CC BY
102
УДК 519.862.6
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ
© С. И. Спивак, Е. В. Саяпова, Р. Э. Ахтямов
Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, г. Уфа, 450074, ул. Фрунзе, 32.
Тел. +7 (347) 273 61 62. E-mail: sayapovAR@mail.ru
Начало современной теории портфеля связано со статьей Гарри Марковица «Выбор портфеля», изданной в 1952г. В нашей работе показано, как проблема выбора оптимального портфеля может быть сведена к задаче выпуклого квадратичного программирования. В данной статье на основе модели Марковица разработана модель оптимального инвестиционного портфеля с двусторонними ограничениями на переменные, связанными с требованиями законодательства. Написана программа, которая из 10-15 видов акций и облигаций крупных российских компаний формирует оптимальный набор активов и вычисляет риск оптимального портфеля для заданного уровня ожидаемой доходности.
Ключевые слова: оптимальный портфель, риск, доходность, стандартное отклонение доходности, ожидаемая доходность, квадратичное программирование, двойственная задача, вариация портфеля.
Теория оптимального портфеля позволяет сформировать инвестиционный пакет финансовых активов, риск которого минимален по сравнению со всеми другими возможными портфелями, составленными из этих же активов. В качестве меры риска портфеля рассматривается стандартное отклонение (или дисперсия), характеризующее вероятность отклонения доходности портфеля от ожидаемого значения. Любой портфель характеризуется двумя параметрами - ожидаемой эффективностью и риском.
В общем виде математическая модель нахождения оптимальной структуры портфеля имеет следующий вид [1]:
min V
= ZZ Vj
при ограничениях:
Z xjmj=mp
= 1
(1)
(2)
долю х. наличного капитала в ценные бумаги вида ]. Если Л]<0, то это означает рекомендацию взять в долг ценные бумаги этого вида в количестве -л.
Четвертое условие соответствует требованиям законодательства. Например, в составе и структуре активов паевого инвестиционного фонда оценочная стоимость акций (облигаций, векселей) одного хозяйственного общества может составлять не более §. процентов стоимости активов.
Исходная задача представляет собой проблему квадратичного программирования, для решения которой разработаны специальные численные методы.
Прямая задача квадратичного программирования [2]:
п п Ґ'"Х\
ШІП /(х) = ZZЛ‘ІХ‘ХІ ( )
‘=1 ]=1
при ограничениях
Л] - 0
X] <§]
где Ур - вариация эффективности портфеля;
У. - ковариации эффективностей ценных бумаг і-го и ]-го вида;
т. - математическое ожидание эффективности
ценной бумаги ]-го вида;
тр - заданная эффективность портфеля;
х] - доля капитала, вложенного в ценные
бумаги ]-го вида.
Условие неотрицательности переменных в данной постановке задачи является необходимым. Если Л]>0, это означает рекомендацию вложить
v, = Z aijxj + ъ, - 0,(i=1 m) j=1
x, > 0,( j = 1, n)
(4)
Двойственная задача квадратичного программирования:
max g (x) =
где
-ZZ
i=1 j=1
при ограничениях
Z aijUj + vt > 0, (i = 1, n)
j=1
Uj > 0,( j = 1, m)
d/ (x) ,
i dxi
v,v, + Z bjUj
(5)
j=1
и ■ - множители Лагранжа.
Двойственная задача составляется по следующим правилам, приведенным в работе [3].
1. Целевой функцией двойственной задачи является функция Лагранжа прямой задачи:
/ (х) + ^и.р. (х)
7=1
Число переменных двойственной задачи равно ш+п - суммарному количеству переменных и ограничений прямой задачи.
2. Минимизация целевой функции прямой задачи заменяется максимизацией целевой функции двойственной задачи.
3. Каждому ограничению - неравенству р. (х) < 0 прямой задачи соответствует новая неотрицательная переменная и, двойственной задачи.
