моделей приведен на рис. 1.
Параметры сочленений манипулятора
Параметр Определение параметров
9, Для вращательного сочленения - угол поворота относительно оси £>-1
Для поступательного сочленения - величина перемещения по оси 1
и Ключ, определяющий тип сочленения: 0 - вращательное сочленение, 1 - поступательное сочленение
На рис. 2 показана модель манипулятора универсального промышленного робота ПР125 с параметрами Денавита-Хартенберга и осями присоединенных систем координат.
Прямая задача кинематики для манипулятора предусматривает определение положения и ориентации (декартовых координат и углов Эйлера) характеристической точки на выходном звене манипулятора по заданным положениям сочленений. Для ее решения обычно используют метод преобразования координат. Известно множество методов преобразования координат [2, 4, 6-16], отличающихся друг от друга правилами выбора осей присоединенных систем координат. Наиболее перспективен матричный метод последовательного построения систем координат, связанных с каждым звеном кинематической цепи, предложенный Денавитом и Хартен-бергом [3]. Смысл метода Денавита-Хартенберга заключается в построении однородной матрицы преобразования размерности 4x4 , описывающей положение системы координат каждого звена относительно системы координат предыдущего звена:
Л.ЗхЗ г 3x1 Поворот Сдвиг
Juъ 1x1 Перспектива Масштаб
где #3x3 * матрица поворота размерностью 3x3; /*3><| - матрица 3x1, задающая положение вектора начала повернутой системы координат относительно абсолютной; /)х3 - матрица размерностью 1x3, задающая преобразование перспективы; 1x1 - множитель глобального масштабирования (глобальное сжатие или расширение координат).
Тогда, чтобы перейти от известных координат точки р в системе координат / -того звена к координатам этой точки в системе координат, связанной с /-1-м звеном, необходимо выполнить преобразование
Р,-\ = Т р.,
где Р =(*/,>',,2/. 1 )' - расширенный вектор положения, определяющий однородные координаты точки р в системе координат /-того звена; р(_, = (х,-1»Уы > */-1 > 1 У - расширенный вектор положения, определяющий однородные координаты этой же точки р в системе координат /-1 -го звена.
Поскольку множитель глобальною масштабирования в робототехнике всегда равен 1, а матрица преобразования перспективы /|х3, принимающая разные значения в задачах машинного зрения, для универсального манипулятора всегда имеет значение [0 0 о], то отказ от использования упомянутых матриц в расчетной модели позволяет высвободить ресурсы операционной системы реального времени, под управлением которой работает универсальный промышленный робот, и упростить математические модели манипулятора, необходимые для выявления и анализа его погрешностей.
На основании изложенною и с учетом соглашений Денавита-Хартенберга матрицу ориентации /?0 (матрицу направляющих косинусов) и вектор положения р0 инструмента относительно основания манипулятора можно представить следующим образом:
Л(, = 01 (^102 (^2 (^3 (^4 £?5 (-^5 £?6С^б )))))) ’ )
Ро = (П + А02 (>2 + Л203(г3 + (г4 + А&5 (г5 + А5д6 (г6 + А6 рг )))))), (4)
где Я0 - матрица ориентации (матрица направляющих косинусов) инструмента относительно основания манипулятора; 0|--06 - матрицы поворота каждого последующего звена манипулятора относительно предыдущего; А\"'Аь ~ матрицы поворота системы координат каждого
Хтх Утх 2тх РТх
Хту Уту ІТу ; Рт = РТу
Хтг У Гг .Рт-..
последующего сочленения относительно предыдущего; Ят - матрица ориентации инструмента относительно инструментального фланца манипулятора; р{) - вектор положения инструмента относительно основания манипулятора; гугь ~ векторы смещения системы координат каждого последующего звена относительно предыдущего; рт- вектор положения инструмента относительно инструментального фланца манипулятора.
