CC BY
24
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИИ ВЕСТНИК ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИИ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ январь-февраль 2017 Том 17 № 1 ISSN 2226-1494 http://ntv.i1mo.ru/
SCIENTIFIC AND TECHNICAL JOURNAL OF INFORMATION TECHNOLOGIES, MECHANICS AND OPTICS January-February 2017 Vol. 17 No 1 ISSN 2226-1494 http://ntv.ifmo.ru/en
УДК 532.543.4
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА МАССООБМЕНА В ВЫПАРНОМ АППАРАТЕ ЦЕНТРОБЕЖНОГО ТИПА
Е.Н. Калинин", И.П. Горняков"
a Ивановский государственный политехнический университет, Иваново, 153000, Российская Федерация Адрес для переписки: ilya4579@yandex.ru
Информация о статье
Поступила в редакцию 14.10.16, принята к печати 21.11.16 doi: 10.17586/2226-1494-2017-17-1-151-158 Язык статьи - русский
Ссылка для цитирования: Калинин Е.Н., Горнаков И.П. Численное моделирование процесса массообмена в выпарном аппарате центробежного типа // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2017. Т. 17. № 1. С. 151-158. doi: 10.17586/2226-1494-2017-17-1-151-158
Аннотация
Постановка задачи. Рассматривается проблема создания адекватной математической модели процесса массообмена, протекающего при выпаривании и концентрации отработанного технологического раствора в центробежном выпарном аппарате с изменяемыми геометрическими параметрами. Модель обеспечивает научно обоснованный прогноз параметров технологического процесса. Методы. Определение параметров движения пленочного потока на вращающейся конической поверхности ротора центробежного выпарного аппарата выполнено на основании решения уравнений Навье-Стокса. Решение системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс массообмена в исследуемой динамической системе, выполнено численными методами. Для этого реализована полунеявная схема метода конечных разностей со связью по давлению SIMPLE. Основные результаты. Составлен алгоритм и выполнено численное решение системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс массообмена, протекающего при концентрировании рабочего раствора в выпарном аппарате центробежного типа. На основе полученного численного решения создана компьютерная модель данного процесса. С ее помощью определены основные гидродинамические и эксплуатационные параметры выпарного аппарата, а также зависимости между ними. Практическая значимость. Разработанная компьютерная модель процесса массообмена позволяет определить параметры раствора, движущегося по конической поверхности ротора центробежного выпарного аппарата: скорость движения, давление и толщину пленки стекания. Результаты работы могут найти применение как в управлении реальным технологическим процессом, так и в ходе обучения персонала. Ключевые слова
массообмен, гидродинамика, численное моделирование, выпарной аппарат, концентрирование рабочего раствора
NUMERICAL SIMULATION OF MASS TRANSFER IN CENTRIFUGAL
EVAPORATOR E.N. Kalinin", I.P. Gornakov"
a Ivanovo State Polytechnic University, Ivanovo, 153000, Russian Federation Corresponding author: ilya4579@yandex.ru
Article info
Received 14.10.16, accepted 21.11.16 doi: 10.17586/2226-1494-2017-17-1-151-158 Article in Russian
For citation: Kalinin E.N., Gornakov I.P. Numerical simulation of mass transfer in centrifugal evaporator. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2017, vol. 17, no. 1, pp. 151-158. doi: 10.17586/2226-1494-2017-17-1-151-158
Abstract
Subject of Research. The paper deals with the problem of an adequate mathematical model of mass transfer process occurring during evaporation and concentration of spent process solution in a centrifugal evaporator with variable geometric parameters. The model provides a science-based forecast of the process parameters. Methods. Definition of the film flow parameters on a rotating conical surface of the centrifugal evaporator rotor is carried out on the basis of the solution of Navier-Stokes equations. Solution of the system of differential equations describing the mass transfer process in the studied dynamic system is performed by numerical methods. With this aim in view, we realized semi-implicit finite difference scheme for the SIMPLE pressure. Main Results. We have developed an algorithm and performed numerical solution of differential equations describing the mass transfer process occurring during concentration of the working solution in the centrifugal type evaporator. On the basis of the obtained numerical solution we have created a computer model of the given process. With the aid of the model we have defined basic hydrodynamic and operating parameters of the evaporator, as well as dependencies between them. Practical Relevance. Developed computer model of the mass transfer process enables to
define the parameters of the solution moving along the conical surface of the centrifugal evaporator rotor: speed, pressure and the thickness of the flowing-down film. The results can be applied in real industrial process management and during personnel training. Keywords
mass transfer, fluid dynamics, numerical simulation, evaporator, working solution concentration
Введение
В выпарных аппаратах обрабатывается большое количество жидких сред. Но из-за больших затрат ресурсов и энергии все более актуальной становится задача выбора оптимальных параметров работы таких установок. Исходя из этого, предметом данного исследования являются массообменные процессы, протекающие в центробежном выпарном аппарате с изменяемыми геометрическими параметрами.
