МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ У СТРЕСС-КОРРОЗИОННЫХ ДЕФЕКТОВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

DOI: 10.47581/202ШМПУ.6.38.10 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ У СТРЕСС-КОРРОЗИОННЫХ ДЕФЕКТОВ Чуканов Александр Николаевич, д.т.н., вед. научн. сотр.

([email protected]) Терёшин Валерий Алексеевич - к.ф.-м.н., ст. научн. сотр.

([email protected]) Цой Евгений Владимирович, аспирант ([email protected]) Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого, Тула, Россия

Цой Е.В. I I I

В данной статье выполнено моделирование (расчёт) компонент тензора напряжений (КТН) в окрестностях пор различной морфологии (сфера, сферическая линза)), упрочнённого металлического образца с привлечением плоских и трёхмерных задач в рамках подходов механики разрушения. Рассмотрен стационарный случай при фиксированном соотношении величин внешнего напряжения и предела текучести металлической среды.

Ключевые слова: сталь, водородная стресс-коррозия, поры, морфология, поле напряжений, механика разрушения

Введение. Развитие пор в сталях в ходе водородной стресс-коррозии контролируется распределением внешних и внутренних напряжений [1,2]. Их релаксация в окружающем поры объёме определяет состав и давление в поре [3], диктуют направления микротрещин от их поверхностей и стимулируют обезуглероживание в периферийной зоне пластичности (ЗП) [4,5]. Авторы использовали аналогию поля напряжений у пор и поля скоростей при обтекании твёрдого тела идеальной жидкостью [7-9]. На базе элементарных функций разработали алгоритм расчёта КТН и описание ЗП у пор различной морфологии [8]. Цель работы - совершенствование разработанного авторами алгоритма [8]. Экспериментальные результаты. При растяжении образца с порами сумма проекций сил на их поверхностях на направление нормали равна нулю. Определяли три КТН. Граничные условия имели вид: оххпх + о^пу = 0; оухпх + оуупу = 0. Эти равенства аналогичны условию на поверхности тела, обтекаемого жидкостью vxnx + vyny = 0. Длинная цилиндрическая пора. Рассчитывали КТН в нагруженной металлической среде у цилиндрической поры, перпендикулярной нагрузке

а2(у2-х2) (х2+у2)2

[7,8]. Получили формулы для

1 + (г2х.2)2 ; °ху

(Х2+у2)2. После подстановки оху в условие статики doyX/dx + doyv/dy = 0 и интегрирования по «у» получили выражение для оуу: ауу = /(х) +

О,^ (х^ — У^)

(Х2+у2)2 . Формулы для ахх , аху удовлетворяли условиям статики и условиям напряжений на поверхности поры (xoxx + уо^, = 0; xoyx + уо^, = 0). Расчёт потребовал введения функций ф и у - аналогов функций потенциала и

тока при обтекании жидкостью твёрдого цилиндра [7]. Для цилиндриче-

ском поры они имели вид ^ = х

1 +

; ^ = у 1---—- . Функции

xz+yz_

х2+у2.

ф и у являлись гармоническими (Дф = 0, Ду = 0), как и сами величины oxx, Оху и Оуу (при f = 1). Результаты для ахх, аху сопоставили с расчётом плосконапряжённого состояния у сквозного цилиндрического отверстия в пластине (решение Кирша) [10]. Выявили хорошее соответствие для точек, близко расположенных к поверхности поры. Для точек, удалённых от её, полученные выражения имели ограничения. Векторные функции. Для совершенствования [8] ввели понятие вектора S и поля вектора S. КТН являлись его проекциями Sx = охх, Sy = оху. Приняли условия div S = 0 и rot S = 0. Они привели к выводу о равенстве нулю лаплассиана S (Д S = 0). По аналогии с рассуждениями [7,8] использовали функции ф и у. Проекции вектора S (Sx, Sy) и стремились к нулю при стремлении к бесконечности

«х» или «у». Используя их, получили выражение для oxx: охх = 1 + ^ 2 ^ 2

+ ^71—Г\2. Подставляя его в условие статики и интегрируя по y от-

х2+у2 (х2+у2 )2

, .. -Вх 2Сху

носительно о^, получили формулу для расчета о^: аху = х2+у2 — (х2+у2)2-

Объединив выражение оух с вторым условием статики йоух/йх + йоуу/йу = 0 и интегрируя его по у относительно йоуу/йу, определили величину оуу:

