Математическое моделирование процессов диффузии растворов солей в элементы строительных конструкций Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УПРАВЛЕНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

УДК [691.3/.4:661.74]: [66.063:519.8]

Н. М. Алыков, Ю. Г. Кожевникова

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ДИФФУЗИИ РАСТВОРОВ СОЛЕЙ В ЭЛЕМЕНТЫ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

При возведении строительных конструкций традиционно используются различные виды кирпича (из обожженной красной глины, силикатный), керамзит, бетонные и газобетонные детали, а также различные композиты, содержащие в своем составе наполнители бетонов и кирпича (древесные опилки, сера, сажа, стекловолокно, поливинилхлорид и др.). Во всех случаях, при наличии в окружающей среде влаги и солей, возможны диффузионные процессы, в результате которых происходит засоление элементов строительных конструкций, например накопление солей в кирпичной кладке. Особый случай - воздействие на бетонные (газобетонные) конструкции кислот, например, углекислоты или сернистой. В этом случае тоже требуются довольно кропотливые экспериментальные исследования, сам эксперимент включает в себя численные методы и результаты химического эксперимента.

Математическая теория диффузии в изотропной среде основывается на гипотезе о том, что количество вещества, диффундирующего через единицу поверхности в единицу времени, пропорционально градиенту концентрации, измеренному по нормали к этой поверхности, т. е.

Рх =~» ^, (1)

Эх

где Ех - количество вещества, проходящее в 1 с через поверхность 1 м2; с - концентрация диффундирующего вещества; х - расстояние, м, измеренное нормально к рассматриваемой поверхности; Эс/Эх - градиент концентрации; В - коэффициент диффузии, который для данного вещества при заданных давлении и температуре (и в отсутствие гравитационного поля) является величиной постоянной [1].

Можно представить такой случай, когда диффузия протекает в вертикальной трубке, концентрация диффундирующего вещества одинакова во всех точках горизонтальной поверхности и зависит лишь от уровня этой поверхности. В таком случае можно записать, что количество диффундирующего вещества dQ, которое проходит в течение времени т через поверхность S, будет равно:

dQ = -ББ—dt, (2)

Эх

где с - концентрация на уровне х.

Уравнения (1) и (2) тождественны. Величина В является коэффициентом диффузии.

Важно отметить, что уравнения (1) и (2) очень часто называют первым законом Фика.

Вместе с тем единственной формулой, описывающей закон Фика, является другая формула, которая имеет следующий вид:

г=вЭ2!- (3)

Эt Эх

Если коэффициент диффузии В рассматривать как величину постоянную, тогда, в соответствии с уравнением (1), производная dFх по х будет равна:

- В Э2! = Э£х. (4)

Эх2 Эх

Направление потока диффузии рассматривается обычно в одной плоскости (плоский поток). В этом случае градиенты концентрации можно рассматривать лишь в направлении какой-то одной оси, например вдоль оси х. Тогда уравнение (4) значительно упрощается и принимает следующий вид:

г-Вт!- (5)

Эt Эх

Уравнение (5), как уже отмечалось, называют иногда вторым законом Фика. В последующем изложении мы будем пользоваться законом Фика только в том виде, который отвечает уравнению (5).

Для стационарного решения производная с по t становится равной нулю, т. е.

=о- (6)

Эt

Сопоставляя это выражение с уравнением (5), можно видеть, что

&-0- '7,

откуда

с = с0 - dx. (8)

Примем несколько упрощающих допущений: коэффициент диффузии В не зависит от концентрации диффундирующего вещества; диффузия происходит в гомогенной среде, обладающей во всех точках одинаковыми диффузионными свойствами; В не зависит от времени. При работе с гетерогенными системами, в том числе с минералами, два первых условия в некоторых случаях могут не выполняться. Что касается третьего условия, то его роль настолько слабо изучена, что о нем нельзя сказать пока ничего определенного. Таким образом, при постановке опытов с диффузией, строго говоря, возможны случаи, когда В в различных точках системы будет иметь различные численные значения и, следовательно, будет находиться также в определенной зависимо-

сти от переменных х, у, 2. Тогда уравнение (6) приобретает еще более сложный вид:

Эс(ВЭО+_Э_(-Эс ^. э („ Эс

+Э21В Э21' (9)

Интенсивность процессов диффузии зависит от структурного строения вещества и его физико-химических свойств.

О применении закона Фика для изучения диффузии в различных строительных материалах

С качественной точки зрения коэффициент диффузии в строительных материалах можно рассматривать как результат сопротивления этих материалов движению молекул или ионов. Если сопротивление увеличивается, скорость передвижения ионов уменьшается, и, соответственно, уменьшается и коэффициент диффузии В. Наоборот, если сопротивление уменьшается, скорость ионов увеличивается и увеличивается коэффициент диффузии В.

