CC BY
148
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНФЛИКТОВ В ТЕХНИЧЕСКОМ ТВОРЧЕСТВЕ А.Б. Бушуев
На пересечении теории катастроф и гомеостатики предложен метод синтеза моделей и количественные оценки стереотипов конфликтного поведения
Введение
Конфликтные ситуации используются в техническом творчестве для формирования в сознании изобретателя логической модели изобретательской задачи в виде технического противоречия (ТП) [1]. ТП - это противоречие между двумя конкурирующими частями, характеристиками, свойствами, показателями системы. В известном алгоритме решения изобретательских задач (АРИЗ) ТП состоит из двух составляющих:- ТП-1 и ТП-2. Например, ТП-1 - если автобус большой, то он комфортабельный, но не маневренный; с другой стороны, ТП-2 - если автобус маленький, то он маневренный, но не комфортабельный. Таким образом, свойства маневренности и комфортабельности при изменении конфликтной координаты, т.е. размера транспортного средства, конкурируют между собой. В измерительных устройствах конкурируют чувствительность и диапазон измерений, в процессах обработки - производительность и точность, и т.д.
Выявляя в прототипе ТП, развивая, усиливая, обостряя его, изобретатель подготавливает свое сознание к качественному скачку - появлению нового решения, которое, по законам диалектики, возникает после максимального обострения конфликта и разрешает противоречие. Скачкообразные, резкие изменения свойств системы при плавном изменении ее параметров изучаются в теории катастроф [2]. Поэтому в [3] предложена математическая модель ТП, использующая каноническую катастрофу типа «сборки».
Типы канонических катастроф (складка, сборка, ласточкин хвост, различные ом-билики и т. п.) отличаются друг от друга видом потенциальной функции, которой они задаются. Катастрофа типа сборки задается потенциальной функцией К(д) , имеющей математическое выражение
V = 0.25д4 - 0.5Л- q2 - q, (1)
где q - координата состояния катастрофы, X и ¡и - управляющие параметры. Коранг катастрофы определяется количеством координат состояния, для сборки коранг равен 1.
Для физических систем потенциальная функция отождествляется с потенциальной энергией. При X < 0 и ¡и = 0 график потенциальной энергии V=V(q) имеет один минимум (§гаё V(x)=0) , который определяет единственное и устойчивое состояние равновесия q=0, в которое и стремится система, называемая в этом случае градиентной. При переходе через критическое значение X = 0 в градиентной системе происходит катастрофа: резко меняются ее свойства. При X > 0 вместо одного состояния равновесия появляются три: два устойчивых q = +л/Л и одно неустойчивое q=0.
В изобретательской задаче в сознании изобретателя потенциальная функция отождествляется с нежелательным, отрицательным эффектом, которым обладает прототип изобретения. Считается, что прототип, например, понятие автобуса среднего размера, находится до катастрофы (X < 0) в устойчивом равновесии q=0, т.е. в «яме» потенциальной функции. Появление ТП при X = 0 «раскалывает» прототип: его состояние равновесия q=0 дает максимум потенциальной функции, т.е. прототип «взлетает» на вершину горы нежелательного эффекта и становится неустойчивым. Зато появляются два
минимума нежелательного эффекта при q = в одно из которых «сваливается»
понятие маленького автобуса максимальной маневренности, а в другое - понятие
большого автобуса максимальной комфортабельности. ТП считается градиентной системой, поэтому дифференциальное уравнение развития конфликта получается из условия равенства антиградиента потенциальной функции и скорости изменения конфликтной координаты во времени
КТ^ = КТц = -д^Ш = (я) = -ц3 + л , (2)
& дя
где Т - постоянная времени, учитывающая инерционность мышления изобретателя, К -масштабирующий множитель, X - мощность конфликта [4], /л - объем внешнего ресурса, решающего задачу (в АРИЗе он называется Х-элементом). Мощность X определяет свободное развитие конфликта (/л = 0), так как задает расстояние между минимумами потенциальной функции в закритичной области (X > 0). Х-элемент появляется (/л Ф 0) после максимального обострения конфликта и определяет вынужденное его движение к разрешения ТП. Одно из возможных решений в примере - переменность длины большого автобуса ( «гармошка» или сочлененный автобус).
Недостатком модели (2) является ее одномерность, тогда как каждая из двух сторон ТП может иметь свою динамику. Например, одновременное повышение точности и устойчивости системы не всегда является антагонистичным. Следовательно, между двумя сторонами ТП могут складываться различные сценарии поведения, включающие и возможный компромисс. Поэтому в данной работе в рамках теории катастроф для количественной оценки конфликта предлагается двухкоординатная динамическая модель развития антагонистических свойств в виде компенсационного гомеостата [5], а также метод синтеза простых гомеостатов для моделирования стереотипов взаимодействия конфликтующих систем.
