CC BY
11
Доклады БГУИР
2013 № 6 (76)
УДК 004.942:539.371
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТРЕХСЛОЙНОГО СТЕРЖНЯ С НЕСЖИМАЕМЫМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ
К С. КУРОЧКА, О.В. РОГОВЦОВА
Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого пр. Октября 48, Гомель, 246746, Беларусь
Поступила в редакцию 19 апреля 2013
Представлена математическая модель на основе метода конечных элементов напряженно -деформированного состояния трехслойного стержня с несжимаемым заполнителем под действием вертикальной нагрузки. Приведены результаты верификации данной модели.
Ключевые слова: математическое моделирование, метод конечных элементов, трехслойный стержень.
Введение
В настоящее время все большее применение находят трехслойные элементы конструкций. Совместное использование материалов с существенно различающимися термомеханическими характеристиками позволяет получать в рамках конструкции новые полезные свойства, не достижимые при использовании однородных элементов. Прочные и жесткие несущие слои обеспечивают необходимые значения деформаций, а внутренние слои, перераспределяя усилия между несущими слоями, могут также выполнять и ряд других функций. Например, тепло- и звукоизоляцию, демпфирование и снижение вибраций и т.п.
Одним из распространенных трехслойных элементов конструкций является стержень, используемый, как правило, совместно с другими подобными элементами. Сложность всей конструкции в целом и необходимость комплексного рассмотрения накладывает определенные требования к процессу компьютерного моделирования и расчета отдельных ее элементов. Особенно важными из требований являются ресурсоемкость и время нахождения единичного решения. Это можно обеспечить только разработкой новых математических моделей и алгоритмов исследования поведения трехслойных стержней под действием различных видов и типов нагрузок.
Теоретический анализ
При расчете трехслойного стержня с несжимаемым заполнителем выделяются задачи обеспечения нормативных значений прогиба и деформаций.
Рис. 1. Трехслойный стержень под действием вертикальной поперечной нагрузки
Одним из методов компьютерного исследования данных задач является метод конечных элементов [1-3]. В данной работе рассматривается задача определения прогиба трехслойного стержня под действием вертикальной поперечной нагрузки (рис. 1). При этом принимаются следующие гипотезы.
1. О малости деформаций: деформации малы по сравнению с размерами тела, т.е. изменение размеров стержня и его слоев вследствие деформации можно не учитывать, а длина стержня значительно больше его толщины и ширины (рис. 1), т.е. перемещениями вдоль оси ОУ можно пренебречь [4]:
3 = 0. (1)
2. Справедлив закон Гука [3, 4]:
Ы=№}, (2)
где {о} - вектор напряжений; {в} - вектор деформаций; [о] - матрица жесткости элемента материала.
3. Материалы слоев несжимаемы в поперечных направлениях [4]:
вг = 0; Ву = 0. (3)
4. Для несущих слоев справедлива гипотеза плоских сечений Бернулли [4], на основании которой имеем отсутствие нормальной компоненты деформации вдоль оси 02 и тангенциальных компонент деформаций в плоскостях Х02 и У02
Ууг = 0; = 0. (4)
5. Для внутреннего слоя справедлива гипотеза о прямолинейности деформированной нормали заполнителя [4], из которой следует, с учетом (1), что срединная плоскость заполнителя не деформируется, т.е.
и = 0, (5)
где и0 - перемещения точек серединной плоскости вдоль оси 0Х. Воспользуемся уравнениями Коши [3, 4]:
(6)
из гипотез (1), (3) и (4) получим: 8 _ 3-3 дм _ дм _
г дг у дz ду ду
следовательно, прогибы не зависят от координат у и г, таким образом
м = м(х). (7)
Из гипотезы (4) получаем:
дм ди У ^ = — + — = 0 . дх дг
Следовательно,
ди дм дг дх
Интегрируя по г последнее тождество, имеем: и = — г+ /г (х, у) .
дх
ди _ д— дм _
дх' в у = ¥' В2 = '
ди ■— + ду д— дх У уг д— дм +—; у = л. > 1 гх ду ди дм дх '
Вх =
Так как последнее выражение справедливо для всего стержня, то для срединной
плоскости будем иметь: щ = — 2--ь (х,у) .
дх
Подставляя (5) в предыдущее тождество при г = 0, получим щ = (х, у) = 0 , откуда:
дw
и = — 2-
дх
(8)
Рассмотрим несущие слои стержня. Согласно принятых гипотез, с учетом уравнений Коши (6) и формулы (8), в векторах напряжений и деформаций останется по одной ненулевой компоненте:
^ }=К} и {а }=^х},
а закон Гука (2) примет вид:
}=[р х }, (9)
где \р' ] = Е', Е' - модуль упругости /-го слоя; / - номер слоя, ' = 1,2 .
