CC BY
3
EVALUATION AND ANALYSIS OF THE PROCESS OF DEVELOPMENT OF DIFFUSION WELDING IN VACUUM OF TITANIUM ALLOY BY METHODS MATHEMATICAL MODELING
V.N. Gadalov, O.M. Gubanov, S.N. Kutepov, V.R. Petrenko, A.A. Kalinin
The article presents the results of monitoring the technological modes of diffusion welding in vacuum of titanium alloy VT6 using mathematical modeling. Within the framework of the general concept of mathematical modeling existing in the description of powder metallurgy processes, a mathematical model was used to solve planar problems of plastic flow of metal, which makes it possible to study the stress-strain state of real materials in the process of their deformation. To solve the flat problems of plastic metal flow, the developed technique was used, which allows calculating and having experimental rheological dependencies, as well as mechanical test data, to choose the deformation modes optimal from the point of view of the quality of the joints when they are obtained by diffusion welding in vacuum. The results obtained made it possible to optimize the parameters of diffusion welding of titanium powder blanks.
Key words: monitoring, titanium alloy, powder billet, diffusion welding in vacuum, mathematical modeling, rheological dependencies.
Gadalov Vladimir Nikolaevich, doctor of technical science, professor, gadalov-vn@yandex.ru, Russia, Kursk, Southwest State University,
Gubanov Oleg Mikhailovich, candidate of technical science, associate professor, project manager for the development of new types of products of NLMK Group gubanov_oleg81 @mail. ru, Russia, Lipetsk, Novolipetsk metallurgical plant Public joint stock company,
Kutepov Sergey Nikolaevich, candidate of pedagogical science, associate professor, kutepovsn@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University,
Petrenko Vladimir Romanovich, doctor of technical sciences, head of department, petren-ko@vorstu.ru, Russia, Voronezh, Voronezh State Technical University,
Kalinin Anton Alekseevich, deputy director for commercial affairs of TulSU Publishing House, antony-ak@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 62-9
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-12-490-495
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПУЛЬСАЦИЙ ДАВЛЕНИЯ В НАПОРНЫХ ВОДОВОДАХ ГИДРОЭЛЕКТРОСТАНЦИЙ
А.Г. Баламирзоев, А.Д. Амиралиев, Т.Н. Нурмагомедов, Д.Н. Селимханов, Ф.Э. Эсетов
Приведены расчеты процессов распространения пульсаций в напорном подводящем и отводящем водоводах гидроэлектростанций с использованием базовой математической модели расчетов переходных процессов. Модель дополнена возможностью введения возмущающих воздействий по изменению пропускной способности турбины и по изменению давления со стороны нижнего бьефа. Определена средняя скорость волны по фазовым сдвигам колебаний, полученных на физической модели. На конечно-разностных зависимостях построен алгоритм компьютерных программ вычисления гидравлического удара на участках водовода.
Ключевые слова: гидроэлектростанция, напорные водоводы, математическая модель, неустановившееся движение, уравнение неразрывности, волна, колебания.
В основе расчетов процессов развития пульсаций в напорных водоводах лежит математическая модель одномерного неустановившегося движения упругой жидкости в водоводе с упругой оболочкой. Такое движение описывается системой уравнений - динамическим и неразрывности.
В расчетах неустановившегося напорного движения динамическое уравнение записывается относительно потенциального напора [1 - 5], обозначаемого через Н и представляющего сумму высотного положения сечения относительно НБ и пьезометрического напора. Потенциальный напор, также представляется как сумма статического напора и гидродинамического изменения напора АН:
P
H = Ъ +— = HCT + АИ. (1)
Pg
Если пренебречь потерями напора и скоростным напором, динамическое уравнение (1) приводится к виду:
+ дН = 0. (2)
g д? дх
В уравнении учитываются силы инерции и давления. Уравнение записано в частных производных, поскольку напор и скорость являются функциями двух переменных, линейной координаты и времени. Знаки в (2) соответствуют условиям, когда положительное направление оси линейных координат направлено к верхнему бьефу (рис. 1).
