Научная статья на тему 'Математическое моделирование распространения эпидемии коронавируса COVID-19 в Москве'

Математическое моделирование распространения эпидемии коронавируса COVID-19 в Москве Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
3305
1091
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Computational nanotechnology
ВАК
Область наук
Ключевые слова
коронавирус COVID-19 / математическое моделирование / логистическое уравнение / сценарии развития эпидемии / coronavirus COVID-19 / mathematical modeling / logistic equation / epidemic development scenarios

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кольцова Элеонора Моисеевна, Куркина Елена Сергеевна, Васецкий Алексей Михайлович

Для моделирования распространения коронавируса COVID-19 в Москве применяется дискретное логистическое уравнение, описывающее рост численности заболевших. Для проверки адекватности математической модели проведено сравнение результатов моделирования с распространением коронавируса в Китае. Определены параметры логистического уравнения для Москвы на интервале [01.03.20–08.04.20]. Приведено сравнение показателей роста численности инфицированных COVID-19 для ряда европейских, азиатских стран и США. Рассмотрены 4 сценария распространения коронавируса COVID-19 в Москве. Для каждого сценария получены кривые прироста числа инфицированных и графики увеличения общего числа заболевших, изучена динамика распространения инфекции по дням. Определены времена пиков, периоды эпидемии, численность инфицированных на пике и их прирост.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Кольцова Элеонора Моисеевна, Куркина Елена Сергеевна, Васецкий Алексей Михайлович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Mathematical modeling of the spread of COVID-19 in Moscow

To model the spread of COVID-19 coronavirus in Moscow, a discrete logistic equation describing the increase in the number of cases was used. To verify the adequacy of the mathematical model, the simulation results were compared with the spread of coronavirus in China. The parameters of the logistics equation for Moscow on the interval [01.03–08.04] were defined. A comparison of growth rates of the number of infected COVID-19 for a number of European, Asian countries and the USA is given. Four scenarios of the spread of COVID-19 in Moscow were considered. For each scenario, curves of the increase in the number of infected people and graphs of the increase in the total number of cases were obtained, and the dynamics of infection spread by day was studied. Peak times, epidemic periods, the number of infected people at the peak and their growth were determined.

Текст научной работы на тему «Математическое моделирование распространения эпидемии коронавируса COVID-19 в Москве»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ,

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

MATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS AND COMPLEXES OF PROGRAMS

05.13.18 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ,

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

(физико-математические науки)

MATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS AND COMPLEX PROGRAMS

DOI: 10.33693/2313-223X-2020-7-1-99-105

Математическое моделирование распространения эпидемии коронавируса COVID-19

в Москве

Э.М. Кольцова1, а ©, Е.С. Куркина1, 2' b ©, А.М. Васецкий1, c ©

1 Российский химико-технологический университет имени Д.И. Менделеева, г. Москва, Российская Федерация

2 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, г. Москва, Российская Федерация

а E-mail: kolts@muctr.ru b E-mail: e.kurkina@rambler.ru c E-mail: amvas@muctr.ru

Аннотация. Для моделирования распространения коронавируса COVID-19 в Москве применяется дискретное логистическое уравнение, описывающее рост численности заболевших. Для проверки адекватности математической модели проведено сравнение результатов моделирования с распространением коронавируса в Китае. Определены параметры логистического уравнения для Москвы на интервале [01.03.20-08.04.20]. Приведено сравнение показателей роста численности инфицированных COVID-19 для ряда европейских, азиатских стран и США. Рассмотрены 4 сценария распространения коронавируса COVID-19 в Москве. Для каждого сценария получены кривые прироста числа инфицированных и графики увеличения общего числа заболевших, изучена динамика распространения инфекции по дням. Определены времена пиков, периоды эпидемии, численность инфицированных на пике и их прирост.