При этом экстремальные значения целевых функций обеих задач совпадают (обобщение первой теоремы двойственности) и выполняется условие дополняющей нежесткости (обобщение второй теоремы двойственности): р. (х*)и* = 0 0=1, — , ш)
Это условие означает, что двойственные переменные и. являются оценками ограничений
прямой задачи: если значение какой-либо переменной допустимого решения одной задачи отлично от нуля, то допустимое решение двойственной задачи обращает в строгое равенство соответствующее этой переменной ограничение двойственной задачи, а если допустимое решение одной задачи обращает в строгое неравенство некоторое ограничение этой задачи, то в допустимом решении двойственной задачи равна нулю переменная, соответствующая этому ограничению.
Решив обобщенную задачу Лагранжа, которая выступает критерием оптимальности решения, можно непосредственно получить решения пары двойственных задач.
Для решения данной задачи был выбран метод Баранкина-Дорфмана. Первоначально ставится задача квадратичного программирования:
шш{ртх + хтСх\Лх < Ь, х > о}, (7)
в которой С - положительно полуопределенная матрица размерности п х п, А - матрица размерности т х п.
Составляются условия Куна-Таккера для задачи (7):
Г Ах + У = Ь, (8)
\ 2Сх - V + АтХ = -р,
I х > 0, V > 0, У > о, х> о,
и
х^ + У тХ = 0, (9)
где
V = V х¥ (х, X) = р + 2Сх + АтХ,
У = ¥ (х, X) = - Ах + Ь .
Задача формулируется следующим образом: среди допустимых базисных решений системы (8) найти такое, которое обращает в нуль величину х V + У тХ.
Метод Баранкина-Дорфмана начинает с некоторого базисного решения системы (8), необязательно удовлетворяющего условию (9), и с помощью симплексных преобразований сводит к нулю выпуклую функцию х V + У тХ. Для конечного последовательного перебора всех возможных опорных планов предлагается воспользоваться алгоритмом перебора с возвратами, который также называется алгоритмом Г амильтона, и применить его для выбора разрешающего элемента на каждом этапе симплексного преобразования.
Для проведения вычислительного эксперимента выбирается от 10 до 15 видов ценных бумаг, из которых формируется портфель инвестора: акции обыкновенные ОАО РАО «ЕЭС России»(ЕЕ8Я), акции обыкновенные ОАО ГМК «Норильский никель» (ОМЮЧ), акции обыкновенные ОАО «ЛУКОЙЛ» (ЕКОЫ), акции обыкновенные ОАО «Ростелеком» (ЯТКМ), акции обыкновенные ОАО «Сбербанк России» (8БЕЯ), акции обыкновенные ОАО «Сургутнефтегаз» ^N08), акции
првилегированные ОАО «АК Транснефть» (TRNFP), облигации ОАО «АвтоВАЗ» (Автоваз), облигации ОАО «Ленэнерго» (ЛенЭн.), облигации ОАО «Газпром» (Газпром), облигации ОАО
«Южная телекоммуникационная компания» (ЮТК), облигации ЗАО «Банк Русский Стандарт» (БанкРС), облигации ОАО «Внешторгбанк» (ВнТоргБ), облигации ООО «Русский алюминий финансы» (РусАлФин), облигации ООО «Вымпелком Финанс» (ВПКФин).
Первоначально по заданному вариационному ряду доходностей ценных бумаг были найдены статистические характеристики портфеля: математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение эффективности ценной бумаги, корреляционная матрица доходности ценных бумаг (табл. 1, 2). Первичная обработка данных выполнена с помощью пакета прикладных программ СТАТИСТИКА 6.0.
Написана программа, реализующая метод Ба-ранкина-Дорфмана с использованием алгоритма Гамильтона для нахождения опорного решения.
Минимальное значение риска найдено при задан- дой ценной бумаги в портфеле не превосходит
ном значении эффективности начиная от 6% и до 10%. Полученные результаты приведены в табл.3.
16% при дополнительных ограничениях: доля каж-
Таблица 1.
Среднее значение доходности и стандартное отклонение доходности ценных бумаг.