^ 2 у 2

°уу = 2—2 + ^ 2—^2 + /(х)- После нахождения коэффициентов В, С,

х +у (х +у )

В и конкретизации краевых условий функции /(х) формулы для о^ имели

л ау п у2-х2 -ах 2 а2ху

вид: ахх = 1 +—-—- + а —-——; аху = ——- — ———-; оуу =

хх а2+х2 (х2+у2)2' ху а2+х2 (х2+у2)2' уу

2 ах ау п х2-у2 „

—-—- +—-—- + а —Это позволило уточнить результаты о^ по я ^х х ^у (^ ^У )

сравнению с алгоритмом [8]. Сферическая пора. Описанный алгоритм расчета КТН подтвердил его целесообразность для пор, часто встречающихся в сталях. Авторы рассмотрели поле напряжений у сферической поры. Для анализа применили цилиндрическую систему координат ( и р). Использовали вектор S, проекции которого 8г = о22 и 5р = о2р. Основным уравнением для S было условие статики йор2/йх + йорр/йр + орр /р = 0. Ротор векторной функции S равен нулю: йБ2/йр = йБ^йх. В анализируемом трехмерном случае (одна из трех координат является циклической и не участвует в уравнениях) описание усложнялось. Анализ тождеств показал, что при равенстве нулю ротора и дивергенции S(z,р), функция 52 является гармонической, а функция 5р таковой быть не может. Поэтому, записали Д 82 = 0, Д5р Ф 0. С учетом этого, вычисление КТН начали с о22 = Б2. При подстановке гармонических функций в уравнение статики и последующего

Зйгр тт

интегрирования по р получили выражение для о2р: агр = — (г2+р2)5/2 . На основе о2р уточнили . Выражения для о22 и о2р имели вид = 1 +

а3 р2-2г2 За3 гр

Т(22+р2)5/2; = — ~ (22+р2)5/2. орр опPеДелили, интегрируя по р уравне-

г г 1 Р^ — 4

ние рОрр = ]] (22+р2)7/2 ^^ + /(Ю, полученное подстановкой о2р в

условие статики. Для диапазона малых г (г < a/2) работало выражение

„ а2 . 45 а3г2 1--г

Р

1,44а 2а3р2 а3р4

_ За °РР = ^

+ . Для диапазона г > a/2, работало арр =

. Область точек наблюдения между симмет-

Р (р2+22)| 2г2(р2+22)*/2 ричными прямыми р = г, с точками о22 = 1, представляла область повышенных напряжений. Анализ характерных точек у поверхности пор (о22 = 1, о рр = - о2р= о22 = %) выявил зону с очень высокой интенсивностью ог- напряжений [11,12]. ог- считали равной второму инварианту девиатора напряжений и определяли комбинацией о^ а^ = — 0рр)2 + врр + ? ? I1/2

о£г + бст^Гр] . Края указанной зоны у поверхности поры расположены за линиями р = г. В рассмотренных точках интенсивность ог- определили равной 1,5. В этой области возможен переход материала в состояние пластичности и формирование ЗП. Область точек между линиями р = г по обе стороны от оси является областью пониженных значений интенсивности напряжений. Особенно низкие значения ог- выявили у точки А в области площадью ~ Линзообразная пора. Разработку методики продолжили для поры в форме симметричной сферической линзы. Вдоль главной оси симметрии поры действовало внешнее напряжение он. Использовали алгоритм решения для сферической поры. Для сферической линзы рассмотрели поле вектора 8 с проекциями = о22 и £р = о2р. Линии вектора 8 (силовые

