CC BY
12
УДК 51-72:531.57
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОМАССООБМЕНА В НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОМ ГАЗОГЕНЕРАТОРЕ С КАМЕРОЙ ОХЛАЖДЕНИЯ
В.В. КИРИЛЛОВ
Южно-Уральский государственный университет, Челябинск, Россия
АННОТАЦИЯ. Предложена математическая модель процессов тепломассообмена в низкотемпературном газогенераторе с камерой охлаждения. Процессы в газогенераторе описываются системой уравнений в одномерной нестационарной постановке.
Рабочие процессы в НТГГ включают в себя горение воспламенителя, прогрев, зажигание и горение заряда твердого топлива, течение продуктов сгорания в камере сгорания (КС), газоходе, кассетах с охладителем и кольцевом канале. Продукты сгорания топлива из КС втекают в газоход и через отверстия в его стенке попадают в кассеты с охладителем. В кассетах при нагреве хладагента происходит его разложение, в результате чего снижается температура газовой смеси. Газовая смесь, состоящая из водяного пара и неконденсирующихся газов, из кассет истекает в кольцевой канал и через фильтр и коллектор подается потребителю.
Расчетная схема низкотемпературного газогенератора (НТГГ) с камерой охлаждения (КО) представлена на рис. 1.
Математическая модель воспламенителя включает в себя уравнения баланса массы газового объёма, энергии газового объема, состояния продуктов сгорания, уравнение баланса тепла корпуса воспламенителя.
= и вРтв/в(1-ф)-С;
0)
(2)
ГВ ~ ^УГВ^ГВ 9
Рис.1. Схема НТГГ с камерой охлаждения: 1-воспламенитель; 2-камера сгорания (КС); 3-заряд твердого топлива; 4-газоход; 5-камера охлаждения (КО); 6-кассета с охладителем; 7-кольцевой канал
Ргъ = Ргв^гв^гв ? (3)
Су/ ту/ — = агв (Ггв — 7У/) /— оснар (Ту, — Т^ар ).Ду . (4)
Здесь р - плотность; р - давление; Т - температура; V - объём; С - расход; и -скорость горения;/- площадь поверхности; т - время; <2 - тепловой поток; т - масса; Ягв - газовая постоянная продуктов сгорания воспламенителя; (р - массовая доля конденсированной фазы в продуктах сгорания; ср,су - удельные теплоёмкости при постоянном давлении и объёме; а - коэффициент теплоотдачи; с^ - теплоёмкость корпуса; е - внутренняя энергия: индексы: гв - продукты сгорания воспламенителя; в - воспламенитель; \у - корпус воспламенителя; нар - окружающая среда.
Расход продуктов сгорания из воспламенителя определяется по формулам газовой динамики [1] в зависимости от соотношения давлений в объёме воспламенителя и КС.
^гв =
отв
1
2 к к-1
Ргв .Ргв
г
Ркс
\2/к
ОТВ
\Ртв у Х1Д-1 , 2к
Г \
Ркс \ Р гв /
(к+\)/к
Р КС Ргв
>
Мк-1)
V
к +1
, . РгвРгв' —
л +1 ргв
/ ~ \
(5)
где (л - коэффициент расхода; 50ТВ - суммарная площадь отверстий в корпусе; рК давление в КС; к = ср/су .
Свободный газовый объём определяется как
(6)
где - количество зёрен и объём зерна воспламенителя. Изменение радиуса зерна
определяется из уравнения
с1г3 ~ск
= -ив.
(7)
Из (1), (6) и (7) получим:
¿К
гв
сН
= ^3/зыв;
(8)
Фгв _ "вЛ^з/з[Ртв(1-ф)-Ргв]-^гв
ек
V,
(9)
гв
Течение газов в КС описывается системой уравнений неразрывности газовой смеси продуктов сгорания воспламенителя и топлива, количества движения, энергии, состояния продуктов сгорания:
аркА 4- дРксЛс^кс = ирП8 .
дх
дх
(10)
+
дх
дх
(ркс-5!
Фкс5 кс^кс , ^ о лл,2 . „ с I— £ Ркс <с П КС я .
