CC BY
69
2006
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Аэромеханика и прочность
№ 97
УДК 629.735.015.456
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОДОЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ СВЕРХЛЕГКИХ ВОЗДУШНЫХ СУДОВ С БАЛАНСИРНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ
И.В. НИКИТИН
Статья представлена доктором технических наук, профессором Ципенко В.Г.
В статье дан анализ продольного движения сверхлегких воздушных судов (СВС) с учетом особенностей балансирного управления, приведены уравнения продольного движения для общего случая, описание математической модели и результаты математического моделирования.
При решении задач динамики полетов движение летательного аппарата (ЛА) описывается системами дифференциальных уравнений. При этом ЛА рассматривается как твердое тело, имеющее шесть степеней свободы для пространственного движения.
В предлагаемом подходе движение сверхлегких воздушных судов (СВС) с балансирным управлением рассматривается как движение механической системы. На рис. 1 представлена формализованная схема СВС с балансирным управлением в продольной плоскости. СВС представлен в виде механической системы, состоящей из двух условно "твердых" тел: крыла
- I и подвесной системы - 2.
Рис. 1. Формализованная схема СВС с балансирным управлением в продольной плоскости I - крыло; 2 - подвесная система (ПС); 3 - связь между крылом и подвесной системой
Подвесная система прикреплена к крылу шарниром, обеспечивающим свободу ее вращения относительно крыла в продольной плоскости. Дополнительной связью между крылом и подвесной системой являются руки пилота, представленные в виде силового привода - 3.
Синтез уравнений продольного движения
Оху- сіязон//оя
На рис. 2 представлена схема сил и моментов, действующих на крыло и ПС в общем случае. При синтезе уравнений движения в продольной плоскости следует выделить три вида движения СВС: поступательное движение центра масс в плоскости Охёуё, угловое движение крыла относительно точки 0 (шарнира подвески) и угловое движение ПС относительно этой же точки.
Используя теорему о движении центра масс механической системы, можно записать уравнения поступательного движения СВ С в следующем виде ёУ
т — = Р соБ(а + фд -0) - X - ш§ Бт 0,
& ё0
тУ— = У + Р вт(8 + фд - 0) - т§ соб 0,
&
где: т = т1 + т2 - масса СВС; т1 - масса крыла; т2 - масса подвесной системы; Р -сила тяги; 8 - угол между осью Оуё и осью Оуп; фд - угол установки двигателя; Хк - сила сопротивления крыла; Хп - сила сопротивления ПС; У - подъемная сила; X = Хк + Хп -сила сопротивления СВС.
Для получения уравнений углового движения составим уравнения изолированного движения крыла и ПС относительно точки О.
Уравнение изолированного углового движения крыла относительно точки О можно записать в следующем виде:
М„
- ш,—(УС соб а-ХС бій а) + ш,У—(УС бій а + ХС соб а) = М, + РхН, (2)
1 4 с1 с1 ' 1 4 с1 с1 ' 2Л х ’ ч /
(1)
ё ^ 1 1 ё где I = I + ш1(Х2 + Ус2) - момент инерции крыла относительно оси О,, проходящей через точку подвески; I - момент инерции крыла относительно центра масс; У , ХС -координаты центра масс крыла в связанной системе координат; М - суммарный момент
аэродинамических сил; Рх - усилие на рулевой трапеции; Н - высота рулевой трапеции. Уравнение изолированного углового движения ПС относительно точки О:
I,
ёУ
ё0
&
ш2Ус соб(8-0)-+ ш2УУс 8Іп(5-0)— =
&
&
(3)
РсобфдУр -ш2БУ^ бІп5-ХПУхП соб(5-0)-рхН
где I = I, + ш2УСг- момент инерции ПС относительно оси О, проходящей через точку
подвески; I, - момент инерции ПС относительно собственного центра масс; У - расстояние от точки подвески до центра масс ПС; ш, - угловая скорость ПС; Ур - расстояние
П
2
от точки подвески до точки пересечения линии тяги с осью Оуп; Yx п - расстояние от точки
подвески до точки пересечения линии силы Хп с осью Оуп; Px - усилие на рулевой трапеции.
При расчете параметров продольного движения СВС можно выделить три основных случая: рулевая трапеция свободна; рулевая трапеция зажата, и положение ПС относительно крыла не изменяется, рулевая трапеция перемещается пилотом.
Во всех трех случаях уравнения (1) остаются неизменными.
1 случай: рулевая трапеция свободна.
