CC BY
26Математическое моделирование, как основа для ¡п эШео: конструирование базовых структур, воздействующих на фармакологические мишени сердечно-сосудистой системе
со см о см
Канисков Васил Любенов
доктор инж. наук, ассистент кафедры фармакологии, клинической фармакологии Медицинского института Белгородский государственный национальный исследовательский университет, kaniskov@edu.bsu.ru
Цель: Разработка адекватной и эффективной математической модели эндотелии в совокупности с гладкомышечные клетки (ГМК) и стенки сосуда, для построения п эШоо базовых структур сердечно сосудистой системе.
Методы: Вводим результаты работе модель дробного порядка пневматических и напорных объектов, для разработки математического модели реакция эндотелия, эндотелиоциты, гладкомышечные клетки (ГМК) и стенки сосудов сердечнососудистых систем на динамические воздействия.
Результаты: Разработана реальная математическая модель кровеносного сосуда в динамике протекание процессов. В конкретном случае сильфон (псевдо-пружина) является реальной физико-биологический объект - эндотелиоциты, гладкомышечные клетки (ГМК) и стенки сосудов сердечнососудистых систем.
Выводы: Для каждого реального кровеносного сосуда в динамике (практического сильфона) можно рассмотреть математическую модель дробного порядка (оператора Капуто - Герасимова). Математическое моделирование элементов сердечнососудистых систем приводит нас к построению ¡п вШоо базовых структур в фармакологии. Ключевые слова: фармакологическая мишень; математическое моделирование; ¡п вШоо базовых структур; эндотелия; эндотелиоциты; гладкомышечные клетки; стенки сосуда; кровеносной сосуд; сердечнососудистая система.
Введение
Сосудистой стенки совместно с эндотелия является единой орган кровеносной системе сердечнососудистой системе (ССС) с соответствующие специфические функции.
При определенных условиях сосудистой стенки совместно с эндотелия реагирует на механические нагрузки текущей крови: прямо пропорционально кровяному давлению в просвете суда и обратно пропорционально степени напряжения мышечного слоя сосуда.
Эндотелии и сосудистой стенки ССС подвергнуты равноправно на воздействия: давление крови (Р), сопротивление в сосудистой системе (й), скорость кровотока в его объёме и линейная скорость (К).
Давление крови (Р) оказывает значимое влияние на биохимические функции клеток эндотелии - эндотелиоциты и гладкомышечные клетки стенки сосудов ССС. В основном направление: давление крови влияет на цитоскелетной (клеточный каркас или скелет) системе эндотелиоцитов, находящийся в цитоплазме живой клетки.
Литературный обзор
В современные исследования сердечнососудистой системы учитываются только сила давления крови на внутренние стенки кровеносных сосудов и не принято во внимание, анатомические и функциональные обусловленные факторы обратное давление кровеносного сосуда (Рисунок 1). Сделано попытка в направление усовершенствование модели, чрез введение на т.н. «тензор напряжение» («матричное счита-ные») или напряжение сдвига. Без значимых результатов. Нет, значимые результаты, потому что реальной объект: кровеносной системе и кровеносной сосуд (в том числе и эндотелия) постоянно подвергнуты на динамические перемены. И эти процессы наполно описать, в настоящий момент, может только чрез т.н. «дробное вычисление» (оператора Капуто - Герасимова) [1]. Для ¡п эШоо конструирование базовых структур в фармакологии, нам нужно достоверное математическое моделирование всех элементы ССС [3] Это даёт нам возможность легко и точно построит ¡п вШоо базовых структур, действующих на фармакологические мишени сердечнососудистой системы ССС.