EESR GMKN LKOH RTKM SBER SNGS TRNFP Автоваз ЛенЭн Газпром ЮТК БанкРС ВнТоргБ ВПКФин РусАлФин
ті 17.6482 28.2374 43.8559 17.4631 52.8129 15.4284 36.5887 7.9185 10.1514 6.8322 9.8748 7.7767 5.9805 7.5565 7.8740
ч 16.4356 19.6344 34.9189 9.6785 41.3768 18.1863 47.5144 1.2437 0.6833 0.5441 1.2577 1.1610 0.6314 0.9710 0.3531
Таблица 2.
Корреляционная матрица доходностей ценных бумаг.
EESR зми ІЖОН «ткм SBER SNGS ждаї Автова ЛенЭн азпро] ЮТК »анкР< нТорг ПКФи РусАл Фин
EESR 1.0000 0.9385 0.9619 0.6714 0.9506 0.9497 0.9533 0.0121 0.7091 0.7335 0.1808 0.2047 0.6030 0.5630 0.7071
ЗМЮ 0.9385 1.0000 0.9484 0.7087 0.9457 0.9477 0.9274 0.0457 0.7125 0.7537 0.1512 0.2555 0.5653 0.5445 0.6683
ІЖОН 0.9619 0.9484 1.0000 0.6999 0.9546 0.9569 0.9538 0.0180 0.8037 0.820 0.2463 0.2748 0.6117 0.6210 0.7515
СТКМ 0.6714 0.7087 0.6999 1.000( 0.6502 0.7191 0.5842 0.2081 0.7242 0.7453 0.0450 0.3767 0.3161 0.6160 0.6719
SBER 0.9506 0.9457 0.9546 0.650; 1.0000 0.9129 0.9514 0.0658 0.7253 0.7501 0.1578 0.2611 0.6971 0.5884 0.586
SNGS 0.9497 0.9477 0.9569 0.7191 0.9129 1.0000 0.9476 0.1123 0.7171 0.7185 0.2575 0.1238 0.4880 0.4727 0.7807
шоті 0.9533 0.9274 0.9538 0.5842 0.9514 0.9476 1.0000 0.1259 0.6967 0.675 0.2532 0.0961 0.5788 0.4692 0.6778
івтова 0.0121 0.0457 0.0181 -0.208 0.0658 0.1123 0.1259 1.0000 0.1204 0.2674 0.3394 0.5906 0.1697 0.4155 0.2083
ЛенЭн 0.7091 0.7125 0.8037 -0.724 0.7253 0.7171 0.6967 0.1204 1.0000 0.8368 0.1881 0.4558 0.3964 0.6727 0.6750
'азпро 0.7335 0.7537 0.820 -0.745 0.7501 0.7185 0.6754 0.2674 0.8368 1.0000 0.2051 0.5417 0.5194 0.8278 0.6134
ЮТК 0.180! 0.1512 0.2463 -0.045 0.1578 0.2575 0.2532 0.3394 0.1881 0.2051 1.0000 0.1041 0.1647 0.0589 0.3190
>анкР< 0.204' 0.255: 0.2748 -0.376 0.2611 0.1238 0.0961 0.5906 0.4558 0.5417 0.1041 1.0000 0.3058 0.6089 0.0909
нТорг 0.6030 0.5653 0.6117 0.3161 0.6971 0.4880 0.5788 0.1697 0.396 0.519 0.1647 0.3058 1.0000 0.467 0.1547
ПКФи 0.5631 0.5445 0.6211 -0.616 0.588- 0.4727 0.4692 0.4155 0.6727 0.8278 0.0589 0.6089 0.467 1.0000 0.4038
*усАл< ин 0.7071 0.6683 0.7515 -0.671 0.586 0.7807 0.6778 0.2083 0.6750 0.6134 0.3190 0.0909 0.1547 0.4038 1.0000
Таблица 3.
Результаты решения задачи оптимального портфеля.
