Математическое моделирование распространения нелинейных импульсов в линиях с дисперсией и потерями Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.311.1; 530.1 (534.222.2)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСОВ В ЛИНИЯХ С ДИСПЕРСИЕЙ И

ПОТЕРЯМИ

Е.С. БЕЛАШОВА Казанский государственный энергетический университет

Предлагаются подходы к численному исследованию распространения нелинейных импульсов тока и напряжения в электрических линиях при учете дисперсионных характеристик линии и потерь на основе математического моделирования систем уравнений КдВ-типа.

1. Основные уравнения и постановка задачи

При изучении характера распространения по проводнику (например, кабелю или неизолированной воздушной линии) наведенных внешним источником волн тока и напряжения (ВТН) в работе [1] было показано, что для линии, которая включает распределенные нелинейные элементы (например, полупроводниковые (параметрические) диоды, варисторы или разрядники в качестве нелинейных емкостей и др. - см., в качестве примера, рис. 1), эволюция импульса ВТН описывается системой уравнений

д tI + Л[1,и,Я,Ь] = 0,

д и+в [1,и,с,о ]=о, (1)

—<»< х <ю, t > 0, где функционалы А и В в (1) имеют вид:

Л = (а 11дхи + р 1 дЗхи + ЩИ ,

В = (а 2 и д х1 + р 2 д 3х1 + Ои)/С ,

Я, С, Ь, О — распределенные параметры: сопротивление, емкость, индуктивность и коэффициент утечки (проводимость), рассчитанные на единицу длины; а 1, а 2 и в 1, в 2 — параметры, определяющие вклад соответственно нелинейных и дисперсионных эффектов. В результате получается система уравнений Кортевега-де Вриза (КдВ), учитывающих возможные потери в линии:

Гд ,1 + (а 11д хи + в 1 д хи + Я1)/Ь = 0,

[д (и + (а 2 ид х1 + в 2 д 3х1 + Ои)/С = 0.

В простейшем случае отсутствия тока в линии роль начальных условий будут играть равенства

I (х ,0 ) = 0, и (х ,0 ) = 0. (3)

Условия на границах должны выбираться исходя из конкретных условий рассматриваемой физической задачи.

В частности, это может быть задача, когда на проводящую линию оказывается внешнее воздействие от источника, которым является удаленный от

© Е.С. Белашова

Проблемы энергетики, 2007, № 5-6

проводника разряд молнии [2, 3]. В качестве поводящей линии может быть принят, например, кабель или неизолированная воздушная линия. Основной причиной появления

критических перенапряжений в проводнике, индуцированных разрядом молнии, в данном случае будет являться возникновение ВТН вследствие растекания зарядов,

"подтянутых" электростатическим Рис. 1. Элемент линии с магнитной связью полем грозового облака. При быстром разряде облака такие заряды на проводнике, находящемся в плохо проводящей среде, растекаются по оболочке кабеля, образуя ВТН.

Аналитическое решение задачи Коши (2), (3) для системы уравнений КдВ, учитывающих потери (последние члены в правых частях) в замкнутой форме может быть получено только для некоторых частных (наиболее простых) случаев с использованием аппарата специальных функций. Для произвольных же граничных условий аналитические решения отсутствуют. В связи с этим несомненную актуальность приобретает разработка численных подходов к интегрированию систем типа (2).

Целью настоящей работы является развитие методов численного моделирования систем уравнений КдВ типа (2), описывающих распространение нелинейных импульсов в электрических линиях при учете дисперсионных характеристик линии и потерь.

2. Численные подходы к интегрированию

Из соображений удобства численного интегрирования уравнения (2)

перепишем в безразмерном виде:

Г д{1 + «! 1дхи + р!дЗхи + ~11 = 0, І0 и + а2ид х1 + в 2 д XI + ~ 2 и = 0,

(4)

где коэффициенты а!,2, в 1,2, У 1,2 также являются безразмерными.

Следуя [4], рассмотрим несколько методов интегрирования системы уравнений (4), базирующихся на идеологии конечно-разностных подходов. Опуская в обозначениях коэффициентов значок «тильда», запишем систему (4) в виде

д(W + а і м>д хи + в ід хи + у і^ = 0; д іи + а 2 ид xw + в 2 д Xw + у 2 и = 0.

