CC BY
26
УДК 66.065.51
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА КРИСТАЛЛИЗАЦИИ ВОДОРАСТВОРИМЫХ ПРИМЕСЕЙ ИЗ СУСПЕНЗИЙ ПОЛУПРОДУКТОВ ОРГАНИЧЕСКИХ КРАСИТЕЛЕЙ В ПОЛЕ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ
© П.А. Фефелов, А.А. Арзамасцев, А.И. Леонтьева,
Н.П. Утробин, К.В. Брянкин, С.Ю. Чупрунов
Fefelov Р.А., Arzamastsev А.А., Leontieva A.I., Utrobin N.P., Briankin K.V. Chuprunov S.Y. The Mathematical Modelling Of The Crystallisation Process Of The Water-Soluble Admixtures From The Organic Dyes Semi-Products Suspensions In The Centrifugal Forces Field. The article contains the description of a new method of admixtures extraction by crystallisation in the centrifugal forces field. The mechanism of zone formation at the coating of the special-purpose product and water-soluble admixtures (sodium and potassium sulphates) of the crystal kind is described. A mathematical model of the crystallisation process with the calculation of the centrifugal forces field covering, which permits of solid phase concentration (sodium and potassium sulphates) in any sedimentary centrifugal rotor zone at any moment is offered. Besides, it allows observing the crystals increase dynamics and their granulometric composition.
Одной из проблем, возникших в настоящий момент в отечественной лакокрасочной промышленности, является повышение качества и снижение себестоимости получаемых полупродуктов органических красителей. Одним из основных факторов, определяющих качественные показатели полупродуктов, в частности Гамма-кислоты, используемой для получения азокрасителей и фенил-Гамма-кислоты, является наличие примесей (сульфатов калия и натрия). По существующей технологии производства выделение и очистка полупродуктов осуществляется на фильтровальном оборудовании. Кислоту получают в виде водной пасты с концентрацией твердой фазы 60 %. Удаление водорастворимых примесей проводится промывкой слоя материала, образующегося на фильтре, водой [1]. Недостатками этого метода являются: значительный расход промывной
жидкости (и как следствие, соответствующий объем сточных вод с высоким содержанием солей), потери целевого продукта (Гамма-кислоты) и большая длительность процесса (5-6 часов).
Нами предлагается новый способ выделения и очистки Гамма-кислоты от водорастворимых примесей с использованием осадительной центрифуги. Из исходной смеси выделяется твердая фаза Гамма-кислоты, а жидкая фаза при последующем охлаждении формирует примеси в кристаллическом виде. После отвода маточника из центрифуги ножом послойно выгружаются сульфаты и целевой продукт.
Предлагаемый метод очистки не требует использования промывной жидкости, обеспечивает сокращение потерь в 3,5 раза, длитель-
ности процесса в 5 раз и уменьшение объема сточных вод.
Для выбора оптимальных режимов работы осадительной центрифуги по разделению суспензии Гамма-кислоты, осложненной процессом кристаллизации, необходимо провести анализ процессов, осуществляемых в агрегате. На первом этапе необходимо рассмотреть механизм осаждения частиц целевого продукта, скорость движения которых можно рассчитать по формуле:
2R^pTa2r - рЖ(1 - x)g - pTxg
W = у г -
11 9-/(^ж,х)
(1)
2Я^[рт4п2п2г - рЖ(1 - x)g - рrxg^j
1V 9-Г(»ж,х)
Для составления математической модели движения твердых частиц в поле центробежных сил разделим все пространство в роторе центрифуги концентрическими цилиндрическими поверхностями на К зон (частей), так что /-я зона имеет радиус г,- (рис. 1), а толщина /-ой зоны (равная толщине любой из зон) связана с К соотношением:
птах птт
Д г-"' . (2)
Пусть ф(Лт) — распределения частиц твердой фазы по размерам, тогда количество частиц твердой фазы, содержащихся в объеме V будет:
Рис. 1. Схематичное изображение ротора центрифуги для осаждения суспензии.
N =
'\Рж(1~х) + РТх\х
(3)
Величина, стоящая в числителе этой формулы, представляет собой массу всех частиц твердой фазы, находящихся в объеме у; знаменатель формулы - масса средней частицы. Учитывая, что объем г-ой зоны можно определить по уравнению:
V,- а 2яГ;Аг/,
уравнение (4) запишется в виде: 2п^г1[рж(1-х) + рТх]х
N
(4)
(5)
Это уравнение можно использовать для расчета начального количества частиц твердой фазы в любой из зон ( = 1, 2, 3, 4, ..., К.
Зная уравнение для скорости оседания частиц в роторе центрифуги (1), составим уравнения динамики материальных балансов масс твердого вещества для каждой из К зон. Для этого рассмотрим ;-ю зону на протяжении времени. За это время в результате процессов осаждения в зону г попадут частицы твердого вещества, которые располагались от нее на подходящем расстоянии в (I - 1)-ой зоне; с другой стороны г-ю зону покинут частицы, которые располагались на подходящем расстоянии от зоны (г + 1) в зоне и Исключение составляют зоны 1 и К, которые представляют собой области граничных условий: для 1-й зоны характерен лишь сток частиц твердой фазы; для К-й лишь их накопление. Таким образом, уравнения изменения количества частиц по зонам можно записать в виде:
¿ТУ;
а
Ж
А г
2ц\рТ4к2п2г1 -Рж(1~хі)8-РТхі£\ 9 ■ /(\*-ж>Х1)
1\гр
х | ц>( Ну )і!Н’ї.
