CC BY
76
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ИОНОСФЕРЕ ДЛЯ ЗАДАЧ РАДИОСВЯЗИ
Бова Юлия Игоревна,
АНО ВО РОСНОУ, Москва, Россия, julia_bova@mail.ru
Крюковский Андрей Сергеевич,
АНО ВО РОСНОУ, Москва, Россия, kryukovsky56@yandex.ru
Лукин Дмитрий Сергеевич,
АНО ВО РОСНОУ, Москва, Россия, luknetl@yandex.ru
DOI 10.24411/2072-8735-2018-10196
Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 18-02-00544-а, №17-02-01183-а)
Ключевые слова: численное моделирование, распространение сигналов, ионосфера, бихарактеристическая система, лучи, обыкновенная и необыкновенная волна, поглощение, расходимость.
Радиоволны декаметрового диапазона широко применяются для обеспечения дальней радиосвязи, радионавигации, радиолокации, загоризонтного радиозондирования, а также для изучения структуры ионосферы Земли. Несмотря на значительное число публикаций, распространение линейно частотно-модулированных сигналов в плазме изучено недостаточно. В данной работе особое внимание уделено исследованию ослабления радиосигнала за счет расходимости и отклоняющего поглощения на примере моделей электронной концентрации и частоты соударений электронов для высокоширотной ионосферы. Выполнено численное моделирование распространения частотно-модулированных сигналов в анизотропной среде (ионосфере Земли) с учетом влияния частоты соударений электронов на отклоняющее поглощение. Рассмотрены проекции лучевых траекторий на разные координатные плоскости. Сопоставлены особенности распространения линейно частотно-модулированных сигналов в двухслоевой ионосфере в случае o- и в-волны. Исследованы влияние расходимости лучевых траекторий и поглощения радиоволн на ослабление амплитуды радиосигнала для обыкновенных и необыкновенных волн. Расчеты проведены для дневной и ночной моделей электронной концентрации и частоты соударений высокоширотной ионосферы. При вычислениях применялась бихарактеристическая система уравнений. Для определения ослабления напряженности электрического поля вдоль траектории рассчитывалась расходимость лучевого потока на основе расширенной бихарактери-стической системы. Проведена оценка действующей напряжённости электрического поля изотропного излучателя в точке приёма после отражения от ионосферы. Исследованы положения каустик вдоль лучевых траекторий. Для описания эффективной диэлектрической проницаемости среды в случае неоднородной анизотропной ионосферы была использована формула Эпплтона, в которую как параметр входит отношение эффективной частоты соударений электронов к круговой рабочей частоте.
Информация об авторах:
Бова Юлия Игоревна, старший преподаватель кафедры ИТЕНД АНО ВО РОСНОУ, Москва, Россия
Крюковский Андрей Сергеевич, д.ф.-м.н., проф., декан факультета Информационных систем и компьютерных технологий АНО ВО РОСНОУ, Москва, Россия
Лукин Дмитрий Сергеевич, д.ф.-м.н., проф., профессор кафедры Телекоммуникационных систем и информационной безопасности АНО ВО РОСНОУ, Москва, Россия
Для цитирования:
Бова Ю.И., Крюковский А.С., Лукин Д.С. Математическое моделирование распространения частотно-модулированных электромагнитных волн в ионосфере для задач радиосвязи// T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2018. Том 12. №12. С. 22-32.
For citation:
Bova Yu.I., Kryukovsky A.S., Lukin D.S. (2018). Mathematical modeling of propagation of frequency-modulated electromagnetic waves in the ionosphere for the problems of radiocommunication. T-Comm, vol. 12, no.12, pр. 22-32. (in Russian)
В работе рассмотрено моделирование распространения линейно частотно-модулированного сигнала (ЛЧМ) в ионосферной анизотропной плазме и проведен анализ ослабления излучения, возникающего из-за расходимости и отклоняющего поглощения. Актуальность работы определена широким использованием электромагнитных волн декаметрового диапазона для обеспечения дальней радиосвязи, радионавигации, радиолокации, загоризонтного радиозондирования, а также для дистанционного изучения структуры ионосферы - верхней атмосферы Земли. Несмотря на значительный объем исследований в данной области (см., например, [1-6]), некоторые вопросы и, в частности, распространение частотно модулированных (ЧМ) сигналов в ионосферной плазме с учетом магнитного поля Земли нуждается в дополнительном исследовании,
О работах [7-12] нами рассмотрены особенности лучевого распространения частотно-модулированного излучения в ионосферной плазме. В данной работе особое внимание уделено исследованию ослабления радиосигнала за счет отклоняющего поглощения и расходимости на примере моделей электронной концентрации и частоты соударений электронов для высокоширотной ночной и дневной ионосферы.