Математическое описание процесса массообмена в центробежном выпарном аппарате даже в стационарных условиях является сложной задачей в связи с большим количеством действующих и находящихся в непрерывном взаимодействии друг с другом факторов. Исследованию течения жидкости в центробежном поле посвящено немало работ [1]-[6]. Но все они исследуют процессы, протекающие в аппаратах другого типа и с другими геометрическими и технологическими характеристиками.
В связи с этим была поставлена и решена задача создания математической и компьютерной модели процесса массообмена, протекающего при концентрировании рабочего раствора в центробежном выпарном аппарате, которая обеспечивала бы достоверный прогноз параметров технологического процесса с учетом изменяющихся геометрических и кинематических характеристик аппарата.
Постановка задачи
Рассмотрим процесс функционирования центробежного выпарного аппарата с изменяемыми геометрическими параметрами, схема которого представлена на рис. 1.
Рис. 1. Кинематическая схема выпарного аппарата: 1 - корпус; 2 - днище; 3 - теплообменный аппарат; 4 - патрубок для подачи исходного теплового агента;
5 - патрубок для отвода отработанного теплового агента; 6 - греющий элемент; 7 - пластины; 8 - шарнирная опора; 9 - коромысло; 10 - шатун; 11 - ползун; 12 - направляющая; 13 - кинематическая пара; 14 - вал привода; 15 - патрубок исходного раствора; 16 - питающая система; 17 - накопительная емкость; 18 - патрубок возврата; 19 - перфорированная диафрагма; 20 - патрубок для удаления водяного пара; 21-24 - уплотнения; 25 - виброгаситель; М - ротационный привод; Г - центробежная сила;
и> - угловая скорость вращения вала привода
Исходный материальный раствор с пониженным уровнем концентрации поступает в питающую систему 16 под избыточным гидростатическим давлением. Из нее он растекается по конической греющей поверхности 6, образованной набором пластин 7, каждая из которых представляет собой форму секторов,
установленных на шарнирной опоре 8 с возможностью изменения угла наклона ф относительно вертикальной оси вращения конической поверхности. Обогрев греющей поверхности 6 осуществляется исходным тепловым агентом, поступающим в теплообменный аппарат 3 через патрубок 4. В теплообменном аппарате 3 потоки теплового агента турбулизируются за счет воздействия на среду центробежной силы ¥, которая создается звеньями 9, 10 коромыслово-ползунного механизма. Движение механизма происходит от ротационного привода М, вращающегося с угловой скоростью ю [7].
В связи с геометрическими особенностями ротора выпарного аппарата была применена ортогональная биконическая система координат, которая имеет взаимно перпендикулярные координатные оси, ось 0г и ось 0к, направленные под произвольным углом ф к оси вращения г, который совпадает с углом раскрытия ротора (рис. 2) [8].
Рис. 2. Схема течения раствора по конической поверхности ротора центробежного выпарного аппарата
в биконической системе координат
4
/
Рис. 3. Схема конического ротора выпарного аппарата центробежного типа: 1 - пластины;
2 - шарнирная опора; 3 - уплотнения; 4 - греющий элемент
Математическая модель течения технологического раствора в роторе выпарного аппарата центробежного типа, который выполнен в форме конической поверхности и имеет с внешней стороны подвижные лопасти (рис. 3), содержит уравнения движения и неразрывности. В проекции на оси биконической системы координат эти уравнения принимают следующий вид: уравнения движения вязкой жидкости -
г дг
ду,
у, —1 + у. = 2ю у, + ю2г -—+ у
дк
1 дР
р дг
(
„ д у, д у, „ БШф ду, соБф ду,
2—г +—2- + 2- ^ г ^ г
дг2 дк2
0 дг 0 дк
СОБф дук Бт2ф БШф • СОБф
0 дг
--2-
02
-у, + 2-
02
(1)
дук
- + у.
