CC BY
40УДК 621. 593. 001. 24
С.П. Рудобашта, С.Ю. Махмуд МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА МЕМБРАННОЙ ДИСТИЛЛЯЦИИ
(Московский государственный агроинженерный университет им. В.П. Горячкина)
e-mail: rudobashta@mail.ru
Представлена математическая модель, учитывающая эффекты температурной и концентрационной поляризаций, депрессию пара над раствором. Для пленочных мембран МФФК2, МФФК3, МФФК4 экспериментально определен и проанализирован коэффициент паропроводности. Получены уравнения для расчета температур горячей и холодной поверхностей мембраны, необходимые для определения эффекта температурной поляризации. Предложено модифицированное уравнение паропроводности, с выделением эффекта депрессии пара над раствором и концентрационной поляризации. Для мембранной дистилляции морской воды экспериментально определен и проанализирован параметр, отражающий данный эффект. Разработана методика инженерного расчета мембранно-дистилляционного аппарата.
Ключевые слова: мембранная дистилляция, морская вода, кинетика, температурная и концен-
трационная поляризация, депрессия пара
Мембранная дистилляция (МД) является одним из методов разделения растворов нелетучих веществ (наряду с выпариванием, электродиализом, обратным осмосом и др.), который облада-ет рядом достоинств: низкими энергозатратами, отсутствием избыточного давления в аппарате, возможностью использования для подогрева раствора низкопотенциальной теплоты различных производств, солнечной энергии и т.д. Сущность метода заключается в том, что вдоль одной из поверхностей высокопористой гидрофобной мембраны движется горячий поток разделяемого раствора, а вдоль ее противоположной поверхности движется холодный поток. Вода испаряется у устьев несмачивающихся капилляров на горячей стороне мембраны, пар (пермеат) диффундирует по ее порам на противоположную холодную сторону мембраны, где конденсируется. В настоящее время этот метод изучен недостаточно, что предопределило интерес авторов к этой работе.
В [1] были изложены опытные данные по МД морской воды с помощью российских пленочных гидрофобных композитных мембран типа «Владипор» марок МФФК2, МФФК3 и МФФК4, выпускаемых в промышленном масштабе для целей микрофильтрации. Было показано, что МД обеспечивает высокую степень разделения мор -ской воды (коэффициент удержания равен 99,90 -99,99%). Было также установлено, что на удельную производительность мембран существенное влияние оказывает скорость движения горячего потока относительно поверхности мембраны. Это указывает на зависимость интенсивности процесса от эффектов температурной и концентрационной поляризаций. Под первым из них понимается понижение температуры горячей поверхности
мембраны по сравнению с температурой в ядре горячего потока - из-за термического сопротивления теплового пограничного слоя на горячей стороне мембраны. Под вторым имеют в виду снижение плотности потока пара через мембрану из-за того, что концентрация растворенных в воде веществ в ходе МД у горячей поверхности мембраны оказывается выше, чем в ядре потока - из-за сопротивления массопереносу диффузионного пограничного слоя на горячей стороне мембраны.
Сравнительным исследованием процессов МД дистиллированной и морской воды (воды Средиземного моря) в [1] было установлено, что в случае МД морской воды плотность потока пара через мембрану в зависимости от условий эксперимента на 20-48% ниже, чем при МД дистиллированной воды. Это обусловлено как указанной выше концентрационной поляризацией, так и понижением давления пара над морской водой по сравнению с давлением насыщенного пара над чистой водой (депрессия пара). В соответствии с изложенным, математическая модель, описывающая кинетику МД, должна учитывать эффекты температурной и концентрационной поляризации, а также депрессию пара над раствором.
Плотность потока пара через мембрану при МД описывают уравнением [2]
J = Ст (р1 (¿0 - Р2 (¿2)) (1)
Для расчета плотности потока пара через мембрану по уравнению (1) необходимы значения температур поверхностей мембраны ¿1, ¿2. В результате совместного рассмотрения уравнений теплоотдачи для горячей и холодной поверхностей мембраны, уравнения теплопроводности для мембраны с учетом фазовых превращений на испарение воды у горячей поверхности мембраны и
конденсации пара на ее холодной поверхности получены зависимости для их расчета
t2 =-
4 1 1 tx 1 Г ^^xx. a r J
R«.a+R R _ Ra.a +R _
±+±
R Rx R (Ra.a + R )
t2 - R J r,
t = RL(t - t
R
(2)
(3)
C =-
(5)
R^cp.1
1+^2. Dv.2 ^cp.2
¿1 D.1 TCp.!
были рассчитаны значения коэффициентов паро-проводности, приведенные нарис. 1.
