Катастрофа типа "сборки" в изобретательской задаче Текст научной статьи по специальности «Математика»

КАТАСТРОФА ТИПА "СБОРКИ" В ИЗОБРЕТАТЕЛЬСКОЙ ЗАДАЧЕ А.А. Бушуев, О.К. Мансурова

В рамках теории катастроф рассматривается проблема выбора потенциальной функции, фазовой координаты и управляющих параметров в модели изобретательской задачи

Введение

В основу алгоритма решения изобретательских задач (АРИЗ) [1] положена цепочка последовательно развивающихся противоречий - административного, технического, физического. Обострение и разрешение противоречий в технической системе приводит к новому техническому решению, в частности, к изобретению.

Противоречие в АРИЗе имеет две противоположные стороны: например, техническое противоречие - два противоположных состояния инструмента, физическое противоречие - два противоположных физических свойства икс-элемента. Разрешение противоречия - это выбор из двух альтернатив или бифуркация, раздвоение процесса.

Математический аппарат бифуркационных процессов использует теория катастроф [2], поэтому закономерно появление в последнее время работ по анализу технического творчества в рамках этой теории.

Аналоги "катастрофического" анализа в буквальном, а не математическом понимании катастрофы, прослеживаются уже в обратном мозговом штурме, а также в "диверсионном" подходе (выявлении и прогнозировании нежелательных явлений -производственного брака, аварий и т.п.) [1].

Описание прототипа

На основе теории катастроф и анализа ¿'-кривой в работе [3] предложена математическая модель мышления изобретателя в процессе создания изобретения. Движение мысли определяется канонической катастрофой типа острия (сборка Уитни), в которой переменной состояния х является идеальность изобретения, а управляющими параметрами - абстрактность a и время t. Одно минимальное состояние потенциальной функции (с меньшей идеальностью) интерпретируется как идея прототипа, а другое -как идея изобретения.

Далее предполагается, что под действием времени t как управляющего параметра мысль изобретателя преодолевает психологический барьер максимума потенциальной функции и переходит от идеи прототипа к идее изобретения.

Утверждается, что "сечение сборки Уитни (t, a, х) плоскостью a = const в координатах (t, х) имеет вид ¿-образной кривой", которая при некотором значении управляющего параметра t претерпевает скачок.

Действительно, зависимость стационарного состояния х от управляющего параметра t при a = const < 0 внешне похожа на латинскую букву S (рис.1) и имеет неустойчивую ветвь (с отрицательным наклоном) между двумя устойчивыми ветвями, следовательно, возможен и скачок через неустойчивость.

Однако в теории решения изобретательских задач (ТРИЗ) под S-образной кривой или кривой развития всегда понималась [1] так называемая логистическая кривая или логиста (кривая 2 на рис. 1), являющаяся решением нелинейного дифференциального уравнения Ферхюльста-Перла [4]

dx/dt = v х - р х2 ,

которое еще называют уравнением "гибели и размножения", так как оно описывает развитие популяций.

Рис. 1. Логистическая кривая и сборка Уитни

Решение непрерывного уравнения Ферхюльста-Перла и анализ стационарных точек логисты приведен, например, в [5]. Из анализа следует, что при различных соотношениях знаков v и р логиста имеет два устойчивых стационарных состояния: х=0 (асимптота штриховой кривой на рис. 1, между точками a и b) и х = v /р (асимптота сплошной кривой 2). Таким образом, ¿'-кривая при t^-ro ограничена. В то же время функция x(t) (сечение сборки Уитни при a = const) при t^-ro стремится к бесконечности, что следует из уравнения х3 + a х = t. Следовательно, асимптотические свойства ¿-кривой и сборки Уитни разные.

Обычно в ТРИЗ [1] скачок на логисте рассматривается как переход из точки a на в точку b новой ¿-кривой (график 3 на рис. 1). При таком скачке на ¿-кривой, при отождествлении ее с проекцией сборки Уитни, идеальность х при увеличении t не увеличивается, как утверждает автор работы [3], а уменьшается.

Логиста, в отличие от сборки Уитни, не обладает потенциалом новизны: задавая управляющие параметры a и t, мы всегда однозначно определяем координату х. В сборке Уитни при известных параметрах a и t координата х после бифуркации может принимать два устойчивых значения, а которое из них будет реализовано, мы узнаем только после катастрофы.

Проблема времени как управляющего параметра

Отождествление сечения сборки с логистой заставляет выбирать управляющим параметром время t, однако катастрофа происходит во времени, а не в зависимости от него. В градиентной системе экстремум потенциальной функции элементарной катастрофы или состояние равновесия фазовой координаты определяется при одном и том же времени, равном бесконечности, вернее, при t^-ro. Следовательно, если катастрофа произошла, то дальнейшее развитие по действием управляющего параметра t невозможно. В этом заключается одна из главных проблем получения моделей скачкообразных процессов в рамках теории катастроф: когда неясно, от чего зависит координата состояния, управляющим параметром выбирается время.

