CC BY
429
УДК 621.382.019 ББК 32.852
А.В. АРХИПОВ, В С. ПРЯНИКОВ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ В СИСТЕМЕ MATLAB
Ключевые слова: математическое моделирование, магнитное поле Земли, MATLAB, вектор магнитного поля.
Изложен алгоритм построения математической модели геомагнитного поля Земли, приведены результаты моделирования и возможные области применения.
A.V. ARKHIPOV, V.S. PRYANYKOV MATHEMATICAL MODELLING OF THE MAGNETIC FIELD OF THE GROUND IN MATLAB SYSTEM
Keywords: mathematical modelling, a magnetic field of the Earth, MATLAB, vector of a magnetic field.
The algorithm of construction of mathematical model of a geomagnetic field of the Earth is stated, results of modelling and possible scopes are resulted.
Модель магнитного поля Земли (МПЗ) применяется в качестве стандартной модели в системах навигации и ориентации. К современным навигационным комплексам предъявляются следующие требования: 1) высокая точность вырабатываемых навигационных и динамических параметров; 2) совершенное математическое обеспечение комплексной обработки поступающей от разнородных источников навигационной информации, построенное на использовании теории вероятности и математической, а также теории оптимальной фильтрации и случайных процессов; 3) определение координат места по геофизическим полям.
Имеющийся открытый программный код модели на языке программирования С или Fortran является весьма неудобным для проведения исследований по следующим причинам [1]: программа предназначена для разового вычисления основных параметров МПЗ; существуют сложности, вызванные структурой языка С: громоздкие вычисления сложных функций, трудность работы с графикой, в том числе с 3D и динамическим отображением процессов.
Магнитное поле Земли В - векторная величина, изменяющаяся в пространстве r и во времени t [3]. Поле, в сущности, представляет собой комбинацию нескольких магнитных полей, формируемых разнообразными источниками. К наиболее важным из геомагнитных источников относятся: основное поле (свыше 95%), формируемое в проводящем внешнем ядре Земли, которое находится в расплавленном состоянии Bm; поле коры, формируемое в верхней мантии Земли Bc; составное возмущающее поле, формируемое электрическими токами, протекающими в верхней атмосфере и магнитосфере Bd. Следовательно, магнитное поле представляет собой сумму составляющих: B(r, t) = Bm (r, t)+ Bc (r )+ Bd (r, t) .
Для создания точной модели основного поля необходимо располагать данными с хорошим глобальным охватом и очень низким уровнем шума. Этим требованиям удовлетворяют массивы данных, передаваемых с искусственных спутников Земли (ИСЗ) 0rsted (Дания) и CHAMP (Германия), на ос-
нове которых возможно моделирование поведения основного магнитного поля в пространстве и времени.
Вектор геомагнитного поля B описывается с помощью 7 элементов, к которым относятся: ортогональные составляющие X, Y, Z напряженности; суммарная напряжённость F, напряжённость горизонтальной составляющей H, магнитное наклонение I и магнитное склонение D.
Предварительная обработка данных со спутника включает в себя построение родительской модели на основе всех имеющихся данных, с помощью которой можно синтезировать значения магнитного поля: 1) параметризация - осуществляется аппроксимация массивов данных, отобранных из результатов спутниковых измерений и средних обсерваторных значений за каждый час; 2) девиация - вводится зависимость от Dst (коэффициент, оценивающий возмущение магнитного поля) для внешних коэффициентов Гаусса степени 1, для отображения изменчивости магнитосферных кольцевых токов; 3) преобразование системы координат - данные, полученные от обсерваторий переводятся из геодезической системы координат в геоцентрические; 4) прогнозирование векового изменения - осуществляется обработка данных фильтрами линейного предсказания, в результате чего получаются оценки изменения поля вплоть до 2010 г.; 5) взвешивание данных - оценка весовых функций, назначаемых каждому массиву данных и в пределах самих массивов данных.
Конечные коэффициенты основного поля на 2005 г. получаются методом полиномиальной экстраполяции коэффициентов Гаусса для основного поля из родительской модели. Коэффициенты модели, именуемые коэффициентами Гаусса, обеспечивают точное и удобное отображение основного магнитного поля Земли. С помощью коэффициентов можно рассчитывать значения для элементов поля и их годовые темпы изменения в любой точке вблизи поверхности Земли в любой день, период 2005-2010 гг.
Более подробное описание построения родительской модели и вычисления основных параметров магнитного поля земли приведены в [2], [4].
Алгоритм математической модели в системе MATLAB для расчёта элементов магнитного поля Земли в точке с заданной широтой долготой приведен ниже.
1. Преобразование эллипсоидных геодезических координат (h, ф, X) в сферические геоцентрические координаты (r, ф', X) [3]:
, (a2 cos2 ф + B2 sin2 ф)12h + B2
tgф = ,----------------------------^ф;
(a2 cos2 ф + B2 sin2 ф) h + А2
л 4 2 т-»4 • 2
2 ,2^,(л2 2 П2 • 2 V/2 A cos ф + B sin ф
r = h + 2h(A cos ф+B sin ф +----------------------------,
A cos2 ф+B2 sin2 ф где A = 6378,137 км - большая полуось (экваториальная полуось) эллипсоида; B = 6356,7523142 км - малая полуось с привязкой к эллипсоиду Всемирной геодезической системы 1984 г. (WGS84); h - геодезическая высота; ф и X - соответственно геодезические широта и долгота; t - время (децимальный год).
2. Определение коэффициентов Гаусса степени n и порядка m:
я: (і )=ят+я т (> - <о), к (< )=к+к (< - <„).
где 10 = 2005 - базисная дата модели.
