CC BY
37
УДК 621.9:681.54
doi: 10.20998/2074-272X.2016.3.05
А.В. Чабан, В.Р. Левонюк, 1.М. Дробот, А.Ф. Герман
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПЕРЕХ1ДНИХ ПРОЦЕС1В У Л1Н11 ЛЕХЕРА В СТАН1 НЕРОБОЧОГО ХОДУ
У роботг, на основ1 узагальненого жждисципмнарного (ттердисциплтарного) методу математичного моделювання, який Грунтуешься на модифшаци ттегрального вар1ацшного принципу Гамтьтона-Остроградського, запропоновано математичну модель двопров1дно1' довго'1 жни електропередач, що працюе в неробочому станI. Представлено результати комп'ютерноТсимуляци перех1дних процес1ву вигляд1 рисункв, як анал1зуються. Бiбл. 12, рис. 12. Ключовi слова: математичне моделювання, принцип Гамшьтона-Остроградського, ртияиия Ейлера-Лагранжа, електроенергетична система, лЫя електропередач з розподшеними параметрами.
В работе, на основе обобщенного междисциплинарного (интердисциплинарного) метода математического моделирования, основанного на модификации интегрального вариационного принципа Гамильтона-Остроградского, предложена математическая модель двухпроводной длинной линии электропередач, которая работает на холостом ходу. Представлены результаты компьютерной симуляции переходных процессов в виде рисунков, которые анализируются. Библ. 12. рис. 12.
Ключевые слова: математическое моделирование, принцип Гамильтона-Остроградского, уравнение Эйлера-Лагранжа, электроэнергетическая система, линия электропередач с распределенными параметрами.
Вступ. Математичне моделювання складних електричних систем на сьогодшшнш день е важливою техшчною проблемою. За допомогою апарата математичного моделювання можна аналiзувати електромаг-нггш та електромехашчт неусталеш процеси р1знома-ттних електротехтчних об'еклв i систем, не залу-чаючи до останнiх коштовнi натурт експерименти. Не е винятком тут i електроенергетика.
У нинiшнiй пращ в якосл прикладу аналiзу системи Лехера [1] використано довгу лшш з розпо-дiленими параметрами, яка працюе на постшному струмi. В1домо, що так1 лшп знайшли належне мiсце в електроенергетичних системах багатьох крашах свiту. Передавання електроенергп в такий спосiб: зменшуе втрати в лiнiях (за рахунок вiдсутностi явища скш-ефекту), уможливлюе об'еднання мiж собою лока-льних енергосистем, що працюють з рiзною частотою та зменшуе затрати на будiвництво при великих в1дс-танях за рахунок меншо! кiлькостi проводiв й допо-м1жно! арматури та iн.
На жаль, у нашш державi в силу певних причин, ут1м i економiчних, у 2014 роцi було виведено з ладу едину лшш постшного струму Волгоград-Донбас, яка була спроектована на напругу 800 кВ. Але у високо-розвинених заруб1жних крашах згаданi лшп не тшьки ефективно працюють, але вводяться в експлуатацш новi, iз-за певних переваг, згаданих вище. Тут можна згадати такi лшп: тихоокеанська лiнiя постшного струму потужшстю 1400 МВт, напругою ± 400 кВ, довжиною 1362 км для передачi електроенергп в1д ГЕС в штатi Орегон в енергосистему Лос-Анджелеса; лiнiя передачi електроенергп ГЕС «Сянцзяба» (Xiangjiaba) - Шанхай у Кита! напругою ± 800 кВ за-безпечуе передачу потужносп 6 400 МВт на вщстань у 2000 км; у Канадi три лши передачi довжиною близько 900 км, побудоваш в1д ГЕС Нельсон Р!вер, що знаходяться за полярним колом, до м. Вшншег на швдш кра1ни. потужн1сть третьо1 ЕППС склала 2000 МВт при напруз! ±500 кВ; в Бразилп введенi в роботу два ланцюги ЕППС ГЕС 1тайпу пропускною спро-
можн1стю по 3150 МВт при шпруз1 ± 600 кВ. Довжи-на кожного ланцюга близько 800 км, та ш. [2].
