МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ ДЛИННОЙ ЛИНИИ НА ОСНОВЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В КАЧЕСТВЕ ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Б01 10.36622/У8Ти.2023.19.2.006 УДК 621.396.67

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ ДЛИННОЙ ЛИНИИ НА ОСНОВЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В КАЧЕСТВЕ ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

И.С. Киреев, И.В. Зубарев, В.Л. Бурковский

Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия

Аннотация: проводятся аналогии и осуществляется анализ источников электромагнитных излучений, в качестве которых выступают линии электропередач (ЛЭП), теория которых базируется на описании цепей с распределенными параметрами (длинными линиями). Рассматриваются телеграфные уравнения и способ их аналитического решения. Получение аналитических зависимостей выполняется на основе представления длинной линии эквивалентной схемы в виде пассивной цепи, состоящей из погонных емкостей, индуктивностей и проводимостей. Запись телеграфных уравнений базируется на классическом методе анализа на основе закона Ома и правил Кирхгофа с применением метода комплексных амплитуд. Полученные аналитические зависимости позволяют анализировать процессы распространения токов и напряжений в длинной линии во времени и пространстве. Проводится компьютерное моделирование во временной области прохождения сигнала в виде прямоугольного импульса через длинную линию при разных величинах сопротивления нагрузки, а также представлен анализ зависимости формы выходного сигнала от числа сегментов длинной линии. Перспективой развития рассматриваемого вопроса является переход от описания в теории токов и напряжений к описанию в теории напряженностей электрического и магнитного поля (создание модели электромагнитного взаимодействия)

Ключевые слова: математическое моделирование, цепи с распределенными параметрами, временное моделирование, линии электропередач (ЛЭП), теория длинных линий

Введение

Для анализа процессов электромагнитного взаимодействия в длинной линии широкое применение находит модель цепи с распределенными параметрами. Такие цепи представляют собой электромагнитное устройство, габаритные размеры которого могут быть соизмеримы с длиной волны (частотой) электромагнитных колебаний, возбуждаемых в линии [1]. Длина волны определяется известным соотношением:

Рис. 1. Двухпроводная линия в качестве длинной линии

Представим длинную линию как последовательное соединение бесконечно малых отрезков dx (рис. 2).

С

я = 7■

(1)

где с - скорость света в вакууме, А - длина волны, f - частота сигнала.

Если длина объекта соизмерима с длиной волны (тракт передачи, фидер, линия электропередачи), а остальные длины много меньше А, такое устройство именуют длинной линией [2]. На рис. 1 приведен пример двухпроводной линии с подключенной к концу нагрузкой Кн и внутренним сопротивлением генератора Кс.

© Киреев И.С., Зубарев И.В., Бурковский В.Л., 2023

1_айх Яяйх 1-оС]Х РиС|Х Ых ИоДх

1=1-Ы, -у- ^СоЙХ "у уОойх

Рис. 2. Эквивалентная схема длинной линии

Каждый отрезок можно рассматривать как бесконечно малую индуктивность Ьо$х, сопротивление потерь Я0йх, емкость С0йх, так как в линии имеются два проводника и слой диэлектрика в виде воздуха, а также Gоdx - сопротивление утечки. Величины Ь0, С0 а также Ко и ^о принято именовать погонными параметрами цепи с распределенными параметрами. Схема, представленная на рис. 2, является эквивалентной электрической схемой

длиннои линии, которую можно анализировать известными методами на основе теории электрических цепей.

Телеграфные уравнения длинной линии

Для анализа длинной линии целесообразно ввести некую функцию з(х), которая в общем случае будет являться током, либо напряжением. Каждый из сегментов цепи с распределенными параметрами в точке х от начала координат функции з(х), либо в точке х' от начала координат функции б(х' ) можно представить в виде схемы (рис. 3). В данной схеме можно ввести мгновенные значения токов и напряжений. Обозначим длину линии передачи как Ь, тогда х' = Ь — х.

и+с1и

Согласно второму правилу Кирхгофа получаем следующее

(И

Ь0йх--+ Я0йх • I + (и + йи) = и, (5)

сИ

тогда

(И

Ь,0йх — + Я0йх I = —йи. 0 & 0

(6)

Умножая левую и правую часть (6) на 1/йх получим

йи & _ йх 0 йЬ 0

(7)

Таким образом, обобщая результаты (4) и (7) получаем систему телеграфных уравнений длинной линии

& йи

— Тх = С0М + ^ йи & _

йх 0 йь 0

(8)

Как видно, токи и напряжения являются функциями координаты и времени

[I = ¡(х, Ь), [и = /(х, Ь).

