CC BY
107
УДК 621.396
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВАХ
А.Г. Мадера, д.т.н.
(ЦВСИТ НИИСИ РАН, г. Москва, [email protected])
Модели конвективного теплопереноса, используемые в существующих программных комплексах для теплового проектирования электронных устройств, основаны на концепции линейного уравнения теплообмена Ньютона и коэффициенте теплоотдачи, что, однако, не дает возможность адекватно моделировать тепловые процессы, протекающие в реальных электронных системах. В статье предлагается подход, позволяющий адекватно моделировать конвективный теплоперенос в электронных устройствах, который основан на сопряженной формулировке уравнений конвективного теплопереноса и их непосредственном и прямом решении.
Ключевые слова: программный комплекс, математическое и компьютерное моделирование, конвективный теп-лоперенос, сопряженная постановка, электронные устройства.
Разрабатываемые как в России [1], так и за рубежом программные комплексы (ПК), предназначенные для моделирования тепловых процессов в электронных устройствах, включают в себя различные математические и компьютерные модели, описывающие кондуктивные, конвективные и из-лучательные процессы, участвующие в теплообмене между элементами электронных систем. Заложенные в этих ПК математические модели с той или иной степенью адекватности соответствуют процессам теплопереноса, протекающим в реальных электронных устройствах. Математические модели кондуктивных тепловых процессов, связанных с теплопередачей в твердотельных элементах конструкций, а также математические модели теплообмена излучением хорошо проработаны и позволяют с достаточной для инженерной практики точностью рассчитывать температурные поля конструкций. Что же касается моделирования конвективных процессов тепло- и массообме-на, протекающих в жидкостной и воздушной среде в электронной аппаратуре, то положение здесь существенно хуже, что обусловлено рядом объективных причин.
Конвективный теплоперенос между твердотельными элементами в конструкциях электронных устройств и жидкостной и/или воздушной средой описывается системой уравнений гидродинамики, включающей в себя уравнения Навье-Стокса, непрерывности и переноса энергии. Эти уравнения чрезвычайно сложны, и в настоящее время нет их приемлемых решений (аналитических или численных), за исключением некоторых частных случаев, не представляющих интереса для инженерной практики теплового проектирования. Поэтому, чтобы иметь возможность хотя бы приближенно моделировать реальный конвективный теплоперенос, прибегают к различного рода допущениям, упрощающим его описание. Вместе с тем оценить степень адекватности этих упрощений, как и получаемых с их помощью зависимостей, не представляется возможным.
В инженерной практике, а также при разработке ПК, широкое распространение получила приближенная математическая модель конвективного теплопереноса, основанная на линейном уравнении теплообмена Ньютона и концепции коэффициента теплоотдачи (КТО). Уравнение Ньютона постулирует, что тепловой поток О, передаваемый от нагретой поверхности тела площадью 8 в жидкостную среду, пропорционален первой степени разности температуры поверхности тела Т^, и среды Та, а именно
Q=a S 0>Та). (1)
Коэффициент пропорциональности а называется коэффициентом теплоотдачи, включающим в себя, согласно концепции КТО, всю сложность процесса конвективного теплопереноса, который пока не поддается адекватному математическому моделированию. Он представляет собой довольно сложный комплекс, зависящий от большого числа разнообразных физических и геометрических факторов, а также конкретных условий и режимов, в которых протекают реальные процессы конвективного теплопереноса в конструкции конкретного электронного устройства.
Величина а, в принципе, может быть получена путем непосредственного решения уравнений гидродинамики с применением компьютерного численного моделирования. Однако такая возможность для большинства важных практических случаев до сих пор не реализована в основном в силу следующих причин. Во-первых, во множестве случаев вообще отсутствует формулировка математической модели конвективного теплопере-носа, адекватная конкретным реальным условиям теплообмена (турбулентность, сложные трехмерные области, нелинейности разного рода, сопряженная постановка проблемы теплопередачи и пр.). Во-вторых, даже если такая модель и получена, то определение ее численного/аналитического решения не представляется возможным из-за значительных математических и вычислительных трудностей. Причем эти трудности до сих пор
не преодолены, несмотря на наличие сверхмощных высокопроизводительных суперкомпьютеров. Поэтому для изучения процессов конвективного теплообмена, протекающих в реальных конструкциях, прибегают к сложным и трудоемким экспериментальным исследованиям с последующей обработкой полученных экспериментальных данных методами теории подобия и применением концепции КТО.
