МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ КОНТРОЛЯ ТЕМПЕРАТУРЫ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Математическое моделирование объекта управления для систем

контроля температуры

1 2 А.А. Ковшевный , В.Г. Лисиенко

1АО «НПО автоматики», Уральский Федеральный Университет, Екатеринбург 2 Уральский Федеральный Университет, Екатеринбург

Аннотация: В статье рассмотрено устройство имитации объекта управления для автоматизированных систем контроля температуры, приведена математическая модель процессов нагрева и охлаждения изолированного помещения, проведено моделирование температурных воздействий на объект управления, также приведен метод реализации имитации объекта управления на микроконтроллере.

В статье описаны схемотехнические решения, применяемые в исполнительной

части.

Математические модели, рассмотренные в статье, распространяются на большинство автоматизированных систем контроля температуры, так как область их применения типична для подобного рода помещений. Учитывая простоту модели, имитатор имеет высокую скорость вычислений. Также прибор даст возможность отслеживать реакцию системы на динамические изменения ее параметров, таких как:

- температура внешней среды;

- скорость потока воздуха;

- температура охлаждающей жидкости;

- и т.д.

Устройство позволит проводить отладку и проверку автоматизированных систем контроля температуры в лабораторных условиях, что повысит качество разрабатываемых систем контроля температуры.

Ключевые слова: контроль температуры, автоматизация процесса контроля температуры, математическое моделирование.

Непрерывный контроль измерения температуры является важной задачей во многих отраслях промышленности и повседневной жизни. Обеспечение постоянства температуры - важный аспект технических процессов, применяемых в металлургии, атомной и космической промышленностях, сельском хозяйстве, для поддержания комфортной для проживания человека температуры и многих других [1-3]. Приведенный в статье метод имитации объекта управления позволяет путем проведения дополнительных проверок повысить качество разрабатываемых автоматизированных систем контроля температуры. На рисунке 1 приведена типовая структурная схема системы контроля температуры.

и

Рисунок 1. - Структурная схема системы контроля температуры.

Основные части системы:

- датчик температуры используется для измерения температуры объекта управления;

- объект управления - объект, температура которого контролируется системой управления;

- исполнительное устройство, включающее в себя нагреватель и охладитель для регулирования температуры;

- контроллер, реализующий требуемый алгоритм управления, например, поддержание требуемой температуры;

Исполнительное устройство, включающее в себя термоэлектрический нагреватель (ТЭН) и охладитель, управляется сигналами микроконтроллера.

На этапах разработки систем данного типа возникает потребность в их отладке, которая включает в себя этап проверки заложенных в контроллер законов управления, требуемой реакции системы в заданных условиях [4]. Ставится задача имитации объекта управления для проведения испытания и отработки аппаратно-программного комплекса.

М Инженерный вестник Дона, №8 (2020) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n8y2020/6581

Приведенное решение по сравнению с компьютерным моделированием проверяет конкретную программно-аппаратную реализацию, то есть решает вышеуказанные задачи.

Рассмотрим исходные данные, заданные для системы управления: 1. В качестве датчика температуры системы управления выбрано платиновое термосопротивление типа ТСП/1 с номинальной статической характеристикой 100П. Номинальное сопротивление при 0°С Я =100 Ом. Коэффициент температурного сопротивления а = 0,00391 °С-1, что соответствует изменению сопротивления от 96,09 до 119,55 Ом в диапазоне температур от -10 до 50 °С. На рисунке 2 приведена НСХ ТСП/1 (ГОСТ 665194).

I 120

о и" X г 80

ч- £ 60

I-о. 4П

-.1 чи 20

0

-20 -10 0 10 20 30 40 50 60

Температура, ^С

Рисунок 2. - Номинальная статическая характеристика 100П.

На рисунке 3 приведена упрощенная схема включения термосопротивления в систему управления [5].

Измеритель задает постоянный ток 1изм. По току и напряжению определяется сопротивление Я! и далее пересчитывается в температуру [6].

Для имитации термосопротивления предлагается структурная схема имитатора, представленная на рисунке 4.