В этом случае усилие на рулевой трапеции (РТ) равно нулю и угловое движение СВС в продольной плоскости будет описываться двумя уравнениями:
dwz dV . . ч d0 .
Jz-m1—(Yc cos a-Xc sin a) + m,V—(Yc sin a + Xc cos a) = Mz ,
Z1 dt 1 dt ci ci 1 dt ci ci ZA
dw, dV d0
Jz------m2Yc cos(8-0)--------------------------------+ m2VYe sin(8-0)— = (4)
Z2 dt 2 c2 dt 2 с2 dt
= Pcos jд Yp - m2gYc2 sin d- Xn YxП cos(d-0).
2 случай: рулевая трапеция зажата.
Если РТ не перемещается относительно ПС, то угловые скорости крыла и ПС совпадают wz = wzп . Складывая уравнения (2) и (3), получим уравнение углового движения в следующем виде:
J + Jz2)dT^ - [ml(Yc, cos a- Xc sin a) + m2 Yc2 cos(S-0)]-dV +
1 2 dt 1 1 2 dt
d0
+ [m1 (Y sin a + X cos a) + m2Yc, sin(5 - 0)]V— = (5)
1 1 2 dt
= MzA + Pcos j д Yp - m2gYc2 sin d- X П Yx П cos(d-0).
3 случай: трапеция перемещается пилотом. Складывая уравнение (2) и (3), получаем:
dw dwz dV
Jz —- + Jz ------— - [m1(Yc cos a-Xc sin a) + m2Yc cos(8-0)]---------+
z1 dt z2 dt c1 c1 2 c2 dt
d0
+ [m1(Yc sin a + Xc cos a) + m2Yc sin(8-0)]V— = (6)
1 1 2 dt
= MzA + Pcos jд Yp - m2gYc2 sin d- XП YxП cos(d-0).
Угловая скорость крыла связана с угловой скоростью ПС законом перемещения РТ, который может быть задан как функция, зависящая от времени. В этом случае уравнение (6) следует дополнить уравнением:
dwz = d2 j TP + dwz П dt dt2 dt
Рулевая трапеция СВС имеет, как правило, упоры, ограничивающие перемещение крыла относительно ПС. Такими упорами является тело пилота, элементы конструкции. При расчете продольного движения в первом и третьем случаях в момент попадания РТ на упор угловая скорость крыла и ПС совпадает wz = wzп . Для ее определения воспользуемся теоремой
об изменении момента количества движения механической системы. С учетом этой теоремы угловую скорость в момент попадания РТ на упор можно определить по формуле:
Jz wz + Jz wz
z1 z z2 z П fo\
wb =-----;--------------------------;----. (8)
Jz + Jz.
Путем численного интегрирования полученной здесь системы уравнений (1) - (8) можно производить расчет параметров нестационарного продольного движения практически для всех полетных ситуаций с учетом закона управления и в случае освобожденной рулевой трапеции.
Математическое моделирование продольного движения СВС
Исходными данными для расчета сил и моментов, входящих в правые части уравнений движения, являются аэродинамические коэффициенты, сила тяги, параметры, характеризующие пространственное положение подвесной системы и крыла, геометрические параметры. Зависимости и значения указанных параметров могут быть взяты из результатов трубных или летных экспериментов или определены численными методами.
При расчете аэродинамических сил и моментов, действующих на крыло, следует учитывать низкое расположение центра масс, которое приводит к одной особенности, заключающейся в том, что значения скорости обтекания крыла воздушным потоком и угла атаки при угловом движении будут отличны от значений a и V, рассчитанных по уравнениям (1) - (8).
На рис. 3 представлена схема вращения ВС относительно общего центра масс С.
Точки крыла приобретают дополнительную линейную скорость, которая для центра масс крыла может быть получена
из соотношения V = Ve + со7 Y, .
zn L
Можно допустить, что центр масс крыла находится в точке подвески, так как значение X мало по сравнению со значением Y . Используя известные теоремы геометрии, можно получить следующие соотношения для определения истинных значений угла атаки и скорости:
a = arcsin(—- sin ac),
_________________V___________________ (9)
V = VVc2 + (WzП Yc )2 - 2VcWП Yc cos(180 - a),
где Vc - скорость центра масс; Ос - угол между вектором скорости центра масс и хордой крыла; Yc - расстояние от общего центра масс до точки подвески. Аэродинамические силы и моменты, сила тяги и другие параметры, входящие в правые части уравнений рассчитываются по известным формулам.
Если исходный режим полета не установившийся, то для расчета начальных значений параметров могут быть использованы полученные выше уравнения. При установившемся режиме расчет параметров движения сводится к решению системы алгебраических уравнений при заданном значении угла атаки.
