МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ ВЕТРОВЫХ ЭЛЕКТРОСТАНЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Статья поступила в редакцию 21.02.13. Ред. рег. № 1556 The article has entered in publishing office 21.02.13. Ed. reg. No. 1556

УДК 621.548

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ ВЕТРОВЫХ

ЭЛЕКТРОСТАНЦИЙ

Н.П. Кузнецов

Институт возобновляемой энергетики НАНУ 02094 Украина, Киев, ул. Красногвардейская, д. 20А Тел./факс: +38044 206-28-09, e-mail: renewable@ukr.net, http://www.ive.org.ua

Заключение совета рецензентов 25.02.13 Заключение совета экспертов 28.02.13 Принято к публикации 05.03.13

Мощность ветровых электростанций характеризуется нестабильностью, обусловленной случайным характером скорости ветра. При работе в составе энергосистемы это вносит дополнительный фактор неопределенности. Математическая модель позволяет спрогнозировать параметры работы энергосистемы с учетом фактора случайности, однако для корректного моделирования необходим предварительный анализ характера изменения скорости ветра и соответствующей мощности ветроустановок.

Ключевые слова: ветровая электростанция, скорость ветра, математическое моделирование, случайная величина, нормальное распределение.

MATHEMATICAL MODELING OF WIND FARMS CAPACITY

M. Kuznietsov

Institute of Renewable Energy of NASU, 20A Krasnogvardeyskaya St., Kiev, 20294, Ukraine Tel/fax +38044 206-28-09, e-mail: renewable@ukr.net, http://www.ive.org.ua

Referred 25.02.13 Expertise 28.02.13 Accepted 05.03.13

Capacity of wind power plants is characterized by instability due to the random nature of the wind speed. Being incorporated in the power system it brings additional uncertainty factor. A mathematical model predicts the parameters of the power system with the random factor, but for the correct modeling it requires a preliminary analysis of the nature of wind speed behavior and the corresponding wind power changing.

Keywords: wind farm, wind speed, mathematical modeling, random variable, normal distribution.

Сведения об авторе: старший научный сотрудник отдела ветроэнергетики, Институт возобновляемой энергетики НАН Украины, кандидат физико-математических наук.

Образование: В 1978 окончил Киевский госуниверситет, механико-математический факультет. 1991 год - кандидат физико-математических наук, механика твердого деформируемого тела. 2012 год - старший научный сотрудник, преобразование возобновляемых видов энергии.

Область научных интересов: теоретическая механика, прикладная математика, возобновляемая энергетика.

Публикации: 32, в т.ч. 2 авторских свидетельства, три государственных стандарта.

Николай Петрович Кузнецов

Ветровые электростанции (ВЭС) обретают все больший вес в составе энергосистем многих стран. Их удельная мощность порой достигает 10% и больше (по состоянию на начало 2012 г. в Дании -26%, Испании - 16%, Португалии - 15%, Германии 11%, в среднем по странам ЕС - более 6%). Причем это касается не только промышленно развитых стран - бурное развитие ветроэнергетики происходит в

таких странах, как Китай, Индия, Бразилия, Мексика. Однако увеличение доли ветровой энергии в общем потреблении сопровождается рядом проблем, обусловленных нестабильностью ветра как энергоносителя. Случайный характер уровня текущей мощности ВЭС требует решения определенных задач даже при столь незначительной на данный момент доле ветровой энергетики в

Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» № 03 (121) 2013 © Научно-технический центр «TATA», 2013

составе общего энергопотребления в Украине, особенно с учетом тенденции к возрастанию использования возобновляемых источников энергии. Кроме потребности в прогнозировании ожидаемой выработки электроэнергии на ВЭС и, соответственно, текущем планировании работы генерирующих мощностей, актуальными становятся вопросы определения резервных мощностей. Это обусловлено тем, что для обеспечения стабильного снабжения электроэнергией при переменном во времени (и во многом случайном) ее потреблении определенная часть мощностей должна находиться в состоянии готовности к началу генерации, с разной степенью готовности. Наличие таких трудно предсказуемых объектов как ВЭС ужесточает требования как к объему резервных мощностей, так и к их быстродействию. Решение задач обеспечения устойчивости и стабильности энергоснабжения возможно, но это требует все более точного предсказания поведения ветровых станций. Это и вопросы прогнозирования скорости ветра, и моделирование возможных уровней мощности ВЭС [1].