(5)

Рассмотрим для системы (5) трехслойную явную схему порядка аппроксимации 0( т 2 , И 4):

^«+1 - ^«-1 I I

2 т

= ^wn (ип+ 2 • - 8и” • + 8иИ1 • - и” • )+— (и) 3 • -

12 И 1+21+11 “і1 8 И 1+3

- 8и” 2 +13и",. -13и” , + 8ип 2 - и” 3 )-у 1 wи;

г + 2, ] г+1, ] г-1,] 1-2,] 1-3,]) г’

„«+1 - и”-1 а2 I \ в 2 {

.Л--------г--= _А_ип • -8wn.1 • + 8wи1 • - wn 2 • )+— (wи+3 • -

2т 12и г ' г+2,] г+1,] г-1,] г-2,] ' 8И3 г+3,]

- 8wи+2 • +13wи+1 • -13wи1 • + 8wи2 • - wи3 • )- у2ип. (6)

г +2,] г+1,] г-1,] г - 2,] г-3,] 1 ‘2 г у ;

В разностных уравнениях (6) т и И - шаги сетки по времени и пространственной координате х соответственно; индексы пробегают значения 1 < г < М; 1 < п < N, где М определяется размером пространственной сетки;

N = 77т, где Т - время расчета. Значения функций w0,1, и0,1 для 1 < г < М

находятся из начальных условий задачи Коши:

w(х,0) = ф 1(х), дtw(х,0) = ф2(х); и(х,0) = у 1(х), д*и(х,0) = у2(х);

функции ф 1 и у 1 есть заданные при * = 0 распределения тока и

, 0,1 0,1 напряжения в проводнике. Значения w_1 0- м+1 М+2 , и_1 0- М+1 М+2

определяются условиями на границах области интегрирования.

Методом, изложенным в работе [4], можно показать, что для схемы (6) требование устойчивости при достаточно малом шаге И выражается приближенно неравенством

т < 0,4(И2 /в 1 + в2 ). (7)

Ограничение на шаг по времени, которое дает формула (7), при расчете распространения ВТН на достаточно больших временах в достаточно длинных линиях весьма существенно увеличивает время моделирования. Кроме того, на каждом временном слое требуется запоминать значения каждой из функций на двух предыдущих слоях. Поэтому такую сравнительно простую схему, как (6), вряд ли целесообразно использовать для исследования ВТН в длинных линиях в асимптотике * ^ да . Однако она может оказаться полезной для моделирования динамики становления решения на начальной стадии эволюции импульса ВТН.

В качестве альтернативы рассмотрим следующую неявную схему,

аппроксимирующую уравнения системы (5) с точностью 0(т 2 ,И 4 ):

п

г_ = (ип+21 - 8ип+11 + 8ий+1 - ии+21)

г \ г +2 г+1 г-1 г-2 /

wи+1 - wn

—г---------— =------^

т 24 И

+ wn (и" - 8и( + 8ип 1 - ип 2 )]+

г г + 2 г +1 г 1 г 2

+ -!^- (иП+31 -8 иП+1 +13 иП+11 -13 ия+1 + 8 ии+21 -иП+1 +

3 г+3 г+2 г+1 г-1 г-2 г-3

16 И 3

+ иП+3 -8иП+ 2 +13иП+1 -13и" + 8и" - и" 3 )-

г +3 г+2 г+1 г-1 г-2 г-3 /

- т- (П+1 + -п);

Неявная схема (8) для достаточно малых шагов И является абсолютно устойчивой и реализуется методом монотонной 7-точечной прогонки, при этом процедура вывода соответствующих уравнений (см. [4]) аналогична случаю 5точечной прогонки, который рассматривается в многочисленной монографической и учебной литературе (см., например, [5]).

Схема (8), по сравнению с явной схемой (6), является значительно более экономичной с точки зрения временных затрат и объема используемой памяти ЭВМ, и ее предпочтительнее использовать для моделирования распространения импульсов ВТН в длинных линиях на достаточно больших временах. В следующем разделе приведем некоторые результаты использования схем (6) и (8) в задачах исследования эволюции импульса ВТН в цепях типа показанной на рис. 1.