Известно, что эффективная диэлектрическая проницаемость среды для неоднородной анизотропной ионосферы описывается формулой Эпплтона [13]:
Г' О
£ = 1-У
\-iZ-
мет2 а
и а
- + и со5" а
В формуле (1) параметры V и и это отношения квадрата плазменной частоты и квадрата гирочастоты к квадрату рабочей частоты, соответственно, то есть:
v =
а>„
СО
4л-е11V тесо2
и =
со
V
н
СО
е2н1 те с со
(2)
со
(3)
Обозначим как а угол между волновым вектором к и напряженностью магнитного поля Земли Н^^Н^Н^^Н^)-
Для поведения вычислений но формуле (1) необходимо знать квадрат косинуса угла а, который определяется выра-
жением:
соз а =
(Н0хк
X +И0уку + Н0:к.
У
(4)
н1 Щ
В приведённых ниже расчетах амплитуда магнитного поля считается постоянной. Ориентация напряжённости магнитного поля относительно локальной системы координат задается углами у и (р:
Н0х = Н0 СОЗ/СОБ^ , Н0 - И0 С08/8Ш#>1
Н02 =Н0вту. (5)
В случае, когда частотой соударения электронов можно пренебречь и положить Z= 0, формула для эффективной диэлектрической проницаемости имеет вид (см., например, [4, 6, 13, 14]):
2у{\ - у) ^^^^^^ (6)
2(1 - V) - изт2 а±у]и2 эт4 а + 4г/(1 - у)2 сог а
Примененный в настоящем исследовании подход опирается на лучевые методы, являющиеся основными при описании процессов распространения декаметровых радиоволн в различных средах с крупномасштабными неоднородностями (см., например, [4, 14]), Современным лучевым методом нахождения лучевых траекторий в анизотропной, неоднородной среде является метод бихарактеристик, опирающийся на систему дифференциальных уравнений (см, |4. 1 ], 13]):
_эг (7)
¿/г дк <1г с гамильтонианом:
дг с!т дсо с!т д1
с
(8)
Знак плюс соответствует обыкновенной волне, а знак
минус - необыкновенной волне. В формулах (2) П1е =9,108
10 г - масса электрона, с = 2,997925*10'* м/с - скорость света, е = 4,8029 10 1,1 СГСЭ - заряд электрона, а функция N - величина электронной концентрации в фиксированной точке пространства. Параметр 2 это отношение частоты соударений электронов к круговой рабочей частоте
В выражениях (7)-(8) г = (х,у,г) это координаты точки наблюдения, / — групповое время, со — круговая частота излучения, к — (к ,к ,к- волновой вектор, г- параметр
вдоль лучевой траектории, в {г,к,(в) — действительная
часть эффективной диэлектрической проницаемости среды распространения.
Для применения системы (7)-(8), необходимо выделить из диэлектрической проницаемости (1) действительную часть, то есть представить диэлектрическую проницаемость в виде суммы действительной и мнимой части:
(9) (Ю) (П)
Е = Бг 4- 1£г
Анализируя выражение (1), находим что: v(zE+rsQЖ<p£)
ег = 1—-
е. =
(г£+геса&сре) +(ие+г8$тсре)
+ ге СОВ<р£)2 + (ие + ге БШ^)2
-е ' е ^е ^ \ е • е ^е -В формулах (10} и (1 ]) введены обозначения;
(1 - у)изт а 2((1 -v)2+Z2)
и—
а
Щ^+г1)'
=4
2
1
г
Уе
(12)
(13)
(1 ~v)Zl( 31п а 2((1-V)2 + г2)2
уе = и соб а +
((1-у)2-г2)и2ят4а
4(0 - V)2 +22)2
(14)
Если внешнее магнитное поле отсутствует (Нп = 0). то формула для диэлектрической проницаемости (1) имеет вид
[13]:
у .
