CC BY
23
Shubin Aleksandr Anatol'evich, candidate of technical sciences, docent, Russia, Kaluga, Kaluga branch of Moscow Bauman State Technical University
УДК 622
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПРОКОЛА ГРУНТА СИММЕТРИЧНЫМ РАБОЧИМ ИНСТРУМЕНТОМ
А.Б. Жабин, И.М. Лавит, А.С. Рыбаков
Описывается математическая модель взаимодействия рабочего инструмента проходческого става при взаимодействии с грунтом. При этом став моделируется абсолютно твердым конусом, а грунт - жесткопластической средой. Приводятся и обосновываются основные допущения. В итоге производятся формирование и решение основных уравнений модели.
Ключевые слова: прокол, жесткопластическая среда, математическое моделирование, соотношение Леви - Мизеса.
Будем считать грунт, в который внедряется рабочий инструмент проходческого става, жесткопластической средой. Движение среды будем рассматривать в эйлеровых координатах. Рабочий инструмент смоделируем абсолютно твердым конусом.
Далее предположим, во-первых, что область жесткопластического течения представляет собой шар радиуса а с вырезанным конусом с углом раствора 2а . Физический размер а представляет собой длину конической части прокалывающего инструмента.
Так как течение осесимметричное, очевидно, что скорость v9 равна
нулю.
Связь между векторами скорости и тензором скоростей деформаций определится следующим образом:
övr 1 dvq vr
err ; eee -—КГ + —;
ör r se r
ejj-—ctgq + ^;
т т r r
e ve- ^ ctge + vr-; (!)
rr
1 (dvq 1 dvr Vq
V
+
dr r Э0 r
erj - 0; 80ф - 0 42
Из соотношение Леви - Мизеса [1] следует, что
° j =°-ф = о- (2)
Тогда уравнение неразрывности примет вид
- ^ (r Vr) + -i-ó- (pvq sin e) = 0. (3)
r ór sin e de
Уравнения движения при пренебрежении силами инерции переходят в уравнения равновесия [2] и примут следующий вид:
ÓTr + -ÓSr- + —(2°rr -See-Sjj + °r-ctg-) = 0; (4)
ór r óe r
^ + 1 + 1 [ ()ctge + ^ ] = 0.
ór r de r
Предположим, что радиальное течение намного превосходит окружное [1]
Ы<< Ы ■ (6)
Пренебрегаем окружной скоростью. При этом получим
_ _ _ уг
егг _ ; еФ0 _ефф _ ;
тт г
е г0_1 ^ ■ (7)
2r Э0 °ее =°фф •
Уравнение (3) преобразуем как
Э 2
—(r 2PVr) = 0, (8)
Эг
а уравнения (4) и (5) - к виду
+1^Эёе0 + i(2orr - 2S00 + sv0Cig0) = 0; (9)
Эг r Э0 r
Эа^ + 1 3000+ 3 о. (10)
Эг r Э0 r
Dp I
Воспользуемся гипотезой-<< 1. При этом уравнение (8) преоб-
Ро
разуется следующим образом:
Э , 2 ч ^ Э , 2 ч ^ u(0) ЭГ (г 2PoVr) = 0 ^ — (Г Vr) = 0 ^ Vr (11)
где u(0) - неизвестная функция угла 0. По формулам (7) находим
_ u _ _ u
£гг _—£00 _£фф _
Г Г
1r r (12)
2r 3
Штрихом здесь и ниже обозначается производная по 0.
Из формул средней скорости деформаций и девиатора скоростей деформаций следует
£ = \(£гг +£ее+ефф)=°;
(13)
егг = ггг; = £99; ефф = £фф; е^ = г^.
Компоненты тензора напряжений представляются с учетом выражений среднего напряжения и девиатора напряжений как
(5ГГ — —р + 81Т;
^00 =^фф; (14)
+ ^00 +^фф =0-
Рассмотрим теперь равенство условия текучести Мизеса [1]. Полу-
чим
srr + 500 + ^фф + 25,ve=2xJ =>35ее +5^0 = Ту. (15)
Равенство (15) тождественно удовлетворяется, если
2
—co.tr,
Sr0=Tysmi/s.