Аналiз останнiх досл1джень. Серед низки наукових роби присвячених аналiзу перех^дних про-цесiв у електроенергетичних системах розглянемо деяш з них, найближчих до теми дано1 працi.
В [3] розроблена математична модель дво- та трипровщнох л1нИ електропередач зм1нного струму для дослвдження перехiдних процесiв та явищ пере-напруг в лшп 500 кВ. На основ1 програмного комплексу АТР-ЕМТР були розраховаш перехiднi процеси та дослiдженi явища перенапруг п1д час аварiйного стану лшп.
Практичний п1дх1д при дослвдженш перехiдних електромагнiтних процейв репрезентовано в робоп [4]. П1сля опису багатьох випадшв моделювання вис-вiтленi вимоги для моделювання вибраних елеменпв енергосистеми. Також зроблено пор1вняльний аналiз дослщжень перехiдних електромагнiтних процейв на коректних i неправильних моделях енергосистеми.
В робоп [5] представлена математична модель електромагштних перехiдних проце^в в електричних системах, яка основана на дискретних вузлових р1в-няннях в фазних координатах i неявних методах чисельного штегрування, що дае можлив1сть моделю-вати перехiднi процеси при симетричних та несимет-ричних комутац^ях i пошкодженнях в електричних мережах будь-яко1 конфiгурацil.
Праця [6] охоплюе широкий спектр аналiзу пере-х1дних i усталених процейв в електроенергетицi тд оригiнальним кутом зору. Матерiал книги базуеться на класичних пiдходах до моделювання електроенергетичних систем. На жаль, очевидно обмеження об'ему книги, в останнш не представлено результати комп'ютерно1 симуляцИ хвильових процеав у л1н1ях.
Метою роботи е удосконалення, на основ! засто-сування варiацiйних п1дход1в, методiв математичного моделювання перех1дних процес1в у л1нИ Лехера, яка працюе в режим1 неробочого ходу, й за рахунок цього б1льш коректно симулювати хвильов1 процеси.
© А.В. Чабан, В.Р. Левонюк, 1.М. Дробот, А.Ф. Герман
Ва|лацшиа модель лши Лехера. Щоб будувати математичнi моделi дослвджуваних об'eктiв з високим рiвнем адекватностi потрiбно правильно використову-вати основнi фундаментальнi закони прикладно! фiзики, якi застосовуються в ввдповщних галузях науки [9]. У нашому випадку це електродинамiка [1, 6, 7].
Математичне моделювання, зазвичай, використо-вуе два щдходи. Перший - класичний щдхвд, що грун-туеться на законi збереження енерги i другий - ва-рiацiйний, що грунтусться на мiнiмiзацi! функцюналу до системи [9]. Кожен з цих пiдходiв мае сво! вади й переваги, але при правильному використант призводить до вiрних результапв [8]. 1ншими словами, дороги, яю ведуть до остаточно! моделi в1дазняються, але одержаний результат - однаковий. Звичайно, право вибору щдходу до моделювання належить дослвднику.
