Математическое моделирование механических характеристик и взаимодействий углеродных нанотрубок Текст научной статьи по специальности «Физика»

Мезо-, нано-, биомеханика и механика природных процессов Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4(2), с. 478-480

УДК620.22-022.532-0323:001.891.573

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК И ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБОК

© 2011 г. Г.Н. Кувыркин1, Н.Н. Головин2

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва 2Московский институт теплотехники

[email protected]

Поступила в редакцию 16.06.2011

Изложены основные принципы построения усовершенствованных структурных моделей одностенной и многостенной углеродных нанотрубок. Особенности этих моделей учтены при выводе системы уравнений, описывающих с позиций механики сплошной среды термодеформирование как самих углеродных нанотрубок, так и созданных на их основе композитов. Для учета деформации межатомных связей в структуре углеродной нанотрубки использован гармонический потенциал, который по своей физической природе соответствует потенциальной энергии упругой связи, соединяющей пару взаимодействующих атомов. Такой подход позволил в произвольно выбранной графитовой плоскости углеродной нанотрубки построить балочную модель и с помощью математического моделирования различных вариантов ее нагружения определить эффективные характеристики.

Ключевые слова: углеродные нанотрубки, композиты, математическое моделирование, термодеформирование, межатомная связь, балочная модель, эффективные характеристики.

Полная потенциальная энергия молекулярной системы, какой является произвольная графитовая плоскость углеродной нанотрубки (УНТ), может быть описана следующим выражением [1, 2]:

и =£12 Кг (г — г,)2 +£1/2 Ке (0-2 П 3)2 + +£1/2 Кф (ф)2 + £

иуош,

(1)

где г и 0 — линейное и угловое расстояние между соседними атомами углеродной плоскости УНТ после деформации; ф — угол закрутки связи между соседними атомами; г0 — линейное расстояние между соседними атомами углерода в недефор-мированном состоянии УНТ, Кг — жесткость связи между соседними атомами при растяжении (сжатии); К0 — изгибная жесткость связи между соседними атомами; Кф — жесткость связи между соседними атомами при кручении; иуош — энергия нековалентных взаимодействий противолежащих атомов углеродного шестигранника. Так как силы Ван-дер-Ваальса примерно в 30 раз меньше, чем усилия ковалентных связей [2], ит№ ~ 0 .

Жесткостные характеристики углеродных связей — это известные параметры силового поля [3—5]:

Кг = 6,52 -10-7 Н/нм,

Ке = 8,76-10-10 Н• нм/рад2, (2)

Кф= 2,78-10—10 Н• нм/рад2.

Предположим, что соседние атомы углерода в структуре УНТ соединяются имеющими конечную жесткость мнимыми балками. Тогда справедливы следующие очевидные соотношения:

ЕА /Ь =КГ, ЕІ/Ь =Ке, 03/Ь =Кф, (3)

где Ь, А, I и 3 — соответственно длина, площадь, момент инерции при изгибе и полярный момент инерции поперечного сечения мнимой балки; Е и О — модули упругости и сдвига материала мнимой балки. В случае если мнимая балка имеет поперечное сечение в виде круга диаметром ё, то

А = пё2/4, I = лё2/64, 3 = пё2/32. (4)

Используя соотношения (3) и (4), можно определить диаметр и характеристики материала мнимой балки, имитирующей связь атомов углерода в УНТ:

ё = 4д/Ке / Кг, Е = ЬК2/(4лКе),

О = ЬКК /(8пК2).