О ш т х
<
т о х
X
Обычный подход математическое моделирование для проведения фармакологические и медицинские исследования состоит в том, чтобы рассматривать действие кровное давление, на стенках сосуда ССС приравнивая к модели сильфона, как линейной пружине. [2, 4, 5, 6]
Рисунок 1 - Эндотелия совместно с сосудистой стенки артерии и вены (Адаптировано по https://theslide.ru/uncategorized/serdechno-sosudistaya-sistema-31)
Где: «А - Артерия; Б - Вена; I. Внутренняя оболочка; II. Средняя оболочка; III. Наружная оболочка; 1 - эндотелий; 2 - базальная мембрана; 3 - подэндотелиальный слой; 4 - внутренняя эластическая мембрана; 5 - гладкие миоциты; 6 - эластические волокна; 7 - кол-лагеновые волокна; 8 - наружная эластическая мембрана; _9 -волокнистая соединительная ткань наружной оболочки и 10 - сосуды сосудов» (Согласно: Сапин М.Р., Никитюк Д.Б., Литвиненко Л.М.)
Материалы и методы
Вводим физико-физиологические показатели протекание крови в сосудах ССС: давление крови (Р), сопротивление в сосудистой системе (й), скорость кровотока в его объёме (Q) и линейная скорость (7) [4,5,6].
Давление крови (Р) - Сила, с которой протекающая кровь оказывает внутреннее давление (Р) на стенку сосуда: P* = Q.Ä(1)
Где: P* - Разница артериальные и венозные давления P* = Р арт. -Р вен.
Q - Скорость кровотока в определённом объёме;
й - Сосудистое сопротивление в периферии.
Мы знаем, что Р венозное = 0 4P = Р артериальное =
е.я (2)
Сопротивление в сосудистой системе (й) - Для определения стоимости (й), нужно отчитывать и наличию трения слоями крови внутри сосудов.
Сопротивление (й), является протекание крови в сосудах ССС муле:
Где: L - сосудистая длина;
ж и 8 - специфические константы;
г - размер круглое сечение сосуда;
П - вязкость крови.
Скорость кровотока в определённом объёме (Q) и Линейная скорости кровотока (V) - Количество крови, проходящее через поперечное сечение сосуда за единицу времени (в л/мин., мл/ мин.) обозначаем, как скорость кровотока в определённом объёме (Q).
Скорость кровотока в определённом объёме Q в правой пропорциональности от величин давления крови (Р) и периферического сосудистого сопротивления (й). Вычисляем по формуле из физики:
р*
<? = Т (4)
Где: @ - Скорость кровотока в определённом объёме;
Р* - разница артериальные и венозные давления (Р* = Р арт. -Р вен.)
й - сосудистое сопротивление.
Линейная скорость кровотока (V) (в м/сек., см/ сек., мм/сек.) - Линейная скорость кровотока зависит от скорости кровотока в определённом объёме и суммарной площади поперечного сечения сосудов (п.г2):
С
(5)
Где:
'4=
V - Линейная скорость кровотока; Q - Скорость кровотока в определённом объёме; (@ = —) 5= 17г. г2 - Сумма значения просвет сосудов. Уточняем, что различаем несколько видов АД: 1. Систолическим артериальным давлением (Рс ); 2. Диа^ столическим давлением (Рй ); 3. Пульсовое давление (Рр): Рр= Рс~ Ра (6);
и 4. Среднее динамическое давление (СДД = РБйй):
= Р„
(7)
как сила препятствующая Оно исчисляется по фор-
Таким образом, смотря на уравнения (1) до уравнения (7) мы увидим, что в процессы функционирование сосудистой стенки артерии и вены не принято во внимание эластичность и динамике протекающих процессов в ССС.
Для нашей практической разработки математического модели реакция эндотелия, гладкомышечные клетки (ГМК) и стенки сосудов ССС на механические и химические воздействия пользуемся модель дробного порядка пневматических и напорных объектов [7]. Потому, что саму близкую до реальных физиологических процессов в живом организме являются пневматических систем. Одно из основания этого утверждение в том, что времена для протекания процессы в эти две, на первый взгляд несовместимые, системы - одинаковые!