Сопротивление строительных материалов зависит от нескольких факторов, из которых наиболее важными являются диаметр капилляров, механический состав и состав поглощенных оснований. Очевидно, материалы с неравномерным грубым механическим составом будут оказывать меньшее сопротивление, чем материалы, богатые высокодисперсными материалами.

Есть и другие более сложные факторы, которые оказывают влияние на величину коэффициента диффузии.

Уравнение Фика теоретически дает возможность определить коэффициент диффузии в любой системе, если известно изменение концентрации диффундирующего вещества в зависимости от времени и расстояния. Однако применение уравнения Фика с производными второго порядка сопряжено с большими трудностями. Поэтому на практике коэффициент диффузии определяют при помощи более простых уравнений, которые выводят из уравнения (5) при его преобразовании.

Преобразование уравнения Фика производится разными способами, что объясняется различными задачами исследований и разными условиями опытов. В наших прежних работах, а также в работах других авторов применялось уравнение вида

_! * с = Л1 2е 401

(10)

где А - произвольная постоянная; с, О, t, х имеют те же значения, которые указаны выше.

Важно отметить, что уравнение (10) выводится из уравнения (5) без всяких упрощающих предпосылок, что можно доказать обратным дифференцированием с по t и х.

Действительно, производная концентрации по времени будет равна:

х2 Ґ

Э ґ 1 Л _3 _1

— = в\_11ґ 2 е 401 + 01 2 е 401

Э1 і 2

21

401

_2 =_2е 401 201 Х 2 20

Отсюда окончательно получаем

— = _! 1 2 е 401 (201-х2). /і \ /

Эс 1

Эt 4

Аналогично находим первую производную концентрации по расстоянию вдоль оси х:

(11)

0

Эс

Эх2

1

5

■ =------------------------------------1 2 е

2 о 401

(201-Х2 ),

(12)

откуда

Эс -1 -—

— = 01 2 е 401

Э1

401

2 х,

(13)

или, после соответствующих сокращений,

3

Эс 1 2

— = —1 2 хе Эх 2

х

401

И наконец, находим вторую производную :

Э^с

Эх2

(14)

Эс

Эх2

1 -3 " _х^ ' 1 1 " 1 3 х2 ґ 2х2

-12 1е 40 + хе 401 I 12х =—1 2е 401 1-

2 ч 401) 2 V 401 у

или

Э2с

1

1 2е

5 х2

2 е 401

Эх2 40

Уравнение (15) можно привести к такому виду:

(201-х2).

Э2с 1

5

0^- = -11 2 е 401 (201-Эх2 4 1

о.

Сопоставляя уравнения (13) и (16), окончательно находим, что

П — = —

Эх2 =Э1'

(15)

(16)

2

2

х

4

1

2

х

х

Таким образом, уравнение (11) находится в строгом соответствии с законом Фика, и, следовательно, любой диффузионный процесс, в основе которого лежит закон Фика, может быть описан при помощи этого уравнения.

Хотя уравнение (11) значительно проще, чем классическое уравнение (14), тем не менее при расчетах В стремятся обычно получить еще более простые модификации этого уравнения. Можно использовать метод, сущность которого заключается в следующем.

Представим, что перенос вещества происходит в цилиндре с поперечным сечением, равным единице. Тогда общее количество вещества М, диффундирующее за единицу времени, можно рассматривать как функцию переменных с и х. Эту функцию можно записать следующим образом:

+¥

M = J cdx .

(17)

Заменяя с выражением (11), имеем

+ ¥ 1 X

M = J At 2e 4Dtdx.

(18)

Обозначим:

Тогда

4Dt

■ = n

■ = 2л/Dtn .

Пусть t = const, в таком случае

dx = 24Dtdn .

Сопоставляя уравнения (18), (19) и (21), находим:

л

2y/~Dtdn = A2y[D J

dn

(19)

(20)

(21)

(22)

Так как J e n dn = VP (табличный интеграл), то окончательно

—¥

M = A2VD VP = 2aVDP.

имеем

(23)

Уравнение (14) показывает, что общее количество диффундирующего вещества М остается постоянным, равным начальному количеству, отложенному в момент времени 1 = 0 в плоскости х = 0.

Возвращаясь к уравнению (10), можно записать:

A=

с

1 x2

t 2 e 4Dt

С другой стороны, из уравнения (23) следует, что

A = ■ M

2л/Вя

Сопоставляя последнее выражение с предыдущим, можно заключить, что

оо

2

x

n

e

оо

М

245%

Отсюда окончательно находим:

М

с = -

45Г

2л/ кОґ

Перепишем это уравнение в другой форме:

Введем обозначения:

Тогда

х

4Пі

45 =

2л/7

и

2

5 = —. 4і

Подставляя значения 5 и 45 в уравнение (26), получаем

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

45і

с М

откуда, после соответствующих преобразований, находим:

(30)

Обозначим:

М

4Рс

= 2Є^

(31)

= и .

