CC BY
51
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
50
УДК 519.6: 631.616
Н. М. Кащенко, В. С. Малаховский, В. И. Семёнов, В. А. Гриценко
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ФИЛЬТРАЦИИ ВЛАГИ В ТЯЖЕЛЫХ ГРУНТАХ
Предложена математическая модель фильтрации влаги в тяжелых грунтах. Учтен пленочный перенос влаги по поверхности.
A mathematical model of filtration of moisture in heavy soils. The transfer of a film of moisture on the surface took into account.
Ключевые слова: гидрология, математическая модель, влагоперенос.
Key words: hydrology, mathematical model, moisture transfer.
Применение при расчетах процессов влагопереноса в польдерных системах физически обоснованных методов позволяет проводить детальные расчеты для различных почв, в том числе и тяжелых. Для расчета динамики притока грунтовых вод чаще всего используют уравнения Буссинеска для описания движения влаги в насыщенной зоне и Ричардса — Букингема в ненасыщенной, имеющие диффузионное приближение. Последнее имеет ограничение, в частности экспериментально установленное движение влаги против градиента влажности [1].
Учет влагопереноса по пленкам влечет физическую модель порово-го пространства почвы. С. Нерпин и Е. Хлопотенков выдвинули гипотезу о неразрывности во всем почвенном массиве пор одного диаметра [2]. Эта гипотеза и экспериментальные данные дифференциального распределения водопроводящих пор по диаметрам [3] приводят к гипотезе существования минимального объема почвы, водопроводящие характеристики которого будут идентичны характеристикам любого другого объема данной почвы независимо от его расположения и ориентации. Последняя гипотеза справедлива только при условии, что формализация гипотезы существования неразрывности допускает прохождение пор одного диаметра через поры другого.
Без учета влагообмена с капиллярной водой систему уравнений переноса влаги по пленкам запишем в виде уравнений Навье-Стокса:
h + V(hV) = 0, V? + (VV, V) + aVh = 0, (1)
где h — толщина пленки, м; V — осредненная скорость движения по пленке, м/с; a = V^h)/h, м/с2; Vmax(h) — скорость движения волны.
Вот одна из эмпирических формул для этой скорости, полученная при обработке данных таблицы 1 [4] (h выражено в слоях молекул воды)
Vnax (h) = 0,62 + 45,0exp(-2,4/(h - 0,8)). (2)
Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2012. Вып. 10. С. 50 -53.
Таблица 1
Данные экспериментов переноса влаги по пленкам [4]
Толщина (слоев) Измеренное время релаксации, с Толщина (ангстрем) Утах(м/с) с = (Утах)2/Н Аппроксимация, с
1 5,0-10- 10 3,1 0,62 0,124 0,62
2 5,0-10- 11 6,2 6,20 6,20 6,71
4 2,2-10- 11 12,4 14,09 16,01 21,88
^10 7,7-10- 12 31,0 40,26 52,29 35,29
Теперь влагоперенос в капиллярной интерпретации опишем так:
(ц о-Ёц.) дН=у( 1 к *(2 ^ •vн)+^-Ё^/ -|
к - н
дЬ
Бйх,
дГ- = /, і = 1, п, — + У(НУ) = Н^-Н, — + (V?V, V?) + V = 0, дЬ дЬ т р дЬ
(3)
где 5 — удельная площадь порового пространства, м /м ; Н — уровень грунтовых вод, м; ц0 — коэффициент водоотдачи; йі — диаметры капилляров, м; ц — относительный объем капилляров диаметром й{, Кф(х) — скорость фильтрации в зависимости от уровня 2, м/ с; £, — суммарный приток и отток, м/ с; Ні — уровень воды в капиллярах диаметром йі, м; / = Уы (Нкі + Н - Ні )/(Нг - Н); Ук — скорость капиллярного подъема в капиллярах диаметром й,; м/с, Нкі — высота капиллярного подъема в капиллярах диаметром йі, м; (Н0 - Н)тр — влагообмен между пленочной и капиллярной влагой; Н0 — толщина равновесной пленки, м; Тр — скорость (характерное время) влагообмена, с.