Таким образом, логично ввести параметры, характеризующие их технические характеристики аналогично на параметры физиологических систем (физико-физиологические показатели протекающую крови в сосудах): давление крови (Р), сопротивление в сосудистой системе (й), скорость кровотока в его объёме (@) и линейная скорость (К).
Объединяя физиологические и физические параметры в аналогические объекты [3] (Рисунок 1), можно записать, что:
1. Некоторые величины как, в трубопроводах и сосудах высокого давления, так и в кровеносных сосудах рассматриваем как сопротивление (й) и емкость (С), используемые в пневматических и электрических цепях. Традиционные определения этих характеристик заключаются в следующем: й(ДР)
'(8)
Где: с((ДР) - небольшое изменение разности давлений газа (жидкости) между входным и сосудистым газом и дд небольшое изменение расхода газа (жидкости). Традиционно ёмкость «сосуда под давлением может определяться:
йт
Где: т и р - масса газа (жидкости), хранящегося в сосуде, и давление газа (жидкости) - соответственно.
X X
о го А с.
X
го m
о
м о м
CJ
fO CS
о
CS
о ш m
X
3
<
m О X X
2. При изменении состояния политропного процесса из-за изотермического в адиабатическое состояние ёмкость постоянна и может быть получена как:
V
пРх Т '
Где: п политропный показатель (принимает стоимости: 0,2 + 1,2),
V- Объем сосуда,
- постоянная газа (жидкости),
и Т - абсолютная температура (абсолютный ноль, - 273 0С).
Таким образом, в нашем случае для жидкости - кров, при постоянной температуре (1 = 36,50С), отчитывая, что в реальных модели кровеносных сосудах имеем переменчивое давление, то в математических модели показатель политропности принимает значение п = 1 + 1,2
Результаты
Для каждого кровеносного сосуда (практического силь-фона) можно рассмотреть простую математическую модель дробного порядка (оператора Капуто - Герасимова) которую называем в инструментальной практике: псевдо-пружиной [7]. В конкретном случае псевдо-пружина является реальной физико-биологический объект - кровеносной сосуд ССС, представлен с уравнением в виде:
Откуда:
A.pc(t) = ks.c0D^.y(t),(11)
Pc(f) =
ks.c0D?.y(t)
А.
(12)
Где: рс(0 - давление крови (в динамике)
А - это эффективная площадь сосудов (4=5= Еп.г2 -суммарный просвет сосудов.);
к5 - коэффициент эластичности (исчисляемый по таблички даны) - для реального кровеносного сосуда (в технической моделью - постоянной эквивалентной псевдо-пружины); и - жесткости, обусловленной действием обратной стороны гладкомышечные клеток сосудов.
Выражение является по определение как дробной
производной, которое было введено Капуто - Герасимова [1]:
Обсуждение
На практике, после механические и химические воздействия в эндотелии и стенки сосудов ССС, имеем две противоположные по своей направленности действия силы. Сила давление крови (ДР = Р арт. - Р вен.) на стенки сосуда (в том числе и эндотелиальном слоя сосуда), и обратная: Сила сужение внешней стенке сосуда F= ^.у^) представление из т.н. ГМК. Которая сила также оказывает влияние и эндотели-ального слоя сосуда „О'.у(О).
Уравнение (11) является реальная математическая модель кровеносного сосуда!
В упрощённый вид, является обратное давление
стенки сосудов:
Р = = о!>'.у(0, как реакция на давление крови в сосудах.
Т.е. произведение А.РС(Ь) площади суммарного просвета сосудов А на давление крови Рс в этих сосудов, находится в правой пропорциональности к5 (коэффициент эластичности сосудов) от обратного давления стенки сосудов с0д<^.у(р).
В стационарном режиме (момент времени, в которые нет динамика крови 1 = 0) - это уже идеализирован случай: рс =рь = к1х= АР = (¡.11 (13)
Где: Q - объёмная скорость кровотока; (@ = -у-)
Рс = Рь - давление крови
R - сосудистое сопротивление
кг - положительная константа (настроечный коэффициент)
Заключение
Модель (Уравнение (13)), на которой до сих пор проводятся экспериментальные исследования в фармакологии и медицине, на экспериментальных моделях ex vivo и in vivo является в своей сущности обычный, частный случай, но неточной своей сутью, математической модели кровеносного суда ССС.