Наиболее характерна эта ситуация для моделей катастроф исторических процессов [6]. Для преодоления парадокса в этом случае вводятся два времени:

"быстрое" (до катастрофы) и "медленное" (историческое). Более того, поскольку в истории катастрофы случаются часто, появляется несколько "быстрых" времен.

Следовательно, возможности логистической кривой как модели катастрофы связаны с ее дискретизацией. Поэтому в [7] для модели развивающейся технической системы предложена дискретная логиста

р(п+1) = с р(п)[ 1-р(п) ], где п = 1, 2, 3... - порядковый номер изобретения в хронологической последовательности изобретений, причем каждое предыдущее является прототипом последующего изобретения, р(п) - плотность ядра патентной формулы п-го изобретения. При значении управляющего параметра 1 < с < 3 система имеет одно устойчивое стационарное состояние, при с=3 происходит катастрофа, появляются бифуркации типа удвоения цикла (3 < с < 3.57), при с < 3.57 происходит перекрывание областей различных решений и система втягивается в хаотический аттрактор.

Хаотический аттрактор обладает максимальным потенциалом новизны и самоорганизации системы. Выходя их него, система становится новой и развивается по новой логистической кривой.

Выбор координаты и управляющих параметров

Для математической модели изобретательской задачи в виде элементарной катастрофы типа "сборки" необходимо выбрать потенциальную функцию, координату х и два управляющих параметра X и ц. Тогда стационарные состояния координаты х определяются уравнением х3 + X х - ц = 0.

Будем полагать, что прототип изобретения, обладающий нежелательным эффектом, имеет одно устойчивое состояние равновесия, в котором и находится. Это состояние практически соответствует первому шагу АРИЗа (мини-задаче). В качестве потенциальной функции выбираем нежелательный эффект. Техническое противоречие отражает ситуацию уже после катастрофы, в закритичной области. Задача расщепляется: имеется два провала потенциальной функции, одно из них соответствует одному состоянию инструмента, а другое - противоположному состоянию инструмента. Поэтому координатой х выбираем состояние инструмента. Между провалами потенциальной функции находится подъем. Расщепляющим параметром в сборке является параметр X, от которого зависит расстояние ё= 2 X) по координате х между двумя провалами потенциальной функции.

Например, чем больше автобус, тем он более комфортабельный, но менее маневренный, и чем меньше автобус, тем он более маневренный, но менее комфортабельный. Инструментом является автобус, а координата х задает его размеры. При Х=0 потенциальная функция имеет один провал или, что то же самое, - устойчивое состояние равновесия, т.е. автобус ни большой, ни маленький. Это - состояние прототипа, он работоспособен, но нас не устраивает величина потенциальной функции (качество перевозок). Поэтому это единственное состояние равновесия должно стать неустойчивым, а достигается это расщеплением - параметр X становится отрицательным. В каждом из двух появившихся минимумов потенциальная функция меньше, чем в прототипе, поскольку в одном выше маневренность, а в другом выше комфортабельность. Однако один и тот же автобус не может одновременно существовать в двух устойчивых состояниях равновесия.

Разрешение противоречия в АРИЗе достигается введением икс-элемента, который переводит модель системы снова в докритичную область, но в другое устойчивое состояние равновесия, с более высоким значением потенциальной

функции, чем у прототипа. Следовательно, управляющие параметры X и ц должны задавать состояние икс-элемента.

Можно предположить, что, когда икс-элементом является сам инструмент или его ресурсы, то изменяются оба параметра - X и ц. Когда икс-элементом являются другие элементы системы, то изменяется управляющий параметр ц.

Заключение

1. Для моделирования процессов технического творчества лучше использовать дискретное преобразование Ферхюльста-Перла, обладающее потенциалом новизны.

2. В случае использования сборки Уитни в качестве потенциальной функции выбирается нежелательный эффект, фазовая координата - состояние инструмента, а управляющие параметры характеризуют свойства икс-элемента.

Литература

1. Альтшуллер Г.С. , Злотин Б.Л., Зусман А.В. , Филатов В.И. Поиск новых идей: от озарения к технологии. Кишинев: Картя Молдавеняскэ, 1989.

2. Арнольд В.И.. Теория катастроф. М.: Наука, 1990.

3. А.В. Гитин. ТРИЗ и теория катастроф. // Тез. докл. Международной НПК по ТРИЗ. Петрозаводск,1999.

4. В.Эвелинг, А.Энгель, Р.Файстель. Физика процессов эволюции. Синергетический подход. М.: УРСС, 2001.

5. Айламазян А.К., Стась Е.В. Информатика и теория развития. М.: Наука,1989.

6. Малинецкий Г.Г. Нелинейная динамика - ключ к теоретической истории? // Общественные науки и современность. 1996. №4. С. 105-112.

7. Бушуев А.Б., Михайлов С.В., Рюхин В.Ю., Мансурова О.К. Оценка уровня развития технических систем по формулам изобретений. // Изв. вузов. Приборостроение. 1998. Т.41. №7. С. 65-68.