3. Некоторые результаты моделирования импульсов ВТН

В работе [1] приведены результаты решения задачи (1), когда при быстром разряде облака заряды на проводнике, находящемся в плохо проводящей среде, растекаются по нему, образуя ВТН. В этом случае в правой части второго уравнения присутствует функция нестационарного источника ВТН / (Ь,х ) = £ ( х)[ йЦ ( )/й ], где Ц - заряд грозового облака; | - функция, описывающая геометрию задачи. Здесь, с целью иллюстрации эффективности изложенных в предыдущем разделе методов, мы приведем результаты для более простого случая, когда / (Ь,х ) = 0.

Задача (2), (3) решалась нами численно с использованием как явной (6), так и неявной (8) схем. Результаты численного интегрирования для функционалов А и В , определяемых элементами электрической цепи, описывают эффекты воздействия индуцированных ВТН на параметры функций I(Ь,х) и и(Ь,х) в кабельной линии (рис. 2, 3). В численных экспериментах при этом наблюдались следующие случаи.

Г Е

-и Л

/ V

Ґ = 0 мкс гч- II О с і = 100 мкс

ТТ д

6

Л

, Л

д[ і

/ /

г = с тс і 50 ш с г = 100 мкс

Рис. 2. Эволюция амплитуды и формы импульса напряжения в линии без потерь (Я = О = 0) при а 1 = а 2 = 1 в зависимости от параметров линии: а - р 1 = р 2 = 3,47 х 10 ;

б - р 1 = р 2 = 1,02 х 10-4

Для Я = С = 0 из начального импульса либо формировался солитон ВТН с осциллирующим хвостом позади главного максимума (рис. 2, а; рис. 3, а), либо, для достаточно больших аг/рг (г = 1,2) (зависящих от соотношений параметров линии Я, С, Ь, О), начальный импульс распадался на последовательность устойчивых солитонов ВТН (рис. 2, б; рис. 3, б).

При достаточно малых потерях в линии (малые ~ 1, ~2 или Я, О) на начальной стадии формировались солитоноподобные импульсы ВТН с крутыми передними фронтами, амплитуды которых в процессе распространения в линии экспоненциально затухали (рис. 3, б). В случае больших Я, О импульсы солитонного типа не формировались.

Л-f -D

I

J 1

■'

1

у f\

\

f

f г-™-

u. h 7

j

m

J

1

\

KM

л

Рис. 3. Эволюция амплитуды и формы импульса напряжения в линии при t = 100 мкс, a i = а 2 = 1 для параметров: а - р1 = р 2 = 3,42 х 10-3 , у i = у 2 = 0,15 ;

б - р 1 = р 2 = 1,02 х 10 -4, у 1 = у 2 = 0,05

В численных экспериментах было также установлено, что для некоторых специальных начальных условий (форма ВТН при t = 0) для определенных значений параметров линии может наблюдаться явление параметрического усиления напряжений и токов в линии [1].

Полученные результаты могут быть полезными при решении задач эксплуатационной надежности и оптимизации, с точки зрения

помехоустойчивости, проектирования электротехнических систем и их структур, а также при исследовании причин изменения показателей качества электроэнергии, когда иные методы исследования распространения ВТН в линиях, кроме численного моделирования, оказываются непригодными.

Summary

The approaches to numerical study of propagation of the nonlinear current and voltage pulses in the electric lines with due account of the dispersive characteristics of the line and the electric losses on the basis of mathematical modelling of the sets of the KdV-type equations are proposed.

Литература

1. Белашов В.Ю., Белашова Е.С., Денисова А.Р. Исследование распространения ВТН в электрических линиях с линейной и нелинейной нагрузкой // Изв. вузов. Проблемы энергетики. - 2006. - № 11-12. - С. 25-33.

2. Belashov V.Yu., Belashova E.S., Denisova A.R. Theory and numerical simulation of the internal EM fields excited by the external source in the cable lines of different assignment // Proc. XVII Intern. Wroclaw Symp. on EMC. Wroclaw, Poland, June 29 - July 1, 2004.

3. Белашов В.Ю., Денисова А.Р. Воздействие внешних электромагнитных полей на проводящие линии // Научно-технический форум с международным участием «Высокие технологии - 2004»: Матер. докл. Ижевск, 2004. - С. 23-30.

4. Белашов В.Ю., Белашова Е.С., Аношен А.В. Идеология и реализация численных подходов к интегрированию к интегрированию уравнений КП и 3-DNLS-классов. - Казань: КГЭУ. - 2003. - 37 с. Деп. ВИНИТИ 11.02.2003 г., № 273-В2003.

5. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978. - 592 с.

Поступила 22.03.2007