£ = 1-
■ — I-
(15)
1+22
1+2'
Будем считать, что начальный волновой вектор А'(0) параметрически зависит от угла выхода луча «,, (Д,~0): (О I--СО I—
кх(0) = —сова0 соэД|- 0) =—л/^о соэстозт= С • с
К{ <У)=-Мтщ* (>6>
с
источник излучения точечный, находится вне магнитоак-тивной плазмы и расположен в точке с координатами (0,0,0).
Распространение электромагнитаой волны изначально осуществляется в плоскости (л, 2). Значение эффективной диэлектрической проницаемости среды в источнике излучения обозначим как е0. Предположим, что сигнал линейно частотно-модулированный (ЛЧМ), то есть формула для мгновенной частоты заполнения имеет вид [7,9]:
¿у(0) = <у0(1 + 1(0)= 7),
Л/) = /о(1 (17)
/л
где I] - начальное время выхода луча, [о =а>о/(2я) - начальная рабочая частота (Гц), /0 — девиация частоты (Гц), Т„ —длительность импульса (с). В данной работе были приняты следующие значения параметров ./¿=2,5 МГц, /„= 3,75 МГц, Ти=3 с, 5=1 с"1. При таких параметрах максимальная частота излучения равна 10 МГц,
В работе рассмотрены две модели высокоширотной ионосферной плазмы: ночная и дневная. Профили электронной концентрации имеют вид, представленный на рис. 1 а,б:
Профиль электронной концентрации ночной ионосферы имеет традиционный вил: слой Е слабо просматривается, максимум слое р значительно меньше, чем в случае дневной ионосферы. Напротив, профиль дневной ионосферы нетипичен, поскольку в максимуме слоя £ значение электронной концентрации выше, чем в слое Р.
На рисунке 2 приведены зависимости от высоты электронной частоты соударений для ночной и дневной ионосферы.
Щ, С
а
Ш. # б
Рис, 2. Зависимость электронной частоты соударений от высоты: а - ночная ионосфера; б - дневная ионосфера
На небольших высотах эти графики практически совпадают. Существенные отличия начинаются на высотах более 1 10 км, где роль электронной частоты соударений в поглощении (а тем более в отклонении траектории) невелика.
Представленные на рис. 1 и 2 профили согласуются с данными, приведенными в [15] (80° с.ш.. 30° в.д., март). При вычислении применялись следующие значения параметров: Щ - 0,551 Э, (р =90°, V = -83°.
Рассмотрим последовательно результаты численного моделирования в случае ночной и дневной ионосферы.
На рисунках 3 а и б показана лучевая структура ЛЧМ радиосигнала в плоскости (х,~), когда источник излучения находится на земле. Угол выхода лучей 60° (другие углы выхода лучей рассмотрены нами в [16,17]). Электронная концентрация ионосферы показана в виде фона. В районе высоты 115 км просматривается слой Е. На высоте порядка 290 км хорошо виден слой Б2. Сначала все лучи идут по общей траектории. Потом в ионосфере {диспергирующей среде) они расходятся.
N. Ю' ж/см*
СI
N. 106 ж ¡см* б
Рис, 1. Зависимость электронном концентрации от высоты: а - ночная ионосфера; б - дневная ионосфера
T-Comm Vol.l2. #12-2018
Как и в случае ночной ионосферы с помощью рис. 10, 13 и 16 можно оценить амплитуду сигнала в точке приема. Для лучей с частотой 3,625 МГц на земле (расстояние 135 км и 118 км от источника) расходимость около 108 и 107 дБ для обыкновенной и необыкновенной волны соответственно. Ьсли предположить, что мощность источника I кВт, то напряженность поля на поверхности земли составит 0,€7 мкВ/м для обыкновенной волны и 2,4x10 6 мкВ/м для необыкновенной волны соответственно.
Таким образом, в настоящей работе выполнено математическое моделирование распространения радиоволн в ионосфере с учетом магнитного поля Земли, частотной модуляции н влияния частоты соударений электронов на отклоняющее поглощение. Сопоставлены особенности распространения ЛЧМ сигналов в двухслоевой анизотропной ионосфере в случае обыкновенной и необыкновенной волны. Исследованы поглощение радиоволны и расходимость вдоль лучей и влияние этих факторов на ослабление амплитуды радиосигнала. Расчеты выполнены для дневной и ночной моделей электронной концентрации высокоширотной ионосферной плазмы. Рассмотрены проекции лучей на разные координатные плоскости: па плоскость распространения, боковую плоскость и «вид сверху». Для расчетов лучевых характеристик применялась бихарактеристическая система дифференциальных уравнений, неизвестными в которой являются координаты луча, компоненты волнового вектора, а также частота и время. Для определения ослабления напряженности электрического поля вдоль траектории рассчитывалась расходимость лучевого потока на основе расширенной би характеристической системы уравнений.
