CC BY
17
УДК 621.923.5
Математическое моделирование процесса деформирования тонкостенного цилиндра при его закреплении
В. А. Огородов
Разработана математическая модель деформирования тонкостенного цилиндра при его обжатии парой упругих конусных шайб, адекватность которой подтверждена экспериментальными исследованиями, и на ее основе получена аналитическая зависимость в целях расчета угла конусности упругих шайб для обеспечения заданной деформации тонкостенного цилиндра.
Ключевые слова: тонкостенный цилиндр, зажимное приспособление, упругая шайба, деформация, аналитическая модель, адекватность модели, зазор, расчет угла конусности шайбы.
Введение
Известно [1], что точность обработки отверстия тонкостенного цилиндра в определяющей степени зависит от зажимного приспособления: неравномерная деформация заготовки при ее закреплении приводит к искажению формы обработанного отверстия. С другой стороны, направленная деформация тонкостенного цилиндра при закреплении может быть использована для получения заданной макрогеометрии обрабатываемого отверстия на финишной операции его обработки [2]. Поэтому выбор типа зажимного приспособления, определение его параметров и расчет зажимного усилия по-прежнему остаются актуальными при разработке технологии обработки тонкостенных цилиндров.
Настоящая работа посвящена установлению зависимостей, описывающих деформацию закрепленного цилиндра в приспособлении, наличие которых необходимо для управления формой обработанного отверстия.
Методика исследований
В общем случае деформация тонкостенного цилиндра от действия внешней нагрузки
описывается системой интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода
а
и>(х) = / с(х, X)в(X)¿X , (1)
ь
где и(х) — деформация тонкостенного цилиндра в произвольном сечении х; а и Ь — границы участка приложения нагрузки; С(х, X) — функция влияния, представляющая собой деформацию цилиндра в сечении х от единичной нагрузки = 1, приложенной в сечении X.
Решение уравнения (1) дает закон изменения зажимного усилия д(х), обеспечивающий требуемую деформацию тонкостенного цилиндра и (х).
Анализ выражения (1) показывает, что управлять деформацией тонкостенного цилиндра при его закреплении можно, обеспечив требуемый характер изменения зажимного усилия или (и) прикладывая это усилие в определенных местах заготовки.
Указанный принцип реализован в зажимном приспособлении [2], оснащенном набором упругих элементов, выполненных в форме конусных шайб, конусная часть которых разделена радиальными пазами на ряд лепестков, связанных между собой посредством наруж-
а)
б)
в)
Рис. 1. Зажимное приспособление: а — общий вид; б — расчетная схема; в — силы, действующие на лепесток
ного жесткого кольца (рис. 1) для предотвращения их расклинивания в корпусе приспособления.
Усилие закрепления заготовки создается вращением гайки и передается через упорный подшипник на конусные шайбы (рис. 1, а).
Деформация тонкостенного цилиндра в сечении действия пары упругих конических шайб (рис. 1, б) может быть определена из зависимости, которая получена при рассмотрении упругого взаимодействия радиального лепестка конусной шайбы с тонкостенным цилиндром (рис. 1, в) и допущении, что деформации цилиндра в сечениях действия пар зажимных элементов не связаны между собой:
0
Г + Р
dp =
(Гв +Р)2
+ rB2ln(rB +p) -2Гвp
I — длина лепестка, I = гн — Гв; гн и Гв — соответственно наружный и внутренний радиусы лепестка; уц — радиальная жесткость тонкостенного цилиндра,
Jn =
Eh 2
R
ср
Е — модуль упругости цилиндра; к — толщина стенки цилиндра; #ср — радиус срединной поверхности цилиндра.
i
2
Р
а = т/к (2)
Рг [1/(С tg р) + 7цtg рГ ( )
где — деформация свободного конца одного лепестка шайбы 1-й пары (I = 1, N) в направлении р; N — число пар шайб; Т — осевое усилие закрепления цилиндра; к — количество лепестков в конусной шайбе; С — коэффициент,
Еш — модуль упругости материала зажимной шайбы; t — толщина лепестков, t = tn/ cos b; tn — толщина лепестка по нормали; b — угол конусности шайбы;
Обсуждение результатов
Для проверки адекватности разработанной модели деформирования тонкостенного цилиндра при его обжатии конусными шайбами были выполнены расчеты в среде МаЬЫаЬ 6.5. Результаты этих расчетов сравнивались с экспериментальными данными [2], полученными при хонинговании тонкостенных цилиндров из сплава Д16Т длиной 75 мм, диаметром обработки 36 мм, имевших различный диаметр наружной поверхности (табл.).
Наружная поверхность всех образцов была выполнена с разным диаметром в целях изучения влияния исходного зазора между заготовкой и зажимными элементами на деформацию тонкостенного цилиндра.