Ми пропонуемо для аналiзу перехвдних процесiв у лши Лехера використовувати модифiкований принцип Гамттона-Остроградського (варiацiйний пiдхiд) [9]. Згаданий пiдхiд дае можливiсть уникнути деком-позицп едино! динамiчно! системи, а одержати вихщш рiвняння стану виключно з единого енерге-тичного щдходу, шляхом побудови розширено! функци Лагранжа [9]. 1ншими словами, запропонова-на дорога дае змогу будувати моделi динамiчних систем на шдстаи мiждисциплiнарних (штердисципль нарних) пiдходiв. Особливо це актуально для систем з розподшеними параметрами, у пм i для довгих лiнiй електропередач, коли в рiвняннях стану об'екта потрь бно враховувати: електростатичнi впливи (явище ко-рони), термодинамiчнi впливи (названия електро-проводiв, особливо пщ час плавлення ожеледi), ме-хашчш впливи на проводи, зокрема, рiзного роду ко-ливання (особливо резонансш й близьк1 до резонансу (биття коливань) процеси) та iн. В нишшнш працi ми не враховуемо вище згаданi впливи, але щ впливи ми плануемо враховувати в подальших наших дос-лiдженнях, власне для цього ми i пропонуемо цей щдхвд.
Ключовим елементом модифiкованого принципу Гамiльтона-Остроградського е розширений неконсер-вативний лагранжиан. Представимо його аналiтичний вигляд [8, 10]:
Ь* = Т* - Р* + ф* - Б*, (1)
де Ь* - модифжована функцiя Лагранжа, Т* - шне-тична коенерпя, Р - потенщальна енерпя, Ф - енер-гiя дисипаци, Б - енерпя стороннiх непотенцiальних сил.
Ми вже згадували, що лiнiя Лехера в загальному випадку розглядаеться як система з розподшеними параметрами [10, 11]. Тодi елементи модифжовано! функци Лагранжа будуть не енергетичними функщя-ми, а !хшми вщповщними густинами [1]. Отже, функ-цiонал ди за Гамiльтоном-Остроградським буде ви-глядати так [9]:
ь ( \
8 = |Ь* +
| ЦсИ
С-,
I = |цл,
тут Ь = 0 , (2)
де 8 - дiя за Гам№тоном-Остроградським, Ь - лшш-на густина модифшовано! функци Лагранжа, I - енер-гетичний функцiонал.
Запишемо складники розширено! функци Лагранжа (маеться на увазi лшшно! густини) [9]:
СТ * дх
_ Т =
ЬЯ? дР* _
1
се.
2 дх
_ Р =ттг 02, о- ='; (3)
2С
с*
сф*
дх
_Ф1 =Ф1 з-Ф1В =
Т
о Г>2 £ог>2
ех
2С,
2 ^ х
сСт , (4)
Ук=т
де 1(х,к) - струм в лши, Я0, g0, С0, Ь0 - параметри лiнi!, Ф13 - зовшшня дисипащя енергi!, ФВ - внутршня дисипащя енерги, 0(х,1) - заряд лши.
Рис. 1. Електрична схема з'еднання елеменгiв лши Лехера в сташ неробочого ходу
Важливо вщзначити, що в рiвняннi (4) фиуруе знак мiнус! Це пов'язано з тим що функц1я внутрш-ньо! дисипацi! залежить вщ струмiв витоку, якi проть кають мiж проводами лши. Очевидно, що лш1я електропередач пщ час пересилання енерги вщ джерела до споживача споживае енергiю, що розсшеться в простора 1ншими словами, енерпя передаеться виключно за допомогою електромагштного поля, а проводи лши лише вказують напрямок поширення електромагшт-но! хвилi [1].
З урахуванням рiвнянь (3), (4) енергетичний функцiонал буде виглядати так [9]:
I =
I1Т е- - £е +Г (Т е - С е
Ст\С1 .(5)
Лг=т
Запишемо варiацiю енергетичного функцiоналу (5) i прирiвняемо !! до нуля
- \
Л1 ^Я! + То 1=тЛт
Со
е+С2Iе
СI
хк=т
Ст
е -
Ох \С1 = 0. (6)
о 0
Дал^ для кожного з шдштегральних виразiв зас-тосуемо правило штегрування за частинами, а також вiдому теорему Гаусса-Остроградського. Тод^ для першо! дужки будемо мати [9]:
I ье + я01 тСт
ем(7)
i для друго!:
Г— .1 е +121 е
)дх С0 ех с2 Г ех
л
тсСт
С 2 х|*=т I \ » С0 0
де О., 0.х - крайовi умови до функцiоналу (5).