Динамическая модель собственного движения конфликта
Для двухмерной задачи используем каноническую катастрофу (назовем ее производящей) типа «гиперболическая омбилика» коранга 2, потенциальная функция которой задается выражением
3 3
V(х,у) = х + у - аху + Ьх + су, (3)
где х и у - координаты состояния катастрофы, а,Ь,с - управляющие параметры.
Приравнивая антиградиент потенциальной функции вектору скоростей координат
х и у, получаем систему дифференциальных уравнений • •
х =-(3х2 - ау + Ь), у =-(3 у2 - ах + с). (4)
Рассмотрим собственное движение. При Ь=с=0 имеем • •
2 2
х = -3х + ау, у = -3у + ах . (5)
Пусть х=-г, тогда, подставляя х=-г в (3) и (5), получаем уравнения для координат, ••
г = 3г2 - ау, у =-3у2 - аг, (6)
и для потенциальной функции,
V(у, г) = у 3 - г 3 + ауг . (7)
Приравнивая левые части уравнений (6) нулю, находим физически реализуемые и устойчивые состояния равновесия (при а > 0): ууст =а/3, густ = - а/3.
Предположим, что конфликтующие части ТП при собственном движении развиваются во времени антисимметрично [6], каждая по своей логистической кривой. Логиста (или Б-кривая) моделирует, в частности, закон размножения и гибели популяций и является решением уравнения Ферхюльста-Перла
и = -ти + пи, м = тм + пм , (8)
где и и м - относительные координаты, задающие эволюцию конфликтующих сторон, т и п - коэффициенты рождаемости и смертности. Первое уравнение системы (8) предназначено для координаты и>0 , второе уравнение - для координаты м<0. Свойство антисимметричности задается уравнением
м= - и. (9)
Относительная координата получается путем деления абсолютной координаты на модуль ее установившегося значения при собственном движении. Тогда, приравнивая левые части уравнений (8) нулю, получим устойчивые стационарные точки собственного движения: иуст= п/т=+1, муст= -п/т=-1. Относительность координат позволяет сравнивать по величине конфликтующие части ТП, имеющие различную физическую природу.
Физически количество особей в популяции, точность системы, быстродействие не могут быть отрицательными. Поэтому знак «минус» приписывается координате условно, чтобы показать, что ее развитие противоположно развитию другой координаты.
При подходящем выборе коэффициентов уравнения (6) и (8) эквивалентны. Действительно, если каждое из уравнений (8) поделить на т и умножить на 3, тогда, с учетом того, что м= - и, получим • •
2 2 3 и/т =-3и - ам, 3 м/т = 3м - аи , (10)
где а= 3т/п=3. Левую часть (6) для выравнивания размерностей умножаем на КТ:
КТ I = 3г2 - ау, КТ у = -3у2 - ах. (11)
При КТ=3/т, и = у, м = I, (10) и (11) полностью эквивалентны. Движение (10), (11) при эволюции по многообразию 1=-у является двумя раскалывающимися логистами (рис.1, точечные кривые 1 на этапе обострения конфликта). Будем считать, что КТ=1, т.е. системы (10) и (11) записаны в относительном времени. Кроме того, из условия и = у, м = I следует, что и и I - также относительные координаты, тогда их установившееся значения равны соответственно 1 и -1.
=0.62
_обострение
конфликта'
разрешение^ конфликта
Рис. 1. Эволюция конфликта Оценка конкурентной ситуации
Система уравнений (8) совместно с уравнением многообразия (9) обладает избыточностью. Таким образом, математика подсказывает, что эта система уравнений описывает явление гомеостаза, важнейшим свойством которого является избыточность. Гомеостаз - это способность поддерживать основные цели функционирования организации в условиях внутренних противоречий и внешних воздействий [5]. Гомеостаз характерен для живых организмов, например, у человека одна система все время повышает уровень сахара в крови, а другая система, работающая на другом физиологиче-
ском принципе, все время понижает уровень сахара в крови. В результате устанавливается динамическое равновесие уровня сахара. В технике гомеостаз используется, например, в двухвинтовом вертолете, лопасти винтов которого вращаются в противоположных направлениях.
Система, реализующая гомеостаз, называется гомеостатом. Компенсационный гомеостат представляет собой двухканальную систему, в которой конкурирующие каналы-антагонисты «склеиваются» перекрестными связями. Гомеостат потребляет больше энергии (информации), чем необходимо для работоспособности отдельных антагонистов. Через перекрестные связи антагонисты борются между собой, расходуя дополнительную энергию и информацию, хотя работают на одну общую главную функцию. Внутренняя борьба «закаляет», тренирует антагонистов, поэтому гомеостат обладает высокой потенциальной готовностью для противодействия внешним вредным возмущениям.