Ключевые слова: коронавирус COVID-19, математическое моделирование, логистическое уравнение, сценарии развития эпидемии

Благодарности. Авторы выражают благодарность аспиранту РХТУ имени Д.И. Менделеева Шаневой А.С. за помощь в оформлении статьи.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ 05.13.18

ССЫЛКА НА СТАТЬЮ: Кольцова Э.М., Куркина Е.С., Васецкий А.М. Математическое моделирование распространения эпидемии коронавируса COVID-19 в Москве // Computational nanotechnology. 2019. Т. 7. № 1. С. 99-105. DOI: 10.33693/2313-223X-2020-7-1-99-105

DOI: 10.33693/2313-223X-2020-7-1-99-105

Mathematical modeling of the spread of COVID-19 in Moscow

E.M. Koltsova1,a ©, E.S. Kurkina1' 2' b ©, A.M. Vasetsky1' c ©

1 Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, Moscow, Russian Federation

2 Lomonosow Moscow State University, Moscow, Russian Federation

a E-mail: kolts@muctr.ru b E-mail: e.kurkina@rambler.ru c E-mail: amvas@muctr.ru

Abstract. To model the spread of COVID-19 coronavirus in Moscow, a discrete logistic equation describing the increase in the number of cases was used. To verify the adequacy of the mathematical model, the simulation results were compared with the spread of coronavirus in China. The parameters of the logistics equation for Moscow on the interval [01.03-08.04] were defined. A comparison of growth rates of the number of infected COVID-19 for a number of European, Asian countries and the USA is given. Four scenarios of the spread of COVID-19 in Moscow were considered. For each scenario, curves of the increase in the number of infected people and graphs of the increase in the total number of cases were obtained, and the dynamics of infection spread by day was studied. Peak times, epidemic periods, the number of infected people at the peak and their growth were determined.

Key words: coronavirus COVID-19, mathematical modeling, logistic equation, epidemic development scenarios.

Acknowledgements. The authors are grateful to the postgraduate student A.S. Shaneva of D. Mendeleev University for help in editing the article.

1. ВВЕДЕНИЕ

В статье для описания распространения эпидемии в Москве используется дискретное логистическое уравнение. Впервые логистическое уравнение в дифференциальной форме применил бельгийский математик Пьер Ферхюльст в 1845 г. [1] для моделирования роста населения. Принципиальное отличие от математической модели Томаса Мальтуса (представленной в знаменитой работе «Опыт закона о народонаселении» [2]), описывающей экспоненциальный рост популяции, заключается в том, что модель Ферхюльста учитывала конкуренцию за ресурсы, приводящую к ограниченности роста популяции. В 1920 г. логистическое уравнение в дифференциальной форме

^ = Xy (1 - y dt { N

(где параметр Л характеризует скорость размножения; параметр N - максимально возможную численность популяции)

стало широко использоваться американским биологом Раймондом Пирлом [3] для роста народонаселения, который дал этому уравнению фактически вторую жизнь.

В настоящее время использование данного уравнения нашло широкое применение в математической биофизике, что хорошо отражено в монографиях российских биофизиков Г.Ю. Ризниченко и А.Б. Рубина [4; 5]. Уравнение Ферхюльста нашло и сейчас применение в работах для моделирования коронавируса COVID-19 в Китае [6], Швеции [7]. Уравнение Ферхюльста применительно к распространению эпидемии имеет две неподвижные (стационарные) точки: у1 = 0, у2 = N. Вторая точка является аттрактором (т.е. устойчивой). Стационарной точкой является максимальное значение численности жителей, которые заболеют. С течением времени, какое бы значение не принимал показатель роста в уравнении, численность популяции будет стремиться к N только с разным периодом времени выхода на этот стационар. Существует большая разница между максимальным числом жителей, которые потенциально могут заболеть,

и максимальным значением фактически заболевших жителей. Первое значение численности много больше численности фактически заболевших жителей.