емх, (8)
0
1
0
Зв1дки, можемо записати
Г I С° дх2 С2 Г
0 0
дх2 \г=т
dт — Ь
0
д 26 дл 2
(9)
— — г-00 dт\юdl + П_ 0, П_П. +Пх. 0 дл 0 дг^=т р > I х
Легко бачити, що вар1ац1я енергетичного функ-цюналу може бути р1вною нулю тшьки у випадку р1в-носп нулю шдштегрально! функци або вар1аци функ-цп заряду лши. Оск1льки 52 школи не може бути р1в-ною нулю [9, 12] то енергетичний функцюнал (9) одержуе стацюнарне значення лише у випадку р1вно-ст1 нулю падштегрально! функцп, тобто наявносп р1вняння Ейлера-Пуасона [9, 12]
1
д 20
С° дх С,
1_Г
с2 Г
д20 л Г
д20 и д0 _ 0 "а2" - К° 1Г "
(10)
А.
С° дх2
_ Ь
д20 „ дО 0 дл2 + Ъ дл
-77. (11)
Узявши до уваги вираз [1]
•д 20 , дл2 \г_г
dт _
о
дл''
приходимо остаточно р1вняння [1, 10]
до
Го (12)
0 \л_т
в1домого телеграфного
дО
_ 2 ^ ■ + 1°Ь° У + . (13)
дх2 дл2 дл
Р1вняння лши Лехера (телеграфне р1вняння) запи-сане для функци заряду лшп. Але воно легко транс-формуеться у загальне телеграфне р1вняння
д20 _ Ь с д20 + (
д2Л
д2Л
дХ
а /_ЬС^ +((° + 1°Ь°)— + (2,4,0. (14)
дх дл дл
Досв1д показуе, що для найбшьш оптимального описания ф1зичних процеав у лши дощльно в якосп загально! функцп використати функц1ю напруги, тобто X = и(х,л) [1, 10]
Перепишемо (14) у такий спос1б:
ду
( Я 2
д и
дл
\
— _ (с0Ь° ) 1 —у — ((°Ь0 + С°Ъ У — 10
дх■
I _ <15)
(16)
Дал1, для лши електропередач рiвияния (15), (16) запишемо в дискретному простор1 (дискретизуемо за методом прямих)
dvi , ч _(С° Ь° У
( иг —! — 2иг + иг +1 _
(хх)2 1 Ь° +
+ С°R° У — 1°Я°и; , и1 _ и(( л) х=0, иы _ u(x, лУ х_1; (17)
dij
и1+1 иГ—1
2Ах du
dл
_ + Ь°~1Г;
Г _ у., Г _ 2,..., N — 1.
(18)
(19)
Перепишемо рiвияння (17), (18) для Ы-го вузла дискретизацп зпдно з рис. 1 у такому вигляд1
1
dvN
dл С ° Ь°
\2 (1 2иЫ + иЫ+1 У
_(Ах)2
Запишемо до рiвияния (10) вираз стац1онарних зв'язк1в [1, 10]
— ((°Ь° + С°)уЫ — 1°я°
+1
ЛЫ—1
2Ах
_ 0,
(20)
(21)
де иЫ+1 - функц1я напруги вузла дискретизацп у ф1к-тивному шар1 [10], яку знайдемо з р!впяння (21). Тод1,
иЫ+1 _ иЫ—1 . (22)
Ураховуючи (20) i (22) запишемо к1нцеве р1внян-ня довго! л1н11 для Ы-го вузла
dvA
2
(
л С° Ь° (Ах)
2и N —1
2
С° Ь° (Ах)2
1° Ъ
С° Ь°
Л
Ь° + С°
С° Ь°
йиы dЛ
■ _ V
N ■
(23)
(24)
Важливою функц1ональною залежшстю, яка ц1-кавить потенц1йних користувач1в е значення струму в елементах лшп Лехера. Розрахувати його можна так. Дискретизуючи р1вняння (16) за методом пря-мих (права пох1дна) будемо мати:
и.+1 — и. Ах
_ + Ь°
dЛ
(25)
Найважлив1шою проблемою розв'язання р!внян-ня (15) е визначення початкових (у(х,л)\л=ло) 1 крайових (и(х,л)|х=0 i и(х,л)\х=1) умов. Що до перших, то тут проблема розв'язуеться у звиклий спос1б (!х роз-раховують з попередн1х дослщжень або приймають нульовими). Основна проблема зводиться до пошуку крайових умов. У загальному випадку напруги на початку и(х,л)\х=0 й к1нц1 и(х,л)\х=1. л!н11 е нев1домими. У конкретному випадку (щодо нишшньо! прац1) на-пруга на початку лши в1дома, натом1сть у шнщ л!н11 -н1. Власне пошуком ц1е1 напруги ми й займемось.