Таким образом, концепция КТО по существу является эвристической и не имеет математического обоснования. В ее пользу говорят лишь практическая инженерная традиция и предоставляющаяся с ней возможность значительного упрощения проблемы. Адекватность КТО в большинстве случаев невозможно достоверно оценить, а результаты моделирования, получаемые на ее основе, могут довольно существенно отличаться от данных эксперимента, достигая десятков процентов.
В силу перечисленных причин для обеспечения возможности адекватного моделирования конвективных процессов теплопереноса в электронных устройствах назрела необходимость замены концепции КТО новым, более адекватным и продуктивным подходом. Этот подход должен опираться как на непосредственное и прямое решение уравнений гидродинамики, так и на ряд дополнительных уравнений, введение которых диктуется необходимостью рассматривать проблему тепло- и массопереноса как сопряженную.
В статье предлагается подход, позволяющий адекватно описывать процессы вынужденной и свободной естественной конвекции в электронных устройствах, а также формулируется его математическая модель, основанная на сопряженной постановке проблемы.
Концепция адекватного моделирования конвективного теплопереноса
Концепция КТО и сам коэффициент, на котором она основана, имеют принципиальные недостатки, обусловленные тем, что фигурирующие в законе теплообмена Ньютона (1) температуры поверхности тела (Т^,) и среды (Та) представляют собой усредненные по соответствующим поверхностям и/или объемам величины и, кроме того, рассматривают систему тел, а также омывающую их жидкость как одномерные объекты. К недостаткам концепции КТО можно отнести следующие аспекты.
• В силу усредненности температур Т^, и Та невозможно моделировать теплообмен устройства с пространственно распределенными источниками теплоты, в частности такого, в котором действуют несколько источников. Большое количество источников теплоты встречается, например, в таких
электронных устройствах, как электронный модуль, содержащий печатную плату и множество микросхем, каждая из которых является источником теплового потока.
• Концепция КТО основана на одномерной усредненной модели теплообмена между твердым телом и средой и потому не позволяет адекватно рассчитывать ни пространственное распределение температуры в твердотельных конструктивных элементах, ни распределение температуры в потоке жидкости.
• Концепция КТО не учитывает асимметрию конвективного теплопереноса в пространстве, а температура жидкости определяется как среднее арифметическое значений температуры жидкости в различных точках. Другими словами, для применения концепции КТО сам коэффициент теплоотдачи вдоль поверхности тела и температуру жидкости необходимо полагать симметричными, имеющими одно и то же значение в каждой точке. Вместе с тем условие симметричности конвективного теплообмена в реальности не наблюдается. Так, нисходящие горячие и восходящие более холодные массовые потоки жидкостной среды находятся в заведомо несимметричных условиях, причем именно эта асимметричность параметров процесса и обусловливает различные значения температуры в нижней и верхней частях тела, омываемого жидкостью. Иначе говоря, температурная и конвективная несимметричность являются следствием различия между условиями протекания конвективного теплообмена в различных точках тела и жидкости, которая и обусловливает возникновение температурных распределений и в теле, и в жидкости. Точно так же жидкость, протекающая в канале с нагреваемыми стенками, сама нагревается, что приводит к неоднородному распределению температуры в потоке жидкости и, как следствие, к асимметричности конвективного теплопереноса и температуры стенок канала.
• Концепция КТО исключает возможность моделирования нестационарных процессов теп-лопереноса. Это вызвано тем, что величина коэффициента теплоотдачи а, определяемая, как указывалось выше, на основании экспериментальных данных, в принципе не может содержать время в качестве независимой переменной. Между тем, если температура тела, с поверхности которого происходит теплообмен со средой, изменяется во времени, то и процессы конвекции также должны изменяться со временем.
• Значения коэффициента теплоотдачи, а также зависимость его величины от различных физических факторов определяются с помощью экспериментальных исследований. Между тем условия, для которых проводятся экспериментальные исследования теплоотдачи, как правило, весьма далеки от реальных, в которых испытыва-ются и эксплуатируются конкретные электронные
системы. Приводимые в литературе данные экспериментов по тепло- и массообмену относятся в основном к области энергетического машиностроения и промышленным теплообменникам. Причем, несмотря на то, что экспериментальные данные затем обрабатываются с помощью теории подобия и представляются в обобщенном безразмерном виде, полученные результаты не могут с достаточным основанием распространяться и на реальные электронные устройства, и на их тепловые режимы.
