CC BY
66
УДК 621.313.333
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНО - УПРУГОГО ЭЛЕМЕНТА С ДВУХДВИГАТЕЛЬНЫМ ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ Л.Я. Теличко, А.С.Тарасов
Рассматриваются вопросы отыскания и использования передаточных функций одномерного продольноупругого замкнутого в кольцо элемента, нагруженного массами, сосредоточенными в отдельных его точках электромеханической системе конвейера. Исследуется влияние параметров объекта на спектр собственных частот. Предложен способ автоматического успокоения колебаний моментов двигателей при пуске электропривода конвейера.
Ключевые слова: функция, частотный анализ, электропривод, моделирование
Механическая часть конвейеров представляет собой достаточно сложную систему с распределенными по длине конвейера массой и упругостью тягового органа. Из теории о
многоприводных барабанах [1] для наклонных
ленточных конвейеров следует, что натяжение,
развиваемое в точке 1 на неприводном барабане, соответствует точке х1 приводного барабана с учетом приведенного момента инерции отклоняющего барабана (рис. 1). Упругий элемент - резинотросовая лента длиной 2Ь с равномерно распределенными массами и жесткостью, в точке х2 которой
сосредоточен груз массой т р и холостой
(натяжной) шкив радиуса Я 2, массой которого можно пренебречь.
д 2 и (х,г ) д 2 и (х,г )
д г 2 и (х ,г )
Р () = д и (х ,г)_
д г
и (х ,г)_ 0 _ 0 д и (х ,г)
д г
д х 2
-_ Р (х,г);
_ 0;
и (х ,г) д и (х ,г)
д г
1х _ 0 _ и (х ,г )х _1;
г _ 0
_ди (х,г) _ д г
р (х) _ Р1 + т
г _1 1^(х - х1),
(1)
Задача математического описания
механического элемента с распределенными параметрами сводится к отысканию передаточной функции одномерного продольно-упругого замкнутого в кольцо элемента, нагруженного массами, сосредоточенными в отдельных его точках. Передаточная функция такого элемента может быть определена методом функциональных преобразований [3].1 Система дифференциальноалгебраических уравнений, описывающих движение
транспортируемого груза имеет вид (1): где Р(х, г) -усилие в элементе с распределенными параметрами; V (х, г) и и (х, г) - скорость и смещение в сечении х; р1 - линейная плотность этого
элемента, Е -модуль упругости материала
Теличко Леонид Яковлевич - ЛГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (4742)34-43-30 Тарасов Андрей Сергеевич - ЛГТУ, соискатель, tarasoandrej@yandex.ru
элемента, р( х) - плотность материала элемента в
точке х; I — длина кольцевого элемента.
Применяя метод функциональных преобразований [3] для кольцевого элемента получены передаточная функция '№гр от усилия, приложенного к массе
двигателя т1, находящейся в точке х1 _ 0, к скорости массы т 2 с координатой х2, причем масса т 1 и т 2 сосредоточена на элементе с распределенными параметрами с массой тк и передаточная функция w г 1 от усилия на ведущем
шкиве к его скорости:
(2а) 1 яЬр ■ ек(рЬп)
Wr
(2)
(як2 р + р ¡и1ц1 (ек2 р - ек2 (рЬп) + р ) + )к2р)
(2а )-1 [ якр + р^2 ( р - ек2 (рЬп ))] (3)
( як2 р + р ¡и1ц2 (ек2 р - ек2 (рЬп) + р (/^ + )к2р)
Ьп _ 1 - 2х2/1 - относительное взаимное
положение масс, /и1_ т1/тк - отношение массы
где
двигателя к массе механического элемента с распределенными параметрами, а - скорость распространения упругой волны, = т2/шк -
отношение массы перемещаемого груза к массе механического элемента с распределенными параметрами, коэффициент перенормировки
р=рі/(2а).
Приведенные передаточные функции для элемента с распределенными параметрами позволяют сделать вывод о том, что использование методов прямого анализа и синтеза автоматизированных приводов с подобными элементами представляется весьма
затруднительным.
Исследование динамики этих элементов как звеньев системы автоматического регулирования целесообразно проводить при помощи ап-
проксимации их математических моделей системой конечной размерности. Одним из методов аппроксимации является метод разложения
гиперболических функций ск (р) и як (р) в ряд Тейлора.