дук
г дг дк
sinф дуг "0
■ = -2ю у. -
1 дР
р дк
+ V
дг2
- + 2-
дк2
Ч - 2 СО8ф дук + апф дук +
0 дк 0 дг
cos2 ф СОSф • sinф
дк -ук+у,
уравнение неразрывности -
¿(у, 0 0 ) = 0,
дг
дк
(2)
(3)
г
со
к
где vr, vh - проекции скорости на оси биконической системы координат, м/с; r, h - координаты элементарного объема раствора, м; p - давление раствора, Па; ю - угловая скорость вращения ротора, с-1; р -плотность раствора, кг/м3; v = ^/р - кинематическая вязкость раствора, м2/с; ^ - динамическая вязкость раствора, Па-с; © = rsin< - hcos<.
На стенках ротора заданы условия прилипания:
Vr = Vh = 0.
Численное решение уравнений Навье-Стокса
В качестве численного метода решения исходной системы дифференциальных уравнений выбран алгоритм SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations), являющийся базовым в семействе алгоритмов, использующих дискретизацию исходной системы уравнений переноса по методу конечных объемов на разностных сетках (рис. 4).
Рис. 4. Схема разностной сетки: (•) - давление жидкости р; (•) - компонент скорости жидкости уг в проекции на координатную ось 0г; (*) - компонент скорости ук в проекции на координатную ось 0Н; заштрихованная
область - контрольный объем жидкости
Применив к уравнениям (1)-(3) дискретизацию, схема которой представлена в [9], получим, что разностная схема, аппроксимирующая исходные уравнения, имеет следующий вид:
уравнение неразрывности -
Чг'+1,5, ] — Чг'+0,5, ] + ^Ы,]+1,5 — ^Ы,]+0,5 _ о (4)
Дг М
разностная схема для проекции уравнения движения по оси 0г -
1 Р+ ■ — Р■
А • Чг'+0,5,1 _ а1 • VП+1,5, 1 + а2 • VП — 0,5, 1 + а3 ' Чг'+0,5, 1+1 + °4 ' Чг'+0,5, 1—1 + °5 +--^--, (5)
р Дг
разностная схема для проекции уравнения движения по оси 0к -
1 Р, — Р'
В • 1+0,5 _ Ь1 • 1+1,5 + Ь2 • 1—0,5 + Ь3 • УЫ+1, 1+0,5 + Ь4 • 1, 1+0,5 + Ь5 — ^ , (6)
где А, а1, а2, а3, а4, а5, В, Ь1, Ь2, Ь3, Ь4, Ь5 - известные сеточные функции, которые зависят от поля скорости, полученного на предыдущей итерации.
Далее получим поправочные формулы для скорости. Для этого в уравнениях (5) и (6) приравняем к нулю члены с коэффициентами а1, а2, а3, а4, а5, Ь1, Ь2, Ь3, Ь4, Ь5. После этого выразим из полученных уравнений значения скорости и подставим их в уравнение (4). Это позволить получить уравнение дляр' в той же форме, что и основное уравнение для диффузионного члена уравнения, и применить последовательную процедуру решения для одной переменной [10].
В итоге алгоритм численного решения уравнений движения вязкой жидкости и уравнения неразрывности имеет вид, представленный на рис. 5.
В качестве критерия завершения итерационного процесса выбрано выполнение следующих условий:
Иг . .
1И1_ л *
Nr
max V
=1,.., Nh^—f i=1
( )m,j - (v X,j) ( X,j+1 - (v X,j)
Ar Ah
где e - заданная погрешность вычислений.
