CC BY
26
Математическое моделирование распределения магнитного поля в
окрестности эритроцита
А.В. Копыльцов
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» имени В.И. Ульянова (Ленина), Санкт-Петербургский государственный университет
аэрокосмического приборостроения
Аннотация: Эритроцит при перемещении по узкому капилляру вытягивается и перекатывается подобно гусенице трактора. Заряды, расположенные на поверхности эритроцита, перемещаются вместе с мембраной и порождают магнитное поле в окрестности мембраны эритроцита, которое может оказывать влияние как на элементы кровотока вне эритроцита, так и на его содержимое, в частности, на атомы железа входящие в состав гемоглобина. Построена трехмерная модель эритроцита. Проведенные расчеты напряженности магнитного поля Н показали, что вращение мембраны эритроцита с расположенными на ней зарядами приводит к существенному перераспределению магнитного поля в окрестности эритроцита. Причем с увеличением частоты вращения мембраны эритроцита неоднородность Н существенно возрастает и может привести к изменению гемодинамики в системе микроциркуляции.
Ключевые слова: математическая модель, эритроцит, узкий капилляр, магнитное поле, микроциркуляция
Введение
При перемещении по узкому капилляру эритроцит вытягивается и перекатывается подобно гусенице трактора с частотой вращения до 50 оборотов в секунду. Заряды расположены на поверхности эритроцита и составляют около 20 миллионов элементарных зарядов, каждый из которых равен 1,60х10"19Кл. Поэтому заряд эритроцита равен 0,32х10"п Кл [1-9]. Движущиеся вместе с мембраной эритроцита заряды порождают магнитное поле в окрестности эритроцита, которое может оказывать влияние как на элементы кровотока вне эритроцита, так и на его содержимое, в частности, на атомы железа входящие в состав гемоглобина. Поэтому важно оценить напряженность магнитного поля эритроцита и ее зависимость от гемодинамических параметров кровотока.
Математическая модель
Форма эритроцита аппроксимирована усеченным цилиндром радиуса г с образующими Ы и Ь2 (£1<£2). Предполагается, что все заряды на поверхности эритроцита одинаковые и равномерно распределены по поверхности эритроцита и перемещаются вместе с мембраной по замкнутым кривым, т.е. заряды равномерно расположены на замкнутых кривых, представляющих собой трапеции, которые получаются в результате пересечения усеченного цилиндра плоскостями параллельными плоскости вращения мембраны эритроцита (рис. 1).
А В
Рис. 1. - Стрелочками обозначены направления движения зарядов,
перемещающихся вместе с мембраной эритроцита. Согласно закону Био-Савара заряд q, движущийся со скоростью V, создает на расстоянии r магнитное поле, напряженность которого
qVsin а
H =-^
4nr 2
где а - угол между направлением скорости V и радиус-вектором r (рис. 2) [10].
Ч
Рис. 2. - Заряд д движется со скоростью Vи на расстоянии г создает магнитное поле напряженности Н.
Поскольку на мембране эритроцита расположено несколько зарядов, и каждый из них в некоторой выбранной точке создает магнитное поле, то в этой точке осуществляется векторное суммирование напряженностей создаваемых каждым из зарядов.
Результаты и их обсуждение
Расчеты напряженности Н магнитного поля были проведены в плоскостях перпендикулярных оси капилляра на расстояниях от передней части эритроцита от 1 до 4 мкм. При расчетах использовались следующие значения параметров: заряд эритроцита QRBC=0,32x10-11 Кл, количество замкнутых траекторий N=101 на мембране эритроцита, на которых расположены заряды в количестве N=38594, частота вращения мембраны эритроцита ^=20 об/сек, радиус эритроцита г=2 мкм, объем эритроцита
3 2
VRвC=94 мкм , площадь поверхности эритроцита 5двС=135 мкм , образующие усеченного цилиндра £1=3,4 мкм и £2=11,5 мкм, скорость эритроцита V=100 мкм/сек, шаг по пространству ^=0,1 мкм, число шагов по пространству Ин= 81^81 (от -4 мкм до 4 мкм по осям координат перпендикулярных оси капилляра). На рис. 3-5 приведены распределения напряженности магнитного поля Н (А/м) в плоскостях перпендикулярных оси капилляра, расположенных на различных расстояниях d (мкм) от передней части эритроцита.