Поэтому в работе используется дискретное логистическое уравнение, которое также имеет два параметра: показатель роста численности заболевших, максимальное значение численности жителей, которые потенциально могут быть инфицированы коронавирусом COVID-19.

Дискретное логистическое уравнение получило широкую известность благодаря работам американского ученого М. Фейгенбаума [8], который обнаружил интересные закономерности, получаемые с помощью этого уравнения и создал теорию универсальности для дискретных отображений. В частности, он показал, что при изменении обезраз-меренного показателя роста в уравнении в интервале 3-4 возникают бифуркации удвоения периода, а при значении показателя роста равным ~3,5699 логистическое уравнение генерирует хаотические колебания. Дискретное логистическое уравнение после этих работ стало широко использоваться для моделирования различных процессов [9; 10]. Для адекватного дискретного описания явлений важной характеристикой является выбор шага, дискретного интервала времени, на котором рассматриваются численности популяции.

По расчетам Нобелевского лауреата Майкла Левитта, сделанного для Китая, за 24 часа 1 человек в Китае мог заразить 2,2 статистических человека. То есть один человек мог заразиться от другого на интервале времени ~10,9 часов. Поэтому для дискретного логистического уравнения брался интервал времени, равный 12 часам. Этот период близок к 10,9 часам и удобен для сравнения расчетных и фактических данных. Иными словами численность популяции заболевших пересчитывается каждые 12 часов, а сверяются данные через сутки.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

РАСПРОСТРАНЕНИЯ КОРОНАВИРУСА COVID-19

Логистическое уравнение для описания распространения коронавируса COVID-19 имеет вид

- N

(1)

y = x N; a = Л.

' n n '

Тогда уравнение (1) преобразуется к виду x = ax (1 - x ),

n + 1 n v n"

(2)

(3)

где переменные хп и параметр а являются безразмерными.

При значениях 0 < а < 1 независимо от выбора х1 численность популяции стремится к нулю [9]. Таким образом,

численность заболевших будет стремиться к нулю, сколько бы заболевших не было в начале.

При значениях 1 < а < 3 безразмерная численность популяции заболевших стремится к стационарному устойчивому состоянию X, равному [9]

_ а-1 x =-.

(4)

Следовательно, с течением времени численность популяции заболевших в конце эпидемии будет равна

y = N

а-1

(5)

где уп = у^п) - численность популяции заболевших в п-й момент времени tn; Л - коэффициент (показатель) роста численности популяции; N - максимальное значение численности жителей, которые потенциально могут заразиться коронавирусом COVID-19. Этот параметр зависит от целого ряда факторов, таких как численность населения, его скученность или плотность, устойчивость к заболеванию, дисциплинированность населения во время карантинных мероприятий и др.

Эта модель показывает, что численность популяции заболевших быстро растет, пока она мала (уп ^ N и начинает убывать, когда заболевших становится много. Сделаем замену переменных

Соотношения (4) и (5) верны при сохранении постоянства показателя a на всем протяжении эпидемии.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Для проверки адекватности использования логистического уравнения распространения коронавируса COVID-19 в Москве использовались данные по распространению вируса в Китае [11]. Начальное значение нормированного множителя N для Китая подбирали, использовав соотношение (5). Для Китая количество заболевших на конец эпидемии составляло y = 82 500. Начальное приближение среднего значения параметра показателя роста популяции брали равным <a> ~ 1,12.

Из тренда кривой распределения численности популяции инфицированных COVID-19 на протяжении всего периода эпидемии определяли показатели a и значение нормировочного множителя N. Интервал времени Д = tn + - t , с которым рассчитывали численность популяции инфицированных, брали равным 12 часов, а сравнение со статистическими данными проводилось через 2Д, т.е. раз в сутки. Значение нормировочного множителя соответствовало N = 760 000, а параметр роста численности популяции инфицированных равнялся:

a = 1,19 с 3.01.2020 по 30.01.2020;

a = 1,104 с 31.01.2020 по 10.02.2020;

a = 1,18 с 10.02.2020 по 12.02.2020;

a = 1,119 с 13.02.2020 и до конца эпидемии.