Уравнение неразрывности вытекает из дифференциального уравнения, учитывающего приращение объема оболочки трубопровода при повышении давления жидкости и приращение массы жидкости за счет увеличения ее плотности [5].
Рис. 1. Схема к выводу динамического уравнения
Если в воде нет газовой пузырьковой фазы и изменение давления не превышает 1% от модуля объемной сжимаемости воды ЕВ = 2 • 109 Па, уравнение состояния жидкости представляется как [6]:
дР =ддР_. (3)
Р Ев
Что касается оболочки трубопровода, то приращение объема участка трубопровода зависит от типа облицовки. В простейшем случае, для трубы диаметром Б с толщиной стенки ё приращение объема определяется по формуле [1]:
— =Бдр. (4)
V 8Е
где Е - модуль упругости материала облицовки. В [1] дается вывод выражения (4) для многослойных облицовок.
С учетом (3) и (4) уравнение неразрывности преобразуется к виду:
Б ■ Ев
1 др р д?
Р1 + -
Е
Е
в
+ — = 0
дх
(5)
В (5) выражение в скобках характеризует скорость распространения упругой волны:
с =
Ев
(6)
1 +
Кв
Ксеч
Отношение Ев/р в (6) - это квадрат скорости распространения упругой волны в толще воды.
с =
Ев
С учетом (7) уравнение (5) запишется как:
д^ gF дН
(7)
(8)
дх + с 2 д? °
После перехода в (8) от расхода к скорости и элементарных преобразований получим уравне ние неразрывности в окончательном виде:
дН + с2 V = 0. д? g дх 491
При наличии в воде пузырьков газа или кавитационной полости (как в отсасывающей трубе турбины), Е„ существенно снижается в то время как плотность остается неизменной. Это приводит к существенному уменьшению скорости распространения упругой волны.
При частичных нагрузках радиально-осевых турбин, составляющих 30 ...70% от номинальной, в отсасывающей трубе появляется жгут. Форма жгута и его вращательное движение определяются закрученным потоком жидкости в отсасывающей трубе. Внутренняя полость жгута, заполненная парами жидкости, деформируется при изменении давления окружающей жидкости. Таким образом, волновые процессы в пределах жгута должны иметь очень малую скорость распространения.
Подтверждением этого являются лабораторные опыты [7, 91, в которых фиксировалось распространение жгутовых пульсаций давления по длине отсасывающей трубы. Источником динамических явлений являлись периодические удары жгута по внутренней части колена отсасывающей трубы (рис. 2). От источника возмущения волны давления распространяются как по направлению к турбине, так и по направлению к нижнему бьефу.
На участке от источника возмущения до выхода в НБ со свободной поверхностью жгут отсутствует. В Г6 - 91 средняя скорость волны определена по фазовым сдвигам колебаний, полученных на физической модели, и составила в конусе 140 м/с, в колене и диффузоре - 300 м/с. Скорость 300 м/с соответствует условиям распространения волны в сплошной жидкости внутри тонкостенной металлической оболочки, из которой была выполнена отсасывающая труба. Нами делается вывод о том, что на участке со жгутом при широкополосном возмущении в виде белого шума, формируются низкочастотные пульсации, обусловленные низкой скоростью распространения волн гидроудара.
Наличие участка отсасывающей трубы с малой скоростью распространения волны существенным образом уменьшает значение собственной частоты колебаний в ней. Например, для условий СШГЭС при длине конуса отсасывающей трубы 10 м и скорости волны 100 м/с значение собственной частоты составляет /Спб = с/4! = 100/40 = 2,5 Гц, что приближается к собственной частоте подводящего водовода /спб = 1,1 Гц длиной 278 м и скоростью волны 1250 м/с.