При этом матрицы ориентации и положения инструмента
Яг =
где Хтх’"2тг - скалярные произведения единичных векторов, связанных с соответствующими системами координат; Ргх"' Ріг ~ координаты вектора положения инструмента в декартовой системе координат.
Матрицы Лі • и вектора описывают звенья манипулятора:
А, =
где а,, в,, а,, с/, - параметры Д-Х.
Выражения (3) и (4) можно представить в виде следующих рекуррентных соотношений:
'10 0 СО5(0,) 5ІП(0,) 0 а,
0 С08(а,) -5Іп(а;) ; 2,= 5ІП(0,) СО5(0,) 0 ; п = 0
0 зш(а,) сое (а,) 0 0 1 А
\ Я, ~ А, ■ Qм■ _ - [і 5І‘ |^о=0і
І Рі = г, + А, ■ 0І+І ■ рІ+!’ ’ ’ |»0 =У, Рі
(5)
1^6 = гб + Ав • Рт
где матрицы л, и векторы р1 описывают, соответственно, ориентацию и положение инструмента относительно / -того звена манипулятора:
Хх, Ух, гхі Рхі
Ху, Ууі 2 у, ; Рі = Руі
хЛ Уг, 2;,_ .Ргі.
(6)
Параметры модели Денавита-Хартенберга для манипулятора УПР ПР125 приведены в
табл. 5:
Таблица 5
Параметры модели Д-Х для манипулятора УПР ПР125
Сочленение 1 градус а,. градус О/. мм сі ] і мм
1 0 90 410 865
2 -90 0 -1000 0
3 0 -90 -45 0
4 0 90 0 1000
5 0 -90 0 0
6 0 0 0 210
Здесь во, - нулевое положение сочленения.
Такое расположение систем координат звеньев дает описание с минимальным числом ненулевых параметров. Однако при этом направления положительного вращения в сочленениях оказываются противоположными направлениям, указанным в документации на робот ПР125. Учтем это, представив параметры в, в матрицах соотношений (5) выражениями:
01 ~ 001 ~ <7; !
где - значения углов поворота сочленений манипулятора согласно документации на УПР.
Ф°Р Матрицы, описывающие 6-е звено (инструментальный фланец), примут
вид
"1 0 o' ' 0 ‘
0 1 0 ; >6 = 0
0 0 1 210
Аь ~
Тогда для положения и ориентации инструмента относительно этого звена получим
/?6 = Л7-; РХ6 = РТх ; Руб ~ РТу ’ РгЬ=<*Ь + РГг-
cos (-qb) -s\n(-qb) o' "o'
0 0 1 ; rs = 0
_-sin(-t/6) -cos (-<?6) 0 .0.
Отсюда следует:
= cos(“ Яь)х*6 - sin(- Чь)*уь; *>5 = Х:6'
Yx$ = cos(- qb)yx6 ~ sin(~ Чь)УуЬ '> У у$ = *^6 >
2x5 = COs(- qb)zxb - sin(- Яь)2у6 ; 2>.s = Zr6 i
pr5 = cos(- q6)px 6 - Sin(— 96)/>>6; Py$ = Pr6;
^405 =
X-5 = -sin(- q6)x 16 -cos(_ Яб)хy6;
yz5 = -sin(- ^6)y.t6_ cos(" Яь)Уу<>' Zz5 = -sin(- ?6)zx6 - cos(_ <?б)2Уб ; Pz5 = — sin(— 9б)Рх6 - C0S(~ Яь)руь ■
cos (-<75) — sin(—iy5) o 0 '
0 0-1 ; r4 = 0
sin(-^5) cos(-?5) 0 1000
Тогда
Хл - cos(- фл - sin(- ; Jf,.=-Л»: *-•« - +cof
r„ - «*(- ,>* -»»(- ; »-r„; *--< *si" - «f * T “t qty!'
7t4 . cos(- q^Zxs -M-?s)z,>: Z,4 = -Z,s; z;. -™(- ?5)zrf+«*(-?s)z,5.
