Математическое моделирование микроэлектронных частотных датчиков давления Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математическое моделирование микроэлектронных частотных датчиков давления

Шикульский М.И. (эЫки! m@mail.ru ) ФГОУ ВПО «Астраханский государственный технический университет»

Внедрения в отечественную промышленность новых прогрессивных технологий, которые требуют повышения точности измерений и регулирования параметров технологических процессов. При создании таких систем контроля и регулирования следует ожидать широкого применения резонаторных или частотных датчиков [1].

В частотных датчиках давления вибрационный частотный элемент может быть выполнен в форме миниатюрных силочувствительных балочных резонаторов, может представлять собой колебательную струну, монокристаллическую кремниевую нить, натяжение которой зависит от прогиба диафрагмы, перекладину, опирающуюся на диафрагму, вакуумную полость с кремниевой оболочкой. Наконец, сама мембрана может играть роль резонатора. Чаще всего, в качестве чувствительного элемента в частотном датчике давления используется диафрагма — мембрана с отверстием в центре, по диаметру которого расположена колебательная струна или балка, играющая роль резонатора (рис. 1).

Принцип работы струнных датчиков различных физических величин заключается в

том, что с помощью первичного преобразователя измеряемая физическая величина преобразуется в приращение силы продольного натяжения струны ДБ, что приводит к изменению частоты колебаний Г до Г Механические колебания в струне возбуждаются

магнитоэлектрическим способом.

Приращение частоты колебаний

струны будет являться мерой измеряемой величины, то есть.

Д/ = /о

1 ±ДЁ -1

Ё0

(1)

При отсутствии начального натяжения в струне частота колебаний определяется по формуле:

/ = /оЛ+КЁ (2)

где { — частота резонансных колебаний балки в напряженном состоянии;

Г0 — частота резонансных колебаний балки при отсутствии в ней силы продольного натяжения (Р= 0)

Таким образом, для определения выходной характеристики частотного датчика давления — изменения частоты колебаний — необходимо знать силу натяжения струны резонатора, возникшего под воздействием давления, а также параметры, зависящие от размеров струны и свойств материала.

Сила натяжения пропорциональна напряжениям в точках крепления струны, которое в свою очередь по закону Гука зависит от деформаций диафрагмы.

Для определения силы натяжения струны необходимо знать механические напряжения на поверхности плоской диафрагмы, возникающие под воздействием давления, в точках крепления струны.

Для упрощения будем решать задачу в два этапа: вначале найдем выражения для определения напряжений в плоской пластине без отверстия — мембране, а затем — в плоской пластине с отверстием, то есть диафрагме. После этого можно будет перейти к определению зависимости изменения частоты колебаний резонатора датчика от величины давления, то есть к получению зависимости выходных характеристик преобразователя от входных величин.

Существует аналитический метод определения деформаций в плоской пластине при малых прогибах [2]. Вследствие хрупкости полупроводниковых элементов в микроэлектронных датчиках давления мембрана работает в области малых перемещений. Однако, аналитический метод не позволяет учесть анизотропность свойств материала микроэлектронного датчика давления. В связи с этим, была разработана математическая модель плоской деформации мембраны, учитывающая как анизотропность свойств материала мембраны, так и распределение параметров в радиальном и окружном направлениях [3]. В основу этой модели положена теория энерго-информационных моделей цепей (ЭИМЦ) и аппарат параметрических структурных схемм (ПСС), которые дают возможность не только графически изображать причинно-следственные связи между величинами и параметрами, но и относительно просто получить аналитические зависимости одной величины в функции другой величины [4]. Теория ЭИМЦ унифицирует описание процессов различной физической природы в первичных преобразователях, что позволяет автоматизировать их проектирование.

Разработку ЭИМЦ преобразователя или его элемента можно разбить на два этапа:

■ разработка ПСС цепи;

■ вывод математических зависимостей, выражающих величины и параметры ПСС через реальные физические величины.

Для решения этой задачи рассмотрим элемент плоской пластины, отсеченный двумя осевыми и цилиндрическими сечениями.

Изгибные напряжения в радиальном ог и окружном ^ направлениях (рис. 2) связаны с деформациями уравнениями закона Гука [1]

(г )

1 - И

í --г {Иг )

1 -и

(3)

На ПСС напряжений плоской мембраны под давлением (рис. 3) деформации в радиальном направлении п-го элемента соответствует величина линейного механического заряда 0млгп, а деформации в окружном направлении п-го элемента соответствует величина линейного механического заряда 0млп.