Сот р.г ::.пп с^Епегду зрес[гит
Рис. 2. Частотный спектр пульсаций давления в характерных сечениях отсасывающей трубы [7]
Важные для оценки динамики процессов в отсасывающей трубе исследования выполнены в лаборатории гидравлических машин в Лозанне. На модельном стенде с использованием доплеровского анемометра получены характеристики изменяющегося поля скоростей и взаимосвязанных колебаний давления в отсасывающей трубе РО гидротурбины в присутствии вращающегося жгута Г81.
Анализ показывает, что колебания скорости и давления происходят в противофазе. Это важное обстоятельство, которое будет использовано нами при разработке модели возмущающего воздействия.
Интегрирование уравнений гидроудара (2) и (9) в частных производных может быть выполнено с использованием следующих методов: метода характеристик; метода волновых функций.
Метод характеристик нашел широкое применение в расчетах переходных процессов Г7 - 91. Он позволяет привести динамическое уравнение (2) и уравнение неразрывности (9) к конечно-разностному виду, что возможно при использовании подвижной системы координат Лагранжа, перемещение которой описывается уравнениями характеристик. В подвижных координатах соотношения между переменными Н и V выражаются системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
Реализации метода характеристик состоит в приведении уравнений (2) и (9) к определенному виду, в котором можно выделить полные дифференциалы от неизвестных:
= 0. (10)
д1 А дх) g \ дt дх
492
где А - некоторый постоянный коэффициент.
Учитывая, что выражения в скобках есть полный дифференциал от напора равный скорости по времени, получим выражение для определения коэффициента А:
А = ±1. (11)
с
Подстановкой А в (10) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения:
1 дН +1V = 0
с д? g д?
= с,
дх ¥
1 дН 1 дV п
---+--= 0,
с д? g д?
дх
д?
■ = -с.
(15)
Уравнения характеристик (13) и (15) показывают распространение волны гидроудара по трубопроводу в прямом и обратном направлениях.
После умножения всех членов (12) и (14) на д ? и сокращений приходим к системе из четырех обыкновенных дифференциальных уравнений:
с (16)
дН + -V = 0,
дх = сд?,
дН--V = 0,
g
(18)
дх = -сд?. (19)
Уравнения (16) и (18) есть общее решение уравнений гидроудара, действительное вдоль характеристик, которые приводятся к цепным уравнениям гидроудара Аллиеви [10]:
НА НВ Н? - Н?+©
^ 0>А - оВ+е),
нВ - НИ® = —- \°А - оВ+®)
gF ^
(20)
(21)
Индексы в (20) и (21) отвечают условиям распространения волн гидроудара согласно уравнениям характеристик (рис. 3).
Рис. 3. Иллюстрация метода характеристик и параметров цепных уравнений гидроудара
На конечно-разностных зависимостях (20) и (21) построен алгоритм компьютерных программ вычисления гидравлического удара на участках водовода. Время пробега упругой волной трубопровода от турбины до свободного бьефа и обратно называют фазой гидроудара, а половину этого времени - полуфазой гидроудара [1].
Для расчетов процессов распространения пульсаций в напорном водоводе гидроэлектростанции использована базовая модель расчетов переходных процессов, разработанная на кафедре гидравлики и гидротехнического строительства МГСУ [10].
Программа расчетов, учитывает следующие факторы, являющиеся существенными в описании процессов в напорных водоводах гидроэлектростанций:
гидроудар в водоводах с учетом упругости воды и облицовки;
оборотно-расходная и оборотно-моментная характеристики турбины (граничное условие);
отражение волн гидроудара в примыканиях к бьефам;
открытие регулирующих органов турбины (различные режимы работы по расходу и мощности);
возмущающие воздействия гидравлической природы;
пульсации давления и расхода;
Моделируемые процессы:
неустановившееся напорное движение в подводящих и отводящих водоводах;
волновые процессы в водоводах;
вращение гидроагрегата;
изменения расхода и давления по длине напорных водоводах;
процессы в гидротурбине по изменению частоты вращения, расхода, вращающего момента, мощности.
