CC BY
16
УДК 66.021.1
М. Г. Кузнецов, В. В. Харьков, Н. З. Дубкова
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНИЧЕСКОЙ УСТАНОВКИ ДЛЯ МОКРОГО ИЗМЕЛЬЧЕНИЯ
Ключевые слова: гидродинамическая мельница, мокрое измельчение, моделирование.
Предлагается математическая модель процесса измельчения в конической гидродинамической установке. Модель основана на фундаментальных уравнениях сохранения массы и импульса и k-e модели турбулентности. Были проведены численные эксперименты для исследования гидродинамических закономерностей установки на основании математической модели, результаты которых обработаны по теории подобия.
Keywords: hydrodynamic mill, wet grinding, modeling.
The paper presents a mathematical model of grinding in the cone hydrodynamic plant. The model is based on fundamental laws of conservation of mass and momentum and k-e turbulence model. We analyze hydrodynamic regularities in terms of numerical experiments with theory of similarity for mathematical model.
Процесс измельчения материалов является одним из основных процессов в химической, пищевой, горнодобывающей и в других отраслях промышленности. Дисперсность сыпучих материалов во многом определяет качество технологических процессов, включая интенсивность их протекания и характеристики конечных продуктов. Мокрое измельчение отличается рядом преимуществ по сравнению с сухим: более равномерное распределение частиц в рабочем объеме; повышение производительности на 10...15 %; отсутствие агрегирования, пылевыделе-ния, самовозгорания и взрыва [ 1].
При непосредственном приготовлении суспензий и эмульсий предлагается использовать гидродинамические измельчители. Один из которых рассматривается в данной статье. Для описания эмульгирования и мокрого измельчения в них необходимо знание гидродинамических закономерностей, происходящих в устройстве.
Гидродинамическая установка состоит из следующих основных узлов: корпуса 1, ротора 4 и 5, статора 7 (рис. 1) [2]. Измельчаемый или эмульгируемый материал подается через входной патрубок 3 во внутреннюю полость установки. В дальнейшем, за счет перепада давлений на входе и выходе и частично центробежных сил, возникающих при вращении ротора 4 и 5, поток попадает в кольцевой зазор между диском ротора 5 и диском статора 7, а соответственно на их гарнитуру, где происходит процесс измельчения и эмульгирования. Готовый продукт выводится через выводной штуцер 8.
Инструментом исследования гидродинамики выбрано численное решение уравнений турбулентного движения среды с привлечением для их решения конечно-разностных пакетов. Выбор численного эксперимента для исследования гидродинамики мельницы обусловлен следующими причинами: большая сложность и нелинейность системы дифференциальных уравнений математической модели не позволяет решить ее другими методами; численное решение позволяет получить поля исследуемых величин по всему объему измельчителя; процесс течения жидкости в аппарате практически не поддается прямому экспериментальному исследованию, т.е. практически невозможно получить распределе-
ние интересующих нас величин по объему аппарата [3].
Рис. 1 — Схема конической установки: 1 — корпус; 2 — крышка корпуса; 3 — входной патрубок; 4 — колесо ротора; 5 — диск ротора; 6 —прокладка; 7 — диск статора; 8 — выводной патрубок
Рассматриваем двухмерное движение ньютоновской жидкости в зазоре мельницы. Влияние твердой фазы на процесс считаем малым и учитываем ее влияние на процесс применением приведенных физических констант плотности и вязкости [4, 5]
!"-1,55, (1)
(1 - С)
Р = Рж (1 - С) + Ртв С . (2)
Турбулентное движение моделируем к — е моделями турбулентности как наиболее адаптированными и распространенными. Движение нестационарное периодическое. Влиянием гравитации из-за больших чисел Фруда пренебрегаем.
Размеры расчетной области изображены на рис. 2. В дальнейшем будем рассматривать только случаи равенства размеров ширины и высоты зуба, то есть а = С и а1 = С1 • Это обусловлено тем, что экспериментальные данные свидетельствуют, что это оптимальная и практически всегда применяемая геометрия.
А/2
£0
CNJ
Ч.
-сГ
—-
/
/ / / / \\\\ ь/з
/ у///////// 1
/ / / / 03 /
/ /. / / //////////. 1
/ /////////, / II
/ / 2Ь/3
<h А С
Рис. 2 — Геометрия расчетной области
Расчетная область (рис. 3) состоит из двух зон: зона 1 (А^АБ^^НО и зона 2 (А2В2С2Б2Е^2Н2). Наличие этих зон обусловлено моделированием движения ротора. Так как диаметр ротора много больше размера зубьев, то мы считаем возможным пренебречь кривизной и рассматривать зубья ротора и статора состоящими из линейных отрезков.
Рис. 3 — Зоны и границы расчетной области
На линиях В^Б^^А и В2С2Б2Е^^2 ставим стандартные пристеночные условия. Эти линии соответствуют стенкам статора и ротора соответственно.