Запишемо рiвияния (11) в такий споаб (з ураху-ванням 2х(х,л) = С0и(х,л)):
— _ R°i(x, л) + Ь° дi|л).
ох дл
Зв1дки, одержимо остаточно dij 1( \ Ъ°
_ТГ(и. — и.+1 i,, Г _ 1,...,N — 1. (26)
dЛ Ь°Ах 7 7 Ь° 7
Сум1сному штегруванню п1длягае така система диференц1альних р1внянь: (17), (19), (23), (24), (26).
Результати комп'ютерноТ симуляци. Комп'ю-терна симулящя перех1дних процес1в проводилась для лши Лехера на постшному струм1 в сташ неробочого ходу. Лшя мае так1 параметри: Я0 = 0.86-10-1 Ом/км Ь0 = 0.134-10-12 Гн/км, С0 = 0.85-10-8 Ф/км, = 0.375-10-7 См/км, довжина л!н11 I = 600 км. ЛЫя заживляеться пост1йною напругою и(х,л)\х=0 = 400 кВ.
На рис. 2, 3, 4 показано просторовий розподш електромагн1тно1 хвил1 як функцюнально! залежност1 струм1в (1) та напруг (2). З рисунков видно ф1зичш за-
и, —
N
V
N
сади електромагштних процеав у довгiй лши Лехера. Проаналiзуемо цi процеси.
о ЭСЮ 6СЮ
Рис. 2. Розподш струму (1) i напруги (2) в лши в момент часу г = 0.002 с
часу г = 0.004 с
На рис. 2. показано просторовий розподш функци струму та напруги в момент часу 0.002 с. Аналь зуючи згаданий рисунок легко бачити, що функщя напруги починае спадати, i в центральнш частиш лiнi! рiзко пiднiмаеться догори. А функщя струму у цьому ж мсщ навпаки, - спадае.
часу г = 0.1 с
Рис. 5. Зображення функци перехщного процесу напруги в центральны гочцi лши
Нагадаемо, що хоча лiнiя знаходиться в неробо-чому станi, струми витоку та струми в елементах лши будуть присутнiми. Власне причина того - це емшсш струми мiж проводами лiнi!. Очевидно, що в кшщ лши електропередач струм буде рiвний нулю, оскшь-ки лiнiя ненавантажена.
Рис. 6. Зображення функци перехщного процесу струму в центральнш точщ лши
На рис. 3. показано те саме, але в момент часу 0.004 с. Якщо в момент часу 0.002 с (див. рис. 2) функщя напруги зросла до 460 кВ то в момент часу 0.004 с цей зрют був 750 кВ. Напруга зросла майже в два рази. Щодо струмiв, то вони зменшились майже в чотири рази.
