CC BY
70
УДК 621.651
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ СЖАТИЯ И РАСШИРЕНИЯ В ПОРШНЕВОМ НАСОСЕ С ГАЗОВЫМ ДЕМПФЕРОМ
© 2012 В. Е. Щерба, Е. А. Павлюченко, А. К. Кужбанов
Омский государственный технический университет
Рассматривается расчёт процессов сжатия и расширения в поршневом насосе с газовым демпфером. Приведены основные результаты расчётов давления всасывания и нагнетания в рабочей полости насоса от угла поворота коленчатого вала без учёта и с учётом скорости движения жидкости.
Поршневой насос, математическое моделирование, сжатие, расширение, газовый демпфер, насос-компрессор.
Введение
Задача создания многофункциональных технических устройств в последнее время становится всё более актуальной. При совмещении функций устройств должна ставиться задача повышения эффективности работы каждого из устройств в объединённом агрегате. Этому требованию удовлетворяет новое техническое устройство «насос-компрессор», объединяющее функции насоса и компрессора в одном агрегате и повышающее эффективность их работы.
При объединении насоса и компрессора в одном агрегате появляется задача повышения частоты вращения приводного вала насоса, так как значение оптимальных значений этого параметра для поршневого компрессора находится в пределах 1000-1500 мин"1 [1], а оптимальное значение для насоса - в пределах 250-400 мин"1 [2]. Увеличение частоты вращения приводного вала поршневого насоса должно осуществляться без существенного уменьшения его КПД, что мо-
Газ Тстб^бок
А_____________і
(ІXI12
жет быть достигнуто установкой в поршневом насосе газового демпфера. В этом случае часть жидкости в процессе нагнетания будет поступать в полость поршня, а часть жидкости через нагнетательный клапан и соединительные трубопроводы - к потребителю. Давление газа в полости поршня при поступлении в неё жидкости будет увеличиваться, т.е. в полости поршня будет осуществляться сжатие газа, которое в общем случае является политропическим. Наличие газового демпфера, по сути дела, уменьшает ход поршня и тем самым уменьшает производительность насоса и потери энергии на линии нагнетания.
Модель и метод
Целью настоящей работы является создание методики расчёта процессов сжатия и расширения поршневого насоса с газовым демпфером. Для этого вычленим из насоса-компрессора насосную секцию с газовым демпфером (рис.1).
Жидкость
СІМ и
СІМ,
із
СІМ,
шшшш
12^.
1
сім.
15
Рис. 1. Расчетная схема насосной секции поршневого насоса-компрессора с газовым демпфером
СІМ Л,
Система основных допущений запишется в следующем виде:
1. Капельная жидкость сжимаема и подчиняется закону Гука.
2. Сжимаемый газ подчиняется закону идеального газа.
3. Распределение термодинамических параметров в газовой и жидкостной полостях насоса-компрессора однородно.
4. Стенки рабочей полости являются абсолютно жёсткими.
Растворением газа в жидкости можно пренебречь.
Для получения аналитического решения примем, что сжатие газа в газовой полости осуществляется изотермически, утечки и перетечки жидкости в рабочей полости насоса отсутствуют. Элементарное изменение объёма рабочей полости насоса, обусловленное кинематикой механизма привода <1Ук, можно рассматривать как сумму элементарных изменений объёма газовой и жидкостной полостей:
(IV, = (IV, + (IV,.
к г
или в приращениях:
АУ и = АУг + АУм,. (2)
Уравнение изотермического процесса сжатия газа в газовой полости можно записать в виде
РгУгя — ^>сЧ+1^/сЧ+1 (3)
С учётом уравнения (2) имеем РгУ*=Рг1+1(Уг1+1-АУг), (4)
где Рг1Рг1+1 - давление в газовой полости, Уг1Уг1+1 - объём газовой полости в / - й и (I +1 )-й моменты времени. Тогда
гі+1
Р V
1 гіг гі
к.
или
Р\г(і+1) - + Е-И>1п
Рц(і+1) - Рці + Е-И, 1п-
V ■ У
Уп>(і+1)
V ■
г л\ч
(8)
. (9)
(кт.-дк„)
Необходимо отметить, что давление в газовой и жидкостной полостях под поршнем насоса-компрессора в каждый момент времени одинаково.
Таким образом
Р,
І + 1 - ГМ>(І + 1)
или, с учётом выражений (5) и (9), имеем: РУ
гг гг ___
(10)
{Уг1-АУг) р ■ /■:. 1п
К,
(п)
(V -АУ )
V т м>)
Преобразовывая уравнение (11) с учётом (1), получим
Р -Е,„ 1п
(1)
1-
АУ„,
V
мп у
РУ.
(12)
(Уг,-АУк+АУ№)
Уравнение (12) необходимо решить относительно АУп, а затем, используя (1), определить АУг . Для получения аналитического решения необходимо разложить в ряд Тейлора логарифмическую функцию. Ограничиваясь двумя членами разложения, получим
1п
гл АУ л
1_________м?_
У
(5)
Іп(і-х)
А У„ АУ,
(13)
Уравнение сжимаемости жидкости записывается в виде [3]
— = —— (6)
У„ Ар„
Переходя к дифференциалам, запишем: йУш
(7)
К,
ту:
С учётом (13) уравнение (12) преобразуется к виду
(
Рг +Е-ц>
А К,, А У
2 Л
V 2Кі’і
р. у.