кг/(м -с-Па)
где Ra r = 1/Ог, RM = 5М/ХМ, Rx = 1/ах (или Rx = 1/kx) -термические сопротивления соответственно: теплоотдачи у горячей поверхности мембраны, теплопроводности мембраны, теплоотдачи или теплопередачи (в зависимости от конструктивного оформления узла сбора пермеата) на холодной стороне мембраны; r = h/'- h2'; r1 = h1"- h\ .
При расчете температур по уравнениям (2) и (3) коэффициенты теплоотдачи аг и ах находят по критериальным уравнениям, описывающим теплоотдачу на горячей и холодной сторонах мембраны.
Коэффициент паропроводности Cm однослойной мембраны определяется выражением [2]
C = D„„ M е = DM (4)
m 5М RTcp у (1 + Kn) 5М RTcp>
где Tcp = (T1 + T2)/2- средняя температура мембраны, К; D3s/(y(1+Kn)) - эффективный коэффициент диффузии пара через мембрану, м2/с.
На практике часто применяют двухслойные (композитные) пленочные мембраны, состоящие из рабочего слоя и подложки, обладающие большей прочностью. Найдем зависимость коэффициента паропроводности Cm для двухслойной мембраны от определяющих параметров. Используя выражения (1) и (4) для описания плотности потока пара через рабочий слой мембраны (слой 1) и подложку (слой 2), получим в итоге для двухслойной мембраны уравнение (1), в котором коэффициент паропроводности равен
300
310
320 Tcp, K
где 81, 52 - толщины слоев 1 и 2, м; Дэ1, Дз2 - эффективные коэффициенты диффузии пара в слоях 1 и 2, м2/с; ГсрЛ, Гср2 - средние значения температур 1-го и 2-го слоев мембраны, К.
Расчет коэффициента Ст по уравнению (5) требует знания величин ГсрЛ, Гср.2, Дэ.1= / (ТсрЛ), Дэ 2 = / (Гср 2). Это в определенной мере усложняет расчет коэффициента паропроводности по уравнению (5), в связи с этим для мембран МФФК2, МФФК3 и МФФК4, исследованных в [1] (характеристики мембран приведены там же), по полученным опытным данным по уравнениям (1)...(3)
Рис. 1. Зависимости Cm= f (Tcp): 1 - мембрана МФФК2, 2 - МФФК3, 3 - МФФК4 Fig. 1. Cm=f (Tcp) dependencies: 1-MFFK2 membrane, 2- MFFK3, 3 - MFFK4.
Как видно из рисунка, наименьшее значение имеет коэффициент паропроводности у мембраны МФФК2, а наибольшее - у мембраны МФФК4. Это объясняется увеличением определяющего диаметра пор у исследованных мембран: у мембраны МФФК2 он равен 0,20 мкм, у мембраны МФФК3 - 0,45 мкм, а у мембраны МФФК4 -0,65 мкм [1]. Для объяснения экстремального характера полученных зависимостей Cm = f (Гср) в первом приближении примем, что коэффициент паропроводности двухслойной мембраны описывается уравнением (4). Из этого уравнения следует, что коэффициент Cm обратно пропорционален температуре Тср., но зависит также от коэффициента взаимодиффузии DBn. С увеличением температуры Гер. вначале доминирует фактор обратной пропорциональности Cm от Тср., поэтому коэффициент Cm убывает, а при дальнейшем увеличении Гер. более сильное влияние на коэффициент паропроводности оказывает возрастание с температурой коэффици-ента взаимодиффузии воздух - водяной пар DBn (согласно [3] для этой смеси DBn.~ Г1'81), в результате чего коэффициент Cm при дальнейшем росте температуры Гср увеличивается.
Для удобства инженерных расчетов полученные зависимости Cm = f (Тер) аппроксимированы формулами:
- мембрана МФФК2:
Cm = (1467,46 - 9,377Гср + 1,5- 10"2Гср2)-10-' (6) (погрешность аппроксимации ± 3,97 %); - мембрана МФФК3:
Cm = (1757,26 - 11,19Гср + 1,785-10 77ср2)-10 (7) (погрешность аппроксимации ± 1,99 %); - мембрана МФФК4: Cm = (709,9 - 4,499Гср + 7,193-10%2)-10"7 (8) (погрешность аппроксимации ± 0,50 %).