Рис. 7. Зображення функци напруги переходного процесу в кшщ лши
в кшщ лши
На рис. 4. показано знову ж таки те саме, що й на рис. 2 i 3 в момент часу коли перехщний процес практично завершився. З рисунку видно, що вщхи-лення функцш напруги й струму прийняли практично мiнiмальне значения. 1ншими словами, амплiтуда електромагнiтноï хвилi в результатi дисипацiйних процесiв ютотно зменшилася. Коливний процес практично затухае.
60СГО 02 х, км
Рис. 10. Часово-просторовий розподiл функци напруги в момент часу t е [0.02; 0.04] с
представленi у 3D форматi. Варто зазначити досить високу iнформативнiсть цих рисуншв, яка полягае в тому, що i просторовий, i часовий розподши створюють тривимiрний простiр. Доцiльно згадаш рисунки аналiзувати у порiвняннi з рис. 2 - 5 i 7.
600^0 х, км
Рис. 9. Часово-просторовий розподш функци напруги в момент часу t е [0; 0.02] с
На рис. 5 - 8 показано перехщний процес функ-цюнальних залежностей напруги й струму (часовий розподш). Перших два рисунки стосуються центрального вузла лши для напруги й центрального вiдрiзку лши для струму. Других два - передостаннього вузла лши та передостанньо! дискретно! вггки лши.
Здшснюючи порiвняльний аналiз згаданих рисуншв легко бачити, що функци напруги (див рис. 5 i 7) мало змiнюеться. Зовам шшу картину бачимо (див. рис. 6 i 8) стосовно струмiв. Струм змiнюеться майже у 8 разiв. Це пов'язано з тим що лiнiя електропередач е ненавантажена (неробочий хщ).
X, км
Рис. 11. Часово-просторовий розподш функци струму в момент часу t е [0; 0.02] с
Рис. 9 i 10 репрезентують напругу лши як функцш часово! й просторово! координат. Ц рисунки
Рис. 12. Часово-просторовий розподш функци струму в момент часу t е [0.02; 0.04] с.
На рисунках 11 i 12 показано те саме, що i на попередшх двох, але для функци струму. Як бачимо функщя напруги i струму знаходяться у протифазг Оскшьки природа напруги пов'язана з електричним полем, а струм з магштним то можна зробити вис-новок про просторову перпендикуляршсть полiв Е i В, що стверджуе класика електродинамiки [1]. Пред-ставленi рисунки доцiльно аналiзувати у порiвняннi з рис. 2 - 4, 6, 8.
Висновки.
1. Варiацiйнi пiдходи до моделювання перехщних процесiв у довгих лшях електропередач дають можливiсть уникнення декомпозици едино! системи, натомiсть формувати кiнцевi рiвняння стану виключно з единого енергетичного пiдходу шляхом побудови розширено! функци Лагранжа.
2. Важливим моментом тд час розв'язання дифе-ренцiальних рiвнянь стану довго! лши е пошук кра-йових умов, яш досить часто е завуальованими, неко-ректно заданими, а також використання крайових умов Неймана та Пуанкаре. Знаходження цих умов тягне за собою заангажування повно! системи дифе-ренщальних рiвнянь дослiджуваного об'екту, зокрема, трансформаторiв, реакторiв, компенсацiйних при-стро!в тощо, що значно ускладнюе розрахунок перехщних процеав у довгiй лши.
3. Досвщ показуе, що тд час аналiзу локальних електроенергетичних систем в найоптимальшшому варiантi телеграфне рiвняння довго! лiнi! доцiльно записувати у функци напруги. У випадку моделюван-ня локальних енергетичних систем, коли використо-вують електромагштш моделi елементiв цих систем (¥ - типу та А - типу) виникають труднощi з вико-ристанням вiдомого методу вузлових напруг, що уне-можливлюе знаходження напруги на початку та кшщ лши, а вщтак, не дае змоги коректно розв'язати саме рiвняння. Усе це ставить тд сумшв ступiнь адек-ватностi евентуальних результатiв, як1 одержанi за допомогою вщомих iнженерних програм Mathematica, MatLab та iн., а особливо використання цих програм стае неможливим, коли розглядають коло-польовi моделi елементiв. У такому випадку до кожно! конкретно! задачi потрiбно використовувати вщповщний апарат математичного моделювання.