Предложенная форма задания возмущающего воздействия позволяет задавать одновременно воздействие по давлению и пропускной способности на нескольких частотах и со сдвигом по фазе.
Список литературы
1. Гидроэлектрические станции / Под ред. В.Я. Карелина, Г.И. Кривченко. М.: Энергия, 1987.
464 с.
2. Картвелишвили Н.А. Динамика напорных трубопроводов. М.: Энергия. 1979. 224 с.
3. Картвелишвили Н.А., Галактионов Ю.И. Идеализация сложных динамических систем. М.: Наука 1976. 271 с.
4. Картвелишвили Н.А. Неустановившиеся режимы в силовых узлах гидроэлектрических станций. М.-Л.: Госэнергоиздат 1952. 136 с.
5. Лямаев Б.Ф., Небольсин Г.П., Нелюбов В.А. Стационарные и переходные процессы в сложных гидросистемах. Л.: Машиностроение, 1978. 192 с.
6. Фокс Д.А. Гидравлический анализ неустановившегося течения в трубопроводах. Перевод с английского. М.: Энергоиздат, 1981.
7. Christophe Nicolet, Jorge Arpe, François Avellan. Identification and modeling of pressure fluctuations of a Francis turbine scale model at part load operation. 22nd IARH Symposium on Hydraulic Mashinery and Systems. June 29 - July 2, 2004 Stockholm - Sweden.
8. Muller A., Bullani A. Intteraction of a pulsating vortex rope with the local velocity field in a Francis turbine draft tube 2012 IAHR 2012-08 XXVI.
9. Silva P., Nicolet C., Grillot P., Drommi J.-L, Kawkabani B. Assessment of Power Swings in Hydropower Plantsthrough High-Order Modelling and Eigenanalysis, IEEE, 2016.
10. Murav'ev, O.A., Rybin, D.V. Analysis of Disturbances for Modeling Pressure Pulsations in Pressure Systems of HPP // Power Technology and Engineering. 2021. №3. С 326-330.
Баламирзоев Абдул Гаджибалаевич, д-р техн. наук, профессор, abdul2000@yandex.ru, Россия, Махачкала, Московский автомобильно-дорожный технический университет (Махачкалинский филиал), Дагестанский государственный педагогический университет,
Амиралиев Абутдин Джамалутдинович, канд. пед. наук, доцент, abuamiral@mail.ru, Россия, Махачкала, Дагестанский государственный педагогический университет,
Нурмагомедов Тимур Низамудинович, канд. техн. наук, доцент, t.nurmagomedov@amchs. ru, Россия, Химки, Академия гражданской защиты МЧС России,
Селимханов Даниял Нажидинович, канд. техн. наук, доцент, daniyal860@mail. ru, Россия, Махачкала, Московский автомобильно-дорожный технический университет (Махачкалинский филиал), Дагестанский государственный университет народного хозяйства,
Эсетов Ферхад Эзединович, канд. пед. наук, доцент, f1012@rambler.ru, Россия, Махачкала, Дагестанский государственный педагогический университет
MATHEMATICAL MODELING OF PULSATIONS PRESSURE IN PRESSURE CONDUITS OF
HYDROELECTRIC POWER PLANTS
A.G. Balamirzoev, A.D. Amiraliev, T.N. Nurmagomedov, D.N. Selimkhanov, F.E. Esetov
Calculations of the processes of pulsation propagation in the pressure supply and discharge pipelines of hydroelectric power plants using the basic mathematical model of transient calculations are presented. The model is supplemented with the possibility of introducing disturbing influences on the change in the turbine capacity and on the change in pressure from the downstream side. The average wave velocity is determined by the phase shifts of the oscillations obtained on the physical model. The algorithm of computer programs for calculating the hydraulic shock on the sections of the conduit is based on finite-difference dependencies.
Key words: hydroelectric power station, pressure pipelines, mathematical model, unsteady motion, continuity equation, wave, oscillations.
