Математическое моделирование на основе тернарных операций Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ ТЕРНАРНЫХ ОПЕРАЦИЙ

Блюмин С.Л.

(Липецкий государственный технический университет,

Липецк)

В современном математическом моделировании широко используются бинарные операции над элементами множеств -как привычные алгебраические (сложение, умножение), теоре-тико-множественные (объединение, пересечение) или булевы (дизъюнкция, конъюнкция), так и менее традиционные - например, в нечеткой алгебре и других проблемах искусственного интеллекта - /-нормы и 5-нормы (в частности, max и min) и более общие унинормы, в теории формальных языков - конкатенация, и др. Во многих случаях операции могут не иметь нейтральных элементов (нуля и единицы), а даже при их наличии произвольные элементы могут не иметь симметричных (противоположных или обратных). В этих случаях часто оказывается полезным понятие регулярного (по Дж. фон Нейману) элемента [1], то есть такого а из носителя Л, для которого существует g, обеспечивающий выполнение соотношения a*g*a = а относительно операции * (в данной записи предполагаемой ассоциативной). В левой части этого соотношения участвуют три операнда, что позволяет говорить об использовании при определении регулярного элемента тернарной операции [...], в данном случае построенной на основе базовой бинарной *. в общем случае, наряду с (бинарными) группоидами <А,*>, представляется целесообразным использовать в математическом моделировании тернарные группоиды А, [...]>, известными примерами которых являются тернарные полугруппы, определяемые тождествами [[aßy\öri] = \aß\ySi]\\ = \а\ßyS\i]| , и полу-груды, определяемые тождествами

[[aßy\8n] = [aß[y8n]\ = [a[8yß\i7]

(глобальные требования, предъявляемые к любым элементам а, ß, у, 5, Tj из А: их отличие - в последних частях тождеств; [2]).

В качестве примера рассмотрим в тернарном группоиде <А, [...] > обратную задачу: по заданным элементам а, Ь, с найти элемент х такой, что | axb \ = с. Если прямая задача (по заданным а, Ь, с найти \abc\) однозначно разрешима по определению тернарного группоида, то обратная задача требует исследования и решения уравнения | axb \ = с. Для их выполнения предположим существование, для коэффициентов а, b этого уравнения, таких элементов g, h, что [aga] = a, [bhb] = b (локальные требования). Пусть уравнение разрешимо, то есть существует Хо такой, что [ахо h \ = с. Локальные требования приводят к соотношениям 11aga|х(,Ь\ = с и \ax,\bhb\\ с. Предъявим более слабые, чем указанные выше глобальные, общие для тернарных полугрупп и полугруд, частично глобальные требования к a, g, b, h : пусть при любом а из А [[aga]a b\ = \ag\aa b\\ и [аа [bhb]] = [[аа b]hb]. Благодаря им получим, при а = х0, соотношения [age] = с и [chb] = с, объединение которых приводит к необходимому, накладываемому на а, Ь, с, g, h, условию разрешимости исследуемого уравнения в равносильных записях [ag[chb]] = с или [[agc]hb] = с. Это условие оказывается и достаточным, если а, Ь, с, g, h подчиняются дополнительным локальным, типа последних частей указанных выше глобальных, требованиям:

1) [ag[chb]] = [a[gch]b] и [[agc]hb] = [a[gch]b] либо

2) [ag[chb]] = [a[hcg]b] и [[agc]hb] = [a[hcg]b\

В обоих случаях заключаем, что при выполнении необходимого условия уравнение разрешимо, так как в первом случае некоторым его решением оказывается х* = geh, а во втором случае - х* = heg. Таким образом, при выполнении предложенной совокупности достаточно слабых требований к параметрам а, Ь, с обратной задачи получен критерий ее разрешимости и указано некоторое ее решение. Приведенные требования являются вполне естественными в полугруппах, в частности, в регулярных и инверсных полугруппах [2].

Если решение уравнения не единственно, то для получения его общего решения может потребоваться еще одна операция

{1}, сопровождающая операцию [2], так что на А определится структура тернарного бигруппоида, и существование для а, Ь, наряду с g, h, элементов и, v, свойства которых определяются так, чтобы общее решение уравнения допускало, например, запись типа х = {[gch\ [uyh] [gzv\}, где у, z произвольны. В очень частном случае полукольца, то есть бинарной дистрибутивной биполугруппы (кольцоида над полугруппой [2]), законченное решение такой задачи получено в [3], где для регулярных а, b роль g, h играют их обобщенные обратные а~,Ь~, роль и, v — их регулярные дополнения a~,b ,ax = a~cb~ + a~yb~ + zb .

Литература

1. Блюмин C.JI. Математические проблемы искусственного интеллекта: регулярность по Дж. фон Нейману в линейной и «линейной» алгебрах П Системы управления и информационные технологии. - 2003. № 1-2(12). - С. 90-94.

2. Курош А.Г. Общая алгебра. - М.: Наука, 1974. - 160 с.

3. Blyumin S.L., Golan J.S. One-sided Complements and Solutions of the Equation aXb=c in Semirings // Int. J. Maths Math. Sei. -2002. - V. 29, No. 8. - P. 453-458.