Даже при упрощении с помощью методов аппроксимации расчет передаточных функций довольно сложен, поэтому используем программирование в МаИаЪ 6.5 для расчета передаточных функций и получения частотных характеристик. Проанализируем основные свойства механической части, воспользовавшись
полученными передаточными функциями Кр1 и
Жг при выходной переменной V .
Исходные данные объекта исследования механизма ленточного конвейера, для расчета асимптотических логарифмических частотных и фазочастотных характеристик (ЛАЧХ), следующие для порожнего конвейера относительно точки х2: т = 590^г, т2 = 0, і = 400м , а = 1000, Ьп = 0 . Полученные передаточные функции принимают следующий вид:
0,013 р3 + 4,48 р
Ж =-
гр 0,019 р6 +12,09 р4 +1909р2
Ж =
п г. р1
0,00229р5 + 0,013 р3 + 4,48 р
(4)
(5)
0,019 р6 +12,09 р4 +1909р2 Полученная в замкнутом аналитическом виде передаточная функция распределено - упругого ненагруженного массами кольцевого механического элемента позволяет осуществить исследование влияния параметров этого объекта на спектр его собственных частот. К таким параметрам относятся следующие: Ьп - относительное взаимное
положение масс, /и1 и ц2- относительные значения масс, сосредоточенных на кольце двигателя к массе механического элемента с распределенными параметрами, а - скорость распространения упругой волны, I — длина кольцевого элемента.
Асимптотические логарифмические частотные и фазочастотные характеристики системы с распределенными параметрами без учета
внутреннего демпфирования по управляющим воздействиям приведены на рис.2, где ЬГр , РГр -
ЛАЧХ и ФЧХ при выходной переменной линейной скорости ленты V, здесь же характеристики системы с сосредоточенными параметрами при тех же исходных данных и где Ьер и Рер - ЛАЧХ и
ФЧХ при выходной переменной ®2 . Полученные характеристики позволяют сформулировать следующие выводы:
а) смещение спектра собственных частот
вправо обуславливается либо увеличением скорости распространения волны упругих деформаций а, либо уменьшением пространственной
протяженности объекта.
б) появление второго резонансного пика (кривая 2) обусловлено видом аппроксимирующей функции, которая распространяется до второй резонансной частоты системы.
Рис.2. Частотные характеристики без учета внутреннего демпфирования
Для загруженного конвейера также были найдены передаточные функции с помощью ЭВМ, которые принимают следующий вид при
т1 _ 590кг, т2 _ 1000, I _ 400.М , а _ 1000,
_ 0,5:
0,0003 р5 + 0,1167 р3 +10 р
Wrpз _----------6---------4---------7 , (6)
р 0,2872р6 + 74,81р + 4795р2
w _ 0,0029р5 + 0,5521р3 + 20р гр13 _ 0,2872р6 + 74,81р4 + 4795р2 '
Значительное значение имеет исследование влияния внутреннего демпфирования и его величины для механического элемента с распределенными параметрами. Наиболее приемлемым способом учета внутреннего демпфирования в распределено - упругом элементе является замена р ^ р + С, где £ - эквивалентный декремент затухания. Тогда передаточные функции принимают следующий вид:
0,06р3 +0,0002р2 +10р+0.01
=-
0,2р6 +0.001р5 +61.2р4 + 0.24ръ + 22р2 +8.5р +0.004
Ж = 0.002 р +0.00001р4 + 0.5 Р + 0.001 р2 + 20 р+0.02
Г.р1
0,2рь +0.001р5 +61.2р +0.2р3 + 22р2 +8.5р +0.004
Также с помощью разработанного программного обеспечения в МяЙяЬ 6.5 можно найти передаточные функции системы с
распределенными параметрами при сколь угодно различных значений масс находящихся на ленте в зависимости от местонахождения груза.
Асимптотические логарифмические частотные и фазочастотные характеристики системы с распределенными параметрами с учетом
внутреннего демпфирования по управляющим
воздействиям приведены на рис.3.