Данные замеров обрабатываемого отверстия при хонинговании
Таблица
¿н, мм Сечение Отклонение размера отверстия, мм
До закрепления После закрепления После обработки После раскрепления
а—а Ь—Ь а—а Ь—Ь а—а Ь—Ь а—а Ь—Ь
37,6 I 0,030 0,038 -0,090 -0,080 0,052 0,058 0,172 0,176
II 0,032 0,024 -0,030 -0,042 0,056 0,062 0,118 0,128
III 0,030 0,042 -0,020 -0,010 0,058 0,064 0,108 0,116
37,5 I 0,082 0,078 -0,016 -0,014 0,114 0,114 0,212 0,206
II 0,088 0,082 0,048 0,040 0,110 0,114 0,150 0,156
III 0,060 0,068 0,030 0,036 0,106 0,102 0,136 0,134
37,4 I 0,208 0,220 0,122 0,132 0,254 0,258 0,340 0,346
II 0,230 0,208 0,198 0,176 0,254 0,252 0,286 0,284
III 0,232 0,200 0,206 0,170 0,250 0,242 0,276 0,272
37,3 I 0,132 0,142 0,050 0,072 0,186 0,188 0,268 0,258
II 0,138 0,142 0,108 0,110 0,184 0,188 0,214 0,220
III 0,142 0,148 0,120 0,128 0,184 0,186 0,206 0,206
При обработке тонкостенный цилиндр закрепляли тремя парами шайб с углами конусности 20°, 15° и 10 Каждая шайба имела 24 лепестка, внутренний и наружный диаметры лепестков соответственно равнялись 78 и 68 мм.
Постоянство усилия закрепления всех цилиндров обеспечивалось поворотом гайки приспособления на один и тот же угол.
Аё, мм 0,08 0,06 0,04 0,02
Аё, мм 0,08 0,06 0,04 0,02
0
¿н = 37,3 мм
1
\4
20 40
¿н = 37,5 мм
60
У"1
Отверстия измеряли нутромером с индикаторной головкой часового типа с ценой деления 2 мкм в двух диаметрально противоположных направлениях и трех сечениях. Для построения кривых 1 на рис. 2 использованы средние значения замеров отверстия в сечениях а—а и Ь—Ь.
Как видно на рис. 2, расчетные и экспериментальные данные о деформации тонкостен-
Аё, мм 0,08 0,06 0,04 0,02
Аё, мм 0,15 0,1 0,05
1
0
20
40
60
20
40
60
2
0 20 40 60 х, мм 0
Рис. 2. Деформация заготовки при закреплении:
1 — измеренная; 2 — расчетная (усилие закрепления 1000 Н); порядок расположения шайб — 20°, 15° и 10
й„ = 37,4 мм
х, мм
х, мм
ан = 37,6 мм
ных цилиндров при их закреплении набором упругих шайб с различными углами конусности имеют хорошую качественную сходимость.
Но при этом имеются заметные расхождения в значениях рассчитанной и фактической деформаций. Это в первую очередь является следствием наличия исходного зазора между шайбами и цилиндром, который в модели (1) не учитывается. Очевидно, что вследствие наличия зазора деформация цилиндра шайбами происходит от меньшего радиального усилия обжатия. Поэтому цилиндр с наименьшим диаметром наружной поверхности dн = 37,3 мм имеет минимальную деформацию, а рассчитанное значение деформации больше измеренного.
При этом следует отметить, что при проведении экспериментальных исследований осевое усилие сжатия конусных шайб не замеряли, а при расчетах значение силы T принимали ориентировочно. Этим можно объяснить расхождение результатов расчетов и данных измерений для цилиндра с dн = 37,6 мм.
На рис. 3 приведены результаты расчетов деформации тонкостенного цилиндра при откорректированных значениях осевых усилий сжатия шайб и том же порядке их расположения в приспособлении. Для цилиндра с dн = 37,6 мм усилие увеличено до 1500 Н, а для цилиндра с dн = 37,3 мм — уменьшено до 775 Н.
На рис. 3 показано, что для цилиндра с dн = = 37,6 мм имеется полная сходимость результатов расчетов и данных, полученных экспе-
риментальным путем. Также близки расчетные и экспериментальные данные для цилиндра с dн = 37,3 мм, а имеющееся различие может быть объяснено отклонением формы наружной поверхности цилиндра, что привело к неравномерному зазору по длине цилиндра.
Таким образом, можно считать, что данные экспериментальных исследований подтверждают адекватность разработанной модели деформирования тонкостенного цилиндра парой конусных шайб при принятых допущениях.
На этом основании модель (2) можно применить для определения углов конусности шайб Ь в целях получения заданной деформации тонкостенного цилиндра в соответствующем сечении. Для этого в выражении (2) примем деформацию в сечении действия г-й пары пружин заданной, а толщину лепестков £ будем считать известной.