< e,
Начало
1
Задание приближенных значений давления р* и скорости у*, уи*
2
Решение уравнений для у/*, у
■ ■ 3
Решение уравнения для р
4
Вычисление у/, уи
5
Вычисление уг, уи
6
Вычисление р=р* + р
Конец
Рис. 5. Алгоритм численного решения уравнений движения и неразрывности Анализ полученных результатов
На основании полученного численного решения и работ [ 11]—[15] была разработана компьютерная модель в среде МЛТЬЛБ, позволяющая определить параметры технологического раствора, такие как скорость движения раствора, давление, толщина пленки стекания.
При анализе данных, полученных на модели, рассматривается случай концентрации раствора щелочи едкого натрия №ОН с начальной концентрацией 4% при его постоянной подаче 0,83 кг/с. Температура греющего пара 180 °С. Угол раскрытия ротора составляет 30°, длина стенки 0,8 м, частота вращения 1000 об/мин.
Результаты работы модели, представляющие собой зависимости характеристик раствора от гидродинамических и технических параметров выпарного аппарата, представлены на рис. 6-8.
26 24
§ 22
Д
Й-У 20
I а 18
Й н 14
Щ12
а 10 8
6
60° "..............
.......... ...... 45°
30°
..........:....... --."Т........
1000 1200 1400 1600 1800 2000 Частота вращения ротора, об/мин Рис. 6. Зависимость скорости движения раствора от угла раскрытия ротора
л
С
ей
а
о «
н о л а
<и «
И
<и Ч
1,017 1,0165 1,016 1,0155 1,015 1,0145 1,014 1,0135
х105
/
30°
' .■■' у '
45°
60°
1000 1200 1400 1600 1800 Частота вращения ротора, об/мин
2000
Н 0,2
О
о
Я 0,1 т '
0
Рис. 7. Зависимость давления раствора от угла раскрытия ротора
0,7
* 0,6 а
0,5 о ' а
« 0,4
и ' и
0,3
о
\\ % '! /
\ Ч : V"
\\ ч / ........ /
\ : \\ \ \ / / ...А...../
' 2 \ %у 3
-0,4 -0,2 0 0,2 Радиус ротора, м
0,4
Рис. 8. Зависимость толщины пленки стекания раствора от частоты вращения ротора, где 1 - п=1000 об/мин; 2 - п=1500 об/мин; 3 - п=2000 об/мин
Анализ результатов моделирования показал, что при увеличении частоты вращения ротора на 100% скорость движения раствора увеличивается на 19%, давление раствора увеличивается на 0,3%, толщина пленки стекания раствора уменьшается на 7%. При увеличении угла раскрытия ротора на 15° скорость движения раствора увеличивается на 27%, а давление раствора увеличивается на 0,1%.
Для проверки достоверности модели были проведены измерения параметров работы реального выпарного аппарата центробежного типа. Полученные результаты были сопоставлены с данными модели (рис. 9-11). В результате было установлено, что точность разработанной модели для скорости движения раствора составила 92%, для давления раствора - 95%, а для толщины пленки стекания раствора - 94%. Отклонение данных модели от результатов эксперимента не превышает 8%, что является допустимой погрешностью для данного вида исследований. Полученные результаты свидетельствуют об адекватности разработанной модели процесса массообмена, протекающего при концентрировании рабочего раствора в центробежном выпарном аппарате.
«
<ч -
«
ч
Л
н о о
а
§
О
17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7
1000
^^ -
1
о*" .............. - 2
7
1200 1400 1600 1800 2000 Частота вращения ротора, об/мин
Рис. 9. Сопоставление реальных значений скорости движения раствора с данными модели (угол раскрытия ротора ф=30°): 1 - экспериментальные данные; 2 - данные модели
1,017 С 1,0165
Ц 1,016
(О
О 1,0155
Л
sa 1,015
Д > Д
ё 1,0145 g
« 1,014 1,0135
х105
; Л к 2
-----
I
1000 1200 1400 1600 1800 Частота вращения ротора, об/мин
2000
«
s и
5 ..у
В Й
ч а
л о
н [2
° ft
о Р
Рис. 10. Сопоставление реальных значений давления раствора с данными модели (угол раскрытия ротора ф=30°): 1 - экспериментальные данные; 2 - данные модели
17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7
л
§ О
у/
1 <
i i / ^
\ л/
2
\
........!.........