Из результатов моделирования следует, что при изучении распространения ЛЧМ сигналов в анизотропных средах необходимо рассчитывать электромагнитные поля со сложной каустической структурой, используя волновую теорию катастроф 114, 24-261, поскольку для описания волновых полей в соответствии с приведенными выше рисунками необходимо рассчитывать поля на каустиках (огибающих лучевых семейств), включая каустические особенности (катастрофы) [18-211.
Литература
1. Иванов Д. В. Методы и математические модели исследования распространения в ионосфере СЛОЖНЫХ декаметровых сигналов и коррекции их дисперсионных искажений. Монография. Йошкар-Ола: Мари некий гос. технический ун-т. 2006. 266 с.
2. Иванов В.А., Иванов Д.В., Лслцввский А.Р.. Рябова ММ, Исследование дисперсионных искажении широкополосных элементов непрерывного ЛЧМ-сигнала при изменении их длительности сверх критической // Вестник Поволжского государственного технологического университета. Серия: Радиотехнические и ннфокоммуникацнОнные системы, 2014. № 1(20). С. 43-53.
3. Захаров В.Е., Котова Д.С. Моделирование дисперсионных искажений ЛЧМ-импульсов в ионосфере /Труды XXIV Всероссийской научной конференции «Распространение радиоволн», (29 июня - 5 июля 2014; Иркутск). Иркутск: ИСЗФ СО РАН, 2034. Т.4. С. 97-100.
4. Крюковский A.C., Лукин Д.С., Кирьянова К.С. Метод расширенной бихарактернстической системы при моделировании распространения радиоволн в ионосферной плазме// Радиотехника и электроника, 2012. Т.57, № 9. С. ! 02К-1034.
5. Крюковский А. С. ЛукиН Д. С. Растягаев Д.В. Теория пространственной фокусировки видеоимпульсов в диспергирующих средах // Электромагнитные волны и электронные системы. 2007. Г, 12. № 8. С. 15-25.
6. Кирьянова КС., Крюковский A.C. Особенности лучевого распространения радиоволн в ионосфере Земли // T-Comm: Телекоммуникации н транспорт. 2012. № 1Í. С. 25-28.
7. Крюковский A.C., Растягаев Д.В., Скиорцови Ю И. Исследование распространения частотно-модулированных пространственно-временных сигналов а неоднородной анизотропной ионосфере// Вестник Российскою нового университета. Серия «Управление, вычислительная техника и информатика». М: РосНОУ, 2013. Выпуск 4. С. 47-52.
8. Крюковский A.C., Лукин Д.С., Растягаев Д.В.. Скворцова Ю.И. Математическое моделирован не распространения частотно-модулированных радиоволн в ион ос фермой плазме // Радиотехника и электроника, 2015. Т. 60. № 10. С. 1001-1009.
9. Крюковский A.C., Лукин Д.С., Растягаев Д.В., Скворцова Ю.И. Численное моделирование распространения пространствен но- временны* частотно-модулированных радиоволн в анизотропной среде II T-Comm: Теле коммуникации И транспорт. 2015. Т. 9. ,N*l> 9. С. 40-47.
10. Крюковский A.C., Скворцова Ю.И. Математическое моделирование распространения радиоволн в нестационарной плазме с учетом кривизны поверхности Земли и ионосферных слоев // Вестник Российского нового университета. Серия; Сложные система; модели, анализ и управление. 2016. № 1-2. С, 34-40,
1 1. Бова Ю.И. Математическое моделирование распространения радиоволн в ионосфере Земли в зависимости от высоты источника излучения // Вестник Российского нового университета. Серия: Сложные системы: модели анализ и управление. 2016. №3, С. 10-15.
12. Крюковский A.C.. Скворчова Ю.И. Влияние пространственно-временных возмущений ионосферной плазмы на распространение радиоволн. // Известия высших учебных заведений. Физика. 2016. Т. 59, № 12-3. С. 131-135.