Степень гомеостаза (избыточность, острота борьбы антагонистов) в общем случае зависит от структуры перекрестных связей. Однако в системах (6) и (8) реализован так называемый инвариант компенсационного гомеостата, у которого степень гомеостаза не зависит от структуры перекрестных связей.
Используя условие у=- 2, из (11) можно получить еще две модели инварианта
• •
г = -3гу - ау, у = 3уг - аг , (12)
••
2 2
2 = 3у - ау, у = -3г - аг . (13)
Легко показать, что системы (12) и (13) полностью эквивалентны системам (6) и (8), хотя структура перекрестных связей у всех инвариантов различна, а в системе (8) и вовсе отсутствует. Следовательно, перекрестные связи при собственном развитии конфликта взаимно компенсируются. Именно в этом смысле можно утверждать, что собственное движение всех гомеостатов является инвариантом по отношению к их структуре, к потерям энергии и информации в борьбе антагонистов. Количественной оценкой инварианта является величина потенциальной функции (7) производящей катастрофы в установившемся режиме собственного движения Ууст(у, г) =-1, которая задает начало отсчета.
При вынужденном движении гомеостатов под действием внешнего возмущения проявляется различие структуры, что показало моделирование систем уравнений (6), (8), (12), (13). Возмущающий входной сигнал в виде единичного ступенчатого воздействия подавался на канал у. Начальные условия у(0)=0.1, г(0)=-0.1, а=3, Ъ=0, с=-1. Потенциальная функция У(у,2) рассчитывалась по (3) с учетом х=-2. Результаты моделирования представлены в табл.1.
№ п/п стереотип поведения модель гомеостата Ууст ууст 2уст
1 компромисс уравнения (12) -1.963 1.333 -1.0
2 безразличие уравнения (8) -2.037 1.264 -1.0
3 конкуренция уравнения (11) -2.101 1.194 -1.093
4 конфронтация уравнения(13) - ю - ю ю
Таблица 1. Оценка стереотипов поведения
Из табл. 1 следует, что входной сигнал снижает потенциальные функции всех го-меостатов по сравнению с инвариантом. Поэтому антагонисты вынуждены за счет запаса начальных условий бороться за «выживание». Острота борьбы характеризуется снижением потенциальной функции относительно инварианта. Наиболее острая борьба характерна для 4-го стереотипа поведения, которая приводит гомеостат к неустойчиво-
сти и гибели, т. е. к разрешению противоречия. Другой крайний случай - 1-й стереотип, когда конфликтующие стороны идут на частичный компромисс, что позволяет добиться наименьшего снижения потенциальной функции по сравнению с другими стереотипами.
Очевидно, что по мере решения по АРИЗу изобретательская задача проходит последовательно все стадии обострения - от первой до четвертой, а в сознании изобретателя происходит перестройка структуры гомеостата противоречия. Потенциальная функция (или нежелательный эффект) снижается Разрешение противоречия, или рождение нового изобретения, означает изменение инварианта гомеостата - переход на согласованное собственное движение по многообразию у=1. При вынужденном согласованном движении стереотипы поведения становятся партнерскими и союзническими.
Синтез простых моделей гомеостатов
Используя канонические катастрофы, можно получать модели, отражающие основные стереотипы поведения взаимодействующих систем. Порядок синтеза моделей следующий:
1. Выбираем одну из канонических катастроф коранга 1 для моделирования одной системы или катастрофу коранга 2 для моделирования двух систем. Для большего числа систем можно взять несколько производящих катастроф коранга 1 и 2.
2. Считая системы градиентными, находим антиградиенты потенциальных функций и приравниваем их вектору скоростей координат. Получаем систему дифференциальных уравнений.
3. Находим параметры уравнений, обеспечивающие устойчивое собственное движение (или неустойчивое - для моделирования расходящихся процессов).
4. Переходя к зеркальному (г=-у) или прямому (х=у) отображениям, получаем инварианты стереотипов поведения соответственно конфликтных и согласованных взаимодействий.
5. Для численной оценки взаимодействий определяем начало отсчета потенциальной функции как установившееся значение потенциальной функции инварианта производящей катастрофы.
6. Для численной оценки вынужденного взаимодействия используем полное выражение потенциальной функции производящей катастрофы.
Рассмотрим пример синтеза гомеостата с двумя уровнями иерархии как модель малого коллектива (рис.2).
Рис. 2. Структура простейшего двухуровневого гомеостата
Нижний уровень представлен исполнителями И1 и И2 (терминология в соответствии с [5]), между которыми существует стереотип - конкуренция, задаваемая отношениями Я12 и К21. Верхний уровень представлен руководителем Р, между которым и исполнителями И1, И2 существуют стереотипы взаимодействий, определяемые отношениями Ш0, ^01 и Я20, Я02. В теории управления И1 и И2 являются каналами с перекрестными связями, а Р - регулятором, генерирующим управления V и иу. В АРИЗе
исполнителями являются противоположные стороны ТП, а руководителем - Х-элемент, разрешающий противоречие.
