Математическое моделирование процессов реодинамики при плунжерной экструзии полимерных материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 691.175.001.575

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РЕОДИНАМИКИ ПРИ ПЛУНЖЕРНОЙ ЭКСТРУЗИИ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ

К.В. Шапкин1, Л.С. Стельмах2, А.М. Столин3, Г.С. Баронин1

Кафедра «Теория машин, механизмов и детали машин», ГОУ ВПО «ТГТУ» (1); Институт проблем химической физики РАН, г. Черноголовка (2);

Институт структурной макрокинетики и проблем материаловедения РАН, г. Черноголовка (3)

Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым

Ключевые слова и фразы: кинетика уплотнения; реодинамическая модель течения; твердофазная экструзия.

Аннотация: Твердофазная технология позволяет решать фундаментальные задачи создания новых композиционных материалов с улучшенными физикомеханическими свойствами и широкими возможностями применения в промышленности. При оптимизации экспериментальных схем процессов твердофазной плунжерной экструзии весьма эффективным оказался метод математического моделирования. Представлены математические модели плунжерной твердофазной экструзии при изотермическом рассмотрении процесса. Установлены наиболее благоприятные в практическом отношении режимы распределения плотности материала после твердофазной экструзии.

Плунжерная экструзия является перспективным технологическим методом переработки широкого класса материалов, в том числе - полимеров [1-3]. При оптимизации экспериментальных схем процессов плунжерной экструзии весьма эффективным оказывается метод математического моделирования. Он позволяет, с одной стороны, прогнозировать результаты эксперимента, а с другой стороны, дает возможность выбрать оптимальные режимные факторы и наилучшие условия протекания процесса экструзии.

В настоящей работе использована реодинамическая модель течения материала из цилиндрической камеры, ограниченной сверху перемещающимся поршнем [4-7]. При выборе реологических уравнений принимаются представления о полимере как о сжимаемом вязком материале, обладающем двумя характеристиками вязкости: сдвиговой и объемной, которые зависят от температуры и плотности [7]. Вся область материала разбивается на два отдельных участка: внутри камеры - между перемещающимся поршнем и выходным сечением и внутри калибра - между выходным сечением и свободной поверхностью. Движение материала в каждой из областей считается установившимся и одномерным. В рамках одномерного подхода движение материала в конической матрице характеризуется двумя характеристиками: относительным изменением плотности и гидравлическим сопротивлением, зависящим от приложенного усилия.

Основная задача теоретического рассмотрения в рамках предложенной рео-динамической модели - исследование особенностей в распределениях плотности, которые сильно зависят от ее начального распределения, реологических факторов и от режима деформирования. При этом важно ответить на ряд практических вопросов:

- какой режим деформирования является оптимальным с точки зрения наилучшего распределения плотности в выдавленном образце?

- в каких случаях материал уплотняется, но не выдавливается или, наоборот, выдавливается без уплотнения?

- существует ли предельное значение скорости перемещения плунжера пресса при непрерывном увеличении давления на поршне?

В настоящей работе проведен численный анализ особенностей кинетики уплотнения и выдавливания полимерных материалов, позволяющий ответить на поставленные выше вопросы.

Модель процесса и основные допущения

Рассмотрим течение вязкого пористого материала из цилиндрической камеры, ограниченной сверху перемещающимся поршнем. Первоначальная длина заготовки равна Но , а радиус поперечного сечения го. На дне камеры имеется круглое отверстие радиуса г1 , через которое происходит выдавливание материала в направляющий цилиндрический калибр того же радиуса. Ось симметрии заготовки принята в качестве оси г, положительное направление которой противоположно направлению движения поршня (рис. 1, а). Начало координат г = 0 свяжем с центром щели (выходным сечением из камеры). Силой трения о стенки камеры и калибра и действием объемных сил пренебрегаем.

Вся область потока разделяется на два отдельных участка: течение внутри камеры между перемещающимся поршнем г = Н (?) и выходным сечением г = 0+ и течение внутри калибра между г = 0- свободной поверхностью г = -Ь (/). Индексы «+» и «-» указывают, соответственно, что сечение г = 0 относится либо к камере, либо к калибру. Возмущениями в обеих областях течения при переходе из камеры в щель пренебрегаем. Движение жидкости в каждой из областей считаем установившимся и одномерным с одной ненулевой компонентой скорости vг = V. Если вязкость несжимаемой основы порошковой композиции ^1 достаточно велика (1Л >103 Па-с), то для реальных технологических процессов плунжерной экструзии время перестройки течения вблизи щелевого отверстия радиуса г » р1г12т-1 мало по сравнению с характерным временем выдавливания Н(^V), и это допущение

правомерно. Обычно выдавливание происходит в матрицу, имеющую коническую форму, которая в данном рассмотрении не учитывается.