Из приведенных рисунков видно, что распределение Н при малых расстояниях от эритроцита является неоднородным, что обусловлено разностью скоростей зарядов расположенных на вращающейся поверхности мембраны эритроцита. Если направление скорости движения эритроцита по капилляру и скорости зарядов направлены в одну сторону, то скорости складываются, а если в разные стороны, то вычитаются и, следовательно, итоговая напряженность Н увеличивается или уменьшается соответственно. При удалении от эритроцита максимальное значение Н становится меньше.
Так, при изменении расстояния с1 от 1 мкм до 4 мкм максимальное значение Н уменьшается от 2,2х10-6 до 3,9х10-7 А/м.
Рис. 3. - Распределение Н на расстоянии с1=1 мкм.
хЮ"6
Рис. 4. - Распределение Н на расстоянии с=2 мкм.
Рис. 5. - Распределение Н на расстоянии d=3 мкм.
Рис. 6. - Распределение Н на расстоянии d=4 мкм.
Так же были проведены расчеты при тех же значениях параметров, но для разных частот вращения мембраны эритроцита (от 10 до 50 об/сек) при скорости эритроцита 100 мкм/сек и в плоскости, которая расположена от эритроцита на расстоянии 1 мкм.
На рис. 7-9 приведены распределения напряженности магнитного поля Н (А/м) при разных частотах w (об/сек) вращения мембраны эритроцита.
1.5 -
40
20
О 0
Рис. 7. - Распределение Н при частоте w=10 об/сек.
х10"6 4 -
3
.... . 40
20
О О
Рис. 8. - Распределение Н при частоте w=30 об/сек.
;
хЮ"6 б ч
5 -
4 |
10
100
О О
Рис. 9. - Распределение Н при частоте ^=50 об/сек.
Из приведенных рисунков видно, что при увеличении частоты вращения мембраны эритроцита разность между максимальным и минимальным значениями Н увеличивается. Это объясняется тем, что разнонаправленные скорости зарядов на поверхности эритроцита увеличиваются, и при сложении со скоростью эритроцита получаем, что скорости части зарядов на мембране эритроцита существенно возрастают и, следовательно, максимальное значение Н так же существенно увеличивается. Так, при увеличение w от 10 об/сек до 50 об/сек максимальное значение Н изменяется от 1,3*10-6 до 5,0*10-6 А/м.
Проведенные расчеты показали, что трехмерная модель вращения мембраны эритроцита с расположенными на ней зарядами приводит к существенному перераспределению магнитного поля в окрестности эритроцита. Причем с увеличением частоты вращения мембраны эритроцита и уменьшением расстояния от эритроцита до точек, в которых вычисляется напряженность Н, разность между максимальным и минимальным значением
Заключение
Н увеличивается. Неоднородность магнитного поля в окрестности эритроцита может привести к перераспределению сил приложенных к элементам кровотока, имеющим заряд, и, таким образом, привести к изменению гемодинамики в системе микроциркуляции. Неоднородное магнитное поле может оказывать влияние как на процессы, происходящие вне эритроцита, та и внутри него, в частности, на железосодержащий гемоглобин внутри эритроцита. В молекулах гемоглобина при некоторых заболеваниях происходит замещение Fe на Fe К таким заболеваниям можно отнести, например, метгемоглобинемию, которая может быть как врожденной, так и приобретенной, например, при отравлении анилиновыми красителями, парацетамолом, перманганатом калия и другими ядами. При увеличении концентрации Fe3+ гемоглобин превращается в метгемоглобин (другое название - ферригемоглобин) и блокирует транспорт кислорода, что опасно для живого организма. Таким образом, содержимое эритроцита становится ферритом и так как феррит в постоянном магнитном поле при внешнем переменном СВЧ магнитном поле поглощает энергию [11, 12], то вращающийся эритроцит в узком капилляре тоже будет поглощать энергию СВЧ магнитного поля. Используя это явление можно строить различные математические модели и, по-видимому, можно подобрать характеристики (амплитуды, частоты, мощность и пр.) электромагнитного излучения, которое позволит найти способы лечения таких редких заболеваний как метгемоглобинемия.