Таким образом, динамика процессов в ССС не отчитываются в оптимальном режиме - и экспериментальная модель находится в неточном - стационарном режиме (момент времени, в которые нет динамика крови t = 0).
Включая динамика процессов в реальной физико-биологический объект - кровеносной сосуд на ССС, представлен с уравнением в виде: A.pc(t) = ks. c0D'^.y(t),(11) приводит нам к математической моделирования, которое является основа для in silico конструирование базовых структур, воздействующих на фармакологические мишени сердечнососудистой системе.
Литература
1. Владимир Евгеньевич Федоров, Анна Викторовна Нагу-манова Обратная задача для эволюционного уравнения с дробной производной* Герасимова - Капуто в секториальном случае // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. 2019. №. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/obratnaya-zadacha-dlya-evolyutsionnogo-uravneniya-s-drobnoi-proizvodnoi-gerasimova-kaputo-v-sektorialnom-sluchae (дата обращения: 13.04.2023).
2. Е. А. Полунина, Л. П. Воронина, О. С. Полунина, И. В. Севастьянова Клинико-диагностическое значение проведения фармакологических проб для исследования функции эндотелия при хронической сердечной недостаточности // Медицинский вестник Северного Кавказа. 2018. №1.1. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/kliniko-diagnosticheskoe-znachenie-provedeniya-farmakologicheskih-prob-dlya-issledovaniya-funktsii-endoteliya-pri-hronicheskoy (дата обращения: 13.04.2023).
3. Канисков Васил Любенов (Kanistov, V.L.) Development of methods for mathematical modeling of endothelium. In silico modeling of the structures of the cardiovascular system (CSS) based on a model from the theory of automatic control (TAU) / V.L. Kanistov // Journal of Pharmacy and Drug Development. - 2022. -Vol. 1, № 2. - URL: https://www.mediresonline.org/uploads/articles/1669822052JPDD -06.pdf.
4. Мамиева Зарина Ахсарбековна, Лишута Алексей Сергеевич, Беленков Юрий Никитич, Привалова Елена Витальевна, Юсупова Альфия Оскаровна, Рыкова Светлана Михайловна Возможности применения усиленной наружной контрпульсации в клинической практике // РФК. 2017. №2. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/vozmozhnosti-primeneniya-usilennoy-naruzhnoy-kontrpulsatsii-v-klinicheskoy-praktike (дата обращения: 13.04.2023).
5. Фролов Сергей Владимирович, Коробов Артем Андреевич, Газизова Динара Шавкатовна, Потлов Антон Юрьевич Модель сердечно-сосудистой системы с регуляцией на основе нейронной сети // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. 2021. №2. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/model-serdechno-sosudistoy-sistemy-s-regulyatsiey-na-osnove-neyronnoy-seti (дата обращения: 13.04.2023).
6. Шалыгин Л.Д. Современные представления о механизмах регуляции артериального давления // Вестник Национального медико-хирургического Центра им. Н. И. Пирогова. 2015. №2. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/sovremennye-predstavleniya-o-mehanizmah-regulyatsii-arterialnogo-davleniya (дата обращения: 29.03.2023).
7. Razminia, A. Fractional order models of industrial pneumatic controllers / A. Razminia, D. Baleanu. - DOI: 10.1155/2014/871614 // Abstract and Applied analysis. - 2014. -Vol. 2014. - Art. 871614. - URL: https://www.hindawi.com/journals/aaa/2014/871614/ (date of the application 18.11.2022).
Mathematical modeling as a basis for in silico, the construction of basic structures affecting pharmacological targets of the cardiovascular system Kaniskov V.L.