13. ДэвисК. Радиоволны в ионосфере. М.: Мир. 1973. 502 с.
14. Лукин Д. С.. Панкин Е.А. Численный канонический метод в задачах дифракции и распространения электромагнитных волн в неоднородных средах. М.: МФТИ, 1982. 159 с.
15. ГОСТ 25645.146-89 Ионосфера Земли. Модель глобального распределения Концентрации, температуры и эффективной частот ы соударений электронов. Часть I. Таблицы параметров. М.: Издательство стандартов, 1990 год. 30 е.
16. Бона Ю.И.. Крюковский A.C., Лукин Д.С Моделирование распространения частотно-модулированного сигнала в ионосферной плазме с учетом отклоняющего поглощения и влияния внешнего магнитного поля // Физические основы приборостроения. 2017. Т. 6. №4 (26), С. 34-45.
17. Бона Ю.И.. Крюковский A.C.. Лукин Д.С. Исследование распространения частотно-модулированного излучения в ионосфере с учетом отклоняющего поглощения и влияния внешнего магнитного поля II Вестник Российского нового университета. Серия: Сложные системы: модели, анализ и управление. 2017. № 3. С. 5-16.
18. Крюковский A.C.. Лукин Д.С. Ii вопросу о поле в окрестности каустическою острия в ионосферном плазменном слое. // Радиотехника и 'электроника, 1981. Т. 26. №6. С. 1121-1126.
19. Крюковский A.C., Лукин Д.С., Панкин Е.А. Численное сравнение двух асимптотических методов решения задач дифракции волн в плавноне-од пород пых средах // Изв. MB и ССО СССР (Радиофизика), 1986. Т. 29. № I. С. 79-88.
20. Крюковский A.C.. Растягаев Д.В. С) необходимых и достаточных условиях образования каспоидных катастроф. // Распространение и дифракция волн в неоднородных средах, CG, М: МФТИ 1989. С, 56-60.
21. Крюковский A.C.. Растягаев Д.В. Исследование устойчивых фокусировок. возникающих при нарушении симметрии волнового фронта // Дифракция и распространение электромагнитных волн. Сб. М.: МФТИ, 1993. С.20-37.
22. Казанцев А Н.. Лукин Д.С.. Спиридонов Ю Г. Метод исследования распространения радиоволн в неоднородной магнитоактивной ионосфере. // Космические исследования, 1967, Т. 5, Вып. 4. С, 593-600.
23. Лукин Д.С., Спиридонов Ю.Г. Применение метода характеристик XIя численного решения задач распространения радиоволн в неоднородной и нелинейной среде // Радиотехника и электроника, 1969. Г. 14. № 9. С. 1673-1677.
24. КрюНОвсКий A.C. Равномерная асимптотическая теория краевых и угловых волновых катастроф. Монография. М.: РосНОУ, 2013. 36R е.
25. Крюковский A.C.. Скворцова Ю.И. I [рименение теории катастроф для описания пространственно-временной структуры частотно-модулированного сигнала в плазме //Электромагнитные волны и электронные системы. 2013. Т. 18. № 8. С. 18-23.
26. Дорохина Т.В.. Крюковский A.C., Лукин Д.С. Информационная система «Волновые катастрофы в радиофизике, акустике и квантовой механике» // Электромагнитные волны и электронные системы. 2007, Т. 12. № 8. С. 71>75.