(9)

Рис. 3. Схема замещения сегмента длинной линии

Таким образом, согласно первому правилу Кирхгофа можно записать

du (2)

I = (I + сИ) + С0йх— + С0йх и, аЬ

Тогда уравнения (8) перепишутся в виде

[3]

&(х, Ь) йи(х, Ь)

'^Т = + °0^и(х, V,

йи(х, Ь) &(х, Ь)

= 10—~г— + R0l(x, ь).

(10)

с1х

сИ

тогда

йи

-сИ = С0йх——+ С0йх и. аЬ

(3)

Умножая левую и правую часть (3) на 1/йх получим

& йи — Тх = С0М + °0 и.

(4)

Рассматривая гармонические возбуждения в длинной линии, имеет место использовать метод комплексных амплитуд и ввести обозначения тока 1(х) и напряжения и (х), которые будут являться комплексными амплитудами соответствующих мгновенных токов и напряжений, тогда схема приобретет вид, представленный на рис. 4.

Рис. 4. Токи и напряжения в сегменте длинной линии

Таким образом, систему уравнений (10) можно представить в следующем виде

сИ(х) .

= ]шС01](х) + в0и (х^ (11)

аи(х)

йх

= ]шЬ01(х) + К01(х).

Систему (11) можно представить в виде 6.1 (х)

6х сМ(х) 6х

= ЦшС0 + в0 )и(х),

= (]ш1.0 + Я0 )1(х).

(12)

На основе закона Ома система (12) запишется через проводимость и сопротивление

а!(х)

= 0'шС0 + в0 )U(x), (13)

аи(х)

йх

= (]ш1.0 + Я0 )1(х).

Подставив одно уравнение в другое полу-

чаем

а21(х) dx2

— у21(х) = 0,

(14)

а2и(х) 2.

йх2

— у2и(х) = 0.

Величина у = - 20 У0 = а + является комплексной величиной и называется постоянной распространения. Действительная часть данной постоянной а является коэффициентом затухания, @ - коэффициентом фазы. Для данных констант справедливы следующие записи

а = Яе[у] =

/3 = 1т[у} = (15)

= ¡тУ^шьОТЙОШйсО^Тс^}.

В идеальном случае, в линии без потерь при ^ и С0 равные нулю получим

у = -[]шЬ0][]шС0] = ]ш-Т0С0.

(16)

Таким образом, у идеальной длинной линии имеется лишь коэффициент фазы.

Общий вид решения телеграфного уравнения

Телеграфные уравнения длинной линии являются дифференциальными уравнениями второго порядка и записываются для тока и напряжения в комплексной форме с учетом (16) в виде системы (17)

а21(х) dx2

а2и(х)

dx2

у21(х) = 0, у20(х) = 0.

(17)

На основе (17) можно записать характеристическое уравнение, принимающее следующий вид

р2 —у2 = 0.

(18)

Решая уравнение (18) относительно неизвестной переменной р, получаем пару корней: Р1 = У и Р2 = —У.

В общем виде, решение, записанное для напряжения, будет иметь вид

и(х) = А1еУх + А2е—ух. Используем уравнение (20)

ад(х)

(19)

с1х

= ¿01 (х).

(20)

Получим следующую запись для тока

1(х)=-[—А1уеУх + А2уе—П = ¿0

= ^ [—А^еГ* + А2 • е~ух] =

1 (21) [—А^еух + • е~ух\

¿с

где с учетом у2 = -Е0У0, получим выраже-

ние (22)

Zc = -= I- =

Y

+ Rc }шС0 + Gc

(22)

Выражение (22) представляет собой запись волнового сопротивления длинной линии в комплексной форме. Рассматривая идеальную длинную линию без потерь, волновое сопротивление является активным и определяется формулой (23)

(23)

Zr = I~.

Коэффициенты А1 и ^ являются постоянными интегрирования и выбираются на основе начальных условий. В качестве начальных условий, как правило, выступают величины тока и напряжения вначале длинной линии (11, и1) или в конце длинной линии(12, ^2), что является наиболее распространенным случаем. В случае, когда имеются ¡2 и в конце длинной линии, когда х = Ь, таким образом запишем

i2 = ^[-A1-erL + A2-e-rL ], U2 = A1eYl + A2e-yL.