линии) не должны пересекаться - дивергенция вектора равна нулю. По-

2 2 2 2 верхность линзы описывали уравнением (Ь + г) + р = сг (где а = (С +

h )/2Н). Для точек её поверхности постулировали условия (Ь + г)о22 + ро2р = 0; (Ь + г)ор2 + рорр = 0. Их следствием являлось не равенство нулю величины около поверхности. Поле напряжений по характеристикам близко к полю, у воображаемой сферической поры радиусом d, охватывающей линзу. Для него приняли равенство нулю ротора вектора 8 и его лапласиана Б2. В точках же, близких к поверхности поры и оси 0г, ротор вектора 8 отличен от нуля. С учётом этого поле напряжений соответствовало полю воображаемой сферической поры «а», включающей линзу как часть себя. Условия на поверхности линзы близки к постулированным. Выяснили, что в окружающем пору пространстве, сложно разработать единый алгоритм решения. Для разных частей пространства разработали два типа решений с разными исходными уравнениями. В случае сферической поры радиусом

7\ а3

«с» функция у имела вид ^ = р* 1 — (22+р2)з\2 ■ Определили расстояние

рт от центра линзы до точки пересечения силовой линии с плоскостью г = 0. Оценили уменьшение р1 при изменении формы поры от сферы (с!) к линзе (С и И). Для силовой линии с параметром Ь1, проходящей около сферы «а», с центром на расстоянии Ь от центра линзы, уравнение для у запи-

сали как Ь2 = р(

1 -

(¿2+Р?)3/2

. Величина pm2 являлась решением сис-

темы трёх уравнений а) Ь2 = р2 — —; б) Ь 2 = р2

Pi

1 —

(l2+Pi2)2

; в) Ь2 =

ш

9 d3 „ 1 21 п 2 dp

Pm--. Для производной фт lab записали неявное выражение —- =

Pm db

а3(Рi~2l2)

^ 5/2

dp™ db? dp? 2Íp?+L2) „

= T—дз\/ d3 ч. С учётом его определили значение Ozz в точ-ао1 ар1 ао —"ДИ—з)

ках z = 0, р > d. Выявили отличительную особенность поля напряжений около поры в форме сферической линзы. В точках у кромки линзы главный элемент тензора напряжений ozz в c^ld2 раз больше значения, соответствующего сферической поре (а = d) [11]. Это учли при выводе выражения для Sz = ozz. В выражение для ozz включили две простые гармонические

функции и записали выражение для ozz: azz = 1 + В± (z2+p2)i/2 +

p2—2z2

D± (z2+p2)5/2. После определения dozzldz, умножения на - р, интегрирования по р получили формулу частного решения ozz для случая z2 << р2): azp =

B1z 3D1zp ^ , ч , ч

— p(z2+p2)l/2 — (z2+p2)5/2 . ФункЦиям ^^ и azр(z,P) соответствовала

функция у вида: / = р2 + 2ß1(^p2 + z2 — z) — 2°lP

(22+р2)3/2-

Далее, определяя выражения и уточняя поведение силовых линий (обычной и нулевой), получили окончательный вид выражений для о^: =

„ , й3 p2-2d2z2/h2 3ds гр „

1 + Т^2^2)^ ^ = —Ж^2г2,Ъ2)*/2. Перех0дная функция. Для расчета КТН около линзообразной поры получили две группы формул I и II. Формулы группы I применяли к точкам наблюдения у кромки линзы. Формулы группы II применяли к точкам, удаленным от кромки линзы. Вклад решений I и II в окончательные выражения для о22 и о2р учитывали введением переходной функции п(х). Функцию п(х) использовали при формулировке соотношения между функциями ^ и уд: у = у^1 - п) + Уп П. Далее, используя о22 = йу/йр , получили о22 = п(о22) + (1 - п)(о22)п. Для выражения о2р, применяли соотношение ( —) ^ + ] (1 — = —,

имевшее смысл тангенса угла между касательной к силовой линии и осью 0х. На основании этого разработали уравнения: ^ + () (1 —

\CzzJ I \GzzSn

Ю = 7е ; ^ = (1 —И^) + (1 — ^(7*)

Огг к I. ^гг'/ ^гг'/^

^ = . Для расчета величины орр использовали частные решения.

В о

Для очень малых х (х << получили выражение: орр = —/п- +

-. Выводы. Показана сложность обобщенного

2 р a¿p¿ 4pá 4рь

описания поля напряжений у пор различной морфологии. Разрыв непрерывности в точках кромки поры-линзы требовал отдельно рассмотреть несколько областей около неё. При получении решения для ozz и ozp выявили

фактор c^/d2. Сравнение решений ozz для поры-сферы и поры-линзы пока-

2 2 2 2 2

зало, что (d +h ) /4d h успешно работает для линзы. В случае поры-линзы зона высокой интенсивности напряжений перпендикулярна к оси и заметно больше, чем в случае поры-сферы.