Таким образом, при постановке задачи математического моделирования конвективного теплообмена с использованием концепции КТО теплообмен между телом и средой оказывается не зависящим от свойств тела, его теплофизических характеристик и размеров, распределений источников теплоты в теле и во времени, температурного поля тела, что, очевидно, противоречит физическому смыслу конвективного теплообмена. На основании вышеизложенного можно сделать вывод, что концепция КТО и коэффициент теплоотдачи неприемлемы для моделирования конвективного теплопереноса как не соответствующие физическому смыслу и неприемлемы в практике теплового моделирования и проектирования тепловых режимов электронных устройств.
Альтернативой концепции КТО является подход, при котором проблема теплообмена рассматривается в сопряженной постановке. Смысл сопряженной постановки проблемы конвективного теплопереноса заключается в следующем.
В большинстве работ по математическому моделированию и решению уравнений, описывающих процессы в жидкости, взаимодействие потока жидкости с поверхностью омываемого ею тела рассматривается в предположении, что на поверхности задана некая фиксированная температура (граничные условия 1 -го рода) или линейное уравнение теплообмена Ньютона (граничные условия 3-го рода) [2].
При граничных условиях 1 -го рода решение уравнений гидродинамики существенно облегчается. Вместе с тем они неадекватны реальности, поскольку, во-первых, их невозможно реализовать на практике, разве что путем осуществления на поверхности тела фазового перехода (кипения, конденсации или плавления) или при бесконечно большой теплопроводности материала тела, что, очевидно, не имеет отношения к теплообмену в реальных электронных устройствах; во-вторых, задание фиксированной температуры на поверхности тела противоречит физическому смыслу собственно конвективного теплообмена, так как, если температура тела задана, никакие тепловые процессы в жидкости не могут повлиять на температуру тела, поэтому процесс конвективного теплообмена между телом и жидкостью не происходит.
Граничные условия 3-го рода представляют собой по существу концепцию КТО, несостоятельность которой проанализирована выше. В то же время наблюдаемый на практике конвективный теплоперенос (как вынужденный, так и естественный) заключается во взаимно обусловливающем тепловом взаимодействии между средой и омываемым телом, в процессе которого происходят нагревание (охлаждение) среды и одновременно с этим охлаждение (нагревание) тела.
Таким образом, адекватное моделирование конвективного теплопереноса требует совместного, то есть сопряженного, рассмотрения и решения уравнений распространения теплоты в твердом теле, омываемом жидкостью, а также в самой жидкости, совместно с уравнениями движения Навье-Стокса, непрерывности и энергопереноса в жидкости. Сопряженная постановка требует также, чтобы на границе соприкосновения тела с жидкостью соблюдалось равенство температур и тепловых потоков в теле и жидкости в каждой точке границы. Именно в такой, сопряженной, постановке моделирования теплообмена учитывается тепловое взаимодействие между телом и жидкостью, которое не может быть учтено при других постановках. Необходимость сопряженной постановки задачи конвективного теплообмена следует также из неравенства для критерия Брюна Вг=(ХЛ„) (б/х) Рг1/3Ке1/2>0,1 для воздушной среды в конструкциях электронных устройств (X, ^ -теплопроводность воздуха и тела; б, х - толщина и длина тела; Рг и Яе - критерии Прандтля и Рей-нольдса) [3].
Основной средой в электронных устройствах является воздух, который может как подаваться (нагнетаться) от внешних устройств (приводя к вынужденной конвекции), так и находиться в свободном состоянии (естественная конвекция). Поэтому в статье уравнения математической модели конвективного теплообмена формулируются именно для воздушной среды.
Таким образом, проблему адекватного описания процессов конвективного теплопереноса необходимо формулировать как сопряженную. По причине значительной трудности решения сопряженных задач теплообмена работ, посвященных этой тематике, крайне мало. Частичным выходом из сложившейся ситуации являются упрощенные модельные представления основных уравнений конвективного теплопереноса, которые позволяют учесть влияние особенностей конкретных устройств и реальных условий их функционирования.