(16)
(17)
где \\f - новая неизвестная функция.
Будем далее считать, что ц/ зависит только от угла 0 [1]. Зависимость давления от координат представим в виде [1]
p = xv(A]nr + В + Р*);
Р*=Р*(0),
где Р* - неизвестная функция угла 0; А и В - константы.
Подставим выражение (16) и (17) в уравнения равновесия (9) и (10). Получим
- А + cos \|П|Г-2л/з cos \|/ + ctgQ sin \\f = 0; (18)
- /V—\= sin \|л|/ 43 sin ц/ = 0. (19)
л/3
Уравнения (18) и (19) представляют собой систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно функций ц/ и Р*. Эта система распадается на два последовательно решаемых уравнения. Вначале из уравнения (18) находится функция а затем интегрируется уравнение (19).
Для получения численного решения удобно перейти к новой независимой переменной
со = л- 6=>0 = л-со;
(И _ <3 ^ (Л _ с]
¿/0 ¿/ со ¿/0 ¿/со (20)
0 е [ос, к\ => сое [0, р]; (3 = к - а. Получим уравнение (18) в виде
d\\f
d\|/ ¿/со
d\\f _ ^4sinco+2V3 cosn/sinco+coscosin\)/
-^4-cosi|/ — -2V3cos\|/-cígcosinv|/ = 0; ¿/со
eos \\f — = -(A + 2л/з eos \\f + c/gcosin \|/); (21)
¿/со v 7
¿/со eos \\f sin со
а уравнение (19) - в виде
dR 1 d\\f „ . Л
-+ —¡=sm\\f—- + 3sm v|/ = 0;
¿/со V3 ¿/со
dP* 1 ¿Л|/ _ .
-= —^т \1/—- 3 51П ф; /00ч
¿/со л/3 ¿/со Т (22)
1 03 Р* = +со5 \|/ - 318т[\|/(х)]йс + С,
л/3 0
где С - константа интегрирования.
Константы В и С (см. формулы (17) и (18)) можно объединить в одну, но, как это будет видно из дальнейшего, их лучше определять раздель-
В силу того, что решение должно существовать при со= 0, в этой точке ътц/ должен обратиться в ноль. Чтобы сделать выбор между значениями у/ = 0 и у/ = 7Г, необходимо обратиться к соотношениям (7). Так как течение должно быть направлено от центра,
V, > 0 . (23)
При этом
еее >О^>50е >0=>со8\|/>0. (24)
Здесь используется соотношения Леви - Мизеса [1] и (16). Поэтому граничное условие при со = 0 таково:
со = 0: \|/ = 0. (25)
При этом выполняется также условие симметрии
со = 0: = 0. (26)
Второе граничное условие задается на поверхности конуса, то есть при со = р [3]
=0. (27)
Как следует из соотношения Леви - Мизеса [1] и соотношений (7) и (16), равенство (27) выполняется при
со5\|/ = 0. (28)
Так как величина \|/ должна зависеть от 0 монотонно, возможны два случая: \|/ = я/2 и \|/ = -я/2.
Чтобы определить знак \|/, рассмотрим распределительную нагрузку, действующую на наконечник со стороны среды. По формуле Коши [2] получим
Як = ®ктптп - (29)
где - упомянутая нагрузка; пт - единичная внешняя нормаль к поверхности конуса в рассматриваемой точке. В данном случае эта нормаль направлена по координатному орту сферической системы координат
е е, то есть
В результате
п1=0;п2=0;п3=0. (30)
=Яг=в 12
q2=qQ=(522 =<J00; (31)
43 =4ср =С>32 - а0ф = 0.