±г гг
(V.,- А^+А^.)
.(14)
Интегрируя уравнение (7), получаем следующее выражение для значения давления в момент времени (| +1):
Уравнение (14) является кубическим алгебраическим уравнением относительно АУИ,. Аналитическое решение кубического уравнения существует, однако оно громоздко и редко применяется на практике. Для
получения квадратичного уравнения ограничимся одним членом разложения и получим
Р+Е^х=—рУа— (15)
Уш (кл--ДК* + лг)’ 1 '
где Х = АУН,.
Решение уравнения (15) запишется в
виде
А Г =
- Р,
Ем
К.
- А V,
2 EjVwi
(16)
V...
V...
j • i';'' (/’wj
2 EjVwi
Значение A V2 определится как
AVe = AVk - AVW, а значение давления в следующий момент времени Pi+l - по уравнению (5).
В общем случае сжатие газа в демпферной полости не изотермическое, а описывается уравнением политропы:
Pvn = const.
Величина показателя политропы п меняется и находится в пределах от 1 до 1,4 (в зависимости от количества отводимой теплоты сжатия в газовой полости). Тогда уравнение (11) преобразуется к виду
PV”
г гг
(V,-AVk+AVw) V .
= Р + Е,„ In
п =
(17)
(V .-AV )
\ wi w /
Р,г\0,Па-к-
Уравнение (17) представляет собой нелинейное алгебраическое уравнение относительно А¥п,. Его решение необходимо проводить одним из численных методов, например методом бисекции. Значение показателя политропы п зависит от частоты вращения приводного вала и объёма газовой полости. Чем выше частота вращения и чем больше объём газовой полости - тем выше п . На практике эта зависимость определяется экспериментально.
Результаты и обсуждение
В качестве объекта исследования выберем насос с газовым демпфером, имеющий следующие основные технические параметры:
1) рабочая жидкость - вода;
2) рабочий газ - воздух;
3) ход поршня - 0,12 м;
4) диаметр поршня - 0,155 м;
5) диаметр газовой полости внутри поршня - 0,125 м;
6) первоначальный объём газовой полости изменяется от 2,45x10"4 м3 до 1,4726x10’3 м3;
7) давление всасывания - 1 бар;
8) давление нагнетания - 20 бар.
На рис. 2 представлены зависимости изменения давления в процессе сжатия от угла поворота коленчатого вала при разных объёмах газовой полости.
Рис. 2. Зависимость изменения текущего давления в рабочей полости насоса от угла поворота коленчатого вала при разных объёмах газовой полости (численные решения)
Представленные зависимости позволяют сделать следующие выводы:
1. Зависимости изменения давления существенно отличаются от зависимости изменения давления в насосе без газового демпфера. В первой фазе процесса сжатия наблюдается медленное повышение давления аналогичное повышению давления в компрессоре (до точки перегиба К). На второй части процесса сжатия давление начинает резко возрастать и это изменение дав-
ления напоминает изменение давления в насосной полости.
2. С увеличением объёма газовой полости первая часть процесса сжатия увеличивается, а наклон второй части изменения давления становится более пологим и процесс сжатия на второй части начинает приближаться к процессу сжатия газа в компрессоре.
На рис. 3 и 4 представлены относительные зависимости изменения объёма газовой полости и жидкостной.
ЛУг
&УК
100%
0,975
0,950
0,925
0,900
0,875
0,850
\ т \ ■- *
V- -V ч \
\ -ч—
Л \
т 1“
1 \ 1
*
- 1 - Уг=2,45x10 м'1 Уг=6,136х10"4м3 Уг= 1,227x10'4 м3 Уг= 1,473x10'4 м3 -н мм 1—н— =
1 -2 -3 -
1 4-
0 3,3 з, 6 3,9 4 2 4,5 4,8 5
Рис.З. Зависимость изменения относительного значения объёма, пошедшего на сжатие газа,
от угла поворота коленчатого вала
АУк
АУК
100%“
15
12,5
10
7,5
2,5
И 1 И II 1 - Уг=2,45х10'4м 2 - Уг=6,136х10"4] 3 - Уг=1,227х1(Г4] 4- Уг= 1,473x10'4 N 3 3 и
3
VI
г1
-I
1 4 , -А-
1 1
3-—
-7- -7—
,0 3 3 3,6 ,9 4,. 4,5 4,8 5
Рис.4. Зависимость изменения относительного значения объёма, пошедшего на сжатие жидкости, от угла поворота коленчатого вала
На основании данных результатов можно сделать заключение:
1. На первой части процесса сжатия всё изменение объёма, обусловленное кинематикой механизма привода, затрачивается на изменение объёма газовой полости. Причём с увеличением объёма газовой полости от-
носительное изменение газовой полости в процессе сжатия (на всём его участке) становится больше (рис.З).