Z = н (t)

P = const v = const

P = const v = const

q Pupl t

q = q0

а)

б)

Рис. 1. Схема плунжерной экструзии:

а - в цилиндрических координатах г; б - в лагранжево-массовых координатах q

q

0

Постановка задачи

Постановка задачи включает в себя уравнения неразрывности (1), равновесия (2), теплопроводности (3) и реологические соотношения (4) - (5):

Эр Э^)

+ = 0; (1) Э/ Э г

Э°гг = 0 ; (2)

Э z

(Э(рТ) Э(рvT)

СР1

(Э(рт) Э(р&Г)1 Э (Л/ ЧЭТ 1 2а

Э/ Э z

/

11(р)л l--(T - To); <3)

Szz = l4 m+X 1 ^; <4)

3 ) Э г

где р - относительная плотность материала, кг/м3; |т, X - сдвиговая и объемная вязкости материала; V - скорость течения материала, м/с; Т - температура, К; огг , Огг , Одд - осевые, радиальные и тангенциальные напряжения, МПа; г0 - радиус

заготовки, м; р1 - плотность несжимаемой основы материала, кг/м3; т - вязкость несжимаемой основы материала, Па-с.

Уравнение движения плунжера пресса следующее

— = - ^ . (6) м

В задаче имеются два коэффициента вязкости - сдвиговый т и объемный X:

т(р, Т)=Д1(Т )т2(р) = т ехр(Е / ят р; (7)

Х(Р, Т) = (4/3)т(р, Т)р/(1 -р) = (4/3)Д1ехр(£/ЯТ)рт+1(1-р).

Граничные условия:

г = 0: Т = Т0; V = 0; 1(р)ЭТ / Эг = а!(Т - Т0);

г = Н : огг = -Р; 1(р)ЭТ/Эг = а2(Т-Т0). (8)

Рассмотрим два режима деформирования: режим с постоянным усилием (на поршне задано постоянное давление Р) и режим с постоянной скоростью деформирования (задана постоянная скорость перемещения поршня V):

0гг1г=Н(/) =-Р; ^г1г=Н(/) = V . (9)

В начальный момент времени заданы распределения плотности и температуры по высоте прессовки

р/=0 = р0 (г); Т (г,0) = Т,(г). (10)

На выходном сечении задается гидравлическое сопротивление щели, зависящее от приложенного давления и сдвиговой вязкости материала [8]

Э М 2 Рп

—2 = р1р(0,/)к — , (11)

э/ т

где М2 - количество выдавленного продукта, кг; к - коэффициент сопротивления щели; п - некоторая эмпирическая константа.

V

При решении подобных задач часто оказывается полезным перейти в ла-гранжевы координаты, связанные со средой. Введем обобщенные (лагранжевые) координаты (q; t): /л = t - реальное время, массовая координата q имеет смысл относительной массы материала, находящейся между переменным сечением z и свободной поверхностью z = -L(t), таким образом

z M z

q = J р < z, t)dz + = J р< z, t )dz + Puplt, < 12)

0 0р1 0

где Pupi = kS1Pn ^0р1т1 ■ Начальную координату q0 вычисляем по следующему выражению

q0 = J р<z,0)dz. (13)

0

Заметим, что величина q0 является полной массой образца, выраженной в линейных единицах.

Отметим, что интервал изменения массовой координаты q для индивидуальных объемов, находящихся в камере q е ^PUplt, q0 ], имеет постоянную верхнюю границу q0 и изменяющуюся во времени нижнюю границу Pupit (см. рис.1, б). Очевидно, что эта граница перемешается вправо со скоростью PUpl. Пусть выбран произвольный объем с координатой q. Этот объем пройдет щель в момент времени

t = q / Pupi. (14)

Полное время выдавливания определяется следующим образом: textr = q<)/Pipit ■ В калибре интервал массовой координаты: q е |^0, PupitJ . Со временем длина выдавленной части и, соответственно, величина этого интервала увеличиваются. Таким образом, при расчете плотности объемов, проходящих через щель (z = 0), следует учитывать связь между q и t по соотношению (14).

