Математическое моделирование процессов растворения и отложения при фильтрации растворов в пористой среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

18. Nazarov М.М., Mukina L.S., Shuvaev А. V. et al. Exitation and propagation of surface electromagnetic

waves studied by terahertz spectrochronography // Laser Phys. Lett. 2005. 2. N 10. P. 471-475.

19. Скрипов Д. К., T р о ф и м о в В. А. Гистерезисная зависимость некоторых спектральных компонент фем-тосекундного импульса при его распространении в нелинейной среде // ЖТФ. 2004. 74. Вып. 2. С. 77-82.

20. Чуй К. Введение в вэйвлеты. М.: Мир, 2001.

Поступила в редакцию 30.04.2008

УДК 553.4

В.И. Дмитриев, А.А. Канцель2, Е.С. Куркина3

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РАСТВОРЕНИЯ И ОТЛОЖЕНИЯ ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ РАСТВОРОВ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Предложена математическая модель, описывающая фильтрацию растворов в пористой среде, процессы растворения и вторичного отложения минерала. Найдены автомодельные решения, описывающие движение переднего фронта и заднего фронта, — границы зоны полного растворения. Исследованы основные закономерности рассматриваемых процессов, проведены численные расчеты. Показано, что данная модель хорошо описывает экспериментальные данные по выщелачиванию минералов сернокислыми растворами. Исследована динамика извлечения полезного ископаемого из продуктивных растворов в среде с неоднородным распределением кислотности. Показано, что в зонах с повышенным содержанием pH происходит растворение минерала, а в зонах с пониженным значением кислотности происходит его вторичное отложение. В этом случае после завершения работ в пласте могут остаться более или менее значительные запасы полезного минерала в зависимости от объема зоны с пониженным содержанием pH и близости ее к откачной скважине.

Ключевые слова: математическое моделирование, инфильтрационный метасоматоз, автомодельные решения, неоднородное распределение pH, процессы растворения и вторичного отложения минерала.

Введение. Целью работы является исследование математических моделей процессов растворения при фильтрации растворов в пористой среде. В процессе растворения происходит изменение химического состава породы за счет замещения одних минералов другими, так что в целом порода сохраняет твердое состояние. Такие процессы называются метасоматическими. Теория метасоматической зональности была разработана академиком Д.С. Коржинским в середине прошлого века [1].

Метасоматоз бывает диффузионным и инфильтрационным. При чисто диффузионном метасоматозе перенос вещества осуществляется медленно посредством диффузии через застойные поровые растворы. При инфильтрационном метасоматозе компоненты переносятся течением водных растворов, просачивающихся через поры горных пород. В природе инфильтрационные процессы всегда сочетаются с диффузионными. Растворы просачиваются вдоль стыков зерен или обтекают отдельные более плотные участки породы, тогда как замещение этих зерен и участков породы происходит в результате диффузии компонентов.

Метасоматоз используется при добыче полезных ископаемых способом подземного выщелачивания (СПВ), который является одним из наиболее экологически чистых и распространенных геотехнологических методов добычи [2, 3]. Он заключается в том, что в подземный рудоносный пласт из ряда скважин закачивается кислотный или щелочной раствор. Раствор, просачиваясь сквозь пористую среду, растворяет минералы полезных ископаемых и, дойдя до откачных скважин, откачивается.

Математические модели метасоматоза должны учитывать фильтрацию раствора между зернами минерала, диффузию раствора внутри пор зерен, растворение и осаждение минерала. Объемное растворение различно в разных участках пласта и происходит только тогда, когда концентрация в растворе меньше предельной концентрации насыщенного раствора. Понятно, что вблизи закачивающих

хФакультет ВМиК МГУ, д.ф.-м.н., проф., e-mail:dmitrievQcs.msu.su

2Факультет ВМиК МГУ, асп., e-mail:kantselQmail.ru

3Факультет ВМиК МГУ, д.ф.-м.н., в.н.с., e-maihelena.kurkinaQcs.msu.su

скважин растворение происходит быстрее всего и вскоре образуется зона полного растворения минерала, которая с течением времени разрастается. Возникает задача о движении границы зоны полного выщелачивания. Однако при подземном выщелачивании извлекаемый минерал не только растворяется, но может и частично осаждаться. Обычно осаждение происходит в зонах с пониженным значением рН, образующихся в результате наличия температурных градиентов или градиентов кристаллизационного давления [1—3]. Вторичное отложение может существенно изменить первоначальную картину распределения запасов и динамику извлечения их из недр.