На рис. 1 и 2 представлены графики изменения численности популяции инфицированных коронавирусом COVID-19 в Китае и прирост численности в день на период эпидемии. Синие линии - расчет, красные - реальные данные [11].

Из рис. 1 и 2 видно хорошее соответствие расчетных и фактических данных. Это совпадение дало возможность использовать логистические уравнения (1) и (3) для моделирования распространения эпидемии коронавируса в ряде европейских и азиатских стран. Для каждой из стран были найдены показатели роста популяции a и потенциальные численности N.

В табл. 1 приведены найденные средние показатели роста популяции заболевших до пика эпидемии в ряде европейских и азиатских стран и США.

Также был определен нормировочный множитель N для ряда европейских и азиатских стран. Он был найден из сопоставления расчетных и фактических данных. Фактические данные были взяты на сайте официальной статистики [12].

а

а

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

05.13.18

100000

80000

5 60000

3 ю О

40000

20000

— Расчет

— Факт

0

15.01

25.01

04.02

14.02 Дата

24.02

05.03

15.03

Рис. 1. Кривая численности инфицированных коронавирусом СОТЮ-19 на протяжении эпидемии

16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000

1

I

I

- Ряд1 - Ряд 2 _

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

---

0

15.01

25.01

04.02

14.02 Дата

24.02

05.03

15.03

Рис. 2. Кривая прироста численности инфицированных

Таблица 1

Средние показатели роста численности заболевших до пика эпидемии по странам

Страна Показатель а Страна Показатель а

Германия 1,190 Франция 1,149

Португалия 1,180 США 1,148

Испания 1,163 Южная Корея 1,121

Китай 1,160 Швеция 1,088

Италия 1,152 Япония 1,047

х 104 8

0

10

20

30

40

50

60

- Заболевшие 4 сценария Хепё 1 - N = 1000000 1 -75000 2 - N = 760000 2 - 58000 3 - N = 500000 3-38750 4 - N = 300 000 4 - 25 780

1

2

3

4

70

80

90

Рис. 3. Кривые распределения численности инфицированных по дням эпидемии в соответствии с 4-я сценариями, Москва, РФ

Таблица 2

Соотношение максимально возможного числа потенциально заразившихся вирусом в городе или стране к их общей численности

Страна, город N/A • 100% (А - численность города, страны)

г. Нью-Йорк, США 11,600

г. Ухань, Китай 4,750

Швеция 5,000

Испания 4,400

Италия 3,660

Португалия 3,000

Южная Корея 1,960

Германия 1,340

США 1,200

Япония 0,550

Китай 0,053

После проведения анализа соотношения нормировочного множителя к числу жителей Москвы рассмотрены 4 сценария развития распространения эпидемии коронавируса CСVID-19.

1 сценарий^ = 1 000 000 чел. (^Л • 100% = 7,1 %); (6.1)

2 сценарий^ = 760 000 чел. (5,4%); (6.2)

3 сценарий^ = 500 000 чел. (3,6%); (6.3)

4 сценарий^ = 300 000 чел. (2,1%). (6.4)

На рис. 3 и 4 представлены фактические данные (с 05.03.2020 по 09.04.2020) [13] и расчетные кривые распределения численности заболевших и их прироста на протяжении всех дней эпидемии (прогноз).

3500 г

3000

2500

2000

1500

1000

500

Прирост

1 - N = 1000000

2 - N = 760 000

3 - N = 500000

4 - N = 300000

24.04

Максимум прироста

dX X

1 - 3033 39130

2 -2420 30630

3 - 1626 20420

4-1210 13 636

100

Рис. 4. Кривые прироста числа заболевших по дням эпидемии в соответствии с 4-я сценариями, Москва, РФ

Значения параметров показателей роста численности популяции заболевших представлены ниже.