_
MATHEMATICAL MODELING OF PROPAGATION OF FREQUENCY-MODULATED ELECTROMAGNETIC WAVES IN THE IONOSPHERE FOR THE PROBLEMS OF RADIOCOMMUNICATION
Yuliya I. Bova, Russian New University (RosNOU), Moscow, Russia, julia_bova@mail.ru Andrey S. Kryukovsky, Russian New University (RosNOU), Moscow, Russia, kryukovsky56@yandex.ru Dmitry S. Lukin, Russian New University (RosNOU), Moscow, Russia, luknet1@yandex.ru
Abstract
Decameter radio waves are widely used to provide long-range radio communications, radio navigation, radar, over-the-horizon radio sounding, and to study the structure of the Earth's ionosphere too. Despite a significant number of publications, the propagation of linearly frequency-modulated signals in a plasma has not been studied enough. In this paper, special attention is paid to the study of the attenuation of a radio signal due to divergence and deflecting absorption using the example of models of electron concentration and frequency of electron collisions for the high-latitude ionosphere. A numerical simulation of the propagation of frequency-modulated signals in an anisotropic medium (Earth's ionosphere) was performed, taking into account the effect of the frequency of electron collisions on the deflecting absorption. The projections of ray paths onto different coordinate planes are considered. The features of the propagation of linearly frequency-modulated signals in a two-layer ionosphere in the case of the o- wave and e-wave are compared. The influence of the divergence of the ray paths and absorption of radio waves on the attenuation of the amplitude of the radio signal for ordinary and extraordinary waves is investigated. The calculations were performed for the day and night models of the electron concentration and frequency of collisions of the high-latitude ionosphere. In the calculations, a bicharacteristic system of equations was used. To determine the attenuation of the electric field strength along the trajectory, the divergence of the ray flux was calculated on the basis of an extended bicharacteristic system. The effective electric field strength of an isotropic radiator at the receiving point after reflection from the ionosphere was estimated. The positions of caustics along ray paths are investigated. To describe the effective dielectric constant of the medium in the case of an inhomogeneous anisotropic ionosphere, the Appleton formula was used, which as a parameter includes the ratio of the effective frequency of electron collisions to the circular operating frequency.
Keywords: numerical modeling, propagation of signals, ionosphere, bicharacteristic system, rays, ordinary and extraordinary waves, absorption, divergence. References
1. Ivanov D.V. (2006). Methods and mathematical models of the study of the propagation in the ionosphere of complex decameter signals and the correction of their dispersion distortion. Yoshkar-Ola: Mari State. Technical un-t. 266 p. (in Russian)
2. Ivanov V.A., Ivanov D.V., Lashchevsky A.R., Ryabova M.I. (2014). Investigation of the dispersion distortion of the broadband elements of a continuous LFM-signal when their duration exceeds the critical one. Proceedings of the Volga State University of Technology. Series: Radio engineering, information and communication systems. No. 1 (20), pp. 43-53. (in Russian)
3. Zakharov V.E., Kotova D.S. (2014). Simulation of dispersion distortion of LFM pulses in the ionosphere. Proceedings of the XXIV All-Russian Scientific Conference "Radio Wave Propagation", (June 29 - July 5, 2014; Irkutsk). Irkutsk: ISTP SB RAS. Vol. 4, pp. 97-100. (in Russian)
4. Kryukovskii A.S., Lukin D.S., Kiryanova K.S. (2012). Method of extended bicharacteristic system in simulating wave propagation in ionospheric plasma. Journal of Communications Technology and Electronics. Vol. 57. No 9, pp. 1039-1045.
5. Kryukovsky A.S., Lukin D.S., Rastyagaev D.V. (2007). Theory of spatial focusing of video pulses in dispersing media. Electromagnetic waves and electronic systems. Vol. 12. No. 8, pp. 15-25. (in Russian)
6. Kiryanova K.S., Kryukovsky A.S. (2012). Features of the ray propagation of radio waves in the Earth's ionosphere. T-Comm. No 11, pp. 25-28. (in Russian)
7. Kryukovsky A.S., Rastyagaev D.V., Skvortsova Yu.I. (2013). Study of the propagation of frequency-modulated space-time signals in a heterogeneous anisotropic ionosphere. Proceedings of the Russian New University. A series of "Management, Computer Engineering and Informatics". Moscow: RosNOU. Issue 4, pp. 47-52. (in Russian)
8. Kryukovskii A.S., Lukin D.S., Rastyagaev D.V., Skvortsova Y.I. (2015). Mathematical simulation of propagation of frequency-modulated radio waves in ionospheric plasma. Journal of Communications Technology and Electronics, (Q3). Vol. 60. No. 10. pp. 1049-1057. DOI: I0.II34/SI0642269I5I0007I.