Полученные характеристики позволяют сформулировать следующие выводы:
а) смещение спектра собственных частот вправо обуславливается только увеличением скорости распространения волны упругих деформаций а, либо уменьшением пространственной протяженности объекта;
б) учет естественного демпфирования существенно не сказывается на форме ЛАЧХ и ФЧХ системы, однако, ограничивает резонансный пик конечными значениями и несколько сглаживает частотную характеристику;
в) при учете внутреннего демпфирования в распределено - упругом элементе при полученных ЬГр , РГр характеристики незначительно отличаются
от системы учитывающей естественное демпфирование с сосредоточенными
параметрами Ьер и ¥ер ;
г) проявление второго резонансного пика (кривая ЬГр, ЕГр) минимально, вследствие
присутствия внутреннего демпфирования.
Рис.3. Частотные характеристики с учетом внутреннего демпфирования Таким образом, полученные в замкнутом аналитическом виде передаточные функции распределено - упругого кольцевого механического элемента позволяют осуществить исследование влияния параметров этого объекта на спектр его собственных частот, при чем точность аппроксимации такова, что она является практически аналогом систем с сосредоточенными параметрами, при дополнительном количестве исследуемых параметров.
скорость и момент ведущего двигателя, а м2, М2 -
Рис.4. Структурная схема модели имеющая распределено - упругий характер Отличие получаемой структурной схемы рис.4 от сосредоточенного аналога состоит, прежде всего, в том, что система разомкнута по выходному сигналу.
Распределенный характер нагрузки оказывает влияние на параметры двигателей, влияя тем самым и на контуры обратных связей, что выражается
наличием передаточной функции Wдв. Для полученной структуры электромеханической системы конвейера с распределено - упругой нагрузкой, где асинхронные двигатели управляются от 18 - ти ступенчатого реостата, было произведено цифровое моделирование в МяЙяЬ 6.5 81шиИпк. В результате моделирования получены графики переходных процессов для системы с распределенными параметрами, где w1, М1 -
скорость и момент ведомого рис.5,6.
Способность к демпфированию упругих колебаний, рассматриваемым механизмом ленточного конвейера, затруднительно оценить, так как это не учитывается математическим описанием, но воздействие упругого момента можно отслеживать по моментам двигателей. Полученные результаты близки к результатам моделирования системы с сосредоточенными параметрами, где в свою очередь подтверждается факт слабой демпфируемости упругих колебаний при пуске конвейера[2]. Поэтому полученные результаты моделирования в совокупности с приведенным математическим описанием механической части с
распределено - упругим элементом, приемлемы для анализа свойств электромеханической системы конвейера, не противоречат основным положениям теории электропривода, и позволяют исследовать многомерные модели кольцевого элемента -ленточного конвейера.
Рис.5 Характеристики моментов и скоростей двигателей при пуске конвейера с распределено - упругой нагрузкой (загруженный конвейер).
Рис.6 Характеристики моментов и скоростей двигателей при пуске конвейера с распределено - упругой нагрузкой (порожний конвейер).
Экспериментальная частотная характеристика неизменяемой части системы при обратной связи по выходной координате системы с распределенными параметрами изображена на рис.2.
По условию устойчивости при использовании нерезонансного регулятора [3] система практически не может быть замкнута на частоте, больше частоты первого резонанса. Замыкание системы по скорости двигателя лишь частично может произвести положительный результат. Частотная
характеристика неизменяемой части системы в этом случае имеет совпадающие во всей частотной области резонансы и антирезонансы и существенно не ограничивает частоту среза системы.
Замыкание системы по скорости двигателя, обеспечивающее ей широкую равномерную полосу пропускания, не только не улучшает динамики системы в целом, но и за счет поднятия высокочастотной части характеристики
неохваченной части элемента с распределенными параметрами большего порядка, чем в (8,9) еще в большей степени обостряет ее резонансные свойства[3]. Наличие у замкнутой системы ярко выраженных резонансных свойств недопустимо из -за возникновения повышенных динамических нагрузок оборудования.
Представим результаты исследования для частотного пуска электропривода при использовании структурной схемы рис.4. На
рисунке 7 показаны следующие полученные характеристики: М1, М2 - переходной процесс по
моменту ведущего и ведомого двигателей; а>1, со2 -
переходной процесс по скорости двигателей. Из структурной схемы рис.4 и полученных характеристик следует: модель
электромеханической системы не содержит в явном виде информации по упругому моменту, поэтому можно сделать вывод о демпфируемости только по изменению момента двигателя, тогда полученные переходные процессы при частотном пуске двигателей отражают действие слабой естественной демпфируемости механизмом конвейера и двигателем упругих колебаний даже при установившемся движении ленты; замыкание системы по скорости двигателя лишь частично дает положительный результат, и при выходе на установившийся режим проявляются незатухающие колебания (рис.7 (Б)); проявление резонансных свойств системы ухудшает динамику электропривода и приводит к непрограммируемому изменению скорости и момента двигателя (рис.7 (А)).