Сценарий 1: N = 1 000 000 чел.

а = 1,14 с 5 по 21 марта; а = 1,111 с 22 марта по 1 апреля; а = 1,081 с 1 апреля.

Сценарий 2^ = 760 000 чел. а = 1,14 с 5 по 21 марта; а = 1,111 с 22 марта по 1 апреля; а = 1,083 с 1 апреля.

Сценарий 3: N = 500 000 чел. а = 1,14 с 5 по 21 марта; а = 1,113 с 22 марта по 1 апреля; а = 1,084 с 1 апреля.

Сценарий = 300 000 чел. а = 1,14 с 5 по 21 марта; а = 1,108 с 22 марта по 1 апреля; а = 1,094 с 1 апреля.

4. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Наличие хорошего соответствия между фактическими данными распространения эпидемии коронавируса COVID-19

в Китае и расчетными результатами на основании логистического уравнения (1) дало возможность его использовать для

моделирования прогноза распространения эпидемии в европейских странах: Испания, Италия, Франция, Португалия, Швеция; азиатских странах: Южная Корея, Япония и США.

В табл. 1 приведены средние расчетные показатели роста численности заболевших (при которых получено наилучшее согласование с фактическими данными) до пика эпидемии, т.е. те показатели роста, которые определили и время пика, и численность на пике. Из табл. 1 следует, что наиболее низкие показатели роста численности заболевших у стран Швеция и Япония. Наверное, благодаря этим показателям они и не вводили жесткие карантинные меры. На развитие сценария эпидемии влияет нормировочный множитель, характеризующий максимальное значение числа жителей, которые потенциально могут быть инфицированы. Это не означает, что все N жителей города или страны заболеют, заболеет столько, сколько соответствует показателю роста а. Нормировочный множитель N зависит от иммунитета нации к вирусу, условий проживания жителей (скученность и т.п.), менталитета и т.д. и рассчитывается на основании согласования расчетных и фактических данных. В табл. 2 представлено отношение N к численности населения А выбранных городов и стран (N/4 • 100%). Для определения нормировочного множителя N для Москвы была проанализирована табл. 2 и предложено четыре возможных сценария распространения COVID-19 в Москве (6.1)-(6.4) с соотношением (N/4) от 2 до 7%.

Первый сценарий (6.1) - самый тяжелый, назовем его Нью-Йоркским, второй - Уханьским (нормировочный множитель совпадает с нормировочным множителем, взятым для Уханя). Последний четвертый сценарий - самый легкий, назовем Израильским (нормировочный множитель как у Израиля).

В табл. 3 для 4-х сценариев показано время пика эпидемии коронавируса в Москве, численность на пике, прирост числа заболевших на пике и численность заболевших к концу эпидемии. В последнем столбце указано расчетное время окончания эпидемии (когда заболевает только несколько человек в день).

Показатель роста численности популяции заболевших а определяется на ранних стадиях распространения эпидемии, когда в уравнении (1) преобладает линейный член, а нелинейным можно пренебречь:

лп +1 Xn

(7)

Тогда заболевание нарастает по экспоненте, которая в логарифмической шкале представляет собой прямую. Наклон прямой задается показателем роста. Если показатель роста изменяется, то изменяется и наклон прямой. На рис. 5 в логарифмической шкале представлен рост числа заболевших по дням (синяя кривая - статистические данные, красная - расчеты по модели для сценария с N = 300 000).

Таблица 3

Параметры пиков эпидемии для 4-х сценариев, Москва, РФ

0

а.

№ сценария N Время пика Численность на пике, чел. Прирост числа заболевших на пике, чел. Число заболевших в конце, чел. Время окончания эпидемии

1 1 • 106 24,04 39 130 3033 75 000 Середина июня

2 7.6 • 105 22,04 30 630 2420 58 000 Начало июня

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3 5 • 105 19,04 20 420 1626 38 750 Начало июня

4 3 • 105 15,04 13 636 1210 25 780 Конец мая

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

05.13.18

Мы видим, что весь отрезок наблюдения можно приближенно разбить на три интервала с разными показателями а, в которых тренд роста заболевших имеет разный наклон. Значения показателя а представлены в табл. 4.