(32)

Обозначим также:

М

с4Р

= О.

(33)

В таком случае, с учетом предыдущих обозначений, уравнение (31) можно переписать следующим образом:

12 X

или

О = їє2 =-¡= єи

4и

О = А_ и

х 4й ,

(34)

(35)

с

2

X

Є

2

х

2

X

2

2

X

2

2

2

х

и

Для дальнейшего упрощения рассматриваемого уравнения введем еще одно обозначение:

Єи

-г = В . (36)

л/и

Тогда предыдущее уравнение можно переписать следующим образом:

0 = В. (37)

х

Сопоставляя уравнения (37) и (33), можно видеть, что

2 2 М 2

х2В2 = — (38)

с л

В 2 = (39)

с лх

Возвращаясь к уравнению (34), можно записать

єи = В^й, (40)

или

е2и = В2и . (41)

Первый член последнего равенства можно выразить иначе:

(е2 Ым2 ] @ (7,3)и . (42)

Сопоставляя это выражение с предыдущим, окончательно получаем

(7,3)и = В2и. (43)

Преобразование уравнения Фика дает его простую модификацию, отвечающую функции (43), которую можно решить лишь графическим способом. Для этого поступают следующим образом. Вначале вычисляют величину В2. Для этого необходимо иметь данные о начальном количестве диффундирующего вещества М или пропорциональной ей начальной концентрации С0, конечной концентрации с и расстояния от плоскости раздела х.

С 2

В2 =т0г. (44)

X С Р

Далее, если задаться значениями и = 0, 1, 2, ..., то можно получить

У1 = В2и (45)

У2 = (7,3)и. (46)

Если построить графические зависимости у - и (у1 - и) и (у2 - и), то линии на границе пересекаются, а перпендикуляр, опущенный из точки пересечения линий на оси, отсекает от оси х отрезок, равный и.

Можно построить графические зависимости в координатах у, - и: на пересечении двух линий у1 - и и у2 - и опускают перпендикуляр на ось и и находят единственную реальную величину и.

Далее рассчитывают коэффициент диффузии 5:

5 = - х2

4х- и

Нами расчеты проводились по экспериментальным данным для температуры 298 К.

и

Получение экспериментальных результатов

Постановка опытов. Из строительных материалов вырезали образцы размерами 100 х 25 х 10 мм, помещали их в раствор хлорида натрия, все пробы накрывали так, чтобы не происходило испарения исходного раствора и высушивания поднимающейся по образцу жидкой фазы. Так обычно ставятся опыты в тонкослойной хроматографии.

Отмечали линию старта, которая находится на исходном уровне раствора с концентрацией С0. Величину С0 брали постоянной, равной 10-3 моль/дм3 для любого раствора. Устанавливали время опытов от 0 до 200 суток. Для каждого индивидуального образца устанавливали 10 пластин. Через определенное время тг- вынимали образец, отмечали высоту подъема раствора х, определяли концентрацию соли (по аниону) на этой высоте.

Таблица 1

Экспериментальные данные и рассчитанные величины коэффициента диффузии хлорида натрия

в материалы строительных конструкций

Материал строительной конструкции Время опытов, сут* Концентрация соли на расстоянии х, г/дм3 Расстояние х, пройденное раствором, м Коэффициент диффузии Б, м2/с

0 0,01 0 -

5 0,008 0,01 1,157 • 10-10

10 0,006 0,02 2,304 • 10-10

Кирпич красный, пластинки 20 0,004 0,04 4,59 • 10-10

150 х 50 х 10 мм 40 0,002 0,06 5,17 • 10-10

60 0,0007 0,08 9,26 • 10-10

100 0,0005 0,09 4,68 • 10-10

5 = 4,19^ 10-10

0 0,010 0 —

5 0,005 0,01 1,157 • 10-10

10 0,003 0,015 1,30 • 10-10

20 0,002 0,020 2,32 • 10-10

Кирпич силикатный 40 0,001 0,040 2,32 • 10-10

60 0,0008 0,050 2,41 • 10-10

100 0,0005 0,070 2,84 • 10-10

5 = 1,67-10-1°

0 0,010 0 -

10 0,005 0,005 0,1446 • 10-12

30 0,003 0,007 9,45 • 10-12

Бетонный блок 50 0,002 0,009 1,875 • 10-12

(основа - портландцемент-500) 100 0,001 0,010 5,79 • 10-12

150 0,001 0,013 6,52 • 10-12

200 0,005 0,015 6,51 • 10-12

5 = 5,048 • 10-12

0 0,010 - -

5 0,007 0,01 1,157 • 10-10

10 0,005 0,02 2,315 • 10-10

20 0,003 0,03 5,20 • 10-10

Пенобетон (блок) 40 0,002 0,04 2,315 • 10-10

60 0,0005 0,05 2,41 • 10-10

100 0,0003 0,07 2,835 • 10-10

5 = 2,71 • 10-10

0 0,01 - 2,89 • 10-9

5 0,008 0,05 і . 1 п-9

10 0,006 0,08 1,85 10 1,446 • 10-9

20 0,004 0,10

Керамзитовый блок 40 0,003 0,20 5,78 • 10-9 8,68 • 10-9

60 0,002 0,30 -9

100 0,001 0,40 9,25 10

5 = 4,983 • 10-9

При расчетах 5 время переводится в секунды.