1000 1200 1400 1600 1800 Частота вращения ротора, об/мин
2000
Рис. 11. Сопоставление реальных значений толщины пленки стекания раствора с данными модели (угол раскрытия ротора ф = 30°, частота вращения ротора п = 1000 об/мин): 1 - экспериментальные данные; 2 - данные модели
Заключение
Разработанная компьютерная модель процесса массообмена, протекающего при концентрировании рабочего раствора в выпарном аппарате центробежного типа, позволяет определить гидродинамические параметры процесса движения раствора, такие как скорость движения, давление и толщина пленки стекания раствора, а ее адекватность и точность подтверждены экспериментально. В отличие от А№У8, которая предоставляет большой набор инструментов для широкого круга задач, данная модель реализована для конкретного аппарата, с определенным набором интересующих нас входных и выходных параметров. Это позволяет быстро и в удобной форме контролировать, менять и отслеживать изменения параметров технологического процесса. Простота в использовании позволяет на базе разработанной математической модели создать тренажер для обучения инженерно-технического персонала работе на данной установке.
Литература
1. Манойло Е.В. Закономерности процесса массообмена в центробежном аппарате // ВЕЖПТ. 2011. №9 (49). С. 8-12.
2. Зиннатуллин Н.Х., Булатов А.А., Галимуллин Р.Г., Хайбуллина А. И. Тепло- и массобмен в центробежной жидкой пленке // Вестник Казанского технологического университета. 2013. №3 С. 66-68.
3. Боев С.В., Агапов Ю.Н., Стогней В.Г. Экспериментальное исследование гидродинамики аппарата для очистки газов с центробежным слоем насадки // Вестник ВГТУ. 2009. №5. С. 22-24.
4. Сугак Е.В., Сугак А.В. Моделирование закрученных турбулентных газодисперсных потоков // Современные проблемы науки и образования. 2013. №2. С. 177.
5. Сугак Е.В., Войнов Н.А., Степень Р.А., Житкова Н.Ю. Очистка промышленных газов от газообразных и дисперсных примесей // Химия растительного сырья. 1998.
References
1. Manoylo E.V. The lows of mass transfer process in centrifugal vehicle. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies, 2011, no. 9, pp. 8-12. (In Russian)
2. Zinnatullin N.Kh., Bulatov A.A., Galimullin R.G., Khaibullina A.I. Heat and mass transfer in centrifugal liquid film. Herald of Kazan Technological University, 2013, no. 3, pp. 66-68. (In Russian)
3. Boev S.V., Agapov Y.N., Stogney V.G. Experimental hydrodynamics research of the device for gas purification with centrifugal packed bed. The Bulletin of Voronezh State Technical University, 2009, no. 5, pp. 22-24. (In Russian)
4. Sugak E.V., Sugak A.V. Simulation of swirling turbulent gasdispersion flows. Modern Problems of Science and Education, 2013, no. 2, p. 177. (In Russian)
5. Sugak E.V., Voinov N.A., Stepen' R.A., Zhitkova N.Yu. Purification of industrial gases from gaseous and particulate
№3. С. 21-34.
6. Перепелов А.И. Аппарат для исследования процесса центробежной конденсации // Известия ВолгГТУ. 2007. Т. 1. №3. С. 83-85.
7. Калинин Е.Н., Корочкина Е.Е., Горнаков И.П., Голованов Е.А. Устройство выпарное центробежного типа для концентрирования жидких растворов. Патент RU 2509591.
2014. Бюл. №8.
8. Николаев Н.А. Биконическая система координат и уравнения равновесия для анализа напряженного состояния уплотнения в аппаратах высокого давления // Ежегодник Института физики высоких давлений РАН. 1998. Т. 5. C. 146-152.
9. Matyka M. Solution to two-dimensional incompressible Navier-Stokes equations with SIMPLE, SIMPLER and vorticity-stream function approaches. Driven-lid cavity problem: solution and visualization. CFD Project Report №3. University of Linkoping, 2004. 13 p.
10. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с.
11. Горнаков И.П., Калинин Е.Н. К постановке задачи 3D-моделирования гидродинамики процесса концентрирования жидкого раствора в поле действия центробежных сил // Вестник Череповецкого государственного университета.
2015. №1. С. 5-8.