Математические модели работы ВЭС с учетом стохастической природы ветра как источника энергии предполагают знание вероятностных характеристик ветра и, соответственно, мощности ветроэлектрических установок (ВЭУ). При этом ветер можно считать величиной случайной по определению, а мощность ВЭУ связана со скоростью ветра функциональной зависимостью, а, следовательно, также случайна, как определенная функция от случайной величины. Представления функциональной зависимости различны,

разработчиками ВЭУ они представляются обычно в табличном или графическом виде и называются кривой мощности ВЭУ. Моделировать можно как непосредственно скорость ветра, так и результирующую мощность ВЭС.

Моделирование мощности ВЭС случайным процессом Орнштейна-Уленбека позволяет учесть такие черты, как наличие устойчиво наблюдаемого среднего уровня мощности (определяемого климатическими условиями местности) и случайных отклонений относительно среднего с определенным темпом и размахом. Запись реализаций процесса как функции времени можно свести к следующему виду [2]:

X (t) = X (0) • e~

а

+ Vi - e-2ßt •е

(i)

от времени и отражать, например, характерный суточный ход скорости ветра. Такое представление удобно для моделирования, поскольку нормально распределенные (подчиненные распределению Гаусса) случайные величины хорошо изучены и имеют стандартные реализации в различных программных приложениях. Применение методов типа Монте-Карло или иных процедур позволяют оценить такие важные показатели, как гарантированную минимальную или максимальную мощность ВЭС, важные для планирования работы энергосистемы в пиковых режимах, определить надежность энергоснабжения, вероятности экстремальных режимов, экономическую

эффективность и прочее.

Возникает вопрос, насколько реальные процессы отвечают условиям нормальности? Ведь от этого зависит точность модели. Скорость ветра, как известно, в отличие от нормального, имеет несимметричное распределение (рис. 1), для описания которого применяются различные представления (наиболее распространено распределение Вейбулла).

Рис. 1. Пример гистограммы скорости ветра Fig. 1. Example of wind speed histogram

Производство электроэнергии ветростанциями в общем случае также имеет несимметричное распределение. Для корректного применения математической модели необходимо выразить мощность ВЭС через нормально распределенные случайные величины непосредственно или моделируя отдельно скорость ветра и используя функциональные зависимости (кривую мощности). В общем случае задача формулируется следующим образом - для случайного процесса X(t) необходимо найти преобразование g(u), которое связывало бы его с нормальным процессом u(t):

1

x(t) = —[X(t) - Xm ] = g[u(t)].

(2)

Здесь / - время, £—N(0,1) - нормально распределенная случайная величина с нулевым средним и единичной дисперсией, коэффициент в определяет темп возвращения к среднему уровню, а величина а характеризует размах отклонений. При этом среднее значение может быть также функцией

Здесь хф - нормализованный процесс (Хт -математическое ожидание, ах - стандартное отклонение).

Если статистические характеристики

распределения исходного процесса известны, то

x

80

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 03 (121) 2013

© Scientific Technical Centre «TATA», 2013

iSJftl

зависимость (2) можно, например, записать в виде преобразования Эрмита [3]:

х = и + h3(u2 -1) + h4 (и3 -3u),

(3)

где параметры к3 и к4 выражаются через третий и четвертый моменты распределения (или асимметрию и эксцесс).

Иной способ представления - когда функция распределения моделируемого процесса представляется с помощью полиномов Чебышева-Эрмита (к рассмотрению обычно принимаются первые члены аппроксимирующего ряда) [5]:

f 00>

exp

1 + A (v3 - 3v) +

+ —VL (v4 - 6v2 + 3)

24 V '.

(4)

где Ау и Еу - соответственно асимметрия и эксцесс моделируемого процесса.