Литература
1. Bessonov N., Sequeira A., Simakov S., Vassilevskii Yu., Volpert V. Methods of Blood Flow Modelling // Math. Model. Nat. Phenom. 2016. V. 11. № 1. pp. 1-25.
2. Lighthill M. Pressure-forcing of tightly fitting pellets along fluid-filled elastic tubes // J. Fluid Mech. 1968. V. 34. pp. 113-143.
3. Kopyltsov A.V. Mathematical model of the motion of asymmetric erythrocytes along narrow capillaries // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2012. V. 26. № 6. pp. 535-553.
4. Копыльцов А.В. Двухмерная модель распределения магнитного поля между эритроцитами в узком капилляре // Инженерный вестник Дона. 2017, № 4. - URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2017/4466
5. Копыльцов А.В. Математическое моделирование движения заряженного эритроцита по узкому капилляру. Моделирование и ситуационное управление качеством сложных систем: сб. докл. / СПб.: ГУАП, 2017. - С. 27-30
6. Fisher T.M., Strohr-Liesen M., Schmid-Schonbein H. The red cell as a fluid droplet: tank tread-like motion of the human erythrocyte membrane is shear flow // Science. 1978. V. 202. № 4369. pp. 894-896.
7. Schmid-Schonbein H., Gaehtgens P., Fischer T., Stohr-Liesen M. Biology of red cells: non-nucleated erythrocytes as fluid drop-like cell fragments // Int. J. Microcirc.: Clin. Exp. 1984. V. 3. pp. 161-196.
8. Cherpakov A.V., Soloviev A.N., Gricenko V.V., Mohanty S.C., Parshin D.Y., Butenko U.I., Bocharova O.V. Comparison of finite element modeling and analytical approach results for oscillating rod structure with crack // Инженерный вестник Дона. 2014. № 4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2014/2785
9. Копыльцов А.А. Модель классификации информации и алгоритм ее предварительной обработки для статических и динамических объектов // Известия СПбГЭТУ "ЛЭТИ" (известия государственного электротехнического университета), серия "Информатика, управление и компьютерные технологии". 2013. № 6. С. 134-139.
10. Orear J. Physics. New York: Macmillan Publ. 1981. 624 p.
11. Гуревич А.Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках. М.: Наука, 1973. 242 с.
12. Голубев А.А., Игнатьев В.К. Измерение тензорных величин магнитного поля в микроструктурном анализе ферромагнитных материалов // Инженерный вестник Дона, 2011. № 3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2011/473
References
1. Bessonov N., Sequeira A., Simakov S., Vassilevskii Yu., Volpert V. Math. Model. Nat. Phenom. 2016. V. 11. № 1. pp. 1-25.
2. Lighthill M. J. Fluid Mech. 1968. V.34. pp.113-143.
3. Kopyltsov A.V. Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2012. V. 26. № 6. pp. 535-553.
4. Kopyltsov A.V. Inzhenernyj vestnik Dona (Rus). 2017. № 4. URL: URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2017/4466
5. Kopyltsov A.V. Modelirovanie i situacionnoe upravlenie kachestvom slozhnyh system [Modeling and situational management of the quality of complex systems] (Rus)/ SPb.: GUAP. 2017. pp. 27-30.
6. Fisher T.M., Strohr-Liesen M., Schmid-Schonbein H. Science. 1978. V. 202. № 4369. pp. 894-896.
7. Schmid-Schonbein H., Gaehtgens P., Fischer T., Stohr-Liesen M. Int. J. Microcirc.: Clin. Exp. 1984. V. 3. pp. 161-196.
8. Cherpakov A.V., Soloviev A.N., Gricenko V.V., Mohanty S.C., Parshin D.Y., Butenko U.I., Bocharova O.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2014. № 4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2014/2785
9. Kopyltsov A. A. Journal of Saint-Petersburg State Eledxotechnical University «LETI» (Rus). 2013. № 6. pp. 134-139.
10. Orear J. Physics. New York: Macmillan Publ. 1981. 624 p.
11. Gurevich A.G. Magnitnyj rezonans v ferritah i antiferromagnetikah [Magnetic resonance in ferrites and antiferromagnets] (Rus). М.: Nauka. 1973. 242 p.
:
12. Golubev Л.Л., Ignatiev У.К. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2011. № 3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2011/473