Были проведены также опыты по изучению диффузии хлорида натрия в точно такие же образцы материалов, но при этом растворы, в которые помещались образцы, изолировали, а сами образцы сообщались с окружающим воздухом. В этом случае резко менялось время подъема раствора и, кроме того, на образцах четко обозначались зоны высолов, т. е. в этих зонах накапливался сухой хлорид натрия. Результаты опытов приведены в табл. 2.

Таблица 2

Результаты опытов по изучению диффузии в строительные материалы (система открытая, т. е. постоянно находится в контакте с атмосферным воздухом)

Материал Время Расстояние х, Количество соли, найденное

строительной конструкции опытов, сут пройденное фронтом, м в срезе массой 200 г, г

0 - -

5 0,025 0,05

10 0,050 0,15

15 0,075 0,60

20 0,100 1,20

25 0,125 4,50

Керамзитовый блок 30 0,150 10,50

35 0,175 25,0

40 0,200 10,5

45 0,225 5,00

50 0,250 0,80

55 0,275 0,40

60 0,300 0,20

0 - 0

5 0,025 0,01

10 0,050 0,012

15 0,075 0,025

20 0,100 0,060

25 0,125 0,210

Кирпич красный, пластинки 150 х 50 х 10 мм 30 0,150 0,450

35 0,175 2,250

40 0,200 8,95

45 0,225 7,60

50 0,250 3,20

55 0,275 1,35

60 0,300 0,60

0 - 0

5 0,025 0,01

10 0,050 0,012

15 0,075 0,025

20 0,100 0,060

25 0,125 0,210

Кирпич силикатный 30 0,150 0,450

35 0,175 2,250

40 0,200 8,95

45 0,225 7,60

50 0,250 3,20

55 0,275 1,35

60 0,300 0,60

0 - 0

5 0,025 0,005

10 0,050 0,007

15 0,075 0,010

20 0,100 0,25

25 0,125 0,50

Бетонный блок (основа - портландцемент-500) 30 0,150 1,75

35 0,175 2,80

40 0,200 1,70

45 0,225 0,95

50 0,250 0,45

55 0,275 0,25

60 0,300 0,05

0 - 0

5 0,025 0,05

10 0,050 0,10

15 0,075 0,35

20 0,100 1,55

25 0,125 2,80

Пенобетон (блок) 30 0,150 3,10

35 0,175 2,25

40 0,200 1,05

45 0,225 0,65

50 0,250 0,30

55 0,275 0,10

60 0,300 0,05

Диффузия в случае изолированной системы протекает достаточно равномерно, и это позволяет рассчитать коэффициент диффузии для происходящих процессов. Если имеется система, которая сообщается с внешней средой (атмосферным воздухом), то процесс диффузии протекает таким образом, что происходит накопление хлорида натрия на определенных участках (в табл. 2 цифры выделены), а дальше фронт растворителя может двигаться, при этом происходит равномерное распределение хлорида натрия по высоте. Во всех случаях фронт накопления соли носит синусоидальный характер. Подобное явление приводит к формированию высолов на кирпичной кладке различных сооружений, причем накопление солей происходит неравномерно и достаточно близко к нулевому уровню фундамента.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Теоретические основы динамики накопления токсикантов в природных и технологических объектах / Н. М. Алыков, Е. Н. Алыков, С. В. Лобанов и др. // Фундаментальные и прикладные проблемы получения новых материалов: материалы III Междунар. науч. конф. (г. Астрахань, 22-24 апреля 2009 г.). - Астрахань: Изд. дом «Астраханский университет», 2009. - С. 148-154.

Статья поступила в редакцию 20.05.2010

MATHEMATICAL MODELING OF PROCESSES OF DIFFUSION OF THE SALTS’ SOLUTION IN THE ELEMENTS OF BUILDING CONSTRUCTIONS

N. M. Alykov, Yu. G. Kozhevnikova

On the basis of chemical-laboratory works and numerical experiment calculation of diffusion coefficients is made. The sufficient picture of diffusion processes in systems solutions-elements of building constructions is given.

Key words: salts, building materials, diffusion.