Сопряженное математическое моделирование конвективного теплопереноса
Сформулируем уравнения сопряженной математической модели свободного конвективного те-
плопереноса в воздушной среде, омывающей поверхность твердого тела. Сопряженная постановка задачи конвективного теплообмена характеризуется тем, что в отличие от простой несопряженной постановки к традиционным уравнениям конвективного теплообмена (Навье-Стокса, переноса энергии, неразрывности) добавляются уравнения теплопроводности в твердом теле, а также граничные условия 4-го рода, выражающие равенство температур и тепловых потоков в каждой точке соприкосновения жидкости и тела.
Рассмотрим свободную естественную конвекцию в замкнутом объеме некоторого электронного устройства. Воздушную среду будем считать несжимаемой, то есть давление в воздухе предполагается мало изменяющимся, так что изменением плотности воздушной среды под влиянием изменения давления можно пренебречь. Вместе с тем изменением плотности из-за неравномерности нагретого воздуха пренебрегать нельзя, поскольку именно оно и является причиной появления конвективного теплопереноса. Наибольший интерес для практики представляют установившиеся процессы теплообмена, поэтому уравнения математической модели считаются стационарными и не зависящими от времени.
В общем виде сопряженная трехмерная математическая модель, описывающая стационарный свободный конвективный теплоперенос около твердого тела, омываемого жидкостью, относительно малых переменных температурного поля Т' и поля давления в жидкости p', имеет вид:
- уравнение Навье-Стокса:
(V У)у = -У-— g Р Т'+ V Ду Р
(2)
- уравнение переноса энергии в жидкости: V V Т' = а ДТ', (3)
- уравнение непрерывности: Шу V = 0,
(4)
- уравнение теплопроводности в твердом теле (■) с пространственным распределением источников теплоты у, z):
^ ДТ^ + О (х, у, х) = 0,
(5)
- граничные условия 4-го рода на границе тела и жидкости
8 п
8 8
=-" 8ТЛ
У8 8
Т I = Т1
Тте |8 8 Т 1
(6)
(7)
те 18 8 в 8 '
где Т=Т0+Т', р=р0+р', Т0 и р0 - постоянные средние значения температуры и давления в жидкости, от которых отсчитываются неравномерности температуры Т' и давления р' [4]; Т' и V - трехмерные поля температуры и скорости в жидкости; Т. -трехмерное температурное поле в теле; V - кине-
матическая вязкость воздуха; а=Х/рс - температуропроводность воздуха теплопроводностью X, плотностью р и удельной теплоемкостью с; в -температурный коэффициент расширения воздуха; X. - теплопроводность материала тела; g - ускорение свободного падения; п - нормаль к поверхности тела.
Уравнения (2)-(7) значительно упрощаются в случае свободной конвекции на вертикальной пластине, моделирующей, например, электронный модуль (в первом приближении), омываемый воздушной средой, при сохранении только двух координат - координаты х, направленной вертикально вверх, и координаты у, перпендикулярной пластине; вдоль координаты z изменения температурного поля и поля скоростей в жидкости отсутствуют (штрих у соответствующих переменных опущен). В приближении пограничного слоя давление р' в пограничном слое не изменяется по координате у и поэтому везде равно гидростатическому давлению, в связи с этим р'=0. С учетом того, что Vz=0, 8/дг=0 для плоскопараллельного потока, получим:
- уравнение Навье-Стокса в воздушной среде:
8 ^ 8 ^ 82 у¥ _ _ ч
v х +v у ^=у ^+Р £(Т - Т0), (8)
- уравнение переноса энергии в воздушной среде:
8 Т
- + V,
8 Т 8 2Т = а-
(9)
х 8 х 'У 8 у _ "8у2'
- уравнение непрерывности воздушной среды:
(10)
8 8 V х Л
8 у
- уравнение (д2Tw/дz2=0):
8 2 т
теплопроводности пластины
8 х2
+ Л,
8 2 Т
8 у2
+ О(х,у) = 0 ,
(11)
граничные условия для скоростей воздуха:
Vx=Vy=0 при у=0; Vx=0, Т=Т0 для значений у вне пограничного слоя;
- граничные условия 4-го рода:
Л
8 Т
у = 0 I 8 х ✓ у = 0
(12)
(13)
Т
|у = 0 = Т|у =
0 ;
те у = 0 'у = где vx и Vy - скорость воздуха вдоль осей х и у соответственно; Т=Т(х, у) и Т.=Т.(х, у) - распределение температуры в воздушной среде и пластине соответственно; О(х, у) - объемная плотность распределения интенсивностей источников теплоты в пластине; Т0 - температура воздуха за пределами пограничного слоя.