Полученные соотношения были использованы при создании континуально-дискретной структурной схемы УНТ, представляемой в виде совокупности балочных конечных элементов, соединяющих атомы — узлы и моделирующих ковалентные связи между атомами углерода. На рис. 1 представлены результаты численного моделирования методом конечных элементов [5]

продольного растяжения и закручивания однослойной УНТ структуры armchair, содержащей 2030 атомов углерода и имеющей длину B = 24.841 нм; диаметр УНТ равен dt = 0.678 нм, а числа хиральности n = m = 5. Эффективные модули упругости и сдвига УНТ определяются выражениями

еунт = FB /(АУНТ Az)’ G = MB /(фJp )’ (6)

где F - расчетное продольное усилие в УНТ, соответствующее заданному перемещению Az = 5 нм, F = 70.1-10-9 Н; АуНТ - площадь поперечного сечения углеродной нанотрубки, АуНТ = п dthyHr причем эффективная толщина УНТ по данным работы [7] принята равной куНТ = 0.075 нм; M - расчетный момент относительно продольной оси УНТ, соответствующий заданному повороту на угол ф = 0.295 рад, M = 0.172.10_9 Н.нм; Jp - полярный момент инерции УНТ, Jp = TCdt3hyOT/4.

Рис. 1

На рис. 2 представлены результаты численного моделирования [5] изгиба двухслойной УНТ, на одном из торцов которой запрещены перемещения, а на другом задано поперечное усилие Fuоп =0.8*10-12 Н. Каждый слой трубки подобен рассмотренной УНТ и имеет ту же длину. При этом диаметр внутреннего слоя равен dt = 0.67 нм, а внешнего - Д = 0.8136 нм. Между слоями УНТ заданы условия контактного взаимодействия, включающие в себя условия взаимного непроникания и существования только сжимающих контактных усилий.

Одновременно приводятся результаты чис-

/

Внутренняя УНТ

Попеоечные пеоемешения. НМ

X

X

X о

v X п °

Dm іут-f эен ня; ч УІ JT v > О с

DH 1 1 X x о и

о

x x о о

X X

x 5 ' a °

x x с Duoinunn VUIT

C X n о

x x < , °

x x о u

x С і °

X X о .O' \ s Пс tyxi слс >йн ая' УН' г

с.o' ДЕ 1

О 0,1 Поперечное усилие, пН 0,7 0,8

Рис. 2

ленного моделирования поперечного изгиба внутреннего и внешнего слоев УНТ по отдельности.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 09-08-00б99а, и по программе Президента РФ поддержки ведущих научных школ НШ-4046.2010.8.

Список литературы

1. Гольдштейн Р.В., Ченцов А.В. // Перспективные материалы и технологии: Нанокомпозиты. Т. 2. М.: Торус Пресс, 2003. С. 239-230.

2. Кормилицын О.П. Механика материалов и структур нано- и микротехники. М.: Академия, 2008. 224 с.

3. Brcic M. et al. // Estonian Journal of Engineering. 2009. V. 13, No 2. P. 77-86.

4. Avila A.F., Lacerda G.S.R. // Materials Research. 2008. V. 11, No 3. P. 323-333.

3. Li C., Chou T.W. // Nanomechanics of Materials and Structures, Amsterdam: Springer. 2006. P. 33-63.

6. Головин Н.Н., Кувыркин Г.Н. // VIII Всерос. съезд по теоретич. и прикл. механике. Пермь, 23-29 авг. 2001 г. С. 191.

7. Pantano A., Parks D.M., Boyce M.C. // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2004. V. 32. P. 789-821.

480

Г.Н. KyBbipKUH, H.H. ronoBm

MATHEMATICALLY MODELING THE MECHANICAL CHARACTERISTICS AND INTERACTIONS OF CARBON NANOTUBES

G.N. Kyvirkin, N.N. Golovin

The basic principles of advanced structural models of single-walled and multiwalled carbon nanotubes are presented. The specific characteristics of these models are taken into account in deriving the system of equations describing in terms of continuum mechanics thermal deformation of both the carbon nanotubes and composites based on them. In order to take into account the deformation of atomic bonds in the structure of carbon nanotubes the harmonic potential is used, which corresponds to the physical nature of the elastic potential energy of the bond connecting a pair of interacting atoms. This approach made it possible to develop a beam model in an arbitrarily chosen plane of graphite carbon nanotube and to determine its effective characteristics using mathematical modeling of various ways of its loading.

Keywords: carbon nanotubes, composites, mathematical modeling, thermal deforming, atomic bond, beam model, the effective characteristics.