Px4 = cos(-?s)pj5-sin(-?5)p,j; P,t=-P„i '* '
Для 3-ro звена (предплечье)
^3 04 =
cos (-i?4) -sin(-^4) o' '45'
0 0 1 ; Гз = 0
-sin(-<74) -cos(-^4) 0 0
откуда
Xxi - cos(- ,4).vrf- sin(- «.)*,.; AT,»- Jf.«; •*•,3 —«"(- *)*--cos - 4.)** ■
■ ra - cos(- ?4)Ун; r* - ГИ i »--3 = - -f :
z^=cos(-,4)z,4-sin(-«4)z,4; z,3 = z,4; zo-*{-»Jz--«(-»Jz^.
Pl) = a3+cos(-,4)P,4-Sin(-?4)^4; ^ = -Prt: ^3 = •
Для 2-roзвена(плечо)
Л2 £?3 -
sin(—<73) cos(-^j) о
"-1000'
; r2 ~ 0
1 0
Отсюда получаем
Y„ - cos(- ,,)Лй-sin(- фу,; Jf,l = «"(- 4*«» + cos - «з)*»з. *.2 ■- х.-з.
COS<- фз-М- ь)УуЗ ; ^2 - Я»(- ЬV.3 + ««(- ,3 К,,, Гй - Г: ,.
Z„ - cos(- ?3)Z„ - .in(- ч ,)zy,; Z,2 - sin(- „)Z,,+cos(- ft)z„! Z,2 Z,3.
25
Рх2 = 02 + с<*(- ч^)рхз - біп(- 93)^>13; ру2 = —8Іп(— ц3)рх3 -С08(- ?3)^,3; = /?23 .
Для 1-го звена (колонна) имеем
А\ 02 =
откуда следует:
Хх\ = 5Іп(- Ят)Хх2 + с<к(- д2)хУ2 ; Хуі = -Хг2 і Х:\ = -сов(- q^Xx2 + яіп(-</2)^2 і
г,і = -Ух2;
віп(-<72) со8(-<72) 0 410
0 0 1 ; г\ = 0
_-СО8(-02) 8Іп(-^2) 0 865
Кхі = ^Іп(— <?2)г*2 + СОв(- ЧІ)їу2 ; гх| = 8Іп(- Ц^)ІХ2 + СОв(- Ц^)1У2 ;
рх] = а\ + віп(— <72)/7х2 + сов(- Ч2)ру2 '■
Г*1=— СО8(-02)г;г2 + 8Іп(-?2)]г>2;
7.у\ — — 2г2 > 2-і = — соз(— ^2)^д;2 + 5Іп(— ^2)2^2 >
Ру\ = -/»*2; Р*і = <і\-соз(-д2)рх2 + віп( д2)ру2 .
И, наконец, для основания манипулятора получим
сов(—д,) -8Іп(-0,) 0
0,= 8ІП(-<7,) СОв(—^Г,) 0
0 ° 1_
Соответственно,
Ххо = соз(- ц)хх\ - 5ІП(- Я\)ху\ і Хуо = віп(- Я\)Хх\ + сов(- ; *,0 = Хг\ і
К,о = С0І5(- ?і)к*і - віп(- 9,)у;,]; уг0 = »іп(— Ч\)ух\ + с°5(- 9і)і>і; К-о = У.-1;
2дг0 = СОб(— <7]д-] — 8Іп(— q^)Zyl > 2_у0 = 8'п(— Я\)%х\ + С05(— ?|)2у1 > 2г0 ~ 2-І >
= С05(- 9і)р,і - 5ІП(- Я])ру\; /^0 = 5ІП(" <?і)ргі+ сов(- ?,)/>,,; /?_.0 = /?г1 .
В результате выполненных преобразований получены составляющие матрицы ориентации /?0 и вектора рц положения инструмента относительно основания манипулятора, что и составляет решение прямой задачи кинематики для рассмотренного манипулятора.