2. Во второй части процесса сжатия (с увеличением давления) увеличивается доля относительного изменения объёма, затраченная на сжатие жидкости. Представленные
результаты позволяют сделать вывод, что эта доля (рис.4, кривая 1) может достигать 15%. С увеличением объёма газовой полости максимальное значение этой доли сокращается и в конце процесса сжатия она достигает 3,5-4% (кривые 3,4 на рис. 4).
Таким образом, представленные результаты позволяют интерпретировать физическую модель совместного сжатия газа и жидкости в насосе следующим образом. На первой фазе процесса сжатия до точки К жидкость остаётся практически несжимаемой и всё изменение объёма рабочей полости, обусловленное кинематикой механизма
Н:2 105,/7а 12
10
1 - Уг=2,45х10'4м3
2 - Уг=6,136х10 ~4м3
3 - Уг=1,227х10'4м3 4- Уг=1,473х10'4м3
привода, затрачивается на сжатие газа. Во второй части процесса сжатия после точки К (с увеличением давления от 2 до 6 бар) наблюдается уже не только сжатие газа, но и сжатие жидкости. При этом кривая давления после точки К начинает приближаться к кривой давления, характерной для сжатия чистой жидкости.
Представленные результаты по изменению давления в процессе сжатия получены из численного решения уравнения (11). Результаты приближённого решения (16) представлены на рис. 5.
3,0 3,3 3,6 3,9 4,2 4,5 4,8 5,1 ф ,„„а
Рис. 5. Зависимость изменения текущего давления в рабочей полости насоса от угла поворота коленчатого вала при разных объёмах газовой полости (аналитические решения)
4>
Рис. 6. Зависимость изменения относительной погрешности определения давления в рабочей полости от угла
поворота коленчатого вала
Анализируя полученные результаты, необходимо отметить, что характер кривых, представленных на рис. 2, 5, аналогичен. Однако, учитывая приближённый характер полученного решения, ошибка в определении мгновенного давления в процессе сжа-
тия накапливается. Представленные на рис. 6 результаты по определению относительной погрешности изменения давления в процессе сжатия позволяют сделать вывод, что эта ошибка к концу процесса сжатия может дос-
тигать 60-70%. При малых давлениях нагнетания эта ошибка достигает 20-30%.
Библиографический список
1. Щерба, В.Е. Рабочие процессы компрессоров объёмного действия [Текст] / В.Е. Щерба. - М.: Наука, 2008. - 320с.
2. Башта, Т.М. Объёмные насосы и гидравлические двигатели гидросистем. [Текст] / Т.М. Башта,-М.: Машиностроение, 1974. -606с.
3. Альтшуль, А.Д. Гидравлика и аэродинамика [Текст] / А.Д. Альтшуль, П.Г. Киселев. -М.: Стройиздат, 1975. - 326с.
MATHEMATICAL MODELING OF PROCESSES OF COMPRESSION AND EXPANSION
IN THE PISTON PUMP WITH A GAS DAMPER
© 2012 V. E. Shcherba, E. A. Pavlyuchenko, A. K. Kuzhbanov Omsk State Technical University
The problem of developing multipurpose technical devices is becoming more and more topical nowadays. With regard to the combination of functions of devices, the problem of increasing the overall performance of each device in the incorporated unit should be posed. To meet this requirement a new technical pump compressor device has been developed which combines the functions of a the pump and a compressor in one unit thus increasing the efficiency of their work.
Piston pump, mathematical modeling, compression, expansion, gas damper, pump compressor.
Информация об авторах
Щерба Виктор Евгеньевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Гидромеханика и транспортные машины» Омского государственного технического университета. E-mail: scherba_v_e@list.ru. Область научных интересов: математическое моделирование рабочих процессов, проектирование и разработка компрессоров объёмного действия с одно- и двухфазным рабочим телом.
Павлюченко Евгений Александрович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Гидромеханика и транспортные машины» Омского государственного технического университета. Область научных интересов: математическое моделирование рабочих процессов, проектирование и разработка компрессоров объёмного действия с одно- и двухфазным рабочим телом.
Кужбанов Акан Каербаевич, ассистент кафедры «Гидромеханика и транспортные машины» Омского государственного технического университета. Область научных интересов: математическое моделирование рабочих процессов, проектирование и разработка компрессоров объёмного действия с одно- и двухфазным рабочим телом.
Shcherba Victor Evgenievich, Doctor of Technical Sciences, Professor, Omsk State Technical University. E-mail: scherba_v_e@list.ru. Area of Research: Mathematical modeling workflows volumetric compressor with one-and two-phase working fluid. Design and development of volumetric units (pump-compressor).
Pavlyuchenko Evgeny Alexandrovich, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of Omsk State Technical University. Area of Research: Mathematical modeling workflows volumetric compressor with one-and two-phase working fluid. Design and development of volumetric units (pump-compressor).
Kuzhbanov Akan Kaerbaevich, assistant, Omsk State Technical University. Area of Research: Mathematical modeling workflows volumetric compressor with one-and two-phase working fluid. Design and development of volumetric units (pump-compressor).