Развитие процесса СВС-экструзии (самораспространяющийся высокотемпературный синтез) зависит от разнообразных влияний режимных факторов: давления (скорости) на плунжере пресса, собственных свойств материала (объемной и сдвиговой вязкостей и их зависимости от плотности), тепловых и граничных условий, теплофизических характеристик и их зависимости от плотности, геометрии установки и образца. Влияния этих факторов должны быть отражены через параметры модели. Введем следующие основные характерные времена процесса: время выдавливания - textr; время уплотнения - tc; время остывания - tT:

textr = P4 tc = 4P-; T = sfa. (15)

Pupi 3P 1

Параметры изменяются в следующих пределах: Р = 107...1010 Па;

р! = 1...5-103 кг/м3; m0 = 106...1010 Па-с; с = 500.1000 Дж; 10 = 10.30 Вт/(м-К); q0 = 0,02.0,08 м (zo = 0,15.1 м). Характерные времена, соответствующие этим значениям параметров, изменяются в следующих интервалах: textr = 2,5-10-5. 10 с;

tc = 1,3-10-4. 1,3-10 3 с; tT = 5. 1,6-103 с.

На первом этапе ограничимся численными расчетами в изотермической постановке задачи Т = const. В результате численного решения системы уравнений (1)-(7) были получены распределения плотности, скорости и напряжений в образце и в экструдированном стержне, прогнозировалась длина изделия.

Результаты численных расчетов

В процессе экструзии материал уплотняется до определенного значения плотности. Для каждого выделенного микрообъема образца конечное значение плотности перед выдавливанием зависит от соотношения между временем выдавливания и временем уплотнения. На предельное значение плотности влияют основные параметры процесса.

Конечное распределение плотности в экструдированном стержне зависит от соотношения характерных времен уплотнения и выдавливания. Если время уплотнения много меньше, чем время выдавливания ( tc << textr ) получаем предельно уплотненный стержень (рис. 2, кривая 1), если же наоборот, время уплотнения много больше времени выдавливания (tc >> textr), получаем практически неуплотненный образец (рис. 2, кривая 3), если же эти времена сравнимы между собой (tc »textr), получаем переходные режимы уплотнения (рис. 2, кривая 2), когда материал уплотняется до некоторого значения, но не до предельного, то есть получается экструдат, имеющий разную плотность в различных его частях.

Сопоставим особенности уплотнения для двух режимов деформирования: при постоянном усилии на плунжере пресса и при заданной скорости перемещения плунжера пресса. Для такого сопоставления выберем одинаковые значения давления и скорости, соответствующие стационарным их значениям. Так, например, на рис. 3 показано распределение напряжения от времени при v = const и распределение скорости от времени при Р = const, из которого видно, что существуют предельные значения напряжения и скорости, соответствующие их стационарным значениям. Эти значения и выбраны для сопоставления двух режимов. На рис. 4 представлено распределение плотности в камере и калибре соответственно для Р = const (кривая 1) и v = const (кривая 2). Можно сделать вывод, что схема процесса, когда задано постоянное усилие более предпочтительна, так как в этом случае сами значения плотности оказываются более высокими и почти 90 % экс-трудата имеет плотность близкую к предельной (при постоянной скорости только

70 %).

Р

0,9

0,8

0,7

0,6

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 q

Рис. 2. Распределение плотности р по массовой координате q в калибре для режимов деформирования:

1 - предельного уплотнения (Гех1г >> Гир1): /ехг = 0,24; Гир1 = 0,02 с; 2 - нед°упл°тнения (?ехй- » V): гехй = 0,02 V = 0,02 с;

3 - без уплотнения (Гех1г << Гир1): Гех1г = 0,002; Гир1 = 0,02 с;

4 - начальное распределение плотности по массовой координате: Р = 6,65-108 Па; Ц! = 107 Па-с

P, Па-109

4,5

3. 5-----------------------------------------J---------------------------------

2. 5--------------------------------j------------------------------------------

1.5 ------------V----------------------------------------------------------

0,5

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 t • 10-4, с

а)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 г • 10-3, с

б)

Рис. 3. Зависимость от безразмерного значения времени:

а - напряжения Р (V = 1,75• 10-2 м/с; гех(г = 0,036; гир1 = 0,0016); б - безразмерного значения скорости V (Р = 6,65-108 Па; гех1г = 0,24; гир1 = 0,02; Рир1 = 0,16)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 q

Рис. 4. Распределение плотности в калибре для различных режимов деформирования:

1 - с постоянным усилием на плунжере пресса ^г = 0,33); 2 - с постоянной скоростью выдавливания ^г = 0,28); 3 - начальное распределение плотности:

Р = 6,65-108 Па; V = 1/75-10-2 м/с

v, м/с 250

200

150 100 50 0

4 6 8 10 Р-108, Па

Рис. 5. Зависимость скорости V плунжера пресса от приложенного давления Р: Ц = 107 Па с; ро(<?) = 0,5. . 0,7

Интересно проследить влияние напряжения на плунжере пресса на скорость выдавливания. Поскольку процесс плунжерной экструзии является нестационарным и при постоянном усилии на плунжере пресса скорость выдавливания зависит от времени, то рассмотрим изменение скорости в зависимости от давления для определенного фиксированного времени (рис. 5). Эта зависимость имеет экстремальный характер: вначале при увеличении давления, как и ожидается, скорость возрастает, однако затем сказывается увеличение сопротивления деформированию из-за повышения плотности материала, что и приводит к падению скорости выдавливания. Таким образом, приведенные результаты иллюстрируют общие физические соображения о том, что скорость выдавливания не может быть как угодно большой величиной даже при значительном увеличении усилия на плунжере пресса.