доходность. % риск двойств. ф-ия ЕЕвИ ом™ ькои иткм 8БЕИ вКОв ТИ^Р Авто-ваз и СО и и ч Газпром И н 2 о ъ и а и & о н и и и и © и ^ § £ © Оі Сумма долей
16 46.389 46.389 0.000 0.100 0.009 0.100 0.100 0.000 0.000 0.100 0.100 0.091 0.100 0.100 0.000 0.100 0.100 1.000
ь= 12.552 91.467 0.000 42.889 8.833 30.249 10.516 11.133 0.000 10.192 34.932 0.000 1.472 0.000 15.626 0.000 0.000
12 11.382 11.382 0.000 0.066 0.000 0.100 0.038 0.000 0.000 0.100 0.100 0.100 0.100 0.100 0.096 0.100 0.100 1.000
ь= 5.692 31.493 10.206 29.708 14.002 15.942 14.933 15.294 0.000 14.697 25.717 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
8 0.499 0.499 0.000 0.008 0.000 0.079 0.000 0.000 0.000 0.100 0.100 0.100 0.100 0.100 0.100 0.100 0.100 0.887
ь= 0.716 0.000 5.309 7.806 5.594 0.000 5.952 5.929 4.014 5.676 6.986 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
6 0.039 0.039 0.000 0.000 0.003 0.014 0.000 0.000 0.000 0.082 0.100 0.100 0.100 0.018 0.100 0.100 0.100 0.717
ь= 0.027 0.000 0.125 0.222 0.000 0.000 0.218 0.069 0.134 0.000 0.076 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
Как видно из табл. 3, при максимальной эффективности (16%) следует вложить по 10% суммы капитала в акции «Норильский никель», «Ростелеком», «Сбербанк», в облигации
«АвтоВАЗ», «Ленэнерго», «ЮТК», «Банк Русский Стандарт», «Вымпелком Финанс», «Русский алюминий финансы», т.к. акции обладают высокой доходностью, а облигации - низким риском. С уменьшением эффективности постепенно понижается доля акций в портфеле и возрастает доля облигаций. При эффективности 12% максимально возможные доли капитала нужно вложить в акции «Ростелеком», в облигации «АвтоВАЗ», «Ленэнерго», «Газпром», «ЮТК», «Банк Русский Стандарт», «Вымпелком Финанс», «Русский алюминий финансы», 9.6% капитала нужно вложить в облигации «Внешторгбанка». Доля акций «Сбербанка» в портфеле понижается (до 3.8%), т.к. риск этих ценных бумаг достаточно высокий. При эффективности 8% в портфель следует включить все облигации в максимальных долях (10%), т.к. риск облигаций существенно ниже риска акций, хотя и доходность облигаций ниже доходности акций. В портфель также войдут акции «Ростелеком» (7.9%). Эффективность 8% является уже достаточно низкой для данного портфеля, т.к. заданная эффективность достигается при вложении неполной суммы капитала (0.887), при этом риск минимален. Таким образом, наименее рискованное размещение капитала (риск равен 11.382) при условии вложения всей суммы капитала будет обеспечено при эффективности 12%. Следует отметить, что некото-
рые ценные бумаги обладают либо низкой доходностью при довольно низком риске (ЮТК), либо довольно высокой доходностью при достаточно высоком уровне риска, но при этом положительно коррелируют с остальными ценными бумагами, поэтому оказывается невыгодным включать их в портфель. Облигации ЛенЭнерго отрицательно коррелируют с акциями, поэтому включать их в портфель, как правило, выгодно. Решение, не использующее в полной мере всей суммы капитала, будет возникать только в том случае, когда требуемая эффективность настолько мала, что может быть достигнута за счет вложения неполной суммы капитала, при котором риск минимален. При этом в зависимости от того, строго больше нуля двойственные переменные или равны нулю, ограничения прямой задачи выходят на строгое равенство или неравенство соответственно
ЛИТЕРАТУРА
1. Первозванский А.А.. Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.: Инфра-М. 1994. С. 90-97
2. Кузнецов А.В.. Сакович В.А.. Холод Н.И. Высшая математика. Математическое программирование. Минск: «Вышэйшая школа». 1994. С. 222-230
3. Зуховицкий С.И.. Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. М.: «Наука». 1967. С. 367-372
Поступила в редакцию 19.07.2006 г