При моделировании продольного движения СВС использовались три группы моделей возмущений: модели изменения тяги, модели управляющих воздействий и модели атмосферных возмущений.
Математическое моделирование полетных ситуаций проводилось для реальных дельталетов "П-03" и "Т 302". Аэродинамические характеристики дельталета "П-03" были определены по результатам летных испытаний.
Аэродинамические характеристики дельталета "Т 302" получены при продувках в аэродинамической трубе ЦАГИ Т-101.
Расчет аэродинамических характеристик в математической модели проводится без учета влияния аэроупругости. Сравнение экспериментально определенных и расчетных значений компонент продольного движения показывает, что при перегрузках, не превышающих 1,5§, такой подход оправдан, так как при этом не возникает существенных погрешностей.
На рис. 4 - 6 представлены для сравнения результаты летного эксперимента и математического моделирования для случаев: отказа силовой установки, "дачи" рулевой трапеции и полета с освобожденным управлением.
•с, .
-------эксперимент
------- расчет
Рис. 4. Сравнение результатов летного эксперимента и математического моделирования для
случая отказа силовой установки
Экспериментальные и расчетные кривые компонент продольного движения достаточно близки, причем разница между экспериментальными и расчетными значениями ординат а, V, Рх находится в пределах погрешностей измерений этих параметров. Значительная разница между расчетной и экспериментальной ординатами Рх на двенадцатой секунде в рассматриваемом случае (рис. 4) объясняется перемещением РТ на себя, которое выполнено пилотом в этот момент. Расчет в данном случае произведен при условии "зажатой" РТ. Некоторое смещение фаз и пиков амплитуды объясняется тем, что при расчетах влияние аэроупругости не учитывалось.
Сравнение результатов летного эксперимента и математического моделирования для случая дачи рулевой трапеции на себя (рис. 5) и полета с освобожденным управлением (рис. 6) показывает, что расчетные и экспериментальные данные достаточно близки.
---------эксперимент
------— расчет
Рис. 5. Сравнение результатов летного эксперимента и математического моделирования
для случая дачи рулевой трапеции на себя.
Некоторое расхождение значения усилия на рулевой трапеции, полученного расчетным и экспериментальным путями в момент самой дачи объясняется тем, что в расчетах не учитывалось уменьшение усилия за счет демпфирования рук пилота.
------------эксперимент
------------расчет
Рис. 6. Сравнение результатов летного эксперимента и математического моделирования для случая полета с освобожденным управлением.
Как показано выше, точность численного определения а, V, Рх, достаточно высока и достоверность математического моделирования для этих параметров очевидна. Поэтому обработке были повергнуты лишь кривые, полученные в результате экспериментального и численного определения угла тангажа для случаев (рис. 4, 5). Максимально возможное отклонение случайной величины ДФ от ее математического ожидания, вычисленное по правилу трех сигм, составляет ДФтах = 6,3° и ДФтах = 12,6°, соответственно. Математическое ожидание разности экспериментальных и теоретических данных не превышает 2°. На основании проведенных расчетов и с учетом того, что в рассматриваемых случаях ситуация отказа и закон управления в эксперименте и модели не являются абсолютно адекватными, можно сделать вывод о достаточно высокой точности и достоверности математической модели.
ЛИТЕРАТУРА
1. Клименко А.П., Никитин И.В. Мотодельтапланы: Проектирование и теория полета. - М.: Патриот, 1992. - 288с.
2. Никитин И.В. Математическая модель продольного движения мотодельтаплана // Воздушный транспорт. Отечественный опыт. - М.: Э-и ЦНТИ ГА, 1986. - Вып.9. - 3 с.
MATHEMATICAL MODELLING OF LONGITUDINAL MOVEMENT OF ULTRALIGHT AIR COURTS WITH MANAGEMENT OF FORCE OF WEIGHT
Nikitin I.V.
In article the analysis of longitudinal movement of ultralight air courts (Tricke) is given in view of features of management by force of weight, the equations of longitudinal movement for the general case, the description of mathematical model and results of mathematical modelling are resulted.
Сведения об авторе
Никитин Игорь Валентинович, 1953 г.р., окончил МИИ ГА (1979), ведущий научный сотрудник МГТУ ГА, кандидат технических наук, автор свыше 80 научных работ, область научных интересов - сверхлегкая авиация, проектирование и конструкция, область и эффективность применения сверхлегких воздушных судов, аэродинамика и динамика полета, методы испытаний.