Так как среда оказывает сопротивление движению наконечника, должно выполняться условие
=SvQ >0=>¥ = ^. (32)
Таким образом, при увеличении со от 0 до р величина \|/ возрастает от 0 до тс/2. Граничное условие (32) обращает правую часть равенства (21) в бесконечность. Поэтому удобно в уравнении (21) функцию и аргумент поменять местами: искать не зависимость \|/(со), а зависимость со(\|/). Приходим к уравнению
¿/со cos \|/ sin со
^ = -^- -:-• (33)
a\\f ^sinco+2v3cos\|/sinco + coscosin\)/
Интервал изменения ц/ равен [0; я/2]. Функция co(i//) должна удовлетворять начальному условию
СО(0) = 0 . (34)
Второе условие
сфг/2) = р (35)
представляет собой трансцендентное уравнение для определения константы А.
Уравнение (33) можно представить в виде
-^ = F(\|/3co); а\и
(36)
ч cosii/sinco
F(\|/, со) = ——-—т=-:-:—.
A sin со + 2 V 3 cos i|/ sin со + cos cosin \|/
Легко видеть, что при \|/ = 0 функция F не определена (с учетом начального условия (34)), причем имеет место неопределенность 0/0. Раскроем ее, используя правило Лапиталя:
_ .. cosvj/sinco
lim г = - lim —;--¡=-:-=
\\f -^o A sin со + 2v3 cos V)/ sin со + cos cosin v|/
-.CO -.00 CO = - lim-r-= - lim-=--; (37)
Y A o>f2V3co+l ^со+2л/Зсо+1
¿/со
CO = —. d\]f
С учетом уравнения (36) получим
СО:
со
со(А + 2л/з) +1 = -1 => со =--=-. (38)
, . К - , 2л/3 + А
Аы+ 2л/Зсо+1
Таким образом,
Равенство (39) позволяет сузить интервал возможных значений А, что облегчает решение задачи. Функция со(\|/) должна быть монотонно возрастающей, поэтому -Р(0,0) > 0. Отсюда следует, что
-2
2л/3 +А
>02л/3 + А<0^> А< —2л/3. (40)
Для численного интегрирования уравнения (36) и определения константы А, обеспечивающей выполнение условия (35), будет использоваться среда «МаЛСАБ». После нахождения зависимости со(у/) и, следовательно, функции ц/(со) (обе эти функции однозначны) можно определить зависи-
мость Р*(ю) из уравнения (22). Легко видеть, что эта функция монотонно убывает. Определим константу С из условия обращения Р* в ноль на поверхности наконечника, то есть при ю = в- Получим
B
C = 3 J sin ydx. (41)
0
Численное интегрирование в формулах (22) и (41) выполняется также в среде «MathCAD».
Список литературы
1. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Изд-во «Высшая школа», 1969. 608 с.
2. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Изд-во «Наука», 1970. 933 с.
3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика / М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. 736 с.
Жабин Александр Борисович, д-р техн. наук, проф., zhabin.tula@,mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Лавит Игорь Михайлович, д-р физ.-мат. наук, проф., igorlavit@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Рыбаков Александр Сергеевич, асп., hammerhl@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
MATHEMATICAL MODELING OF GROUND PUNCTURE SYMMETRICAL
WORKING TOOL
A.B. Zhabin, I.M. Lavit, A.S. Rybakov
The paper describes a mathematical model of the interaction of the working tool is put at the tunnel with the ground. At the same time it is becoming completely simulated solid cone and the ground rigid-plastic medium. And proves the basic assumptions. As a result, a decision is made, and the formation of the basic equations of the model.
Key words: puncture, rigid-plastic medium mathematical modeling, the ratio of Levi
Mises.
Zhabin Aleksandr Borisovich, doctor of technical sciences, professor, zhabin. tula@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University
Lavit Igor Michailovich, doctor of physics and mathematics, professor, igorla-vit@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Rybakov Alexandr Sergeevich, postgraduate, hammerhlamail. ru, Russia, Tula, Tula State University