Так как деформации и напряжения имеют определенную ориентацию на плоскости, то их можно рассматривать как вектора.

Вектор деформации п-го элемента, которому на ПСС соответствует величина

линейного механического заряда Qмлп равен геометрической сумме линейной и окружной деформации, а вектор напряжения п-го элемента, которому на ПСС соответствует величина линейного механического воздействия имлп равен геометрической сумме

линейного и окружного воздействия. Вектор напряжения п-го элемента имлп равен

произведению вектора деформации Qмлn на механическую линейную жесткость п-го элемента Wмлn. В соответствии с законом Гука для плоского напряженного состояния (3) жесткость п-го элемента Wмлn представляет собой матрицу:

Е

Ж =

млп

Ере

1 -р3 1 -р3

Е

Ере

1 -р3 1 -р3

Е

1р

1 -р3 \р 1

Рис. 3. ПСС напряжений плоской мембраны под давлением

Таким образом, построена ПСС напряжений мембраны и определены математические зависимости, выражающие величины и параметры ПСС через реальные физические величины, то есть, разработана математическая модель деформаций плоской мембраны.

Диафрагма отличается от мембраны наличием отверстия в центре. Для обеспечения достаточной точности математической модели нужно увеличить количество звеньев п так, чтобы на участок радиуса от отверстия до периферии мембраны приходилось не менее 5 звеньев. В то же время в радиусе отверстия должно укладываться целое количество звеньев п0. ПСС диафрагмы идентична ПСС мембраны. Отличие состоит в том, что для диафрагмы последним звеном является звено (п-п0). Нумерация звеньев ведется от периферии к центру.

Следующий этап — разработка ЭИМЦ вибрационного датчика давления. Так как при воздействии усилия на резонатор изменяется частота его колебаний, которая не является ни параметром ПСС, ни величиной, а является аргументов функции величины синусоидального механического заряда (положения колеблющейся точкой), и зависимость эта нелинейная, то теория ЭИМЦ и аппарат ПСС не описывают эти преобразования. В связи с этим, теория ЭИМЦ была дополнена новым понятием — функцией величины, а в

аппарат ПСС введены новые обозначения: ромб — для параметра величины, и скругленный прямоугольник — для обозначения нелинейной функции. Это позволило разработать ПСС микроэлектронного частотного датчика давления (рис. 4) и выявить математических зависимостей, выражающих величины и параметры ПСС через реальные физические величины. Введенные в теорию ЭИМЦ дополнения можно использовать для описания колебательных и волновых процессов любой физической природы.

|"г(п)

Киг(п)иМп

Кимл11му

и

му

К0му0млп

му1

КиГ(п>»Ш1

,инл

Кимлиму

IV.; и„у

г(п)

иг(п)иил Кимлиму

Сму2

Ому 2

0му2

ОмуТИ

МУ2

и^(п-п0)-1

----

ну

Ому(П-Пц)

иг(п)имл

|и»л

Кимлиму

■'И

Смуп

Ому[п-пд)

0му12

му

и^(п-п0) иг(п-п0)

ОиуН

0иу2

К<5иуЧмл11

1УЛ Г1,,

К Ому О и Л г

Ому(п-пд)

КОиуОМЛ(

1

ОиуОр.

'МЛ Г(П-Пд)

ОиУЕ(П-Пд)

Иоиуо

ил4

0мл2

^нл 2

и*

О и Л ^п-пд)

«мл(п-пд)

УУмл<п-п0)

и„

I и

мл(п-пд)

5мл = ^(А,

I'

ш

Онл = ^ф)

Рис 4. ПСС микроэлектронного частотного датчика давления

Литература

1. Карцев Е.А. Датчики неэлектрических величин на основе унифицированного микромеханического резонатора // Приборы и системы управления. 1966. № 4

2. Л. Е. Андреева. Упругие элементы приборов. М.: Машиностроение. 1981, 392с.

3. И. Ю. Петрова, О. М. Шикульская. Универсальная структурно-параметрическая модель плоской мембраны // Датчики и системы 2000 №2 - с.14-16

4. Зарипов М. Ф., Петрова И. Ю. Энергоинфориационный метод анализа и синтеза чувствительных элементов систем управления // Датчики и системы. 1999 № 5.