Список литературы

I. Sergeev N.N., Chukanov A.N., Baranov V.P., Yakovenko A.A. Development of Damage and Decarburization of High-Strength Low-Alloy Steels Under Hydrogen Embrittlement // Metal Science and Heat Treatment. - 2015. - vol.57.- № 1-2.- P. 63-68.

2.Чуканов А.Н., Сергеев Н.Н., Терешин В.А., Ростовцев Р.Н., Яковенко А.А. Термодинамическое обоснование «метанового» механизма деструкции упрочненных конструкционных сталей при электролитическом наводороживании под напряжением // Деформация и разрушение материалов. 2015. № 10. С. 32-39.

3. Чуканов А.Н. Морфология объёмных зон пластичности у газонаполненных пор в литых и порошковых сталях в условиях стресс-коррозии / А.Н. Чуканов, В. А. Терешин, А.Е. Гвоздев, С.Н. и др. // Известия Юго-Западного гос. университета. - 2019; вып. 23(5). - С. 35-52.

4. Sergeyev N.N., Tereshin V.A., Chukanov A.N. and others. Formation of Plastic Zones near Spherical Cavity in Hardened Low-Carbon Steels under Conditions of Hydrogen Stress Corrosion // Inorganic Materials: Applied Research, 2018, Vol. 9, No. 4, pp. 663-669.

5. Чуканов А.Н., Терешин В.А., Гвоздев А.Е., Сергеев А.Н., Яковенко А.А. и др. Моделирование зон пластичности у газонаполненных пор в литых и порошковых сталях в условиях стресс-коррозии // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - 2018. - Т. 23. - № 122. - С. 314-319.

6. Чуканов А.Н., Терешин В. А., Гвоздев А.Е., Шатульский А.А., Навоев А.П., Сергеев А.Н., Яковенко А.А., Кутепов С.Н., Цой Е.В. Эволюция зон пластичности в окрестности пор в сталях в условиях стресс-коррозии // Заготовительные производства в машиностроении.- 2020. - Т. 18. - №3.- С. 130-136.

7. Чуканов А.Н., Терешин В. А., Цой Е.В. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния в металлических средах на основе концепции силовых линий // Чебышёвский сборник. - 2020. - Т. 21. - Вып. 4 (76). - С. 376 - 389.

8. Чуканов А.Н., Терешин В.А. Силовые линии и алгоритм моделирований напряженно-деформированного состояния материала // «Современные проблемы и направления развития металловедения и термической обработки металлов и сплавов»: Сб. на-учн. статей МНПК. (18.09.2020 г.)/; Курск: Юго-Зап. гос. ун-т, 2020. - 271 с. - С. 241244.

9. Чуканов А.Н., Терёшин В.А. Моделирование напряженно-деформированного состояния материала на основе концепции силовых линий // Матер. МК «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории», Тула, (23-26.09.20).- ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2020.- С. 459-463.

10. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наук. Думка, 1968. - 887 с.

II. Броек Д. Основы механики разрушения. - Пер. англ. - М.: Высшая школа, 1980.-368с.

Chukanov Alexander Nikolaevich, doctor of technical Sciences, leading researcher ([email protected])

Tereshin Valery Alekseevich, Ph. D., senior researcher ([email protected]) Tsoi Evgeny Vladimirovich, post-graduate student ([email protected]) Tolstoy Tula State Pedagogical University, Tula Russia

MATHEMATICAL MODELING OF STRESS FIELDS OF STRESS-CORROSION DEFECTS

Abstract.In this article, modeling of the stress-strain state (VAT) (calculation of stress tensor components (CTN) in the vicinity of pores of various morphologies (sphere, spherical lens)), a hardened metal sample with the involvement of solutions to a number of flat and three-dimensional problems within the approaches of fracture mechanics is performed. A stationary case is considered with a fixed ratio of the values of the external stress and the yield strength of the metal medium.

Keywords: steel, hydrogen stress corrosion, pores, morphology, stress field, fracture mechanics