12. Калинин Е.Н., Корочкина Е.Е., Горнаков И.П. Тепловая и гидродинамическая модели процесса концентрирования технологического раствора в поле действия центробежных сил // Изв. вузов. Технология текстильной промышленности. 2012. №6. С. 151-155.
13. Горнаков И.П., Калинин Е.Н. 3D-моделирование гидродинамики процесса рециклинга отработанного жидкого раствора в поле действия центробежных сил // Современные инструментальные системы, информационные технологии и инновации: сборник трудов XII Международной конференции. Курск, 2015. С. 340-343.
14. Калинин Е.Н., Ершов С.В. Синтез ячеечной модели массообмена в процессе обезвоживания волокнистого материала распределенным давлением // Изв. Вузов. Технология текстильной промышленности. 2011. №6. С. 118-121.
15. Калинин Е.Н., Ершов С.В. Компьютерная модель переходных состояний процесса массообмена в зоне контакта валковой пары // Изв. Вузов. Технология текстильной промышленности. 2012. №3. С. 117-120.
impurities. Khimija Rastitel'nogo Syr'ja, 1998, no. 3, pp. 2134.
6. Perepelov A.I. Apparatus for research of centrifugal condensation process. Izvestia VSTU, 2007, vol. 1, no. 3, pp. 83-85.
7. Kalinin E.N., Korochkina E.E., Gornakov I.P., Golovanov E.A. Centrifugal Evaporator for Concentration of Liquid Solutions. Patent RU2509591, 2014.
8. Nikolaev N.A. Biconical coordinate system and balance equation for the analysis of stress state seal in high-pressure devices. Ezhegodnik Instituta Fiziki Vysokikh Davlenii RAN, 1998, vol. 5, pp. 146-152. (In Russian)
9. Matyka M. Solution to two-dimensional incompressible Navier-Stokes equations with SIMPLE, SIMPLER and vorticity-stream function approaches. Driven-lid cavity problem: solution and visualization. CFD Project Report №3. University of Linkoping, 2004, 13 p.
10. Patankar S. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. NY, Hemisphere Publ., 1980.
11. Gornakov I.P., Kalinin E.N. To the task of 3D-modeling of hydrodynamics concentration of liquid solution in the field centrifugal forces. Cherepovets State University Bulletin, 2015, no. 1, pp. 5-8. (In Russian)
12. Kalinin E.N., Korochkina E.E., Gornakov I.P. Thermal and hydrodynamic models of the process of concentration of technological solution in the field of centrifugal forces influence. Izv. vuzov. Tekhnologiya Tekstil'noi Promyshlennosti, 2012, no. 6, pp. 151-155. (In Russian)
13. Gornakov I.P., Kalinin E.N. 3D-modeling of hydrodynamics of the recycling process of waste liquid solution in the field of centrifugal forces. Sovremennye Iinstrumental'nye Sistemy, Informatsionnye Tekhnologii i Innovatsii: Sbornik Trudov XII Mezhdunarodnoi Konferentsii. Kursk, Russia, 2015, pp. 340343. (In Russian)
14. Kalinin E.N., Ershov S.V. Synthesis of cell model of mass transfer in the process of dehydration the fibrous material by distributed pressure. Izv. vuzov. Tekhnologiya Tekstil'noi Promyshlennosti, 2011, no. 6, pp. 118-121. (In Russian)
15. Kalinin E.N., Ershov S.V. A computer model of transition states of the mass transfer process in a contact zone of rolls. Izv. vuzov. Tekhnologiya Tekstil'noi Promyshlennosti, 2012, no. 3, pp. 117-120. (In Russian)
Авторы
Калинин Евгений Николаевич - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой, профессор, Ивановский государственный политехнический университет, 153000, Иваново, Российская Федерация, enkalini@gmail.com Горнаков Илья Павлович - аспирант, Ивановский государственный политехнический университет, 153000, Иваново, Российская Федерация, ilya4579@yandex.ru
Authors
Evgeniy N. Kalinin - D.Sc., Full Professor, Head of Chair, Ivanovo State Polytechnic University, Ivanovo, 153000, Russian Federation, enkalini@gmail.com
Ilya P. Gornakov - postgraduate, Ivanovo State Polytechnic University, Ivanovo, 153000, Russian Federation, ilya4579@yandex.ru