(24)

Решая систему линейный уравнений (24) определим обобщенные выражения для постоянных интегрирования (25)

(25)

Для 1(х) и U (х) получим

¡(х) = Y [-А1-еуХ + А2-е-ух] =

= -В1еух + В2е-ух, U (х) = Axeyx + А2е-ух,

где коэффициенты В1 и В2 имеют вид

(26)

Ал U2 - Zci2 В1 =_1 =-C_Le-YL,

Zc 2ZC

a2 u2 + zci2 ,

B2 = — = —-—eyL.

2 Zr 2Zr

(27)

По полученным значениям комплексных амплитуд для тока 1(х) и напряжения й(х) запишем выражения для мгновенного значения 1(1, х) и и(Ь, х), являющиеся функциями времени и координаты

i(t, х) = Re{l(x)ejMt} = = Re{-B1 ■ eyxeiMt + В2 ■ е^е^}, u(t, х) = Re{U(x)e]Mt} = = Re{A1eyxe^Mt + А2е-ухе^}.

Таким образом

u(t, х) = Re[A1eyxe^wt + A2e-yxei0>t} = = А1еах cos(ut + fix) + +А2е-ах cos(u>t - fix) = = Uotp (t, x) + ипАД(t, x),

(28)

(29)

где UoTp(t, x) и ипАд(£, x) - отраженная и падающая волна в длинной линии, соответственно

Моделирование процесса прохождения импульсного сигнала через длинную линию

Рассмотренная структура длинной линии справедлива для бесконечно малого отрезка. Анализ переходных процессов аналитическим методом для реальных длинных линий является затруднительным, в связи с чем следует прибегнуть к средствам вычислительной техники и провести расчет сигнала на выходе длинной линии численным методом с использованием пакетов схемотехнического моделирования [4].

При моделировании условимся, что число элементарных звеньев п = 16, погонные параметры имеют следующие характеристики: L0 = 390 мкГн/км; C0 = 4700 пФ/км; Rn = 150 кОм/км; Rnp = 1 Ом.

Временное моделирование прохождения прямоугольного импульса через сегменты длинной линии при сопротивлении нагрузки 40 Ом приведено на рис. 5.

0 75 ; ; ; ; 0 50 ; -iii-

025 i i ; i-

0 000 00u 20 OOu 40.00U 60.00U SO.OOu 100.00U »(21 (V)

T (Secs)

T (Secs)

Рис. 5. 16 сегментная линия, нагруженная на 40 Ом

На рис. 5 верхний график соответствует сигналу от источника, средний график соответствует сигналу в середине длинной линии, нижний график иллюстрирует сигнал на выходе длинной линии (в нагрузке). Разность между

средним и нижним графиком характеризует задержку в длинной линии. На рис. 6 приведена временная диаграмма, характеризующая сигнал при сопротивлении нагрузки 288 Ом.

Рис. 6. 16 сегментная линия, нагруженная на 288 Ом

Как видно, форма сигнала изменилась, так как изменилось согласование длинной линии. Рассмотрим случай, когда в длинной линии от-

сутствовала Яп и изменены прочие погонные параметры (рис. 7). Сопротивление нагрузки выберем 300 Ом.

О.ООи v(1) (V)

---

О.ООи v(17)(V)

Рис. 7. Видоизмененная модель длинной линии

Как видно, в длинной линии практически отсутствует отраженная волна, а это значит, что цепь работает в режиме, близком к режиму согласованной нагрузки [5], при котором сопротивление определяется по формуле (23)

^ =

0.01 • 103

100 • 10-

= 316 Ом.

(30)

Заключение

В рамках данной статьи подробно проанализирован математический аспект теории длинных линий и установлена связь между физическими процессами, протекающими в длинных линиях. Представлены телеграфные уравнения, описывающие работу длинных линий в теории токов и напряжений, проведено временное моделирование прохождения сигнала через длинную линию при разных величинах сопротивления нагрузки и разной структуре цепи с

распределенными параметрами. Дальнейшей перспективой развития данной тематики является переход от описания длинных линий в рамках теории токов и напряжений к описанию в рамках электромагнитного моделирования, то есть описания в терминах векторов напряжен-ностей электрического и магнитного поля.

Литература

1. Попов В.П. Основы теории цепей: учебник для бакалавров. М.: Юрайт, 2015. 696 с.

2. Баскаков В.П., Журавлев О.Б., Крук Б.И. Основы анализа цепей: учебное пособие для вузов. М.: Горячая линия-Телеком, 2014. 591 с.

3. Логвинов В.В., Фриск В.В. Схемотехника телекоммуникационных устройств: учебное пособие. М.: Салон пресс, 2011. 656 с.

4. Арсеньев Г.Н. Основы теории цепей. М.: «Фору-би», 2014. 447 с.