Abdul Hajibalayevich Balamirzoev, doctor of technical sciences, professor, abdul2000@yandex.ru, Russia, Makhachkala, Moscow Automobile and Road Technical University (Makhachkala branch), Dagestan State Pedagogical University,
Amiraliev Abutdin Jamalutdinovich, candidate of pedagogical sciences, docent, abuamiral@mail.ru, Russia, Makhachkala, Dagestan State Pedagogical University,
Nurmagomedov Timur Nizamudinovich, candidate of technical sciences, docent, t. nurmagomedov@amchs.ru, Russia, Khimki, CDA EMERCOM of Russia,
Selimkhanov Daniyal Nazhidinovich, candidate of technical sciences, docent, daniyal860@mail. ru, Russia, Makhachkala, Moscow Automobile and Road Technical University (Makhachkala branch), Dagestan State University of National Economy,
Esetov Ferhad Ezedinovich, candidate of pedagogical sciences, docent, f1012@rambler.ru, Russia, Makhachkala, Dagestan State Pedagogical University
УДК 519.25:519.65
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-12-495-503
К РЕГРЕССИОННО-ТЕНЗОРНОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ ПРОЦЕССА УПРОЧНЕНИЯ
МЕТАЛЛОПОКРЫТИЙ
С.В. Агафонов, И.А. Губанов, А.В. Данеев, В.А. Русанов
В работе рассматривается и формируется нелинейная трехвалентная многомерная тензор-но-регрессионная модель для аналитического исследования необходимых и достаточных условий оптимизации технологического расчета многофакторных химико-физических операций упрочнения сложных композитных сред металлопокрытий. Предложена адаптивно-апостериорная процедура параметрического формирования целевого функционала качества интегративных физико-механических свойств проектируемого металлопокрытия. Результаты исследования могут служить базовыми элементами математического языка при создании автоматизированного проектирования прецизионных нанотехноло-гий упрочнения поверхностей сложных композитных металлопокрытий на базе группового учета многофакторных трибологических, а также противокоррозийных, испытаний. При этом основной задачей будет скорее формальная строгость исследования, а не очевидность рассмотрений в рассмотрении общих проблем трибологии, связанных с прецизионным моделированием наноструктур сложных композитных металлопокрытий. Обосновывается многомерная тензорно-регрессионная модель для триболо-гических/противокоррозийных испытаний посредством идентификации методом наименьших квадратов уравнений нелинейной многомерной регрессии, в которой используется минимальная тензорная норма. Такой подход благодаря возможностям, которые открываются для применения многомерного нелинейного тензорно-регрессионного анализа, а также большому количеству вычислительных задач в этой области, должно приобрести большое (расширенное) значение в задачах прецизионной многофакторной нелинейной оптимизации химико-физических процессов упрочнения сложных композитных металлопокрытий и метаматериалов.
Ключевые слова: металлопокрытие, трибология, химико-физический процесс, регрессионный
анализ.
Введение. В основе подходов к упрочнению различных поверхностей современных силовых машин являются нелинейные интегративные химико-физические (ХФ) процессы, а это ставит вопросы, которые определяются формулировкой и исследованием их математических моделей. В этой связи также интересны модели регрессионного анализа [1 —3], где востребованным классом являются тензорно-регрессионные системы [4—7]. Эти системы, с одной стороны, по свойствам прогнозирования близки к полиноминальным моделям [2], допуская аналитическое описание на основе тензорного исчисления [7], функционального анализа сильных дифференциалов Фреше [8] от нелинейных вектор-функций, а также теории экстремальных задач. В то же время, они приобретают важную роль в нелинейном анализе многофакторных трибологических [4] и противокоррозийных [6] свойств сложных металлопокрытий на базе математического моделирования физико-механических (ФМ) свойств композитных сред, развивая нелинейный прогностический анализ интегративных характеристик металлопокрытий, индуцированных моделируемой геометрией поверхностных наноструктур [9, 10].