и

Рисунок 3. - Использованная упрощенная схема включения

термосопротивления.

Где Rt - терморезистор; АЦП - аналого-цифровой преобразователь; I - измерительный источник стабильного тока; - паразитные

сопротивления проводников; Ц^ - опорное напряжение АЦП; МК -

микроконтроллер; 1изм - измерительный ток.

Схема имитатора управляется напряжением, задаваемым с ЦАП (Ццап), который управляется микроконтроллером. Измерение термосопротивления производится при подаче постоянного заданного тока 1изм и измерении падения напряжения на резисторе R2. По отношению напряжения к заданному току на резисторе определяется сопротивление, измеритель производит перерасчёт сопротивления в температуру. Операционный усилитель Ц1 служит для согласования напряжения ЦАП с нагрузкой. Напряжение на резисторе R2 определяется током 1изм и током операционного усилителя Ц1 (1и1), включенного как генератор постоянного тока.

и

Рисунок 4. - Схема имитатора термосопротивления. Методом контурных токов можно определить напряжение на резисторе R2 и, соответствующее ему, выходное сопротивление имитатора

*2 " ...... (1)

Из полученной формулы (1) видно, что сопротивление имитатора (Яим) изменяется линейно в зависимости от ицАП при постоянном заданном

измерительном токе измерителя. Рабочий диапазон термосопротивления, таким образом, можно рассчитать по формуле (2):

И1И2 Я1+И2

И1П2 , ^ЦАП

МАХ

И2

И1+Л2 /НЗМ СЕ1 + Я2У

(2)

Задав минимальное RMIN и максимальное RMAx значение имитируемого сопротивления, R1 и R2 можно рассчитать по формулам (3),

(3)

М Инженерный вестник Дона, №8 (2020) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n8y2020/6581

К2 =

^ЦАП

МАХ

И

М1М

(4)

Погрешность задания сопротивления ДЯш зависит от разрядности ЦАП Гцап и выбора измерительного тока 1изм (5):

др = __

ин /изм (Я1+И2) ■

(5)

Погрешность задания сопротивления ДЯм, обусловленная отклонением Я1 и Я2 от номинальных значений, можно определить, взяв полный дифференциал ДЯш по Я1 и Я2, и учитывая, что ДЯ = Я ■ 5Я, где 5Я относительное отклонение сопротивления от номинала.

Максимальное возможное отклонение температуры от заданной в этом случае определяется формулой (6).

(6)

Операционный усилитель и2 используется для определения измерительного тока источника 1изм с последующей обработкой АЦП микроконтроллера (на схеме не показан) для калибровки имитатора.

В расчете сопротивлений Я1 и Я2 за ток 1изм системы контроля примем максимально допустимый - 1 мА. Сопротивления и Я2 подобраны таким образом, что позволяет снизить погрешность имитируемого сопротивления. Погрешность установки Ящ обусловленная дискретностью установки напряжения на АЦП (Дивдс = 38 мкВ) при выборе измерительного тока 1изм в диапазоне (0,1 - 1) мА, составляет ±(0,002 -0,0002) Ом, что соответствует погрешности задания температуры ±(0,005 -0,0005) °С.

Сопротивления Я3, Я4 операционного усилителя и2 служат для задания усиления, оптимального для динамического диапазона АЦП. Диапазон входного напряжения АЦП ограничен сверху опорным

напряжением микроконтроллера - 2,56 В. Чтобы исключить большое энергопотребление ток делителя задан в 1 тА. Чтобы привести входное напряжение Ц2 к динамическому диапазону АЦП зададим коэффициент усиления 25, тогда R3, R4 примем равными 1 кОм и 24,3 кОм соответственно

[7].

