CC BY
28
УДК [622.031:553.98]:[51-74:536.712]
Б.А. Григорьев, В.М. Зайченко, Д.А. Молчанов, В.Н. Сокотущенко
Математическое моделирование процессов изотермической фильтрации газоконденсатной смеси при различных режимах течения
В процессе эксплуатации нефтегазоконденсатных месторождений на практике установлено, что одним из возможных режимов фильтрации является пульсационный режим. Неустойчивость работы газоконденсатных скважин отмечается иногда на промыслах, но это может объясняться как сменой режимов течений в стволе скважины и граничными условиями на выходе из пласта, так и собственно эффектами объемной неустойчивости.
В.С. Митлин и Б.В. Макеев теоретически описали и экспериментально подтвердили возникновение автоколебательного режима течения многокомпонентной смеси [1, 2]. Причиной наблюдаемых пульсаций могут быть как воздействия известных внешних периодических факторов, так и монотонные, например постоянные во времени, притоки энергии в систему, которая в действительности за счет своей нелинейности преобразует поступающую энергию в колебания. Пульсационный характер процесса определяется постоянным притоком тяжелых компонентов в призабой-ную зону и их конденсацией, приводящей к увеличению объема жидкой фазы. Далее при накоплении достаточного количества и увеличении подвижности жидкость приходит на скважину, профиль насыщенности выполаживается, и процесс повторяется. Показано [1, 2], что самоподдерживающиеся колебания должны возникать за счет циклической смены процессов накопления жидкой фазы при термобарических условиях, соответствующих ретроградной конденсации, с последующим перемещением жидкости под действием фильтрационного потока в область пространства, где термобарические условия отвечают прямому испарению, вследствие чего объем жидкой фазы в этой области уменьшается.
Математическая возможность исследования возникновения автоколебаний в процессе фильтрации связывается с потерей устойчивости стационарных решений уравнений двухфазной многокомпонентной фильтрации [1, 2]. Причем потеря устойчивости в фильтрационной системе должна иметь место как в области ретроградной конденсации, так и в области течения, отвечающей прямому испарению на фазовой диаграмме. В области ретроградной конденсации возможны также немонотонные профили давления. Время релаксации в системе возрастает при приближении ее к области неустойчивости, причем согласно экспериментальным данным [1, 2] близость к области неустойчивости определяет такой параметр, как отклонение давления на выходе от давления максимальной конденсации.
Настоящая статья посвящена математическому описанию потери устойчивости процесса неравновесной фильтрации и вычислению зависимости периода автоколебательных режимов течения двухфазных многокомпонентных смесей через пористые среды от характерных времен релаксации системы.
Общая математическая модель процесса неравновесной фильтрации
Уравнения для двухфазной /-компонентной смеси углеводородов в пористой среде, учитывающие инерционные силы, фазовые переходы, капиллярные и диффузионные эффекты приведены в материале В.В. Качалова с соавторами [3]. Мы же ограничимся рассмотрением системы уравнений фильтрации двухфазной /-компонентной смеси
Ключевые слова:
пульсационный режим фильтрации, неустойчивость течения, математическое моделирование, время релаксации, автоколебания в пористой среде.
Keywords:
pulse mode filtering, flow instabilities, mathematical modeling, relaxation time, self-oscillations in porous media.
с учетом неравновесности межфазного переноса в предположении изотермичности процесса фильтрации и незначительного влияния диффузии и капиллярных сил [1,2]:
— (Ш2кы) = У(кРкУР), к = 1.../; (1)
- (тукЫт) = У(кркг)УР) + т-1фк, к = 1... I;
(2)
N = 5 ^ + (1-5) ^; р, = И, М'
Г / ргК, + /р, Л
цгМг ЦжМж
[1 + К(Кк -1)]-
Nг = ; Мг = £ Му; Мж М,х,;
М г * = 1 * = 1
' (К -1) = 0, К, = Уь 5 = 5 = 1-К-11 + V (К,-1) * х, ж
(3)
£ I
К=1 1
где Р - давление; к, т - абсолютная проницаемость и пористость пласта соответственно; 2к - мольная доля к-го компонента в смеси; хь ук - мольные доли к-го компонента в жидкой и газовой фазах соответственно;/Т,/ж - относительные фазовые проницаемости газа и жидкости соответственно; рг, рж, дж, Мг Мж - плотности, вязкости и молярные массы газовой и жидкой фаз; 5 - насыщенность порового пространства жидкой фазой; V - мольная доля газовой фазы в смеси; т - характерное время релаксации при межфазном массообмене (имеется набор величин тк для каждого компонента); Мк - молярная масса к-го компонента.
Ркг) представляет собой часть величины Рк, соответствующую движению газа. Величина фк есть мера отклонения от фазового равновесия компонента к, пропорциональная разности химических потенциалов к-го компонента в жидкой и газовой фазах. Искомыми функциями в рассматриваемой модели являются Р и 2к. Плотности и вязкости фаз являются функциями давления и составов фаз, константы равновесия Кк задаются как функции давления и состава смеси, относительные фазовые проницаемости могут зависеть как от насыщенности, так и от других параметров смеси.
Общее аналитическое решение данной задачи невозможно, но и решение численными методами сталкивается со значительными трудностями, в том числе существуют проблемы устойчивости численных алгоритмов, единственности и непрерывности решения, краевых эффектов. Вместе с этим наблюдаемые экспериментально в лабораторных условиях и на промыслах пульсационные режимы фильтрации возникают в очень узкой области параметров, характеризующих фильтрационное течение. Так, автоколебания наблюдаются лишь в некотором узком диапазоне давлений при строгом отношении долей компонентов смеси. И только при определенных значениях массовых отборов реализуются самоподдерживающийся режим последовательного накопления жидкой фазы в призабойной зоне скважины и выход ее из пласта.