В настоящей работе предложена и исследована новая математическая модель метасоматоза, учитывающая процессы фильтрации раствора, растворения и переотложения минерала в пористой среде с неоднородным распределением кислотности. Получены автомодельные решения, описывающие движение переднего фронта зоны растворения, заднего фронта, описывающего разрастание области полного выщелачивания. Исследована динамика извлечения полезного ископаемого из продуктивных растворов в среде с неоднородным распределением кислотности. Показано, что модель отражает все самые существенные черты процессов выщелачивания полезных ископаемых сернокислыми растворами.

1. Математические модели массопереноса растворителя и вещества. Рассмотрим одномерную задачу о фильтрации жидкости в однородной пористой среде, в которой один минерал растворяется, а другой минерал одновременно выпадает в осадок, так что пористость среды а не изменяется. Будем исследовать динамику растворения только одного вещества. Пусть Ср — концентрация этого вещества в твердой фазе, С — концентрация этого же вещества в жидкой фазе. Уменьшение во времени Ср(х, I) дает увеличение С(х,1). На этот процесс влияют и диффузия, и перенос вещества в движущейся среде. Пусть чистый раствор подается в точке х = 0 и течет с постоянной скоростью в положительном направлении оси х. С начала прокачки чистого раствора сквозь пористую среду процесс растворения идет очень быстро и концентрация в растворе становится насыщенной. Затем растворение будет идти только вблизи границы с чистым раствором и зона растворения будет смещаться. Мы будем исследовать установившиеся процессы.

Общее уравнение, которое получается из баланса массы, имеет вид

аср(х,г) эс д ( вс\ тгдс „ „

dt dt дх \ дх) дх

где D — коэффициент диффузии, V — скорость фильтрации раствора, l(t) — движущаяся граница зоны растворения. При х ^ l(t) имеем насыщенный раствор, т. е. С = Сп. К уравнению (1) добавляются начальное и граничное условия:

С(х,0) = Сп, C(0,i) = 0. (2)

Из дополнительного условия

C(l (t), г) = Сп = const (3)

находится уравнение движения границы I (t).

Из уравнения (1) можно получать различные модели метасоматоза в зависимости от скорости растворения вещества V(% и соотношения между скоростью движения раствора V и скоростью диффузии:

D

q~vc

дс

дх

(4)

Если скорость растворения велика, то растворение идет только в очень узкой области (в пределе только на границе раздела двух фаз х = l(t), являющейся в данном случае плоскостью). При V(i = оо известны решения задачи (1)-(3) в двух противоположных случаях — чисто диффузионного и чисто инфильтрационного метасоматоза. Диффузионный метасоматоз имеет место, когда g > 1 в соотношении (4) и переносом вещества за счет движения жидкости можно пренебречь. В этом случае получено автомодельное решение (см. [4]), описывающее динамику смещения зоны растворения. Скорость движения границы растворения замедляется со временем и определяется по формуле

l(t) = Ал/Тн.

Если же скорость переноса много больше скорости диффузии (q •< 1), то граница раздела движется с постоянной скоростью l(t) = Vt.

Учтем теперь, что скорость растворения конечна: V4 < ос. В этом случае необходимо описать процесс растворения и разработать математическую модель. Рассмотрим случай, когда скорость диффузии много меньше скорости переноса, т.е. g « 1, и изменением запасов вещества в твердой фазе можно пренебречь (это справедливо на начальной стадии процесса растворения). Тогда исследуемая задача принимает вид

¡Ж + УШ = <*(Сп-С), же (0,ос), t G (0, 00), \С(0, t) = Со, C(x,t) Сп при ж оо,

где а > 0 — константа, характеризующая скорость растворения и определяемая свойствами среды. Общим решением уравнения (5) является функция

C(x,t) = Сп^ <р(х - Vt)e~vx,

где — произвольная дифференцируемая функция. Со временем может установиться стационарное распределение, тогда (р(£) = Сп — Cq.