КС КС + г КС КС - ~~Ькс I 0 >
8
(11)
— [ркс5кс^кс] + —[ркАс^кс^кс +Лси;кс5кс]=Рт"АЯт5-бкс. (12) от дх
2 с1 (
Ркс=ЛЛЛс. (13)
Массовая доля продуктов сгорания топлива в газовой смеси определяется из уравнения
ФкАс^гт 4- аРкс^кс^кс^гт = ^тРтят5 ; (14)
дх дх
Параметры газовой смеси определяются по формулам
-^кс ~ ^гт^гт + 0 ~ ап)^гв 9 Сркс ~ агтсргт 0 ~~ ^гт^ргв' сукс = агтс\гт + 0 — ^гтХ'угв • Температурное поле в стенке КС рассчитывается по уравнению теплопроводности
э^кс _ в*\у,кс д
дх г дг
( дТ Л
Г
\
дг
(15)
с граничными условиями третьего рода. Начальные условия для уравнений (10)-(12), (14) записываются в виде:
м>кс(0,л:) = 0; ркс(0,х) = р0 =сопз1; Гкс(0,х) = Г0 =сопз1; агт(0,х)=0. (16)
В период работы воспламенителя граничные условия на входе в КС записываются в виде
Скс(0,х) = Сгв; Екс(0,х)=£гв, (17)
а после окончания работы воспламенителя и выравнивания давлений на входе в КС и корпусе воспламенителя
м;кс(т,0) = 0; Ткс (о, т) = Тгв . (18)
В уравнениях (10)—(15) х - координата вдоль оси КС; П - площадь сечения и периметр сечения канала соответственно; - коэффициент гидравлического сопротивления; О -тепловой поток; - скорость; а^ - массовая доля продуктов сгорания топлива; акс - коэффициент теплоотдачи к стенке КС; 8 - дельта-функция Дирака; М
- количество шашек топлива; со - коэффициент температуропроводности; индексы: кс
- камера сгорания; т - топливо; гт - продукты сгорания топлива; гв - продукты сгорания воспламенителя.
Температурное поле в шашке топлива описывается уравнением теплопроводности
[2]
дТт сот д
дх г дг
/ дТтл г
V дгу
, Rx(x)<r<R2{x). (19)
Наружный и внутренний радиусы шашки R\,R2 определяются из уравнений:
dR2 . /ОЛЧ
—т1- = -wT í (2°)
ах
dR\ 1 л
ах
Введем новую переменную [3]:
у = (22)
Уравнение (19) с учетом (20) - (22) преобразуется к виду [4]
dARTr = сот д2Тг d[(l -2у)иТг-ытТ] дх ~ м Эу2 + ^ 5 (23)
г = R¡ + ,
где А7? = (х)~ (т)i <R2{x); 0 < < 1; г - радиус; сот - коэффициент тем-
пературопроводности топлива.
Начальные и граничные условия для уравнений (20), (21), (23) записываются в виде:
Тт(0,у) = Т0; Л, (0) = Л,о; Л2(о) = R20. (24)
При отсутствии горения топлива
^т^^ = акс[Гкс-Гт(0,т)]М; -Хт^Е) = акс[гкс-Гт(1,х)]М. (25)
ду ду
При горении топлива
т) = Твоспл; т) = Гвоспл . (26)
В (24), (25) Хт - коэффициент теплопроводности топлива; акс - коэффициент
теплоотдачи; Гвоспл - температура воспламенения топлива.
Движение газов в газоходе описывается системой одномерных уравнений неразрывности, количества движения и энергии.
Фг , Фг^г = Q . дх дх
(27)
Фг^г , 5 L ...2 , „ L , Рг^гЯг .
(28)
д_ di
ег +
w:
к
+
дх
prwr
ег +
w
г +Р г
2 рг
У
(29)
Уравнение состояния продуктов сгорания имеет вид
Рг=ргад.
(30)
Уравнение теплопроводности для стенки газохода записывается в виде
дтГ!
W ^TjW
дт
г дг
дТг 1 >
W
дг
у
(31)
Начальные условия для уравнений (27)-(29), (31) имеют вид:
wT( 0,х) = 0; рг( 0,х) = pq = const; rr(0,x) = 71r?w = 7q = const
(32)
Граничные условия на входе в газоход записываются в виде
Гг(т,0) = Гкс(т,/кс); рг(т,0) = ркс{т,1кс)-Аргвх; вг(т90) = Окс(т,/кс) (33) Массовая доля продуктов сгорания топлива в газоходе определяется из уравнения
дргаг [ dprwrar =Q <5т Зх
(34)
В точках расположения входных отверстий в газоходе записывается следующие условия (рис.2):
т • = т ••
/7Г)УЧ1 (35)
Рис. 2. Схема разветвления р . = - Дрко , потоков газа
где7 - номер кассеты; СКо,у - расход газа ву-ю кассету; Тг у, ^ - температура и давление газа в конце у-го участка газохода. Для уравнения теплопроводности (31) записываются граничные условия третьего рода. В конце газохода при х = /г скорость потока равна нулю.