9. Kryukovskii A.S., Lukin D.S., Rastyagaev D.V., Skortsova Yu.I. (20I5). Numerical modeling of the propagation of space-time frequency-modulated radio waves in an anisotropic medium. T-Comm. Vol. 9. No 9, pp. 40-47. (in Russian)
10. Kryukovsky A.S., Skvortsova Yu.I. (20I6). Mathematical modeling of the propagation of radio waves in a nonstationary plasma, taking into account the curvature of the Earth's surface and ionospheric layers. Proceedings- of the Russian New University. Series: Complex Systems: Models, Analysis and Management. No I-2, pp. 34-40. (in Russian)
11. Bova Yu.I. (20I6). Mathematical modeling of the propagation of radio waves in the Earth's ionosphere depending on the height of the radiation source. Proceedings of the Russian New University. Series: Complex Systems: Models, Analysis and Management. No 3, pp. I0-I5. (in Russian)
12. Kryukovskiy A.S., Skvortsova Yu.I. (20I6). Influence of space-time disturbances of the ionosphere plasma on the propagation of radio waves. News of higher educational institutions. Physics. Vol. 59. No I2-3, pp. I3I-I35. (in Russian)
13. Davies K. (I969). Ionospheric radio waves. London: Blaisdell Pub. Co. 460 p.
14. Lukin D.S., Palkin E.A. (I982). Numerical canonical method in problems of diffraction and propagation of electromagnetic waves in inhomogeneous media. Moscow: MIPT. I59 p. (in Russian)
15. State standard of Russian Federation 25645.I46-89 Ionosphere of the Earth. The model of the global distribution of concentration, temperature and the effective frequency of electron collisions. Part I. Parameter tables. Moscow: The Publishing House of Standards, I990. 30 p. (in Russian)
16. Bova Yu.I., Kryukovsky AS, Lukin D.S. (20I7). Simulation of the propagation of a frequency-modulated signal in an ionospheric plasma with allowance for deflecting absorption and the influence of an external magnetic field. Physical Foundations of Instrument Engineering. Vol. 6. No. 4 (26), pp. 34-45. (in Russian)
17. Bova Yu.I., Kryukovskiy A.S., Lukin D.S. (20I7). Investigation of the propagation of frequency-modulated radiation in the ionosphere, taking into account the deflecting absorption and the influence of an external magnetic field. Proceedings of the Russian New University. Series: Complex Systems: Models, Analysis and Management. No. 3, pp. 5-I6.
(in Russian)
18. Kryukovsky A.S., Lukin D.S. (1981). To a question on a field in a cusp vicinity in an ionospheric plasma layer. // Radio engineering and electronic physics. Vol. 26. No. 6, pp. 1121-1126.
19. Kryukovskii A.S., Lukin D.S., Palkin E.A. (1986). Numerical comparison of two asymptotic methods for solving wave diffraction problems in smooth inhomogeneous media. Radiophysics and Quantum Electronics. Vol. 29. No 1, pp. 67-75.
20. Kryukovsky A.S., Rastyagaev D.V. (1989). On the necessary and sufficient conditions for the formation of cuspoid catastrophes. Propagation and diffraction of waves in inhomogeneous media. Moscow: MIPT 1989, pp. 56-60. (in Russian)
21. Kryukovsky A.S., Rastyagaev D.V. (1993). The study of stable focusing arising in violation of the symmetry of the wave front. Diffraction and propagation of electromagnetic waves. Moscow: MIPT, pp. 20-37. (in Russian)
22. Kazantsev A.N., Lukin D.S., Spiridonov Yu.G. (1967). The method of studying the propagation of radio waves in a non-uniform magnetoactive ionosphere. Space research. Vol. 5. No. 4, pp. 593-600. (in Russian)
23. Lukin D.S., Spiridonov Yu.G. (1969). Application of the method of characteristics for the numerical solution of problems of radio wave propagation in an inhomogeneous and nonlinear medium. Radio engineering and electronics. Vol. 14. No. 9, pp. 1673-1677. (in Russian)
24. Kryukovskii A.S. (2013). Uniform asymptotic theory of edge and corner wave catastrophes. Moscow: RosNOU. 368 p. (in Russian)
25. Kryukovskii A.S., Skvortsova Yu.I. (2013). Application of the theory of catastrophes to describe the space-time structure of a frequency-modulated signal in a plasma.
Electromagnetic waves and electronic systems. Vol. 18. No. 8, pp. 18-23. (in Russian)
26. Dorokhina T.V., Kryukovsky A.S., Lukin D.S. (2007). Information system "Wave catastrophes in radio physics, acoustics and quantum mechanics". Electromagnetic waves and electronic systems. Vol. 12. No. 8, pp. 71-75. (in Russian)