Отметим, что граничные условия на противоположной поверхности пластины определяются конкретными условиями теплообмена для данной конструкции электронного устройства. Так, если с обратной стороны пластины происходит конвективный теплообмен, к математической модели (8)-(13) необходимо добавить аналогичные уравнения и граничные условия.
Если рассматривается вынужденная конвекция, возникающая в электронном устройстве при нагнетании воздуха со скоростью ус от внешних устройств, то в случае ламинарного режима течения математические модели вынужденной и свободной конвекции совпадают, за исключением того, что конвективный член Pg(T-T0) в соответствующих уравнениях будет отсутствовать, а в граничном условии (12) для значений координаты у, лежащих вне пограничного слоя, вместо ух=0 должно быть задано условие ух=ус. Когда при нагнетании воздушной среды скорость воздуха достигает величины, при которой критерий Рей-нольдса Яе=ус Ь/у становится больше своего критического значения Яекр, возникает турбулентный режим движения воздуха. Природа турбулентного режима остается до сих непроясненной, и математическая модель, описывающая турбулентный режим жидкости, отсутствует. То же относится и к турбулентности, возникающей в процессе свободной естественной конвекции. Поэтому моделирование турбулентного режима движения воздуха в электронных устройствах по-прежнему следует проводить с использованием концепции КТО и самого коэффициента, который должен определяться экспериментально для турбулентного режима.
Протекание конвективных процессов теплообмена определяется влиянием множества факторов, таких как геометрические размеры конкретного электронного устройства, его конструктивные особенности, герметичность устройства, наличие вентиляционных отверстий, пространственное расположение элементов внутри устройства, характер ограниченности пространства и пр. Поэтому, когда конвективный теплообмен происходит в замкнутом пространстве при воздействии множества твердотельных тепловыделяющих элементов внутри него, что характерно для конструкций электронных устройств, в математическую модель сопряженного теплообмена для каждого твердотельного элемента, участвующего в конвективном теплообмене, необходимо вводить соответствующие уравнения теплопроводности и граничные условия 4-го рода. Очевидно, что решение уравнений такой математической модели представляет собой невероятно сложную задачу, и для численных расчетов требуется привлечение мощных суперкомпьютеров.
На основании изложенного можно сделать следующие выводы. Одним из основных механизмов теплообмена в электронных устройствах является конвективный теплообмен, поэтому его адекватное математическое моделирование -чрезвычайно актуальная и важная задача. Решение ее необходимо как для практики теплового проектирования электронных устройств, так и для включения адекватных моделей в САПР моделирования тепловых режимов.
Используемая в настоящее время концепция моделирования конвективных процессов, включаемая также в отечественные и зарубежные программные комплексы для теплового проектирования электронных систем, основана на КТО и линейном уравнении теплообмена Ньютона. Вместе с тем данная концепция неадекватна реальности и в ряде случаев не соответствует физическому смыслу конвективного теплообмена.
В статье предлагается постановка проблемы моделирования конвективного теплопереноса в конструкциях электронных устройств, основанная на сопряженной формулировке математической модели, включающей в себя уравнения Навье-Стокса, непрерывности, теплопроводности в потоке жидкости, а также уравнений теплопроводности в твердотельных элементах конструкции. Особенностью сопряженной постановки задачи моделирования конвективного теплообмена является то, что, во-первых, в модель вводятся дополнительные уравнения теплопроводности для каждого твердотельного элемента устройства и, во-вторых, вместо стандартных граничных условий задаются условия равенства температур и потоков теплоты (граничные условия 4-го рода) в каждой точке на границе соприкосновения воздушной среды и твердотельных элементов конструкции устройства. Предлагаемая математическая модель довольно сложна, ее решение наталкивается на серьезные математические трудности, но вместе с тем она адекватно описывает конвективные процессы в реальных электронных системах.
Получение решения предлагаемой математической модели и включение ее в программные комплексы для теплового проектирования электронных устройств позволит существенно повысить адекватность моделирования и точность расчетов тепловых режимов.
Литература
1. Мадера А.Г., Кандалов П.И. Моделирование трехмерных температурных полей в электронных модулях // Программные продукты и системы. 2010. № 2 (90). С. 29-33.
2. Мадера А.Г. Моделирование теплообмена в технических системах. М.: НФ ПИЛ, 2005.
3. Лыков А.В. Тепломассообмен. Изд. 2-е. М.: Энергия, 1978.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1992.