Горячие газы из КС через отверстия в стенке газохода попадают в кассеты с охладителем и проходят через слой гранул хладагента. При повышении температуры гранул до температуры разложения происходит разложение хладагента с образованием смеси водяного пара и неконденсирующихся газов. При понижении температуры газовой смеси ниже температуры насыщения водяного пара при его парциальном давлении, водяной пар будет конденсироваться. В начальный момент хладагент полностью заполняет пространство кассеты. При составлении математической модели процессов тепло-и массообмена в кассете гранулы хладагента будем считать неподвижными и пренебрегать взаимодействием их между собой. Газовую смесь в кассете разделим на водяной пар, смесь неконденсирующихся газов продуктов сгорания топлива и неконденсирующихся газов продуктов разложения хладагента, так что
аВ аТ,НК + ^ХЛ,НК = 1 > (36)
где ав, ятнк, дхл нк - массовые доли водяного пара, неконденсирующихся газов в продуктах сгорания топлива и неконденсирующихся газов продуктов разложения хладагента, соответственно.
Движение газовой смеси в кассете будем описывать системой одномерных уравнений неразрывности, количества движения и энергии смеси.
С
■V
в
ксу
в
>6
Г</+1
]
7+1
Фко^ко дт
+
дг
- ^коЛп,хл'
(37)
I 2 ' ^ '
дРкоуко^ко , Фкоуко^ко _ Фко^ко , о-/ ' , с' / V -
----1--г - г ¿7"кась -гко ^ °ко./гп,хл ^ко
дт дг дг
д$К0огг дг
I
кас
+
х=!
I
кас
(38)
кас
х=0
д_ дх
/
ко
ел-
V
\
2 ^кас
5
ко
' ко
д + —
дг
/ о \
Рко*
КО
в 4-
V'
т
^ко + Ркоуко$
ко
/ко
1 А
ко дг
/
дТко
ко
дг
/
I I
(39)
Массовая доля водяного пара в кассетах определяется из уравнения
• г
Фко^ко^в , Фкоуко^кодв _ а г»' -1-+-1 ~ Рв^ь
ат
дг
в^коУт,хл
(40)
Массовая доля неконденсирующихся газов продуктов сгорания топлива определяется из уравнения
I »
дРко^ко^т,нк ^ дркоуко^конк _ дт дг
= 0.
Условная площадь прохода газов определяется как
^ко ~~ 2ти7касе .
Уравнение состояния газовой смеси имеет вид:
(41)
(42)
/\о ~~ Рко^ко-^ко •
(43)
СХ ~ аВСХ,В + ^Т,НК^Х,Т,НК + ав атуИК )СХ,ХЛ,НК' х — /7, V .
г
В уравнениях (37) - (43) 8 - пористость; (Зв - массовая доля водяного пара в продуктах сублимации хладагента; ут?хл - поток массы продуктов сублимации хладагента; огг - касательное напряжение трения, осредненное по ширине кассеты; агх - каса-
тельное напряжение трения на стенке кассеты; Ихя - энтальпия сублимации; г5 - теплота парообразования воды; V - радиальная скорость, осредненная по ширине кассеты; /кас - ширина кассеты; г - текущий радиус; - плотность теплового потока на боковых поверхностях кассеты; А,к0 - коэффициент теплопроводности газовой смеси; индексы: в - водяной пар; хл, нк - неконденсирующиеся газы продуктов сублимации; т,нк - неконденсирующиеся газы продуктов сгорания топлива; касс - кассета; ко - камера охлаждения.
Начальные условия для системы уравнений (37)—(41) запишем в виде:
рт(09г)=р0; Гко(0,г) = 7Ъ; у(0,г) = 0; ав(0,г)=0; *т,нк(0,г) = 0. (44)
Граничные условия для уравнений (37)—(41) записываются в виде (35) а также:
ав (т,0) = а^ (т,0)рвт; ат?нк (т,0) = агв (т,0) + а^ (т,0Х1 - Рвт )» (45)
где (Звт - массовая доля водяного пара в продуктах сгорания топлива в газоходе.