При рассмотрении гидродинамических закономерностей ограничимся взаимодействием пар «зуб-впадина» ротора и статора. Для этого на линиях (А^-Н^) и (А2В2-Н^2) ставим условие периодичности, то есть:
V(Л1B1) = V(H1G1) , V(Л2В2 ) = У(Н), (3) и аналогично для остальных величин модели.
Линии А1Н1 и А2Н2 — линии интерфейсов взаимодействия областей (подробнее это рассмотрим далее). Когда в численных задачах возникает необходимость моделирования нестационарных перио-
дических процессов, используется метод скольжения сетки.
Этот метод используется в модели для моделирования движения ротора.
В основу математической формулировки положены фундаментальные уравнения сохранения массы и импульса [6, 7]. Для моделирования турбулентности записываются дополнительные транспортные уравнения для турбулентной энергии к и меры рассеивания г [8, 9].
При приведенных выше условиях эти уравнения записываются в виде:
а) уравнения неразрывности [6]
VV = 0; (4)
б) уравнения сохранения импульса [6]
д_ dt
(pV) + V(рVV) = -VP + V(t) + F ;
(5)
в) тензора напряжений для ньютоновской жидкости [8]
Т = ^ + vVT). (6)
Эффективную вязкость записывают в виде [8]:
k 2
1в = l + P с ц— .
(7)
Массовые силы моделируют действие центробежных сил, возникающих из-за вращения ротора
F = -ю2Dcp/2j . (8)
Шаг по времени для периодических течений рекомендуется выбирать из условия, что он должен быть меньше или равен 1/70 периода T .
Период времени в нашем случае вычисляется по формуле:
T = L/V, (9)
где L — полная длина пары зуб ротора (b) и впадина статора (a); V — линейная скорость движения ротора
L = min {(a + b),(a1 + b1)}, (10)
V = ©D/2. (11)
Тогда шаг по времени вычисляется по формуле: min {(a + b),(a1 + b1)
At = ■
(12)
70ю0/ 2
Чем больше максимальное число внутренних итераций на одном шаге, тем лучше сходимость решения. Однако увеличение их количества на начальном этапе расчета приводит к возрастанию времени, которое затрачивается на решение. В дальнейшем при прохождении 2-3 периодов по времени решение начинает сходится при меньшем числе итераций. При проведении тестовых расчетов оптимальное их число оказалось равным 150.
Многочисленные численные эксперименты показывают, что решение становится периодическим по времени после общего времени решения t > 12Т .
Мы устанавливали длительность расчетов 12Т, то есть общее число временных шагов
N = 15Т / At = 15 • 70 = 1050.
Были проведены численные эксперименты для исследования гидродинамики установки на основании математической модели, результаты которых обработаны по теории подобия.
Уравнения подобия для осредненных по объему величин:
— безразмерная кинетическая энергия
k+ = Л = 1604
/д V'514
,418 (Д ) Re
-1.067 .
(13)
V2
- безразмерная мера рассеивания кинетической энергии
(Д
^ a s
е+ = — = 225
V2
'265 U Re
-0'956 .
(14)
- безразмерное касательное напряжение
х Д V0'1
-= 0'0231 —
о V2 W
Л \—0,112
Re-0'188
(15)
Построенная математическая модель и полученные уравнения позволяют описать гидродинамические особенности измельчителя и предложить пути оптимизации рабочего пространства.
Литература
1. П. А. Петрушенков. Дисс. канд. техн. наук, Казань, 1999, 195 с.
2. М. Р. Вахитов, Е. Г. Хакимова, А. В. Толмачева, М. Г. Кузнецов, А. Н. Николаев, Вестник Казанского технологического университета, 18, 20, 57-60 (2015).
3. Д. В. Тунцев, А. Н. Грачев, Р. Г. Сафин, Вестник Казанского технологического университета, 14, 94100 (2011).
4. У. Л. Уилкинсон. Неньютоновские жидкости. Мир, М., 1964, 216 с.
5. В. М. Ульянов, В. И. Муштаев, А. Н. Плановский, ТОХТ, 5, 716-723 (1977).
6. М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. Проблемы гидродинамики и их математические модели. Наука, М., 1973, 416 с.
7. М. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. Теоретическая физика: учебное пособие. В 10 т. Т. VI. Гидродинамика. Наука, М., 1986, 736 с.
8. Hinze J.O. "Turbulence". Mc Graw - Hill Publishing Co., New York, 1975.
9. B. E. Launder, D. B. Spalding, Computer methods in applied mechanics and engineering, 48, 313-327 (1985).
© М. Г. Кузнецов, к.т.н., доцент кафедры оборудования пищевых производств КНИТУ, opp-max@yandex.ru; В. В. Харьков, ассистент той же кафедры, v.v.kharkov@gmail.com; Н. З. Дубкова, к.т.н., доцент той же кафедры.
© M. G. Kuznetsov, Candidate of Science, Associate Professor, Department of Food Production Equipment, Kazan National Research Technological University, opp-max@yandex.ru; V. V. Kharkov, Assistant Professor, Department of Food Production Equipment, KNRTU, v.v.kharkov@gmail.com; N. Z. Dubkova, Candidate of Science, Associate Professor, Department of Food Production Equipment, KNRTU.