Для учета в математической модели эффектов депрессии пара и концентрационной поляризации представим в уравнении (1) давление МО в виде Pi(ti) = ^i*(ti) - где p*(h) - равновесное давление пара над чистой водой при температуре горячей поверхности мембраны, Па; Ар1 = p1 (t1) - p1(t1) - поправка на депрессию пара и концентрационную поляризацию, и с учетом этого перепишем (1) в виде
J = Cm(p*(ti) - p2(t2) - AM (9)
Поправка Лр1 зависит от свойств конкретного раствора и не зависит от свойств мембраны. Теоретически она может быть рассчитана только для простых случаев (однокомпонентный раствор). В общем же случае она может быть найдена экспериментально, при этом опытные данные могут быть соответствующим образом обобщены на различные технологические режимы для целей инженерных расчетов. Ниже излагается метод ее экспериментального нахождения. Он заключается в том, что проводится два параллельных опыта по МД - с дистиллированной водой и рассматриваемым раствором. Из опыта с дистиллированной водой по уравнениям (1)...(3) рассчитывается коэффициент паропроводности Cm (что и было сделано выше), а затем из опыта с раствором определяется параметр Ар1 - по уравнениям (2), (3), (9). При этом используется тот факт, что коэффициент паропроводности не зависит от свойств разделяемого раствора.
Для иллюстрации метода и получения непосредственно данных по параметру Ар1 при МД морской воды были обработаны приведенные в [1] опытные данные по МД дистиллированной воды и воды Средиземного моря - при температурах tr = 40; 45 и 50°С и скоростях их движения относительно поверхности мембраны vr = 0,0625; 0,100; 0,146 и 0,167 м/с. Состав этой морской воды, представляющей собой многокомпонентный раствор и имеющей высокую минерализацию, приведен в [1]. Для обобщения рассчитанных значений Api они были выражены в виде зависимости от числа Рег, которое было выбрано в качестве определяющего критерия в связи с тем, что в ламинарном режиме теплообмена, который имел место в опытах, именно оно определяет влияние гидродинамики на тепломассообмен [4]. Полученные зависимости Ар1 = f (Рег) приведены на рис. 2. Как видно из графиков, параметр Ар1 удовлетворительно аппроксимируется линейной зависимостью Ар1 = А + 5 Рег с отрицательным тангенсом угла наклона, где А и В - константы. Уменьшение величины Ар1 с ростом параметра Рег происходит из-за снижения сопротивления диффузионного пограничного слоя - вследствие роста скорости движения раствора. Значение Ар1 тем больше, чем выше температура. Это объясняется,
в первую очередь, усилением с температурой эффекта депрессии пара. Тангенс угла наклона линий в исследованном диапазоне чисел Рег не зависит от температуры горячего потока.
ДР1-10-3, Па
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Рег
Рис. 2. Зависимость Ap1 = f (Per) (средние данные для всех мембран): 1 - tr = 40°C; 2 - tr = 45°C; 3 - tT = 50°C Fig. 2. Api = f (Per) dependencies (average for all membranes) : 1 - tT = 40°C; 2 - tT = 45°C; 3 - tT = 50°C
Приведенные на рис. 2 зависимости аппроксимированы следующим уравнением:
Api = А - 0,5 Рег, 1450 <Рег< 3960, (10)
где
А = 4, 031-105 - 2,5 86-103Гг + 4,18ГГ2 (11)
Относительная погрешность аппроксимации рассматриваемых графических зависимостей уравнениями (10), (11) составляет ± 0,72 %.
Совокупность уравнений (2), (3), (9), критериальных уравнений для расчета коэффициентов теплоотдачи, приводимых в литературе, зависимостей Cm = f ( T ) и Ар1 = f (Рег) составляет
математическую модель кинетики МД. Проверку адекватности математической модели реальному процессу осуществляли путем поверочных расчетов плотности потока пермеата при различных технологических режимах проведения процесса МД воды Средиземного моря. Расчеты выполняли для трех вышеуказанных марок мембран при различных значениях температур tr и скоростей горячего и холодного потоков. В расчетах использовали значения коэффициентов паропроводности Cm и параметра Ар1, аппроксимированные вышеприведенными уравнениями. Температуры поверхностей мембран рассчитывали по уравнениям (2) и (3), коэффициенты теплоотдачи - по критериальным уравнениям, приводимым в [4], плотность потока пермеата - по уравнению (9). Поскольку в расчетные зависимости для температур поверхностей мембраны входит искомая величина J, то
расчет выполняли методом последовательных приближений, полагая в первом туре расчетов ^ = 0. Приближения повторяли до тех пор, пока разница в величинах ^ последующего и предыдущего туров расчета не превышала 10 % (для этого требовалось 3.8 приближений). Средняя относительная погрешность расчета плотности потока пермеата через мембрану составила ± 8,7 %, что приемлемо для инженерных расчетов и подтверждает адекватность разработанной математической модели реальному процессу.