Температурное поле в стенке кассеты рассчитывается по уравнению теплопроводности
57^кас = ш э2^кас /4бл
ш\у,кас 9 V40;
с начальным условием Кас(0>*) = ^о и граничными условиями третьего рода.
В части кассеты, освободившейся от зёрен хладагента вследствие разложения по-
следнего, 5=5 = 2пг1кгс, поток массы ут хл = 0, касательное напряжение агг = 0 .
Движение газа в кольцевом канале КО описывается системой одномерных уравнений неразрывности, количества движения, энергии:
Фкк+дркк^кк =0.
дх дх
Фкк^кк д ( 2 ) , Ркк^к^г .
от дх 85кк
д_ дх
кк
^кк +
м>
2 ^
кк
\
/
+
д_
дх
Ркк^кк
бкк — акк,нар(^кк,\у,нар ^кк) е + акк,вн(^кк,\у,вн ^кк)
^кк +
м>
кк + Р кк
ч
2 р
кк
/
~ бкк 5
(49)
\П
кк
кк,вн
кк
где индексы нар, вн относятся к наружной и внутренней стенкам кольцевого канала соответственно.
Массовая доля водяного пара в кольцевом канале определяется из уравнения
Фкквв ^ Фкк ^КК^В _ V 77 . - - ~~ У В1ЛКК>
дх
дх
(50)
Массовая доля неконденсирующихся газов продуктов сгорания топлива определяется из уравнения
Фккат,нк + ^Ркк^кк^нк __ д
ат
дх
(51)
Массовая доля неконденсирующихся газов продуктов разложения хладагента определяется из уравнения
дрккахл,нк | Фкк^кк^хл.нк _ ф дх дх
Начальные условия для уравнений (47) - (52) записываются в виде:
(52)
Ркк(0.*)=Ро; 71ск(0»*) = 7о; и>кк(0,х)=0; ав{ 0,х) = 0; вт>нк(0,*)= 0; Граничные условия для уравнений (47) - (52) имеют вид:
^кк (0,т) = 0;
ав,кк (0'т) - ав,Ы,ко (^нар >т) ат.нк,кк (0'х) - ат.нк,М,ко (^нар >т)>
где N - номер последней кассеты; Днар - наружный радиус кассеты. На . выходе из
кольцевого канала задается условие рКк(т^кк)= Лол ~ АРкол > гДе Ркол> АРкол - Давление в коллекторе и потери давления на входе в коллектор соответственно; /кк - длина кольцевого канала.
А<к,у+1 =Ркк,у(53)
^ко,у = /7кк,у'+1 + АРко,у ^кк,у'+1ав,у'+1 = ^ко,у'ав,у +^кк,у'ав,у ^кк,уЧ1атнк,у'+1 = ^ко,у'атнк,у + ^кк,у'атнк,у
В точках выхода газовой смеси из кассет в кольцевой канал камеры охлаждения (рис. 3) записываются условия (53).
Температурное поле в стенке КО рассчитывается по уравнению теплопроводности вида (31) с граничными условиями третьего рода.
Расход на выходе из кольцевого канала в коллектор рассчитывается по формулам вида (5) по параметрам газа в кольцевом канале и коллекторе.
С1 1
кзу+ 1 П кзу+1 С кзу Ь КЗ у
<--гн-
у+1 I У
0 К(У
И коу
Рис.3. Схема слияния газовых потоков в кольцевом канале
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям /Под ред. М.О. Штейнберга-3-е изд., перераб. и доп.-М.: Машиностроение, 1992.-672 с.
2. Численный эксперимент в теории РДТТ /A.M. Липанов, В.П. Бобрышев, А.В.Алиев и др. Под ред. A.M. Липанова - Екатеринбург: Наука, 1994. -301с.
3. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности.-М.: Наука, 1975.-227 с.
4. Кириллов В.В. О решении задач динамики в областях с перемещающимися границами // Тр. XXXVIII научно-технической конференции Динамика теплофизических процессов. 13-15 мая 1986г.-Челябинск: ЧПИ, 1986.-С. 116-127.
SUMMARY. An mathematical model of heat-mass exchange process in low-temperature gas generator with cooling chamber is proposed. Processes in gas generator are described using system of unsteady one dimension differential equations.
4.