4. На 0CH0Bi результата комп'ютерно! симуляцп можна зробити низку висновк1в:
• функця напруги мае найбшьшу амплпуду коливань в кiнцi лши, коли функця струму - на початку лши;
• просторовий розподiл функцюнальних залеж-ностей лши засилання (рис 2, 3 i 4), тдтверджуе фiзичнi засади електродинамiки стосовно хвильових процесiв в довгих лшях електропостачання;
• представлений у 3D формат часово-просторовий розподш функцiй струму й напруги надають найбiльше шформацп про хвильовi процеси в лши Лехера в стан неробочого ходу.
Матерiали ще! роботи будуть використовуватися в подальших дослщженнях, якi стосуватимуться довгих трифазних лшш електропередач з рiзними видами та типами навантажень.
СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ
1. Шимони К. Теоретическая электротехника. - М.: Мир, 1956. - 773 с.
2. https://www.energetika.in.ua.
3. Nayir A. Simulation of transient processes on overvoltage in electric transmission lines using ATP-EMTP // Turkish Journal of Electrical Engineering & Computer Sciences. - 2013. - №21. - pp. 1553-1556. doi: 10.3906/elk-1108-8.
4. Sowa P., Kumala R., Luszcz K. Modeling of power system components during electromagnetic transients // International Journal of Innovative Science, Engineering & Technology. -
2014. - vol.1. - iss.10. - pp. 715-719.
5. Веприк Ю.Н., Минченко А.А. Коммутационные перенапряжения в электропередаче 750 кВ // Електротехшка i електромехашка. - 2009. - №4. - С. 17-20. doi: 10.20998/2074-272X.2009.4.04.
6. Кириленко O.B. та in Математичне моделювання в електроенергетищ. Шдручник / за ред. М.С. Сегеди. - Львш: Львшська полiтехнiка, 2010. - 608 с.
7. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники: В 2-х т. Учебник для вузов. Том 1. - Л.: Энергоиздат, 1981. - 536 с.
8. Уайд Д. Вудсон Г. Электромеханическое преобразование энергии. - Л.: Энергия, 1964. - 539 с.
9. Чабан А.В. Принцип Гамшьтона-Остроградського в електромехашчних системах. - Л.: В-во Тараса Сороки,
2015. - 488 с.
10. Чабан А.В. Математичне моделювання коливних процеав в електромехатчних системах. - Л.: В-во Тараса Сороки., 2008. - 328 с.
11. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. - М.: Энергия, 1975. - 752 с.
12. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. - М.: Мир, 1987. - 542 с.
REFERENCES
1. Shimoni K. Teoreticheskaya elektrotekhnika [Theoretical Electrical Engineering]. Moscow, Mir Publ., 1956. 773 p. (Rus).
2. Available at: https://www.energetika.in.ua (Accessed 25 July 2014).
3. Nayir A. Simulation of transient processes on overvoltage in electric transmission lines using ATP-EMTP. Turkish Journal of Electrical Engineering & Computer Sciences, 2013, no.21, pp. 1553-1556. doi: 10.3906/elk-1108-8.
4. Sowa P., Kumala R., Luszcz K. Modeling of power system components during electromagnetic transients. International Journal of Innovative Science, Engineering & Technology, 2014, vol.1, iss.10, pp. 715-719.
5. Vepryk Yu.N., Minchenko A.A. Switching overvoltage in 750 kV power line. Elektrotekhnika i elektromekhanika -Electrical engineering & electromechanics, 2009, no.4, pp. 1720. (Rus). doi: 10.20998/2074-272X.2009.4.04.