Выводы

В рамках настоящего изотермического процесса плунжерной экструзии показано, что наиболее благоприятное в практическом отношении распределение плотности реализуется в режиме постоянного давления на плунжере пресса. В зависимости от соотношения характерных времен уплотнения и выдавливания, может реализоваться режим уплотнения без выдавливания и режим выдавливания без уплотнения. При увеличении давления на плунжере пресса скорость меняется экстремальным образом, следовательно, не всегда выбор более мощного пресса является оправданным при получении изделий методом плунжерной экструзии.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки России в рамках Аналитической ведомственной программы «Развитие научного потенциала высшей школы», код РНП. 2. 2. 1. 1. 5355.

Список литературы

1. Переработка полимеров в твердой фазе. Физико-химические основы / Г.С. Баронин [и др.]. - Тамбов : Машиностроение-1, 2002. - 320 с.

2. Переработка полимеров в твердой фазе : учеб. пособие / Г.С. Баронин [и др.]. - Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2005. - 88 с.

3. Баронин, Г.С. Твердофазная технология переработки полимерных наноматериалов / Г.С. Баронин, М.Л. Кербер, К.В. Шапкин // Вестник Тамб. гос. техн. ун-та. - 2005. - Т. 11, № 2А. - С. 432-437.

4. Стельмах, Л. С. Тепловые режимы экструзии реологически сложных тугоплавких соединений / Л. С. Стельмах // Тепло- и массообмен в химически реагирующих системах : материалы междунар. шк. семинара. - Минск, 1989. -

Ч. 2. - С. 21-30.

Mathematical Modeling of Reo-Dynamics under Plunger Extrusion of Polymer Materials

K.V. Shapkin1, L.S. Stelmakh2, A.M. Stolin3, G.S. Baronin1

Department “Theory of Machines, Mechanisms and Machine Parts ”, TSTU (1);

Institute of Chemical Physics Problems of RAS, Chernogolovka (2);

Institute of Structural Macro-kinetics and Problems of Material Science of RAS, Chernogolovka (3)

Key words and phrases: compression kinetics; reo-dynamic model of flow; solid phase extrusion.

Abstract: Solid phase technology enables to solve fundamental tasks of creating new composite materials with improved physical and mechanical properties and wide opportunities of application in industry. Method of mathematical modeling is rather effective under optimization of experimental schemes of processes of solid phase plunger extrusion. The most favorable practical modes of distribution of material density after solid phase extrusion are installed.

Matematische Modellierung der Prozesse der Reodynamik bei dem Plungerextrudieren der Polymerstoffe

Zusammenfassung: Festphasentechnologie erlaubt die fundamentalen Aufga-ben der Schaffung der neuen Kompositionstoffe mit den verbesserten physikalisch-mechanischen Eigenschaften und mit den umfassenden Moglichkeiten der Anwendung in der Industrie zu losen. Bei der Optimierung der experimentalen Schemen der Prozesse des Plungerextrudierens in fester Phase war die Methode der matematischen Modellierung sehr wirksam. In der Arbeit sind die matematischen Modelle des Plungerextrudierens in fester Phase bei der isothermischen Betrachtung des Prozesses vorge-legt. Es sind die in den praktischen Beziehungen gunstigsten Regimes der Verteilung der Dichte des Stoffes nach dem Festphasenextrudierens festgelegt.

Modelage mathematique des processus de la rheodynamique pendant l’extrusion a plongeur des materiaux polymeres

Resume: La technologie en phase solide permet de resoudre les taches fondamentales de la creation de nouveaux materiaux composites avec les proprietees physiques et mecaniques ameliorees et avec de larges possibilites de l’application dans l’industrie. Lors de l’optimisation des schemas experimentaux des processus en phase solide de l’extrusion a plongeur la methode du modelage mathematique devient tres efficace. Dans cet ouvrage sont presentes les modeles mathematiques de l’extrusion a plongeur en phase solide lors de l’examen isotherme du processus. Sont etablis les regimes les plus avantageux en pratique pour la repartition de la densite du materiel apres l’extrusion en phase solide.