Насколько скорость ветра отвечает критериям нормальности (т.е. насколько близки к нулю параметры асимметрии и эксцесса)? Зависит ли характер распределения от высоты измерений или длительности временного интервала?

Для оценки зависимости характера распределения от высоты рассмотрим синхронные измерения ветра на различных высотах, сделанные на востоке Крыма на высотах 80 м, 65 ми 50 м. Запись скоростей ветра производилась в разные сезоны с интервалом осреднения 10 мин. Результаты расчетов для разных месяцев при использовании значений скорости ветра, осредненных за 1 час (744 записи) и 10 минут (4464 записи), приведены в табл. 1.

Параметры распределения скорости ветра на различных высотах Parameters of the wind speed distribution at the different heights

Таблица 1.

Table 1.

Месяц Высота измерения, м Средняя скорость ветра, м/с Параметры распределения

асимметрия эксцесс

1 час 10 мин 1 час 10 мин

октябрь 80 4,47 0,60 0,61 -0,33 -0,21

65 4,24 0,56 0,58 -0,35 -0,20

50 4,14 0,52 0,53 -0,40 -0,27

март 80 5,70 0,91 0,90 0,96 0,94

65 5,56 0,89 0,88 0,71 0,72

50 5,41 0,87 0,86 0,58 0,59

Как видим, параметры распределения слабо зависят от временного интервала осреднения, при этом явной зависимости от высоты также не наблюдается - показатели асимметрии плавно возрастают пропорционально росту средней скорости ветра, эксцесс может принимать разные знаки. Нормальность распределения можно оценить по критериям стандарта ISO 5479:1997 [4]. Критерии нормальности для массива из 744 значений составляют: по асимметрии \АУ\ < 0,15; по эксцессу -0,27 < Еу < 0,30. Для большего массива данных критерии еще жестче. Как видим, месячный массив данных о скорости ветра не отвечает критериям нормального распределения. Если рассматривать не месячный массив данных о ветре, а отдельно данные за каждые сутки (по 144 замера при 10-минутном осреднении, и по 24 при почасовом), то показатели соответствия критерию нормальности распределения изменятся в силу того, что сами критерии станут менее жесткими. В результате часть времени, когда суточное распределение скорости ветра отвечает двунаправленному критерию нормальности (по асимметрии и эксцессу), при 10-минутном

осреднении будет составлять 20-25%, при 1-часовом осреднении - 60-70%.

Для измерений скорости ветра, производимых на высоте 20 м в разных регионах и в различное время, аналогичные показатели составляют 20-30%, а при 1-часовом осреднении - 60-80%. Больший разброс обусловлен большим объемом данных. Таким образом, при моделировании скорости ветра условно нормальными можно считать суточные массивы среднечасовых данных; для больших временных диапазонов или более частых замеров целесообразно применять преобразования к нормальному распределению по зависимости (2).

Что касается мощности ВЭС, то она напрямую зависит от мощности ветрового потока. Зависимость характера распределения мощности от степени изменчивости ветрового потока оценивается следующим образом. Поскольку мощность ветра (Рв) или ВЭУ (Р„) пропорциональна кубу скорости ветра V, то наличие флуктуаций скорости на исследуемом временном промежутке приводит к некоторому увеличению средней мощности ветра вследствие несимметричности кубической зависимости:

Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» № 03 (121) 2013 © Научно-технический центр «TATA», 2013

uu p >m

P = J v3f(v)dv или p = J v3f (v)dv + v/ J f (v)dv . (5)

Увеличение мощности нестационарного ветрового потока по сравнению с постоянным зависит от функции распределения скорости ветра f(v) как случайной величины. Результаты расчетов для двух типов распределения - симметричного и Вейбулла с одинаковым коэффициентом вариации скорости ветра Cv (отношением дисперсии и средней скорости) приведены в (табл. 2).