Тогда после группировки относительно неизвестной величины Ьг получим квадратное уравнение
>рг;ц1§2Рг - Т - рг
к
у + = 0, г = 1, N. (3)
С
Выражение (3) представляет собой классическое квадратное уравнение с известным алгоритмом его решения. Следовательно, для обеспечения нужного значения деформации тонкостенного цилиндра в заданном сечении при использовании для зажима конических шайб их угол Ь следует определять из следующего выражения:
Дd, мм 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02
dн = 37,3 мм
\__1
2
х>
0
50
Дd, мм
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0
2
1 ^
50
Рис. 3. Деформация цилиндра при изменении усилия зажима: 1 — измеренная; 2 — расчетная
dн = 37,6 мм
х, мм
х, мм
Рис. 4. Цанга для закрепления цилиндра: а — общий вид цанги; б — результат моделирования перемещений
* Ь = ц ) - 7ц1С' 1 = (4)
Однако приспособление, оснащенное набором конических шайб, позволяет управлять деформацией тонкостенного цилиндра только в продольном направлении. Вместе с тем для деталей цилиндропоршневой группы по условиям эксплуатации часто требуется сформировать овальное отверстие в цилиндре.
Для решения этой задачи посредством деформирования тонкостенного цилиндра при закреплении предназначена цанга, общий вид которой показан на рис. 4, а. По обоим торцам цанги 1 за одно целое с ней выполнены конусные пружинные шайбы 2, для повышения упругих свойств которых на них по наружному и внутреннему диаметрам в шахматном порядке выполнены радиальные пазы. Эти шайбы преобразуют осевое движение взаимодействующих с ними жестких колец 3 в радиальное перемещение продольных зажимных элементов цанги 1. На контактирующих с конусными шайбами 2 торцах обоих колец 3 (как видно на рис. 4, а) выполнены два диаметрально расположенных симметричных выступа, которые взаимодействуют только с ограниченными участками конусных шайб.
Моделирование деформации рассматриваемой конструкции цанги, произведенное в си-
стеме прочностного анализа APM FEM для «Компас-3Б» (рис. 4, б), показало, что при приложении осевого сжимающего усилия к кольцам 3 обе шайбы 2 деформируются неравномерно по окружности, приводя к такому же неравномерному радиальному перемещению зажимных элементов 1, образующих в результате поверхность, поперечное сечение которой представляет собой овал.
Следовательно, такое зажимное приспособление может быть использовано для неравномерного обжатия тонкостенного цилиндра при его закреплении и формировании в результате обработки овального отверстия.
Другим назначением этой цанги может стать закрепление заготовок, имеющих отклонение формы наружной поверхности. Известно [1], что при зажиме тонкостенного цилиндра цангой отклонение формы базовой поверхности цилиндра может ограничить достигаемую точность обработки отверстия. Рассмотренная конструкция позволяет обеспечить равномерное обжатие тонкостенного цилиндра при наличии овальности его наружной поверхности.
Помимо рассмотренных вариантов применения приспособлений управление деформацией тонкостенного цилиндра может быть использовано для интенсификации исправления исходного отклонения формы при хо-нинговании [2].
Выводы
1. В результате рассмотрения упругого взаимодействия конусной шайбы, разделенной радиальными пазами на ряд лепестков, связанных между собой жестким кольцом, с тонкостенным цилиндром разработана аналитическая модель, позволяющая рассчитать деформацию тонкостенного цилиндра в зависимости от угла конусности обжимающей его пары шайб.
2. Сравнение результатов расчетов, полученных с помощью разработанной модели, с данными экспериментальных исследований подтвердило адекватность этой модели при принятых допущениях. В частности, при обжатии тонкостенного цилиндра набором конусных шайб можно пренебречь их взаимным влиянием на деформацию этого цилиндра.
3. Показано, что наличие исходного радиального зазора между тонкостенным цилиндром и конусными шайбами требует увеличения осевого усилия сжатия конусных шайб для получения заданной деформации цилиндра.
4. На основании разработанной модели обжатия тонкостенного цилиндра парой конусных упругих шайб получена аналитическая зависимость расчета угла их конусности по требуемому значению деформации тонкостенного цилиндра.
5. Предложена конструкция зажимной цанги, обеспечивающей неравномерное в окружном направлении радиальное перемещение зажимных элементов. Моделирование деформации предложенной конструкции цанги, произведенное в системе прочностного анализа APM FEM для «Компас-3Б», показало, что зажимные элементы цанги при зажиме образуют овальную поверхность.
Литература
1. Огородов В. А. Имитационное моделирование процесса хонингования // СТИН. 2010. № 12. С. 28-33.
2. Огородов В. А. Исследование возможности управления формой обработанного отверстия при хонингова-нии // Вестн. УГАТУ. 2015. Т. 19, № 2 (68). С. 26-34.
i %
*
Организаторы:
ЭКСПОЦЕНТР
При поддержке Министерства промышленности и торговли РФ
Под патронатом Торгово-промышленной палаты РФ
Щ + □ □
ТЕХНО ФОРУМ
24-27.10 2 0 16
Международная специализированная выставка
^Йр ЭКСПОЦЕНТР
Оборудование и технологии обработки конструкционных материалов
Россия, Москва, ЦВК «Экспоцентр»
www.technoforum-expo.ru