Для внутреннего слоя появятся касательные деформации и напряжения в плоскости
Х02:
}=Го 1 и } =
а0 х
1У 0 2!
закон Гука (2) примет вид:
а }=р }.
где индекс 0 означает внутренний слой-заполнитель;
(10)
р ]=
4
К + 4 О 0 3
0 О
К - модуль объемной деформации материала; О - сдвиговый модуль упругости.
Методика построения математической модели
Анализируя выражения (1) и (8), с учетом (6), приходим к возможности выбрать в качестве искомой величины прогиб: п = п(х). При этом в силу (8) и (6) необходимо существование второй производной искомой функции п(х) [5]. Следуя вышеизложенному, для моделирования прогибов трехслойного стержня воспользуемся одномерными конечными элементами с двумя узлами по две степени свободы в каждом (рис. 2) {б} = {п 9х}, где {б} -
вектор узловых степеней свободы конечного элемента; 9 = ~~ .
х дх
Рис. 2. Одномерный конечный элемент для моделирования прогибов трехслойного стержня
Будем аппроксимировать значения искомой функции п(х) и ее первой производной 9^ следующими полиномами, обеспечивающими существование функционала вариационной задачи [1, 5]:
0
х
гх
м(х) = а + ах+ах2 + ах ;
6^(х) = а + 2а3х + 3а4х2.
(11) (12)
Так как соотношения (11) и (12) справедливы для всех точек конечного элемента, то
для его узлов будем иметь: {50}=[А]{а}, где {а}т = {а а2 а а}; {^о}Т = {м 6 wJ, 6 - соответственно перемещения /-го узла и угол поворота;
х1
6х2};
1 /1 /12 /3 ■
0 1 2/ 3/2
/221 /3 , где
1 /2
0 1 2/ 342
И=
{а}=[А]—1 {50}.
, где / - координата/-го узла, у = 1,2, откуда
(13)
Воспользовавшись формулами Коши (6), соотношениями (11) и (12), продифференцировав, получим: {в' }= —г[с ]{а}.
Подставим (13) в последнее выражение, тогда деформации для каждого слоя будут выражены через перемещения:
{в }=[в К}, '=0,2,
(14)
где
в ]=
6(1 + 4 — 2х) 2(1 + 24 — 3х) 6(1 + 4 — 2х) 2(21 + 4 — 3х)
(/1 — 4)3
(/1 — 4)2
(/1 — /2)3
(/1 — /2)2
' = 1,2;
6(/ + 4 — 2 х) 2(1 + 24 — 3х) 6(1 + 4 — 2 х) 2(2/ + 4 — 3х)
— /2)3 (/ — 4)2 (/ — /2)3 (/ — /2)2
б(/ — х)(4 — х) (4 — х)(2/ + 4 — 3х) б(/ — х)(4 — х) (/ — х)(/ + 24 — 3х)
(/ — /2)3
(/ — /2)2
(/ — /2)3
(/ — /2)2
Подставляя (14) в (9) и (10), получим: {о' }=[0][в']{50}, ' = 0,2 .
(15)
Для построения математической модели воспользуемся принципом возможных перемещений [1, 3, 4], который в случае трехслойного стержня его можно переписать в виде:
5_0 I (Я0 }= | | | ^в1 I {о1 }dzdxdy + | Ц Ш {о0 \1гс1хс1у + | | | <] в2 I {о2 \izdxdy, (16)
ь А0 ,
- / —
: 0+1 2
2 2
Г 1У+1 "
2 2
т
.0 I )_0 I
ь
2 ^+1 2
—ь —„ 22
т
.2 I )_2 I
где } - вектор узловых сил конечного элемента; Ь - толщина 7го слоя стержня, ' = 0,2; причем й0 - толщина заполнителя; Ь - ширина стержня; черта над переменной означает вариацию признака.