Таблица 2.

Уровень возрастания мощности нестационарного ветрового потока

Table 2.

The level of increase in the power of unsteady wind flow

Тип ^^ распределения"~~~*-...^ 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

симметричный 1,120 1,27 1,48 1,75 2,08

Вейбулла 1,117 1,27 1,50 1,82 2,26

Как видим, различия становятся заметными для значений коэффициента вариации, превышающих 0,4. Это соответствует осреднению данных за значительный промежуток времени (месяц, год). Для коротких отрезков времени (час, сутки) применение распределения Вейбулла дает практически такой же результат, что и симметричное распределение. При росте средней скорости ветра влияние случайной составляющей снижается.

Для ВЭУ распределение мощностей (нормированных номинальной мощностью), соответствующих скоростям ветра на рис. 1, имеет еще более несимметричный вид (рис. 2):

Рис. 2. Гистограмма распределения мощности ВЭУ Fig. 2. Frequency distribution of the turbine's power

Характерной для гистограммы мощности ВЭУ являются локальные максимумы в области малых и больших значений, поскольку там действует искусственное ограничение мощности (до точки старта и после выхода на номинальную мощность).

Для получения нормально распределенного случайного процесса, отражающего мощность ВЭС,

в работе [6] предлагается использовать логарифмически-нормальное распределение. Для приведенного на рис. 1 примера, распределение логарифма мощности выглядит достаточно приближенным к нормальному (рис. 3):

Рис.3. Гистограмма распределения логарифма мощности ВЭУ Fig.3. Frequency distribution of the logarithm of turbine power

Если проанализировать все рассмотренные выше примеры (по суточным записям), то распределение скорости ветра в большинстве случаев можно считать нормальным, причем по показателю асимметрии распределение ближе к нормальному, чем по двунаправленному (асимметрия плюс эксцесс) критерию. Распределение мощности ВЭУ в целом гораздо дальше от нормального, чем распределение логарифма мощности, который, в свою очередь, удовлетворяет критериям нормальности примерно в половине исследованных случаев.

Таким образом, распределение скорости ветра ближе к нормальному, чем распределение мощности ВЭС или ее логарифма. При этом корреляция параметров распределения со средней скоростью ветра выражена достаточно слабо; обычно с ростом скорости ветра ее распределение становится более симметричным, а распределение логарифма мощности - менее симметричным. В целом при выборе способов моделирования случайного характера мощности ВЭС необходимо предварительное изучение ветрового режима изучаемой территории. Очевидно, однако, что с увеличением числа взятых в расчет ВЭС, нормальность распределения их совокупной мощности должна возрастать, учитывая пространственную дисперсию скорости ветра и центральную предельную теорему о сложении случайных величин.

Список литературы

1. Кузнецов М.П. Стохастичш моделi роботи енергосистеми, яка мютить вiтровi електростанцп // Ввдновлювана енергетика. 2011. №1. С. 34-41.

2. Кузнецов Н.П. Моделирование работы комбинированной энергосистемы с использованием стохастических дифференциальных уравнений //

82

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 03 (121) 2013

© Scientific Technical Centre «TATA», 2013

iSJftl

Альтернативная энергетика и экология. 2012. №7. С. 64-67.

3. Gurley K., Kareem A. Analysis interpretation modeling and simulation of unsteady wind and pressure data // Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 1997. V. 69-71. P. 657-669.

4. ГОСТ Р ИСО 5479-2002. Статистические методы. Проверка отклонения распределения

вероятностей от нормального распределения.

5. Пекур П.П. Аналтгичне зображення щшъносп ймовiрностi та функци розподшу швидкосп виру // Вщновлювана енергетика. 2005. № 2. С. 53-58.

6. Olsson M., Perninge M., Soder L. Modeling realtime balancing power demands in wind power systems using stochastic differential equations // Electric Power Systems Research. 2010. № 80. P. 966-974.

Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» № 03 (121) 2013 © Научно-технический центр «TATA», 2013