Матричное описание вращения тела позволяет упростить многое операции. Однако для этого требуется использовать все девять элементов матрицы поворота. Непосредственно эти элементы не составляют полной системы обобщенных координат, позволяющей описать ориентацию вращающегося твердого тела относительно абсолютной системы координат. В качестве обобщенных координат в робототехнике используются углы Эйлера. При этом существует много различных систем углов Эйлера. В данной задаче будем использовать такую последовательность поворотов:
1) поворот на угол А относительно оси 02 базовой системы координат манипулятора;
2) поворот на угол В относительно оси ОУ системы координат, полученной первым поворотом до совпадения с осью ОХ инструмента;
3) поворот на угол С относительно оси ОХ системы координат инструмента до совпадения с системой координат инструмента.
На рис. 3 представлена ориентация инструмента в виде углов Эйлера.
Оґв
/
/ / А
/ V
Г
/
Р и с. 3. Представление углов ориентации инструмента в виде углов Эйлера
Представим матрицу ориентации Л0 в виде произведения матриц описанных элементарных поворотов следующим образом:
Ло = л(л)л(я)л(с),
іде
Ф)=
С08(Л) — 8ІП(у4) 0 С08 (В) 0 Б І п( /?) Г1 0 0
біп(^ ) собМ) 0 ; Ф) = 0 1 0 ; Л(С) = 0 соз(С) — 8ІП(С )
0 0 1 -5ІП(Я) 0 соз(й) 0 8ІП(С) соз((,')
•(7)
Поскольку поворот на угол С осуществляется относительно оси ОХ инструмента, то величины проекций этой оси на оси базовой системы координат будут инвариантны относительно угла С . Названные проекции составляют первый столбец матрицы ориентации /?0:
Хо‘
Хо =
%
Л-0
(8)
(9)
(Ю)
11роизведение матриц (7) дает для этих проекций следующие выражения:
Д'1.0 = со5(л)со5(#); Л'уо = 5т(л)со5(я); х:о = ~^п{в)
На основании очевидных соотношений
бЦя) = - Х:0 ; соз(д) = ^XТо + Х2уо с использованием стандартной функции арктангенса получаем выражение для угла В:
В = ашп2(- Х,о,у1х2хо + Х2уо).
Заметим, что согласно (8) косинус угла В всегда положителен.
В свою очередь, для угла А имеем
вт(/1)=Л>/со8(Я): со5(а)=Ххо/со$(в)-
Так как общий знаменатель в (9) и (10) всегда положителен и не влияет на значение арктангенса. то для угла А получим
Л = аГап2(хуо,Ххо)-
Проведя обратное преобразование, получим числовые значения элементов матрицы /?(С):
/?(с)=/?(Я)Г/?(л)Г/?0. (11)
Для второго столбца этой матрицы справедливы соотношения:
У.Г(С) = соз(в)-(соз(л)ух0 + вЦ/Оу^о)- 5т(я)у20!
К;.(С) = -5т(^)ух0 + со я(А)Ууо5
г Ас) = 8т(/?)- (со$(а)ухц + 8т(л)уго)+ со$(В)у:о ■
С учетом предс тавления /?(с)в виде (7) получим:
сов(С) = у у (С) = соз(л) Уу0 - зт(/1 )ух0;
51п(с)=У,(с) = 5т(д)- (соз(^)ухо + 5'п(л)кго) + со5(^)тго •
Тогда, используя полученные ранее А и В, находим С :
С = ашп2 (.8т(#)- {ьо$(а)ум + з1п(.4)>'>0)+ со8(й)у\0 .(сов^у^о ~ 51п(л) Гхо)) •
Достоинство описания ориентации с использованием углов Эйлера заключается в том, что вся информация о положении и ориентации рабочего органа в пространстве может быть сосредоточена в шестимерном векторе ХУ7АВС, зная который, легко сформировать матрицу результирующего преобразования.