5. Теория электрической связи: учебник для вузов / А.Г. Зюко, Д.Д. Кловский, В.И. Коржик, М.В. Назаров; Под ред. Д.Д. Кловского. М.: Радио и связь, 1999. 432 с.

Поступила 03.02.2023; принята к публикации 18.04.2023 Информация об авторах

Киреев Иван Сергеевич - аспирант кафедры электропривода, автоматики и управления в технических системах, Воронежский государственный технический университет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84), e-mail: vanchez_kireev@mail.ru, тел. +7 (473) 243-77-20

Зубарев Игорь Валентинович - канд. техн. наук, доцент кафедры электропривода, автоматики и управления в технических системах, Воронежский государственный технический университет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84), e-mail: zubarev71@gmail.com, тел. +7 (473) 243-77-20

Бурковский Виктор Леонидович - д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой электропривода, автоматики и управления в технических системах, Воронежский государственный технический университет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84), e-mail: bvl@vorstu.ru, тел. +7 (473) 243-77-20

MATHEMATICAL MODELING OF LONG LINE OPERATION BASED ON REPRESENTATION

AS A CHAIN WITH DISTRIBUTED PARAMETERS

I.S. Kireev, I.V. Zubarev, V.L. Burkovsky

Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia

Abstract: in this paper some analogies are made, and the analysis of electromagnetic radiation sources is carried out. These sources are power transmission lines (power lines), the theory of which is based on the description of circuits with distributed parameters (long lines). Telegraphic equations and the method of their analytical solution are considered. The analytical dependences are obtained based on the representation of a long line by an equivalent circuit in the form of a passive circuit consisting of linear capacitances, inductances and conductivities. The recording of telegraphic equations is based on the classical method of analysis based on Ohm's law and Kirchhoff s rules using the method of complex amplitudes. The obtained analytical dependences make it possible to analyze the processes of propagation of currents and voltages in a long line in time and space. A computer simulation is carried out in the time domain of the passage of a signal in the form of a rectangular pulse through a long line at different values of load resistance, and the dependence of the shape of the output signal on the number of segments of the long line is analyzed. The perspective of the development of the issue under consideration is the transition from the description in the theory of currents and voltages to the description in the theory of electric and magnetic field strengths (creation of a model of electromagnetic interaction)

Key words: mathematical modeling, circuits with distributed parameters, time modeling, power transmission lines (power lines), theory of long lines

References

1. Popov V.P. "Fundamentals of circuit theory: textbook for bachelors" ("Osnovy teorii tsepey: uchebnik dlya bakalavrov"), Moscow: Yurayt, 2015, 696 p.

2. Baskakov V.P., Zhuravlev O.B., Kruk B.I. "Fundamentals of circuit analysis: textbook for universities" ("Osnovy analiza tsepey: uchebnoye posobiye dlya vuzov"), Moscow: Goryachaya liniya-Telekom, 2014, 591 p.

3. Logvinov V.V., Frisk V.V. "Circuit engineering of telecommunication devices: textbook" ("Skhemotekhnika telekommu-nikatsionnykh ustroystv: uchebnoye posobiye'), Moscow: Salon press, 2011, 656 p.

4. Arsenyev G.N. "Fundamentals of the theory of circuits" ("Osnovy teorii tsepey"), Moscow: Forubi, 2014, 447 p.

5. Zyuko A.G., Klovsky D.D., Korzhik V.I., Nazarov M.V. "Theory of electrical communication: textbook for universities" ("Teoriya elektricheskoy svyazi: uchebnik dlya vuzov", ed. by Klovsky D.D., Moscow: Radio i svyaz', 1999, 432 p.

Submitted 03.02.2023; revised 18.04.2023

Information about the authors

Ivan S. Kireev, Post-graduate student, Department of electric drive, automation and control in technical systems, Voronezh State Technical University (84 20-letiya Oktyabrya st., Voronezh 394006, Russia), e-mail: vanchez_kireev@mail.ru, tel. + 7 (473) 243-77-20

Igor V. Zubarev, Cand. Sc. (Technical), Associate Professor, Department of electric drive, automation and control in technical systems, Voronezh State Technical University (84 20-letiya Oktyabrya st., Voronezh 394006, Russia), e-mail: zubarev71@gmail.com, tel. + 7 (473) 243-77-20

Victor L. Burkovsky, Dr. Sc. (Technical), Professor, Voronezh State Technical University (84 20-letiya Oktyabrya str., Voronezh 394006, Russia), tel. +7 (473) 243-77-20, e-mail: bvl@vorstu.ru