О
^ ЛГг_;
2у]
РГ4п2п2гі_1 - рж( 1 - xi_l)g - ртхі-П
птах
Луч
9 ' /(\*-ж >хі-1)
\ Я^Ч>( Ят Шт
(7)
2-/2
рт4п2п2Гі -рж(1-Хі)і-ртх^
9 ' / (>хі)
1\гр
х |
о
<1МК N^2
ДГ
2у ]]рт4п2п2гк_1 - рж( 1 - хк_і)& -
9 ' Ї(\^ж >хк-1)
(8)
птах
1\гр
х | &Т 7
о
с начальными условиями вида:
_ ^г1\рж(1 ~ хвх) + РТхвх\
птах
— р X |л|ф(/л7')<1В.Т
О
Для того, чтобы система (6)-(8) была замкнутой, необходимо ввести уравнение, связывающее массовую долю частиц твердой фазы в ¿-ой зоне с количеством частиц:
(9)
N¡рт -тп | Лрф(
х =______________0._____________
' [Рж(1-х) + РТХі]-2щАгІ
Откуда:
2
хі (РТ ~ Рж) ~ хіРж ~
(10)
4 с 7 N ¡рт к | Л^ФҐ Кт )<1К-Т
_________________0___________________
2пГіАт!
(П)
: О
Теперь Х{ из уравнения (11) можно выразить через N1, решая квадратное уравнение вида: ах2 + Ьх - с = 0.
Система уравнений (6)-(11) является замкнутой и позволяет, задавшись концентрацией суспензии на входе в центрифугу (х), геометрическими размерами ротора ('Л”ах, , I),
числом оборотов ротора в секунду (п), а также зная физико-химические свойства материалов РТ, Рж, ^ж, /(Рж,х), рассчитать концентрацию твердой фазы в любой зоне ротора: Л™" < Л < Я™“* и в любой момент времени:
¡0-
По окончании выделения целевого продукта необходимо сформировать пересыщенное состояние путем охлаждения раствора сульфатов натрия и калия. Пусть процесс кристаллизации начинается на зародышах с критическим радиусом гкр, который можно рассчитать по уравнению [3]:
н
2аМ pprKpRT '
(12)
Кинетика параллельных процессов роста кристаллов и их растворения могут быть описаны соотношениями между их массовыми скоростями и пересыщением [4]:
dm
= kja(Ac)q ,
dm
dt
= k2a(-Ac) ,
(13)
dm
где
к pi
dt
рост массы кристалла в результате
dm
'кр2
кристаллизации из раствора; —^---------умень-
шение массы из-за растворения кристалла; Ас = с - сн .
Таким образом, можно записать, что полное изменение массы кристалла будет:
dm,
к р
dt
^ткр1 dmK
dt
^ = ]kjAcß - k2(-Ac)}a . (14)
Учитывая, что кристаллы имеют форму, отличную от сферической, получим дифференциальное уравнение роста одиночного кристалла:
'■ |к]Ас4 - к2(-Ас)\-г-£- =
14пЯкрк
■ (15)
dt [
XI
Р к
Решать дифференциальное уравнение (15) необходимо со следующими начальными условиями:
2<зМ
р pRT 1п\
СО
(16)
Поскольку время появления зародышей, считая от начала процесса, является случайной величиной, подчиняющейся вероятностным законам, то общее количество центров, образовавшихся в произвольный момент времени ? > ?0 , составит:
г
М(1) = Мкр\ва)Ш. (17)
<0
Масса выделившихся кристаллов к моменту времени / можно определить следующим образом:
MKp(t) = 1 R%(t)N(t)dt.
(18)
Убыль твердой фазы в растворе запишем в виде следующего уравнения:
dc _ 1 dMKp(t)
dt ~ V dt
(19)
которое необходимо решать с начальными условиями:
с(0) = С о
(20)
Таким образом, система уравнений (12),
(15), (17), (18), (19) с начальными условиями
(16), (20) позволяет, задавшись величинами с0, сн> NKp и кинетическими коэффициентами, проследить динамику кристаллов, а также рассчитать их гранулометрический состав.
Предлагаемая математическая модель процесса выделения целевого продукта в осадительной центрифуге, совмещенного с процессом кристаллизации примесей, позволяет рассчитать массу выделившихся кристаллов, их гранулометрический состав и, в дальнейшем, найти оптимальные технологические режимы проведения процесса.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ромашов П.Г., Курочкина М.И. Гидромеханические процессы химической технологии. JI.: Химия. 1982. 288 с.
2. Пульпин Н.С., Никольская Л.H., Дьячков A.C. Вычислительная математика. М., 1980. 176 с.
3. Химический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1983. 486 с.
4. Ниdr Y., Karpinski Р.H., Nurue Z. EiFect of temperature on crystallization and dissolution processes in a fluidized bed // AICHE J. 1985. V. 31. № 2. P. 259-268.
Поступила в редакцию 2 апреля 1997 г.