105

104

103

10'

101

10°

40

Рис. 5. Определение показателя численности популяции инфицированных коронавирусом CСVID-19, Москва, РФ

Таблица 4

Значение показателя роста популяции

Значение показателя a Время его удержания

1,143 05.03-21.03

1,108 22.03-01.04

1,094 02.04 - настоящее время

Из табл. 4 видно, что значения показателя численности заболевших падают с введением мер по изоляции и уменьшению контактов.

Когда накапливается большое количество заболевших, в уравнение (1) начинает играть роль нелинейный член, и отношение имеет вид

n +1 /„ \

(8)

Все рассмотренные сценарии для Москвы хорошо описывают статистические данные на сегодняшний день. По какому из сценариев пойдет развитие эпидемии станет ясно ближе к пику.

Следует отметить, что прогноз осуществлен со значением показателя не меняющимся с 1 апреля. А значение этого параметра коррелируется с количеством контактирующих людей. Мы видим, что принятые меры по самоизоляции населения произвели эффект, и во всех сценариях показатель роста уменьшился.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Показано использование дискретного логистического уравнения для моделирования распространения корона-вируса CСVID-19 в Москве. Определены показатели роста численности популяции инфицированных коронавирусом CСVID-19 для 4-х сценариев развития эпидемии в Москве. Для «легкого» варианта - рассчитанное время пика приходится на 15.04 с приростом числа заболевших на пике 1210 чел. и общей численностью 13 636 чел. Для «тяжелого» варианта время пика - 24.04 с приростом числа заболевших 3033 чел. и общей численностью на пике 38 130 чел. Осуществлен прогноз численности заболевших для сценариев: «легкого» - 25 780 чел., «тяжелого» - 75 000 чел. Какое значение будет принимать нормировочный множитель N (характеризующий максимальную численность потенциально возможных инфицированных вирусом CСVID-19 жителей Москвы) станет ясно ближе к времени прохождения пика эпидемии, когда заболевших будет достаточно много и начнет влиять нелинейность логистического уравнения.

Литература

1. Verhulst P.F. Mathematical researches into the law of population growth increase. Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles. 1845. Vol. 18. Pp. 1-42.

2. Malthus T.R. An essay on the principle of population as it affects the future improvement of society, with remarks on the speculations of Mr M. Godwin // Condorcet, and other writers. London: J. Johnson. 1798.

3. Pearl R., Reed L.J. On the rate of growth of the population of the United States since 1790 and its mathematical representation. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 1920. Vol. 6. No. 6. P. 275.

4. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биологии. М.Ижевск: РХД. 2002.

5. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические методы в биологии и экологии. Биофизическая динамика продукционных процессов: учебник для бакалавриата и магистратуры. В 2 ч. Ч. 2. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Юрайт, 2018. 185 с. (Серия: Университеты России).

6. Cherniha R., Davydovych V. A mathematical model for the coronavi-rus COVID-19 outbreak. arXivpreprint arXiv: 2004.01487. 2020.

7. Qi C. et al. Model studies on the COVID-19 pandemic in Sweden. arXiv preprint arXiv: 2004.01575. 2020.

8. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // Успехи физических наук. 1983. Т. 141. № 10. С. 343-374.

References

1. Verhulst P.F. Mathematical researches into the law of population growth increase. Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles. 1845. Vol. 18. Pp. 1-42.

2. Malthus T.R. An essay on the principle of population as it affects the future improvement of society, with remarks on the speculations of Mr M. Godwin // Condorcet, and other writers. London: J. Johnson. 1798.