2. Автомодельное решение, описывающее движение переднего фронта. Граничные условия (2), (3) соответствуют движению заднего фронта зоны растворения. При моделировании процесса добычи полезного ископаемого способом подземного выщелачивания интерес представляет разрастание всей зоны циркуляции продуктивных растворов. Рассмотрим установившееся движение переднего фронта растворения, вытесняющего естественные грунтовые воды. Будем считать, что скорость растворения достаточно велика и зона растворения движется со скоростью движения жидкости. Пусть раствор в момент времени 1 = 0 достигает сечения с координатой х = 0. В области, в которую просачивается раствор, начинается процесс растворения. На движущейся со скоростью фильтрации границе хд(1) = VI раствора с грунтовыми водами концентрация равна С(хд) = Со- В фиксированном сечении ж, в которое уже просочился раствор, концентрация растворенного вещества увеличивается и стремится к насыщенной. Для уравнения (5) такая задача не имеет решения, поскольку граничное условие задано на характеристике. В этом случае необходимо учитывать диффузию. В результате получаем следующую задачу:

/ж + УШ -о^ = а(сп-с), уг^ь^х^уг, ( )

\с(х = уг,г) = Со, с(х = уг^ь,г) = сп, К!

где ¡\ — ширина зоны растворения, которая определяется скоростью растворения У&.

Нетрудно найти установившееся автомодельное решение задачи (6) типа бегущей волны:

'(■„. ^оо ./• VI - !..

СОМ) {(■„ - ((■„ - Со)—^-7-—— , уг-ь^х^уг, (7)

Со, х^уг.

Оно описывает распределение концентрации в растворе между передним фронтом, где С равно фоновой концентрации Со,

и задним фронтом, где С — Сп.

3. Автомодельное решение, описывающее движение заднего фронта. Вернемся снова к задаче (5), описывающей движение заднего фронта растворения, и учтем теперь, что количество вещества, находящегося в твердой фазе, ограничено. Вблизи закачной скважины всегда находится чистый раствор, и процесс растворения здесь происходит быстрее, чем в более удаленных зонах. Здесь образуется зона полного растворения, которая увеличивается со временем. Уравнение, описывающее этот процесс, имеет вид

Ър

^^- = 0 при £ ^ если а^Сп1р — ^ С(ж, сЙ^ = Л/. (8)

о

где ¿р — время полного растворения вещества в сечении ж, если в начальный момент его концентрация в твердой фазе была М.

Рассмотрим установившийся процесс, описываемый автомодельным решением С(х,1) = С(£), Ср(х^) = Ср(£), £ = х — Ур1, где Ур — скорость движения фронта выщелачивания. Автомодельное уравнение имеет вид

р ^ а Р 1 '

Проинтегрируем уравнение (9) на отрезке [£1, £2] активного выщелачивания, на котором концентрация вещества в растворе возрастает от С = Со и 0 при £ = £1 до С = Сп при £ = а содержание твердого вещества в породе убывает до нуля. Тогда получим

-УрСп + УСп = -УРМ. (10)

о

Соотношение (9) дает связь между скоростью фильтрации и скоростью движения фронта выщелачивания:

1 Мх~1

Таким образом, скорость движения фронта выщелачивания всегда меньше скорости фильтрации и линейным образом от нее зависит.

4. Распределенная математическая модель метасоматоза. Автомодельное решение, описывающее разрастание зоны полного растворения. Построим теперь распределенную математическую модель метасоматоза, за основу взяв модель (5) с ограниченными запасами (8). Будем считать, что минерал, растворение которого мы хотим описать, представлен в руде в виде мелких зернышек, равномерно распределенных по пласту. Раствор, просачиваясь сквозь пласт, обтекает эти зерна и растворяет их с поверхности. Будем считать, что все зерна одинаковые и имеют форму шара радиусом г0. Поскольку зерно маленькое, можно считать, что оно находится в точке ж, и концентрация Сь(х, I) в потоке, омывающем зерно, одинакова у всей поверхности зерна. Пусть Ср(х) — концентрация этого вещества в твердой фазе. При растворении радиус шарика уменьшается до нуля, пока все вещество не растворится. Выведем уравнение изменения радиуса зерна г(1) из уравнения баланса массы, считая, что количество растворенного вещества, вытекающего из зерна за время пропорционально площади поверхности и разности концентрации в растворе и концентрации в насыщенном растворе. Тогда получим

Аг (У

Устремляя А1 и Аг к нулю и вводя безразмерный радиус р = г/г0, 0 ^ р ^ 1, и относительную концентрацию получаем уравнение, определяющее закон изменения радиуса р(£)

при растворении,

Каждое зернышко, пока оно полностью не растворится, представляет собой источник. За единицу времени в единицу объема жидкости выделяется количество вещества

8 о, 2 „ 3а ■ 5 ■ С.