Синтезируем гомеостат, в котором руководитель разрешает максимально обострившийся конфликт между исполнителями. Этап обострения конфликта (рис. 1) моделируем уже рассмотренными уравнениями (11) производящей гиперболической омби-лики. В конце этапа y=+1, г=-1.На этом этапе руководитель не участвует.
На этапе разрешения конфликта в качестве производящей катастрофы используем «эллиптическую омбилику» с потенциальной функцией
V(х,y) = y - Эх y + a(x + y ) + by + cx .
После приравнивания антиградиента потенциальной функции и вектора скоростей координат х и y, получаем систему уравнений собственного (b=c=0) движения координат
• • 2 2
х = 6yx - 2ax, y =-3y + Эх - 2ay . (14)
Назначая a=1.5, получаем устойчивое равновесие в точке y=0, х=0, поскольку задачей управления является перевод координаты y в 0. При y=-z из (14) получаем уравнения для зеркальной системы
х = -6zx - Эх, z = 3z2 - Эх2 - 3z (15)
Подставляем y=0.5(y-z) в первое уравнение системы (14), а z=0.5(z-y) в первое
уравнение системы (15), находим инвариант первого уравнения (14) и (15)
•
х = Эху - 3xz - Эх . (16)
Таким образом, система уравнений
• • •
y =-Эу2 + Эх2 - Эy, z = Эz2 - Эх2 - 3z, х = Эху - 3xz - Эх (17)
задает движение гомеостата на этапе разрешения конфликта.
Синтезируем управление Uy и Uz, переводящее гомеостат (11) на движение по
уравнениям (17) из условия тождественности уравнений (11) и (17) для y и z:
• •
z = 2 - Эу + Uz = 2z2 - Эх2 - Эz, y = -Эу2 - Sz + Uy =-Эу2 + Эх2 - Эу, откуда
Uz = -Эх2 + Э(y - z), Uy = -Uz = Эх2 - Э(y - z) . (18)
Первое слагаемое ±Эх2 можно назвать «мягкой» или динамической частью управления, так как его генерирует Э-е уравнение системы (17), имеющее собственную динамику. Если начальное условие x(t0) выбрать нулевым, где t0 - начало разрешения конфликта, то «мягкого» управления не будет, и под действием «жесткого» управления ±Э(у-7) конфликтные координаты движутся по быстро сходящимся логистам (точечные кривые 2 на рис. 1). При | x(t0) | Ф 0 конфликт спадает медленнее (сплошные кривые Э на рис.1). Чем больше | x(t0) |, тем больше конфликт затягивается. При | x(t0) |> 0.627 гомеостат неустойчив, кривые расходятся. Следовательно, изменяя x(t0), можно изменять качество переходных процессов, т.е. моделировать стиль руководства при разрешении конфликта.
Заключение
По результатам проведенных исследований можно сделать следующие выводы.
1. Степень гомеостаза можно количественно оценить изменением установившегося значения потенциальной функции производящей катастрофы.
2. Теория катастроф и стереотипы поведения диалектически тесно связаны. Катастрофы задают эволюцию состояний равновесия, на которые «навешивается» динамика
переходных процессов. Стереотипы поведения - притяжение и отталкивание для примитивных систем, конкуренция, сотрудничество, компромисс, подчинение и т.п. для более развитых систем - задают опорные точки, градации конфликтного и согласованного взаимодействий. Класс математического аппарата соответствует классу описываемого процесса, поэтому и модели получаются простыми - на уровне параметров порядка.
Литература
1. Альтшуллер Г.С. Найти идею. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1991.
2. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М.:Мир, 1980.
3. Бушуев А.Б., Мансурова О.К. Катастрофа типа «сборки» в изобретательской задаче // Научно-технический вестник СПбГИТМО (ТУ). Вып.11. СПб, 2003. С.137-140.
4. Bushuev A. Technical Contradiction Control on Invention Problem // The TRIZ Journal, December 2004. < http://www.triz-journal.com>
5. Горский Ю.М. Основы гомеостатики. Гармония и дисгармония в живых, природных, социальных и искусственных системах. Иркутск: Изд-во ИГЭА,1998.
6. Бушуев А.Б. Гомеостатика противоречий в ТРИЗ // Труды Международной конференции MA TRIZ Fest -2005 "Развитие ТРИЗ: достижения, проблемы, перспективы". СПб, 2005. С.103-109. Эл. версия Трудов на сайте: < http://www.metodolog.ru >.