Подставим в (16) выражения (14) и (15), учитывая, что {50} не зависит от координат, интегрируя по г и у, получим:
&}=[* к}+к к}+[*2 КЬМЫ, (17)
где
[к ] = ]Г [к' ];
'=0
[к' ]= ЬЕ (Ь + 2Ь')3 — Ь
24
5 [в' Т [в' ]dл
Ь
, г = 1,2; [к0 ] = Ь^-1 J 12
}[в° Г[о° Цв0
(18) (19)
Ь Ь
т
Система линейных алгебраических уравнений (17) - основное уравнение метода конечных элементов, (18) - локальная матрица жесткости для одномерного конечного элемента при изгибе трехслойного стержня с жестким заполнителем. Интегралы в (19) можно вычислить точно:
к] = ЬЕ ^ + 2Н•)3 1 1 24
12 в 12 в
(/1 -/2)3 в (/1 /2 )2 4 (/1 -/2)3 в (/1 /2 )2 2
(/1 /2 )2 12 /1 -/2 в (/1 /2 )2 12 /1 -/2 в
(/1 -/2)3 в (/1 /2 )2 2 (/1 -/2)3 в (/1 /2 )2 4
(/1 /2 )2 /1 -/2 (/1 /2 )2 /1 -/2
г = 1,2;
[к 0 ] = Ь^-1 1 12
во
__1вО + 12К
5(4 -¡г) (4 -/2)3 О 80 + вК
— +-г
10 (11 -¡2)2
во 160 + 12К - + -
о 8о + вК
— +-г
10 (Ь -12)2
20(4-4) 160 + 12К
во
15
О
3(4 -4)
80 + вК
160 + 12К -+-г~
5(/х -/2) (4 -/2)3
80 + вК
10 (4 -/г)2
в0 1в0 + 12К
0 80 + вК — +-г
10 (4 -/2)2 0(/-/2) 80 + вК
30
0
3(4 -/2) 80 + вК
5(4 -/2) (4 -/2)3 0 80 + вК — +-г
10 (4-4)2
10 (4-4)2
0(4-4) 80+вК 30 3(4-4)
5(4 -/2) (4 -/2)3 80 + вК
10 (4 4 )2
10 (4 /2 )2
20(4-4) 1в0 + 12К 15 3(4 -/2) .
После вычисления локальных матриц жесткости осуществлялось построение глобальной матрицы жесткости по следующей формуле:
К,2, ]=К-,2,- ]+ [к ], ] = , (20)
где [К^ 2 ^ ] - подматрица глобальной матрицы жесткости; \kj ] - локальная матрица жесткости
у-го конечного элемента, вычисляемая по формулам (18) и (19); N - количество конечных элементов, дискретизирующих трехслойный стержень.
После построения глобальной матрицы жесткости формируется вектор узловых усилий , учитываются граничные условия и решается система линейных алгебраических уравнений вида (17).
Результаты и их обсуждение
Для верификации предложенной математической модели рассмотрим задачу определения прогибов защемленного трехслойного стержня длиной 1 м под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивности 2 МПа [4]. Физические характеристики слоев стержня приведены в таблице.
Физические характеристики слоев стержня
Номер слоя Материал слоя Толщина слоя, м Модуль упругости Е, МПа Модуль объемной деформации материала К, МПа Cдвиговый модуль упругости О, МПа
1 алюминиевый сплав Д16Т 0,02 115600 80000 26700
0 политетрафторэтилен 0,09 4820 4700 90
2 алюминиевый сплав Д16Т 0,02 115600 80000 26700
Стержень дискретизировался 10 конечными элементами. Затем по формулам (18) и (19) вычислялись локальные матрицы жесткости, по формуле (20) осуществлялось построение глобальной матрицы жесткости, учитывались граничные условия, формировался вектор узловых усилий и решалась система линейных алгебраических уравнений. В результате были найдены прогибы и углы поворота вдоль оси ОХ. Для нахождения напряжений и деформаций можно воспользоваться соотношениями (14) и (15).
В результате исследования математической модели было получено, что максимальное отличие найденных значений прогиба от решения на основе [4] не превышало 5 % (рис. 3).
о
0,2
0.4
0,6
0.8
-0,01 -0,02 -0,03
ig -0,04
g. -0,05 С
-0,06
-Из [4]
—мкэ
■0,07 -0,08 -0,09
Рис. 3. Прогиб трехслойного стержня под действием равномерно распределенной нагрузки
Заключение
Построена математическая модель и разработан простой и эффективный алгоритм конечноэлементного моделирования прогибов трехслойного стержня с несжимаемым заполнителем. Вычислены точные значения локальных матриц жесткости для одномерного конечного элемента, создано соответствующее программное обеспечение и проведена его верификация, показавшая возможность применения данного алгоритма и математической модели для исследования напряженно-деформированного состояния тонкого трехслойного стержня с жестким заполнителем под действием поперечной нагрузки.
MATHEMATICAL MODELING OF STRESS-STRAINED STATE OF THREE-LAYER ROD WITH INCOMPRESSIBLE FILLER
The mathematical model based on the finite element method of the stress-strain state of a three-layer rod with incompressible filler under the vertical load is described. The results of the verification of the model are presented.
1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., 1975.
2. СабоннадьерЖ.-К, КулонЖ.-Л. Метод конечных элементов и САПР М., 1989.
3. Быховцев В.Е., Бондарева В.В. Компьютерное моделирование систем нелинейной механики грунтов. Гомель, 2002.
4. Старовойтов Э.И. Яровая А.В., Леоненко Д.В. Деформирование трехслойных элементов конструкций на упругом основании. М., 2006.
5. Курочка К.С. // Вестник ГГТУ им. П.О. Сухого. 2003. № 1. С. 39-47.
K S. KURACHKA, V.V. RAHAUTSOVA
Abstract
Список литературы