Я = -гт-Г-г = ~Р (1- с), а =

п

аУ3 о г0

где У8 = |-7ггЦ — объем шарика, а — пористость, 8 — доля зерен в единице объема, р(Ь) берется из решения уравнения (12). Система уравнений относительно концентрации растворенного вещества О ^ с(ж, Ь) ^ 1 и радиуса 0 ^ р(х, ^ 1, описывающая объемное растворение в движущейся среде, принимает вид

дс(х,г) 1Гдс(х,г) а 2

+ = (13)

др{х^) = о <® </(*), ¿>0. (14)

= (18)

Систему (13), (14) дополним граничными и начальными условиями

с(0, г) = 0 при ^ ^ О,

с(х,1) = 1, р(х,1) = 1 при х ^ 1(1), (15)

с(х, 0) = 1, р(х, 0) = 1 при х > 0.

Найдем автомодельное решение задачи (13)-(15), описывающее установившееся движение зоны растворения. Будем искать его в виде

с(х, г) = с(£), р(х, г) = р(£), где С = ж ^ Ур1, (16)

аУр — скорость движения фронта растворения, которую надо найти. Подставляя (16) в систему (13), (14), получим систему автомодельных уравнений

ёс ёс а о. „.

-У'Т( + УТГ*Р11-С)' (17)

Ф(£)

где — граница области полного растворения. Автомодельное решение удовлетворяет следующим условиям:

с(0) = 0, р(0) = 0 при 0 < С < Ср,

с(С) = 1, р(0 = 1 при С ^ Сп,

или

с(0 ^ 1, р(0 при С -»• оо. (19)

Случай (19) имеет место, когда растворение зерна происходит за бесконечное время. Из системы уравнений (17), (18) найдем скорость Ур и связь между переменными сир:

(2о) (21)

Как и следовало ожидать, выражение для скорости (20) совпадает с формулой (11) для общего случая (М = 6 ■ Ср). Найденную связь (21) подставим в уравнение (18):

(22)

Интегрируя (22), находим функцию а из соотношения (21) — функцию с(£):

р

йг 1 1 — р3 1 2р + 1 в

= - 1п —-—---= arctg —-=- = — £ + СО!^ . (23)

6 (1_Р)3 ^з & ^з у

о

Аналитическое решение (23) определяет в неявном виде зависимость Отсюда следует, что р ^ 1 (и, следовательно, с(£) 1) при £ сю. Причем концентрация вещества в растворе стремится к насыщению экспоненциально.

Из формулы (23) найдем отношение эффективной ширины зоны растворения к скорости фильтрации считая, что концентрация достигла насыщения при 1 — р и 10_3:

А, _ Аж 1_М_го

V ~ V VIЗ а (аСп + М) 8 ^ { }

д

Из формулы (24) следует, что величина не зависит от скорости фильтрации и обратно пропорциональна коэффициенту растворения а.

5. Распределение концентрации по длине фильтрационного потока. Сравнение мате-

матической модели с эмпирическими закономерностями процессов фильтрационного выщелачивания

показало, что данная модель хорошо описывает экспериментальные данные. В частности, она описывает линейную зависимость скорости Ур движения фронта зоны полного выщелачивания от скорости фильтрации (11), наличие четырех зон по длине фильтрационного потока: зоны полного выщелачивания, зоны активного выщелачивания, зоны насыщенного раствора и зоны движения переднего фронта [2, 3]. На рис. 1 показано распределение концентрации растворенного вещества вдоль потока (в зависимости от значения у) для нескольких моментов времени и отмечены указанные выше зоны для последнего профиля.