3. Pearl R., Reed L.J. On the rate of growth of the population of the United States since 1790 and its mathematical representation. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 1920. Vol. 6. No. 6. P. 275.

4. Riznichenko G.Yu. Mathematical models in biology. M.-Izhevsk: RHD. 2002.

5. Riznichenko G.Yu., Rubin A.B. Mathematical methods in biology and ecology. Biophysical dynamics of production processes: a textbook for undergraduate and graduate programs. In 2 parts. Part 2. 3rd ed., rev. and add. Moscow: Yurayt, 2018. 185 p. (Series: Universities of Russia).

6. Cherniha R., Davydovych V. A mathematical model for the coronavi-rus COVID-19 outbreak. arXiv preprint arXiv: 2004.01487. 2020.

7. Qi C. et al. Model studies on the COVID-19 pandemic in Sweden. arXiv preprint arXiv: 2004.01575. 2020.

8. Feigenbaum M. Universality in the behavior of nonlinear systems. Uspekhifizicheskikh nauk. 1983. Vol. 141. No. 10. Pp. 343-374.

9. Кольцова Э.М., Гордеев Л.С. Методы синергетики в химии и химической технологии. М.: Химия, 1999. 256 с.

10. Кольцова Э.М., Третьяков Ю.Д., Гордеев Л.С., Вертегел А.А. Нелинейная динамика и термодинамика необратимых процессов в химии и химической технологии. М.: Химия, 2001.

11. URL:https://en.wikipedia.org/wiki/Template:2019%E2%80%9320_ coronavirus_pandemic_data/Mainland_China_medical_cases

12. URL: https://www.worldometers.info/coronavirus/

13. URL: https://ncov.blog/countries/ru/77/

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Кольцова Элеонора Моисеевна, доктор технических наук, профессор; заведующая кафедрой ИКТ Российского химико-технологического университета имени Д.И. Менделеева. Москва, Российская Федерация. E-mail: kolts@muctr.ru. AuthorlD: 8352 Куркина Елена Сергеевна, доктор физико-математических наук, доцент; профессор кафедры ИКТ Российского химико-технологического университета имени Д.И. Менделеева; ведущий научный сотрудник факультета ВМК Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Москва, Российская Федерация. E-mail: e.kurkina@rambler.ru. AuthorlD: 11103 Васецкий Алексей Михайлович, старший преподаватель кафедры ИКТ Российского химико-технологического университета имени Д.И. Менделеева. Москва, Российская Федерация. E-mail: amvas@muctr.ru. AuthorlD: 608872

9. Koltsova E.M., Gordeev L.S. Synergetic methods in chemistry and chemical technology. M.: Chemistry, 1999. 256 p.

10. Koltsova E.M., Tretyakov Yu.D., Gordeev L.S., Vertegel A.A. Nonlinear dynamics and thermodynamics of irreversible processes in chemistry and chemical technology.: Chemistry, 2001.

11. URL:https://en.wikipedia.org/wiki/Template:2019%E2%80%9320_ coronavirus_pandemic_data/Mainland_China_medical_cases

12. URL: https://www.worldometers.info/coronavirus/

13. URL: https://ncov.blog/countries/ru/77/

ABOUT THE AUTHORS

Eleonora M. Koltsova, Doctor of Engineering, Professor; Head of Department ICT, Mendeleev University of Chemical Technology of Russia. Moscow, Russian Federation. E-mail: kolts@muctr.ru. AuthorlD: 8352

Elena S. Kurkina, Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor; professor of Department ICT, Mendeleev University of Chemical Technology of Russia; leading researcher of Department BMK, Lomonosow Moscow State University. Moscow, Russian Federation. E-mail: e.kurkina@rambler.ru. AuthorlD: 11103

Aleksey M. Vasetsky, senior lecturer of Department ICT, Mendeleev University of Chemical Technology of Russia. Moscow, Russian Federation. E-mail: amvas@muctr.ru. AuthorlD: 608872

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.