Исследованные мембраны МФФК2, МФФК3, МФФК4 выпускаются в виде гибкой ленты шириной В = 0,3 м. Исходя из этого, мембранно-дистилляционный аппарат (МДА) с их использованием может быть выполнен в виде плоскорамной конструкции по принципу разборного пластинча-того теплообменника. При этом мембраны зажимаются между рифлеными металлическими пластинами или между металлическими сетками. Мембранно-дистилляционный модуль (МДМ) -мембрана с прилегающими к ней рифлеными пластинами или сетками конструктивно может быть выполнен по разному: в виде контактного МДМ, в котором холодная поверхность мембраны непосредственно омывается холодным потоком - контактный МДМ или в виде модуля с газовым или жидкостным зазором, при котором холодный поток отделен от холодной поверхности мембраны камерой сбора пермеата (МДМ с газовым или жидкостным зазором).
Кинетический расчет МДА с различным типом вышеуказанных МДМ одинаков, отличие состоит только в том, что при расчете аппарата с контактными МДМ при нахождении температур поверхностей мембран в уравнениях (2) и (3) используется коэффициент теплоотдачи ах, а при расчете МДА, содержащего камеры сбора пермеа-та, вместо коэффициента ах в них используется коэффициент теплопередачи £х, дополнительно учитывающий термическое сопротивление камеры сбора пермеата. Целью прямого (конструктивного) расчета МДА является определение суммарной поверхности мембран, обеспечивающих заданную производительность аппарата по разделяемому раствору или пермеату и выбранных значениях режимных параметров (температуры жидкостных потоков, их скорости, геометрические размеры МДМ). Представленная математическая модель вместе с уравнениями теплового и материального баланса для МДА, критериальными уравнениями для нахождения коэффициентов теплоотдачи позволяет решить эту задачу.
Кафедра теплотехники и энергообеспечения
ОБОЗНАЧЕНИЯ а - коэффициент температуропроводности,
м2/с;
С - концентрация ионов в растворе, кг/м3; Cm - коэффициент паропроводности мембраны, кг/(м2сПа);
DBn - коэффициент взаимодиффузии воздух -водяной пар;
Dkh - коэффициент кнудсеновской диффузии, м2/с;
d3 - эквивалентный диаметр канала горячего потока, м;
к', к"- энтальпия конденсата и сухого насыщенного пара, Дж/кг;
J - плотность потока пара через мембрану, кг/(м2с);
к - коэффициент теплопередачи, Вт/(м2 К); Mп - молярная масса пара, кг/кмоль;
p - парциальное давление пара, Па; R - универсальная газовая постоянная, Дж/(кмоль К);
t, Т - температура, °СиК соответственно; v - скорость потока жидкости, м/с; а - коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2 К); 5 - толщина мембраны, м; у - коэффициент извилистости пор мембраны; s - пористость мембраны, м3/м3; X - коэффициент теплопроводности, Вт/(м К); Kn=DBn/DKH - параметр Кнудсена; Per =vr d3 / ат - число Пекле для горячего потока.
Индексы: г - горячий поток; м - мембрана; оп - опытный; пер - пермеат; расч - расчетный; ср -среднее значение; ст - стенка; х - холодный поток; 1 - горячая поверхность мембраны; 2 - холодная поверхность мембраны.
ЛИТЕРАТУРА
1. Рудобашта С.П., Махмуд С.Ю. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2010. Т. 53. Вып. 1. С. 108-113; Rudobashta S.P., Mahmud S.Yu. // Izv. Vysh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Technol. 2010. V. 53. N 1. P. 108-113 (in Russian).
2. Рудобашта С.П., Ёлкина И.Б. // Teop. основы хим. тех-нол. 1999. Т. 33. № 4. С. 363-368;
Rudobashta S.P., El kina LR // Teor. Osnovy Khim. Tekhnol. 1999. V. 33. N 4. P. 363-368 (in Russian).
3. Krischer O. Die wissenschaftlichen Grundlagen der Trocknungstechnik. Spring er-Verlag. Berlin-Goetingen-Heidelberg. 1956. 539 p.
4. Теоретические основы теплотехники. Теплотехнический эксперимент. Справочник. Книга 2. / Под ред. В.А. Григорьева, В.М. Зорина. М.: Энергоатомиздат. 1988. 540 с; Theoretical Bases of Heating Engineers. Experiment of Heating Engineers. The Directory. The book 2. / Ed. by. V.A. Grigoriev, V.M. Zorin. M.: Energoatomizdat. 1988. 540 p. (in Russian).