2 4 6 8 х_ ю

V

Рис. 1. Распределение концентрации растворенного вещества вдоль потока для трех моментов времени £1 < £2 < tз. Для распределения з)

обозначены зоны: 1 — зона полного растворения; 2 — зона активного растворения; 3 — зона насыщенного раствора; 4 — зона переднего фронта

6. Математическая модель метасоматоза в среде, имеющей область с пониженной кислотностью. Теперь исследуем случай, когда в зоне циркуляции растворов имеется область с пониженной растворимостью минералов, которая характеризуется меньшим значением рН. В реальных условиях к этому может привести понижение температуры (а значит, и значения насыщенной концентрации) или падение давления с приближением пласта к поверхности, где может произойти дегазация растворов, особенно потеря ими СО2 [1]. В любом случае будем считать, что на отрезке О ^ х ^ Ь между закачной и откачной скважинами имеется зона х\ ^ х ^ х2, в которой насыщенная концентрация минерала меньше, чем во всей остальной области:

Сп = \Спъ х^иХ2\ С2<С!. (25)

Кроме того, естественно предположить, что наличие зоны с пониженным содержанием рН обусловлено природным ландшафтом, и эта зона существовала, когда формировалось месторождение. Так что, вероятно, в этом месте в далеком прошлом, когда шли геологические процессы, минералов отложилось больше, чем в соседних местах, где значение рН было выше. В модели это отразится в том, что 82 — доля зерен в единице объема — на отрезке [х\^х2] будет больше, чем доля 8± на всем остальном отрезке:

§=(8Ъ х*[хих2] (26)

Рассмотрим, как будет происходить процесс растворения в среде с переменной кислотностью. С начала прокачки чистого раствора сквозь пористую среду процесс растворения идет быстро, и концентрация в движущемся растворе быстро достигает значения насыщенной С±. Как только концентрация достигла насыщения, процесс растворения прекращается. Однако, когда раствор достигает зоны с пониженной кислотностью, в которой концентрация насыщения С2 меньше, чем концентрация в растворе С1, пойдет процесс отложения. Будем считать, что в процессе отложения будет происходить рост имеющихся зерен минерала. Однако рост зерен будет ограничен, так как вызовет незначительное

уменьшение пористости (закупорку просветов), и давление в растворе резко возрастет из-за несжимаемости жидкости. Рост зерна в данном месте может происходить до тех пор, пока увеличение давления в растворе не будет препятствовать отложению. В модели этот факт учитывается тем, что радиус шарика при отложении растет не больше, чем на 15-20% по объему от первоначального размера. Таким образом, в процессе подземного выщелачивания в зонах с пониженным значением рН происходит не растворение, а вторичное отложение полезного минерала, и картина распределения запасов в пласте может существенно измениться.

С течением времени, как было показано выше, вблизи закачной скважины образуется зона полного растворения, которая смещается со скоростью несколько меньшей, чем скорость фильтрации жидкости (см. формулу (20)). В зоне полного растворения фильтруется чистый раствор, поэтому, когда зона полного растворения дойдет до зоны с пониженным значением рН, начнется растворение и в этой зоне. Понятно, что чем ближе к откачной скважине находится зона с пониженной кислотностью, тем больше отложится минерала в этой зоне и тем меньше вероятность того, что зона полного выщелачивания успеет дойти до зоны с пониженным значением рН за время отработки пласта.

Рис. 2. Динамика процессов растворения в среде, содержащей зону с пониженной кислотностью: а — распределение концентрации вдоль потока для трех моментов времени < ¿2 < ¿з; б — распределение запасов в пласте для тех же моментов времени и начальное распределение при £ = £о; в — зависимость концентрации от времени на выходе; г — динамика извлечения запасов из пласта, %

На рис. 2 представлены результаты расчетов одномерной задачи. Они описывают характерную динамику извлечения минерала из пласта, содержащего зону с пониженным значением рН. В примере процесс фильтрации растворов со скоростью V = 5 происходит на отрезке 0 ^ х ^ 50, закачная скважина находится на одном конце отрезка, в точке х = 0, а откачная скважина — на другом конце. Зона с пониженной кислотностью располагается вблизи откачной скважины на отрезке 30 ^ х ^ 40; С\ = 1, С2 = 0,2; 8± = 1, 82 = 3. На рис. 2, а показано распределение концентрации растворенного вещества вдоль потока для трех моментов времени ¿о < < ¿2 < ¿з? а на рис. 2, б — распределение запасов в пласте для тех же моментов времени. Хорошо видно, что сначала процесс растворения идет вблизи закачной скважины и в области, следующей за зоной с пониженной кислотностью, а в зоне с пониженной кислотностью идет процесс вторичного отложения. В зоне с пониженным значением рН процесс растворения начинается только тогда, когда вещество полностью растворится на всем отрезке вне этой зоны. На рис. 2, в показана динамика извлечения растворенного вещества из откачной скважины, а на рис. 2, г — динамика извлечения запасов из пласта (в процентах). Мы видим, что кон-