Имитатор имеет два режима работы, а именно: режим охлаждения и режим нагрева. Управление устройством осуществляется путем передачи с контроллера сигналов широтно-импульсной модуляции (ШИМ) и установки угла заслонки (а), приатах = 90". В режиме нагрева, при регулировании

коэффициента заполнения сигнала КШим •> происходит имитация сигнала с

датчика температуры ТСП/1, а при этом устанавливается в нулевое значение. Режим охлаждения, представленный на рисунке 6, осуществляется с помощью кондиционера, обеспечивающего циркуляцию воздуха в помещении, а отвод тепла от воздуха осуществляется потоком жидкости. В данном режиме регулируется поток воды, а именно угол заслонки а, Кщ^при

этом равен нулю. Для имитации реального объекта была разработана модель процесса нагрева и охлаждения, представленного в виде комнаты, состоящей из шести ограждающих конструкций. Модель процесса нагрева Модель процесса нагрева показана на рисунке 5.

На рисунке 5 показаны следующие обозначения: 1 - ширина стен; Рнагр

- мощность, передаваемая от нагревателя складируемым объектам; РЕнеш-

мощность, передаваемая во внешнюю среду; Твнеш- температура внешней

среды; Т - температура воздуха внутри помещения и температура складируемых объектов.

Рисунок 5. - Модель процесса нагрева.

При построении модели были приняты следующие допущения:

1. Теплопроводность стен, их толщина и площадь постоянны.

2. Температура воздуха в помещении и температура складируемых объектов равны.

3. Теплоемкость воздуха и стен в помещении не учитывается, так как она значительно ниже теплоемкости складируемых объектов.

Пусть теплоемкость объекта управления равна С, тогда согласно определению теплоемкости:

где ёТ - приращение температуры объекта контроля; dQ -приращение энергии объекта контроля.

Прирост энергии объекта контроля dQ складывается из энергии, отдаваемой нагревателем dQНAГР и убыли энергии (теплоотводу) через стены

^ВНЕШ:

^ = Й(?НАГР - ^(?ВНШ1- (8)

Так как нагреватель имеет достаточно низкую теплоемкость относительно объекта контроля, можно считать ее равной нулю, из чего следует, что вся энергия, получаемая нагревателем dQНAГР, передается объекту управления. Тогда энергия, предаваемая объекту контроля за промежуток времени dt, выражается как:

где P - мощность, подводимая нагревателю.

Так как частота следования ШИМ-сигнала значительно больше, чем скорости всех остальных рассматриваемых переходных процессов, в расчетах будем рассматривать только среднюю подводимую мощность на нагреватель (определяется коэффициентом заполнения ШИМ-сигнала -

^КшимХ

Энергия, передаваемая нагревателем, зависит от его максимальной мощности PMAX и коэффициента заполнения ШИМ-сигнала:

^(?НАГР = ^ШИМ " РмАХ " (10)

Энергетические потери объекта управления определяются теплопроводностью х его стен, их площадью S, толщиной l и разностью температур на противоположных сторонах, мощностью потока энергии от объекта контроля во внешнюю среду PВНЕШ. Поток тепла от одной грани параллелепипеда к другой определяется как:

^ВНЕШ = X ■ у (Т ~ ^ВНЕШ )> (11)

где S - общая площадь помещения.

и

Тогда энергия, передаваемая от объекта контроля во внешнюю среду за промежуток времени

На основании формул (7), (8), (10) и (12):

^ онагр "^оенеш

(12)

■(Г-Гвнеш)-с1£

йт = — =

ее с

(13)

Таким образом, модель данного процесса - линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) первого порядка (14) [8].

1-С

1-е

(14)

Модель процесса охлаждения

В режиме охлаждения задается угол открытия затвора а охлаждающей жидкости, задающей отношение потока жидкости, проходящей через радиатор, к пропущенной напрямую, как показано на рисунке 6.

Для данной модели также действительно уравнение (7), но прирост энергии объекта контроля dQ складывается из убыли энергии через кондиционер (энергии, отводимой кондиционером) dQКoнд и убыли энергии через стены dQвНЕш:

(10 = -¿(?конд - ^<?ВНЕШ- (15)

Убыль энергии через стены определяется также уравнением (15). Так как объем воздуха, постоянно находящийся в кондиционере, пренебрежимо мал по сравнению с объемом воздуха объекта управления, можно считать, что воздух охлаждается мгновенно, проходя через границу раздела так же, как и вода.