Расчеты водоотдачи и переноса влаги в почве для низких значений влажности для почв с диаметром пор 1,3 мк в максимуме спектра с использованием (3) проведены с учетом экспериментальных данных [1; 5; 6] и показаны на рисунках 1 и 2. На рисунке 1 приведены экспериментальные данные [5] и результаты расчетов динамической водоотдачи ц в зависимости от расстояния до поверхности Н для разных скоростей снижения напора на колонке. На рисунке 2 — результаты моделирования процессов изменения влажности для условий низкой водопроницаемости грунтов с коэффициентами фильтрации Кф = 0,2 м/сут [1; 6].
Хорошее количественное и качественное совпадение рассчитанных значений профилей влажности (рис. 1) с экспериментальными данными [5] и качественное им соответствие [1; 6] (рис. 2) позволяет применить (4) при расчете параметров дренажа польдерных систем. Полученные в численных экспериментах результаты показывают, что граница нелинейности фильтрации, связанная с процессами влагопе-реноса по поверхностным пленкам, определяется коэффициентами фильтрации Кф й 0,3 м/ сут.
51
52
Рис. 1. Скорости в см/ч: Рис. 2. Профили влажности почвы №
1 — пренебрежимо малая; 2 — 1,5; в зависимости от расстояния до поверхности 3 — 3,4; 4 — 15,0; 5 — 60,0; 6 — 90,0 [5] Н для условий экспериментов: I — [6]; II — [1]
Список литературы
1. Hallaire M. Le potential efficace de l'eau dans le sol en regime de dessechement // L'eau et production vegetale. Paris: I. N. R. A., 1964. P. 27 —62.
2. Нерпин С., Хлопотенков Е. Обобщение закона Дарси для случаев нелинейной фильтрации в ненасыщенных и насыщенных грунтах // Доклады ВАСХНИЛ. М., 1970. № 11. С. 3 — 17.
3. Лундин К. П., Свердлова Л. Б. Исследование структурных пор торфа с помощью радиоактивных изотопов // Мелиорация и использование осушенных земель. Минск, 1966. С. 48 — 67.
4. Бобров П. П., Беляева Т. А., Галеев О. В. и др. Диэлько-влажностные характеристики почвенных образцов с различным содержанием гумуса в сантиметровом и дециметровом диапазонах // Естественные науки и экология. Ежегодник ОмГПу. 2001. С. 3—7.
5. Калюжный И. Л., Павлова К. К. Экспериментальные исследования процесса водоотдачи почвы при различных скоростях изменения уровня грунтовых вод // Вопросы гидрофизики почв : труды ГГИ. Вып. 268 Л., 1980. С. 39 — 50.
6. Дмитриев С. И, Нечаев В. К К вопросу о применимости уравнения диффузии для изучения явления влагопроводносги в почво-грунтах // Труды ЛГМИ. 1962. Вып. 13.
Об авторах
Николай Михайлович Кащенко — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта.
E-mail: kaschtschenko@mail.ru
Владислав Степанович Малаховский — д-р физ.-мат. наук, профессор, Балтийский федеральный университет им. И. Канта.
E-mail: nikolaymal@mail.ru
Владимир Иосифович Семёнов — д-р физ.-мат. наук, профессор, Балтийский федеральный университет им. И. Канта.
E-mail: visemenov@rambler.ru
Владимир Алексеевич Гриценко — д-р физ.-мат. наук, профессор, Балтийский федеральный университет им. И. Канта.
E-mail: matsievsky@newmail.ru
Authors
Dr Nikolay Kashchenko — assistant professor, I. Kant Baltic Federal University. E-mail: kaschtschenko@mail.ru
-------------------------------------------------------------------------
Professor Vladislav Malakhovsky — I. Kant Baltic Federal University. E-mail: nikolaymal@mail.ru
Professor Vladimir Semenov — I. Kant Baltic Federal University.
E-mail: visemenov@rambler.ru
Professor Vladimir Gritsenko — I. Kant Baltic Federal University.
E-mail: matsievsky@newmail.ru