Таким образом, лишь при определенном сочетании физических параметров возникает эффект автоколебаний, поэтому для вычисления значений этих параметров, отвечающих условиям возникновения неустойчивых фильтрационных течений, потребуется решение задачи неустойчивости фильтрационных течений и не требуется прямого решения системы (1)-(3). Но для того чтобы получить соответствующие уравнения, дающие возможность исследования неустойчивого режима фильтрационных течений, необходимо преобразовать систему уравнений (1)-(3) относительно флуктуаций неизвестных, входящих в эту систему.
Задача о линейной стадии развития возмущений пространственно однородного решения относительно давления
Рассмотрим задачу о линейной стадии развития возмущений пространственно однородного решения системы (1)-(3) с линейным пространственным размером Ь (в лабораторном эксперименте Ь - длина модели). Учет неравновесности может быть проведен методом возмущений по времени релаксации т в двухфазной системе. Подставляя в (1)-(3) возмущения Р* = Р - Р0, ¿'к = 2к - ¿к, которые представляют собой, соответственно, отклонения Р и ¿к от невозмущенных значений Р0 и ¿к, после линеаризации относительно возмущений давления и мольной доли получим для фурье-компоненты флуктуации давления и мольных долей уравнения [1, 2]:
я2 Р' (дЫ 2 , ^ йР' 2,п, т^ — + 1- + ^ I — + ^Р = 0;
Г>7 к
^ = -(Р, -7,Р)У2Р\ , =1...(1-1), т
(4)
где Р*, ¿*к - флуктуации давления и долей компонентов в смеси; q - модуль волнового вектора; ? - функции невозмущенных параметров системы.
Учитывая, что система распалась на уравнения флуктуаций относительно давления и долей компонент, ограничимся здесь лишь исследованием бифуркации форм решения относительно давления. Введя обозначения
а =
9М 2 , --Ь q та,
дР ■
2 q2 а3
та1
ь =■
2п
Т
ю/
после заме-
ны переменной Р = Р ехр | -— | получим следующее уравнение относительно релаксационной флуктуации давления:
й2 Р й2
+ ю2Р = 0; ю2 = Ь--.
получим С1 = 0, зш(ют) = 0 и форму решения Р = С2зт(ю/). Последнее равенство указывает на то, что флуктуация давления может быть представлена как некоторое число волн синусоиды с амплитудой С2. Из трансцендентного уравнения следует дискретный спектр значе-
ПП -I п
ний параметра ю = —, где п ф 0 - произволь-
х
ное целое число полуволн синусоиды, укладывающихся в периоде т. При этом получаем, что пульсации фильтрационного течения действительно не соответствуют непрерывному изменению параметров процесса фильтрации, входящих в коэффициенты а, Ь, ю, поскольку, как показано, при пульсационном режиме фильтрации спектр изменения последних дискретен. Более детально изучить этот вопрос, в частности установить спектр дискретных изменений состава смеси и насыщенности при потере устойчивого фильтрационного течения, возможно решением уравнения (4) относительно ¿к
Из условия нейтральной устойчивости следуют величина периода возникающих автоколебаний Т и модуль волнового вектора q [1, 2]:
Т = 2л /—т^ = 2лл/тг7, д2 = , где тЬ - ха-
]/ д а3 Ь
рактерное время перемещения частицы в фильтрационном потоке из конца в конец модели. При этом, учитывая полученное равенство
2%
ю = — = —, имеем для расчета периода воз-
х Т
никающих автоколебаний и времени релаксации следующие формулы:
Т = 2пл1тт1 = — т; т = л2п2т1. (6)
п
По экспериментальным наблюдениям значений периода автоколебаний Т, времени конвективного переноса флюида тЬ по длине образца Ь удается из (6) определить время релаксации - время установления равновесия в фильтрационной системе. Причем, как уже отмечалось, существует набор величин тк как для каждого компонента, так и для различных видов неравновесностей при фильтрации флюидов через пористые среды.
При этом для более точного математического исследования неустойчивости фильтрационного течения требуются более тонкие экспериментальные исследования по определению
4л2
(5)
Общий интеграл полученного однородного дифференциального уравнения (5) представляется функцией Р = С1ео8(ю/) + С25ш(ю/). Это решение содержит две неизвестные постоянные интегрирования С1 и С2.
Ищем нетривиальные решения уравнения возмущений. Из условия равновесного фильтрационного течения Р = 0 при / = т
периодов времени релаксации фазовых переходов в открытом объеме и в пористой среде при фильтрации первоначально равновесного и неравновесного газов, а также учет капиллярных сил при приближении к сверхкритическому
термодинамическому состоянию. Эту задачу планируется решить в процессе намеченных авторами исследований особенностей некоторых режимов фильтрационных течений.
Список литературы
1. Митлин В. С. Автоколебательные режимы течения двухфазных многокомпонентных смесей через пористые среды / В.С. Митлин // Докл. АН СССР. - 1987. - Т. 296. - С. 1323-1327.
2. Макеев Б. В. Автоколебания в распределенных системах: фильтрация с фазовыми переходами / Б.В. Макеев, В.С. Митлин // Докл. АН СССР. -1990. - Т. 310. - № 6. - С. 1315-1319.
3. Kachalov V.V. Mathematical modeling
of gas-condensate mixture filtration in porous media, taking into account nonequilibrium phase transitions / V.V. Kachalov, D.A. Molchanov, V.M. Zaichenko et al. // Proc. of XXXI International Conference on Equations of State for Matter, March 1-6, 2016. - Elbrus, Kabardino-Balkaria, Russia, 2016.