Убыль энергии через кондиционер за время dt можно определить исходя из теплоемкости воздуха dCВ, проходящего за это время через

кондиционер и разности температур воздуха на входе Т и на выходе кондиционера ^шд:

¿(?конд = ¿Съ ■ (Г - ГК0Нд). (16)

Рисунок 6. - Модель охлаждения объекта управления.

Теплоемкость воздуха, проходящего за интервал времени dt, можно определить через его удельную теплоемкость сВОЗд, объемный поток через кондиционер QV.ВОЗд, и его плотность рВОЗд:

с!Св = сВ03д ■ С?1/.возд ■ Рвозд ' ^ (17)

Тогда убыль энергии воздуха, проходящего через кондиционер за время dt:

^ОкОНД.ВОЗД = СВ03Д ' Фк.БОЗД ' Рвозд ' _ Тконд) ' ^ (18)

Подобным образом можно показать, что убыль энергии через кондиционер за время dt через теплоемкость воды, массовый поток воды

и

через кондиционер Qm.ш,ды и разность температур воды на входе и выходе выражается формулой (19):

^ФкОНД.ВОДЫ = сВ0ДЫ ' Фт.ВОДЫ ' (^ВЫХОД _ ^ВХОд) ■ dt. (19)

Массовый поток воды регулируется котроллером путем изменения угла открытия затвора. Тогда, считая, что поток пропорционален углу открытия, и зная максимальный поток Qm.шдЫLMAX, убыль энергии через кондиционер за время dt:

^Фконд.возд = ^(?конд.воды=^Фконд- (20)

^(?К0НД — сВОДЫ ' 90 ' Qm.

воды.мл^ ' (^выход ^вход) ' dt.

Также убыль энергии через кондиционер за время dt можно определить, исходя из максимальной мощности, которую он способен поглотить (мощность, потребляемая кондиционером) Pko^.max и его коэффициент полезного действия (КПД) п:

^Фконд = V ■ ^КОНД. МАХ ■ dt. (21)

Максимальная мощность кондиционера достигается в случае равенства температур воды на выходе теплообменника (TBbK^) и воздуха на выходе кондиционера (Tko^). Тогда, исходя из вышесказанного и уравнений (19) и (20), температура воздуха и воды на выходе для идеального кондиционера Тконд^:

1КОНД. MIN

где:

К,

воды

д'-кбс1дьгтбх0д+дв03д'г а' ^б 0 ды 0 3 д

'^боды'спг.боды.мау 90 '

(22)

^ВОЗД — СВ03Д ' С?1/.В03Д ' Рвозд.

и

Расход энергии через кондиционер за время & в случае равенства температур Твыход и Тконд:

^Фконд.МАК = ^КОНД. МАК ' (23)

^(?К0НД.МАК — СВ0ДЫ ' Фт.ВОДЫ ' (^КОНД.МШ ^ВХОд) ' ^

(24)

Тогда максимальная мощность кондиционера, достигаемая в случае равенства температур:

.воды ' (^конд.мда ''вход). (25)

^КОНД. МАК — СВ0ДЫ ' Фт.ВОДЫ ' (^КОНД.МШ ^ВХОД,

Исходя из (21), (22) и (25) убыль энергии через кондиционер за время

^Фконд —

ч 'д'^боды'^бозд

а '-^Б о ды+-^в о з д

■

(26)

Сделаем соответствующие замены в (7), (14), (15), и (25):

■ (27)

Таким образом, модель данного процесса - также линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) первого порядка (28) [8].

(28)

Для моделирования примем параметры объекта управления, представленные в таблице 1 [9].

График реакции объекта контроля, с параметрами, указанными выше в режиме нагрева (КШИМ = 0,7), представлен на рисунке 7. Постоянная времени (тнагр) - 1,20 ч, предельная температура (Тда нагр) - 39,4 °С.

График реакции объекта управления в режиме охлаждения, с параметрами, указанными выше и а = 63 °, представлен на рисунке 8. Постоянная времени (тохл) - 0,36 ч, предельная температура (Тда охл) - 3,51 °С.