Таким образом, в настоящей работе построена модель и решена прямая кинематическая задача для манипулятора универсального промышленного робота ПР125, что необходимо для моделирования погрешностей робота и верификации алгоритмов его системы управления.
Особенности модели заключаются в том, что она учитывает точные геометрические размеры звеньев механизмов манипулятора, влияющие на взаимное пространственное расположение осей подвижности сочленений и размерных баз его присоединительных элементов, точные значения начальных положений всех сочленений манипулятора. Модель полностью параметри-зируема и инвариантна к конструкциям звеньев и типам сочленений манипулятора, обладает наименьшей аналитической и вычислительной сложностью и дает возможность привязки базовой системы координат к любому звену механизма без необходимости изменения параметров и перестройки модели.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
I. Нестеров В Н. Ж^/н'бятнев КВ Метол измерительною контроля пофешностей калибровки шарнирных манипуляторов универсальных промышленных роботов // Датчики и преобразователи информации систем измерения. контроля и управления "ДАТЧИК-2004": Сб. матер. XVI Науч.-тех. конф с участием зарубеж спец. Пол рел. проф. В.Н.Азарова М.: МГИЭМ. 2004. С. 343-345.
2 Фу К.. Гонсалес Р., Ли К Робототехника: Пер. с англ. М.: Мир. 1989. 624 с.
3. Denavil J., Ilarlenberg R.S. A Kinematic Notation for Lower-Pair Mechanisms Based on Matrices // J. Appl. Mech. June 1955 P 215-221.
4 Hayaii S.A., Mirmirani M Improving the Absolute Positioning Accuracy of Robot Manipulators // J. Robotic Systems 2(4). 1985. P 397-413.
5 Newman W S, et al Calibration of a Motoman P8 Based on Laser Tracking. Center for Automated Intelligent Systems Research. Case Western Reserve University, OH. 1998. Technical Note TR 98-105.
6 Hayaii S A Robot Arm Geometric Link Parameter Estimation // In Proc. 22nc* IEEE Conf. Decision and Control, Dec. 1983 P. 1477-1483.
7. Hayaii S.A.. Mirmirani M A Software for Robot Geometry Parameter Estimation // Presented at the Robots West Conf. - SME paper MS84-I052, Nov. 1984.
8. Hsu T W, Everett L.J. Identification of the Kinematic Parameters of a Robot Manipulator for Positional Accuracy Improvement /7 In Proc. 1985 Computers in Engineering Conf. and Exhibition. 1985. Vol. I. P .263-267
9. Mooring B.W. The Effect of Joint Axis Misalignment on Robot Positioning Accuracy // In Proc. 1983 Computers in Engineering Conf. and Exhibit. 1983. Vol. 2. P. 93-103.
10 Tucker M R.. Ferreira N D A Pose Correction Algoritm // In Proc. 1985 Winter Ann. Meeting, Dynamic Systems: Modeling and Control. Nov. 1985. Vol. 1. P. 93-103.
11 Wu C. A Kinematic CAD Tool for the Design and Control of a Robot Manipulator // Int. J. Robotics Res. - Spring 1984. Vol. 3. N. 1. P. 58-67.
12. Воробьев Е.И.. Панов С.А., Шевелева Г И. Механика промышленных роботов. Кинематика и динамика. М. Высш. 1нк., 1988. С 18-73.
13. Зенкевич С.Л.. Ющенко А.С. Управление роботами. М.: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 400 с.
14. Накано Э. Введение в робототехнику. М.: Мир, 1988. С. 70-105.
15. Петров Б.А. Манипуляторы. М.: Машиностроение, 1984. С. 28-45.
16. Попов Е.П Письменный Г.В Основы робототехники. М.: Высш. шк., 1990. С. 36-45.
Статья поступила в редакцию 17.11 2004 г.