MX-m.W-10b.Uc 1 1- 1 1
/У\Г / І — /
1 Г 1
ґ^\ 1 м' ' 1 ж V у/П 1 |1 1 * 1 ЛллКМААА
\ 1 / 1 “ / м IX 1 1
1 1 Т 1 1 1 1 1 1 1 І
$ Т “I 1 1
Рис.7. Характеристики двигателей для механизма с распределенными параметрами
С учетом того, что кинематика распределено -упругой передачи ленточного конвейера конструктивно позволяет осуществить подключение дополнительной обратной связи к любой точке, задача увеличения полосы пропускания системы может быть решена с помощью введения дополнительной обратной связи из промежуточной точки элемента.
Корректирующий сигнал, пропорциональный изменению момента двигателя, можно получить косвенно. Для этого необходимо иметь модель системы с распределенными параметрами, которая показана на рис. 4. Используя функции (8,9) и имея в каждый момент времени значение вращающего момента двигателя, можно прогнозировать
изменение момента в зависимости от
пространственного нахождения груза на ленте и его массы. Этот метод возможен при условиях: должна соблюдаться идентичность модели и механической системы приводной барабан - материал на ленте; масса груза определяется весоизмерительными системами дозирования либо ленточными весами и вносится в алгоритм расчета передаточной функции модели системы с распределенными параметрами; количество датчиков определяющих нахождение груза на всем протяжении ленты нагружаемой сыпучими материалами определяется из расчета
кдат = К1 к.т , где Ьн - длина нагружаемой части конвейера и 1кт - количество контрольных точек. Количество точек должно выбираться исходя из
Усл0вия Lrn =
где
время двух
амплитуд колебаний упругого момента (колебаний момента двигателя) определяемых расчетным путем или при имитационном моделировании, vл -линейная скорость движения ленты.
Рис. 8. Структурная схема модели имеющая распределено - упругий характер со звеном дополнительной связи
Таким образом, система управления должна включать в себя модель системы с распределенными параметрами в качестве корректирующего звена, которое удобнее включить в контур скорости. На рис.9 показаны графики зависимостей моментов двигателей М1, М2 и скоростей соответственно щ, щ, полученные в результате цифрового моделирования, для системы с дополнительной обратной связью. Полученные характеристики удовлетворяют требованию минимизации
колебаний моментов двигателей при весьма небольшом времени переходного процесса.
Рис.9. Характеристики двигателей с корректирующим устройством
Липецкий государственный технический университет
По результатам проведенных исследований можно сформулировать следующие выводы:
- экспериментальные исследования
двухдвигательного привода с одномерным продольно-упругим замкнутым в кольцо элементом показали, что наличие у замкнутой системы резонансных свойств приводит к возникновению колебательного процесса по моментам двигателей;
- для системы с распределенными параметрами предложена коррекция переменных системы управления двигателями, при этом происходит снижение колебаний моментов двигателей в электромеханической системе конвейера.
Литература
1. Шахмейстер Л.Г, Дмитриев В.Г. Теория и расчет ленточных конвейеров. - М.: Металлургия, 1987. - 394 с.
2. Теличко Л.Я., Тарасов А.С. Математическое моделирование ленточного конвейера с двухдвигательным электроприводом // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2007 - Т. 3. №12. С. 82-86.
3. Рассудов Л.Н., Мядзель В.Н. Электроприводы с распределенными параметрами механических элементов.-“Энергоатомиздат”, 1987.
MATHEMATICAL MODELLING IS DISTRIBUTED - THE ELASTIC ELEMENT WITH THE TWO-IMPELLENT ELECTRIC DRIVE
L.Ja. Telichko, A.S.Tarasov
Questions of search and use of transfer functions of the one-dimensional longitudinal-elastic element closed in a ring loaded in weights, concentrated in its separate points to electromechanical system of the conveyor are considered. Influence of parametres of object on a spectrum of own frequencies is investigated. The way of automatic calm of fluctuations of the moments of engines is offered at start-up of the electric drive of the conveyor
t
Key words: function, the frequency analysis, the electric drive, modelling