М Инженерный вестник Дона, №8 (2020) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n8y2020/6581

Таблица №1

Параметры объекта управления

Параметр Обозначен ие Величина

Начальная температура 10 °С (283,15 К)

Температура внешней среды ^НЕШ 0 °С (273,15 К)

Температура воды на входе кондиционера ^ХОД 5 °С (278,15 К)

Теплопроводность стен (пенопласт) X 0,037 Вт/(м- К)

Общая площадь помещения S 6102 м2

Ширина стен l 0,1 м

Теплоемкость складируемых объектов C 2 103-480-

(2 т. стали) Дж/К

Удельная теплоемкость воздуха сВОЗД 1000 Дж/ (Ккг)

Удельная теплоемкость воды своды 4200 Дж/ (Ккг)

КПД теплообменника П 0,8

Плотность воздуха Рвозд 1,225 кг/м3

Объемный поток воздуха через теплообменник ^.ВОЗД 2500 м3/ч (0,7 м3/с)

Максимальный массовый поток воды через теплообменник ^.ВОДЫ. MAX 1700 кг/ч (0,5 кг/с)

Максимальная мощность, передаваемая нагревателю PMAX 12500 Вт

и

т.

: / / /

/ /

1 2 3 4

Рисунок 7. - Реакция объекта контроля на нагрев.

1ч

Рисунок 8. - Реакция объекта контроля на охлаждение

На рисунке 9 приведена схема реализации алгоритма на микроконтроллере, который работает в соответствии с методом Эйлера [10].

и

КОНТРОЛЛЕР

Имитатор

а—0 а>ОЛКЬин=0 Иначе

т„=т т0=т Вывод сигнала ошибки системы управления

Рисунок 9. - Реализация алгоритма имитации на основе конечно-разностных

уравнений.

В вышеприведенной схеме коэффициенты С1 и С2, определяющие свойства охладителя, нагревателя и объекта контроля, задаются программно [11]:

С1 НАГр = + х'3'^. (29)

С2Нагр=Т|. (30)

ОХЛ ;.с (

а '^В О ДЫ О 3 д)' ^

(32)

Заключение

В статье рассмотрено устройство имитации объекта управления для автоматизированных систем контроля температуры, приведена математическая модель процессов нагрева и охлаждения изолированного помещения, проведено моделирование температурных воздействий на объект управления, также приведен метод реализации имитации объекта управления на микроконтроллере.

В статье описаны схемотехнические решения, применяемые в исполнительной части, в имитаторе в качестве ЦАП выбран 16-разрядный ЦАП с внешним источником опорного напряжения Ццш (2,500 ± 0,001)

В. Разработанная схема позволяет имитировать сопротивление датчика ТСП/1 8040 с НСХ 100П соответствующее температурам от -11,3 до 50,6 °C с точностью ±(0,26 + 0,002 t), что ниже минимальной погрешности датчика ТСП/1, которая составляет ±(0,30 + 0,005 t)

Математические модели, рассмотренные в статье, распространяются на большинство автоматизированных систем контроля температуры, так как область их применения типична для подобного рода помещений. Учитывая простоту модели, имитатор имеет высокую скорость вычислений. Также прибор даст возможность отслеживать реакцию системы на динамические изменения ее параметров, таких как:

- температура внешней среды;

- скорость потока воздуха;

- температура охлаждающей жидкости;

- и т.д.

Устройство позволит проводить отладку и проверку автоматизированных систем контроля температуры в лабораторных условиях, что повысит качество разрабатываемых систем контроля температуры.

Список литературы

1 Кривоносов В.А., Пирматов Д.С. Оптимизация режима термообработки окатышей в АСУ ТП конвейерной обжиговой машины // Инженерный вестник Дона, 2013, №3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2013/1754.

2 Кондратьева Н.П., Юран С.И., Владыкин И.Р., Козырева Е.А., Решетникова И.В., Баженов В.А., Литвинова В.М. Инновационные энергосберегающие электроустановки для предприятий АПК Удмуртской

Республики // Инженерный вестник Дона, 2013, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1632.