6. Kyrylenko O.V. Matematychne modelyuvannya v elektroenerhetytsi [Mathematical modeling in the power]. Lviv, Lviv Polytechnic National University Publ., 2010. 608 p. (Ukr).
7. Neyman L.R., Demirchyan K.S. Teoreticheskie osnovy elektrotekhniki. V 2-kh t. T. 1 [Theoretical bases of electrical engineering. In 2 vols. Vol. 1]. Leningrad, Energoizdat Publ., 1981, p. 536. (Rus).
8. Uayd D., Vudson G. Elektromekhanicheskoye preobrazova-niye energii [Electromechanical energy conversion]. Leningrad, Energiia Publ., 1964. 539 p. (Rus).
9. Chaban A.V. Pryntsyp Hamiltona-Ostrohradskoho v elektromekhanichnykh systemakh [The principle of Hamilton-Ostrogradskii in electromechanical systems]. Lviv, Taras Soroka Publ., 2015. 488 p. (Ukr).
10. Chaban A.V Matematychne modeliuvannia kolyvnykh protsesiv v elektromekhanichnykh systemakh [Mathematical modeling of oscillating processes in electromechanical systems]. Lviv, Taras Soroka Publ., 2008. 328 p. (Ukr).
11. Zeveke G.V., Ionkin P.A., Netushil A.V., Strakhov S.V. Osnovy teorii tsepey [Fundamentals of circuit theory]. Moscow, Energiia Publ., 1975. 752 p. (Rus).
12. Vasydzu K. Variatsionnyye metody v teorii uprugosti i plastichnosti [Variational methods in the theory of elasticity and plasticity]. Moscow, Mir Publ., 1987. 542 p. (Rus).
Надтшла (received) 22.01.2016
Чабан Андрш Васильович1, д.т.н., професор, Левонюк Вталш Романович1, асистент, Дробот 1ван Михайлович1, ст. викладач, Герман Андрт Фердинандович1, ст. викладач, 1 Львгвський нацюнальний аграрний ушверситет, 30831, Львгвська обл., Дубляни, вул. В. Великого, 1, e-mail: [email protected], [email protected]
A.V. Chaban1, V.R. Levoniuk1, I.M. Drobot1, A.F. Herman1 1 Lviv National Agrarian University, 1, V. Velykoho Str., Dubliany, Lviv Region, 30831, Ukraine. Mathematical model of electromagnetic processes in Lehera line at open-circuit operation.
Purpose. The work proposed for the modeling of transients in Lehera line uses a modified Hamilton-Ostrogradskiy principle. The above approach makes it possible to avoid the decomposition of a single dynamic system that allows you to take into account some subtle hidden movements. This is true for systems with distributed parameters, which in the current work we are considering. Methodology. Based on our developed new interdisciplinary method of mathematical modeling of dynamic systems, based on the principle of modified Hamilton-Ostrogradskiy and expansion of the latter on the non-conservative dissipative systems, build mathematical model Lehera line. The model allows to analyze transient electromagnetic processes in power lines. Results. In this work the model used for the study of transients in the non-working condition Lehera line. Analyzing the results shows that our proposed approach and developed based on a mathematical model is appropriate, certifying physical principles regarding electrodynamics of wave processes in long power lines. Presented in 3D format, time-space distribution function of current and voltage that gives the most information about wave processes in Lehera line at non-working condition go. Originality. The originality of the paper is that the method of finding the boundary conditions of the third kind (Poincare conditions) taking into account all differential equations of electric power system, i.e. to find the boundary conditions at the end of the line involves all object equation. This approach enables the analysis of any electric systems. Practical value. Practical application is that the wave processes in lines affect the various kinds of electrical devices, proper investigation of wave processes is the theme of the present work. References 12, figures 12. Key words: mathematical modeling, Hamilton-Ostrogradskiy principle, Euler-Lagrange equation, electric power system, power line with distributed parameters.