центрация вещества в растворе, вытекающем из откачной скважины, становится небольшой (с = Сг), когда процесс растворения начинается в зоне с пониженным значением рН. Если прекратить процесс прокачки растворов, то, когда извлечение станет небольшим, в пласте могут остаться более или менее значимые запасы полезного ископаемого. В рассматриваемом модельном примере их остается более 60%, если произвести отключение в момент времени 800.

Если зона с пониженной кислотностью расположена близко к закачной скважине, то процесс вторичного отложения в ней идет недолго и растворение начинается намного раньше, чем в рассматриваемом выше примере. В этом случае за время отработки пласта в зоне с пониженным значением рН может остаться незначительное количество полезного минерала. В общем случае влияние зоны с пониженным значением кислотности на процесс извлечения зависит от объема этой зоны и близости ее к откачной скважине.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коржинский Д. С. Теория метаеоматичеекой зональности. М.: Наука, 1969.

2. Толстое Е. А., Толстое Д. Е. Физико-химические геотехнологии. Освоения месторождений урана и золота в Кызылкумском регионе. М.: Геоинформцентр, 2002.

3. Белецкий В.И., Богатков Л.К., Волков Н. И. и др. Справочник по геотехнологии урана / Под ред. Д.И. Скороварова. М.: Энергоатомиздат, 1997.

4. Демин Ю. И., Дмитриев В. И., Жариков В. А. Математическая модель диффузионного метасоматоза с взаимодействием зон // Проблемы физико-химической петрологии. Т. 2. М.: Наука, 1979. С. 97-117.

Поступила в редакцию 15.04.08

УДК 519.6:533.951.7

Д.В. Ковалев1, А.П. Смирнов2, Я.С. Димант3

О ВЛИЯНИИ ИЗМЕНЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ МАССЫ В ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТАХ ФАРЛЕЙ-БУНЕМАНОВСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

Фарлей-бунемановская неустойчивость — это неустойчивость плазмы в Е-области ионосферы Земли. Многие работы по моделированию неустойчивости используют алгоритмы на основе метода частиц, который имеет ряд недостатков. В частности, получаемое решение содержит численные шумы, вызванные конечным числом частиц; для уменьшения вычислительной сложности алгоритма увеличивается электронная масса. В этой работе рассматривается влияние увеличения электронной массы на количественные и качественные параметры развития неустойчивости. Для этой цели используется программный комплекс, созданный на основе математической модели, состоящей из уравнения Пуассона для электрического потенциала, жидкостного уравнения для электронов и кинетического уравнения для ионов. Решение уравнений основано на численных методах, что позволяет избежать проблем, присущих методу частиц. Важным результатом, полученным в рамках статьи, является то, что даже небольшое увеличение массы электронов приводит к сильному изменению параметров развития неустойчивости, которое выражается в увеличении длин волн колебаний плазмы и уменьшении значений турбулентного электрического поля.

Ключевые слова: ионосфера, неустойчивость плазмы, моделирование плазмы.

Введение. Фарлей-бунемановская неустойчивость в Е-области ионосферы Земли возникает в слабоионизированной плазме при наличии довольно сильного электрического поля Ео, перпендикулярного магнитному полю Во, и обусловлена наличием намагниченных электронов и незамагничен-ных из-за частых столкновений с нейтральными частицами ионов. Электрическое поле превосходит необходимый порог в экваториальных и приполярных электроструях. При этом возникают колебания плотности плазмы с длиной волн, лежащей в метровом диапазоне.

хФакультет ВМиК МГУ, асп., e-maihdmitry.kovalevQmail.ru

2Факультет ВМиК МГУ, к.ф.-м.н., доц., е-таП^арбсв.msu.su

3Центр космической физики, Бостонский ун-т, США, к.ф.-м.н., с.н.с., e-maihdimantQbu.edu