3 Zhang C., Tang P., Cooke N. Human-centered automation for resilient nuclear power plant outage control // Automation in Construction. - 2017. - Vol. 82. - pp. 179-192. в примеры применения систем контроля температуры

4 Shahmehri N., Kamkar M., Fritzon P. Usability criteria for automated debugging systems / // Journal of Systems and Software. - 1995. - Vol. 31. - Issue 1. - pp. 55-70.

5 Титце У., Шенк К. // Полупроводниковая схемотехника -12 е изд. Том 1: Пер. с нем. - Москва: ДМК, 2008. - 832 с.

6 Ковшевный А.А., Шестаков А.П., Нужин Е.Е. Имитация объекта контроля для систем управления температурой: сборник докладов. -Екатеринбург [УрФУ], 2016. URL: elar.urfu.ru/bitstream/10995/36263/1/ittsm-2016-40.pdf

7 Сивухин Д.В. Общий курс физики. Термодинамика и молекулярная физика. Том II: учебник для вузов. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2005. -544 с.

8 Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричикова Е.А. // Справочник по высшей математике - Минск: ТетраСистемс, 1999. -640с.

9 Кикоин И.К. Таблицы физических величин. Справочник. - Москва: «Атомиздат», 1976. -1008с.

10 Данилушкин И.А. Аппаратные средства и программное обеспечение систем промышленной автоматизации: учебное пособие. - Самара: Самар. гос. техн. ун-т., 2007. - 168 с.

11 Втюрин В.А. Автоматизированные системы управления технологическими процессами. Основы АСУТП: учебное пособие. - СПб: СПбГЛТА, 2006. - 152 с.

М Инженерный вестник Дона, №8 (2020) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n8y2020/6581

References

1. Krivonosov V.A, Pirmatov D.S. Inzhenernyj vestnik Dona, 2013, №3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2013/1754.

2. Kondrat'eva N.P., Yuuran S.I., Vladykin I.R., Kozyreva E.A., Reshetnikova I.V., Bazhenov V.A., Litvinova V.M. Inzhenernyj vestnik Dona, 2013, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1632.

3. Zhang C., Tang P., Cooke N. Automation in Construction. 2017. Vol. 82. pp. 179-192.

4. Shahmehri N., Kamkar M., Fritzon P. Journal of Systems and Software. 1995. Vol. 31. Issue 1. pp. 55-70.

5. Titce, U., K. Shenk. Poluprovodnikovaya shemotehnika [Semiconductor circuitry]. 12e izd. Tom 1: Per. s nem. Moskva: DMK, 2008. 832 p.

6. Kovshevnyy A.A., Shestakov A.P., Nuzhin E.E. Sbornik dokladov. Ekaterinburg, UrFU, 2016. URL: elar.urfu.ru/bitstream/10995/36263/1/ittsm-2016-40.pdf

7. Sivuhin D.V. Obshii kurs fiziki. Termodinamika I molekulyarnaya fizika [Thermodynamics and molecular physics]. Tom II: uchebnik dlya vuzov. Moskva: FIZMATLIT, 2005. 544 p.

8. Gusak A.A., Gusak G.M., Brichikova E.A. Spravochnik po vysshey matematike [Handbook of higher mathematics]. Minsk: TeteraSistems. 1999. 640 p.

9. Kikoin I.K. Tablici fizicheskih velichin [Tables of physical quantities]. Spravochnik. Moskva: Atomizdat, 1976. 1008 p.

10. Danilushkin I.A. Apparatnye sredstva I programmnoe obespechenie system promyshlennoi avtomatizacii: uchebnoe posobie [Hardware and software

М Инженерный вестник Дона, №8 (2020) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n8y2020/6581

for industrial automation systems: a tutorial]. Samara: Samar. Gos. tehn. universitet, 2007. 168 p.

11. Vt'yrin V.A. Avtomatizirovannye sistemy upravleniya tehnologicheskimi processami [Automated control systems for technical processes]. Osnovy ASU TP: uchebnoe posobie. Spb: SPbGLTA, 2006. 152 p.