3. Вычисление векторных составляющих поля X'. У' и X' в геоцентрических координатах [3]:
/ \Й+ 2 (
X'('. X. г) = -1 — =]2 — ]Г ( (і)оо8 :Х + (фіп тх)п ('П ф);
П=1 т=0
V г ) аф
г '(ф'. X. г ) =--^ =
r дф'
r cos ф' дХ
1
12 f ^ 12 а
■t
cos ф' n 1
Z m (: (t )sin ml + h” (t )cos ml) (sin ));
V r J
m=0
4 n+ 2
f Y
Z'(', X, r ) = — = -£ (n +1) — Z (t)cos mX + h” (t)sin ml) (sin )),
dr
V r J
m=0
где Pm (sin pf) - полунормированные присоединённые функции Лежандра; V
- скалярный потенциал.
4. Геоцентрические составляющие вектора X, Y' и Z' преобразуются обратно в геодезическую систему координат:
X = X' cos у + Z' sin у;
Y = Y';
Z = -X' sin у + Z' cos у, где у = p' - p - разность между геоцентрической и геодезической широтами; ф' был рассчитан в шаге 1.
5. По составляющим вектора рассчитываются элементы магнитного поля
H, F, D, I и условное магнитное склонение GV: H=VX2 +Y2 ; F=VH2 + Z2 ; D = arctgY,X); I = arctgZ,H); GV= D-X, если p>55; GV = D+X, если p<-55).
Среднеквадратические погрешности D, I, GV в модели WMM2005, согласно оценкам [3], меньше 1,0° на поверхности Земли в течение всего 5-летнего периода действия модели. Кроме того, согласно оценкам, среднеквадратические погрешности H, Z, F в модели WMM2005 значительно ниже 200 нТл в течение всего 5-летнего периода действия модели.
В результате по приведенному алгоритму была построена модель геомагнитного поля Земли в системе MATLAB. Модель является более универсальной, чем существующая, позволяет осуществлять ее вызов из внешней программы. Это, в свою очередь, обеспечивает возможность визуализации динамических процессов в трехмерной графике. В ходе моделирования созданы следующие программы, в которых использовалась модель МПЗ.
1. Модель расчета полного вектора магнитного поля Земли, магнитного склонения и наклонения в точке с заданной широтой и долготой, с применением
n=1
модели МПЗ и электронной векторной карты. Программа позволяет задать картографическую проекцию, выбрать систему координат для позиционирования на Земле, визуально задать область для работы. На рис. 1 показаны зоны UTM (Universal Transverse Mercator) - координатной сетки на базе поперечной проекции Меркатора. При помощи курсора мыши можно задать для дальнейшей работы одну из 60 UTM зон (меридианы делят земной шар с шагом в 6°).
После задания зоны UTM, область загружается в отдельном окне в увеличенном масштабе, курсор мыши превращается в перекрестие (на рис. 2 не показано) для выбора исследуемой точки, в которой определяются высота (Altitude), полный вектор магнитного поля Земли (F), склонение (D), наклонение (I), кроме того, определяется принадлежность выбранной точки к той или иной стране (Country), а также широта (Latitude) и долгота (Longtitude).
В данном случае, в результате работы программы получены следующие сведения: Country: Uganda; Latitude: 2.94°; Longtitude: 33.7°; Altitude: 1162 м; F=33954.8875 нТл; D=1°; I=-15°.
2. Программа построения изогон (линии на географической карте, соединяющие точки земной поверхности с одинаковым магнитным склонением) склонения и изоклин (линии на географической карте, соединяющие точки с одинаковым магнитным наклонением) наклонения позволяет отобразить изоклины и изогоны с необходимым шагом и диапазоном (рис. 3, 4).
Рис. 1. Зоны UTM
Рис. 2. Зона иТМв увеличенном масштабе
Рис. 4. Изогоны магнитного склонения в диапазоне (-30.. .30)° с шагом 5°
Результаты, изложенные в данной статье можно использовать: в картографических системах для определения величин составляющих МПЗ в точке с заданными широтой и долготой; для построения силовых линий МПЗ; для построения эквипотенциальных поверхностей МПЗ; для построения сечений силовых линий МПЗ для определенных широты, долготы, высоты; для построения изолиний и поверхностей, составляющих МПЗ, магнитного склонения и наклонения для интересующих районов земного шара.
Литература
1. http://www.ngdc.noaa.goc/geomag/WMM/wmm_cdownload.shtml.
2. Lesur V. Magnetic field model with daily variations of the magnetospheric field and its induced counterpart in 2001 / V. Lesur, S. Macmillan, A. Thomson, // Geophys. J. Int., doi: 10.1111/j.1365-246X.2004.02479.x.
3. McLean S. The US/UK World Magnetic Model for 2005-2010 / S. McLean, S. Macmillan, S. Maus, V. Lesur, A. Thomson, D. Dater // NOAA Technical Report NESDIS/NGDC-1. 2004. December.
4. Sabaka T.J. A comprehensive model of the quiet-time, near-Earth magnetic field: phase 3 / T.J. Sabaka, N. Olsen, R.A. Langel // Geophys. J. Int. 2002.
АРХИПОВ АЛЕКСЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ родился в 1985 г. Окончил Чувашский государственный университет. Аспирант кафедры радиотехники и радиотехнических систем Чувашского университета. Область научных интересов - проектирование систем ориентации и навигации.
ПРЯНИКОВ ВИССАРИОН СЕМЕНОВИЧ родился в 1933 г. Окончил Казанский авиационный институт. Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой радиотехники и радиотехнических систем Чувашского государственного университета. Область научных интересов - прогнозирование надежности. Автор 170 научных публикаций.