Belgorod State National Research University
JEL classification: C10, C50, C60, C61, C80, C87, C90
Purpose: Development of an adequate and efficient mathematical model of the endothelium in conjunction with smooth muscle cells (SMC) and vessel walls, to build in silico the basic structures of the cardiovascular system.
Methods: We introduce the results of the work of the fractional order model of pneumatic and pressure objects, to develop a mathematical model of the response of the endothelium, endotheliocytes, smooth muscle cells (SMC) and the walls of the vessels of the cardiovascular systems to dynamic impacts.
Results: A real mathematical model of a blood vessel was developed in the dynamics of the processes. In a particular case, the bellows (pseudo-spring) is a real physical and biological object - endotheliocytes, smooth muscle cells (SMC) and the walls of the vessels of the cardiovascular systems.
Conclusions: For each real blood vessel in dynamics (practical bellows), we can consider a mathematical model of a fractional order (Caputo-Gerasimov operator). Mathematical modeling of the elements of the cardiovascular systems leads us to the construction in silico of the basic structures in pharmacology.
Keywords: pharmacological target; math modeling; in silico basic structures; endothelium; endotheliocytes; smooth muscle cells; vessel walls; blood vessel; the cardiovascular system.
References
1. Vladimir Evgenievich Fedorov, Anna Viktorovna Nagumanova Inverse problem for
an evolutionary equation with a fractional Gerasimov-Caputo derivative in the sectorial case // Bulletin of the Irkutsk State University. Series: Mathematics. 2019. no. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/obratnaya-zadacha-dlya-evolyutsionnogo-uravneniya-s-drobnoi-proizvodnoi-gerasimova-kaputo-v-sektorialnom-sluchae (Date of access: 04/13/2023).
2. E. A. Polunina, L. P. Voronina, O. S. Polunina, I. V. Sevastyanova Clinical and
diagnostic significance of pharmacological tests for the study of endothelial function in chronic heart failure // Medical Bulletin of the North Caucasus. 2018. No. 1.1. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/kliniko-diagnosticheskoe-znachenie-provedeniya-farmakologicheskih-prob-dlya-issledovaniya-funktsii-endoteliya-pri-hronicheskoy (date of access: 04/13/2023).
3. Kanistov, V.L. Development of methods for mathematical modeling of endothelium.
In silico modeling of the structures of the cardiovascular system (CSS) based on a model from the theory of automatic control (TAU) / V.L. Kanistov // Journal of Pharmacy and Drug Development. - 2022. - Vol. 1, no. 2. - URL: https://www.mediresonline.org/uploads/articles/1669822052JPDD-06.pdf.
4. Mamieva Zarina Akhsarbekovna, Lishuta Aleksey Sergeevich, Belenkov Yury
Nikitich, Privalova Elena Vitalievna, Yusupova Alfiya Oskarovna, Rykova Svetlana Mikhailovna Possibilities of using enhanced external counterpulsation in clinical practice // RFK. 2017. No. 2. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/vozmozhnosti-primeneniya-usilennoy-naruzhnoy-kontrpulsatsii-v-klinicheskoy-praktike (date of access: 04/13/2023).
5. Frolov Sergey Vladimirovich, Korobov Artem Andreevich, Gazizova Dinara
Shavkatovna, Potlov Anton Yuryevich A model of the cardiovascular system with regulation based on a neural network // Models, systems, networks in economics, technology, nature and society. 2021. №2. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/model-serdechno-sosudistoy-sistemy-s-regulyatsiey-na-osnove-neyronnoy-seti (Date of access: 04/13/2023).
6. Shalygin L. D. Modern ideas about the mechanisms of regulation of blood pressure
// Bulletin of the National Medical and Surgical Center. N. I. Pirogov. 2015. №2. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/sovremennye-predstavleniya-o-
mehanizmah-regulyatsii-arterialnogo-davleniya (date of access: 03/29/2023).
7. Razminia, A. Fractional order models of industrial pneumatic controllers / A.
Razminia, D. Baleanu. - DOI: 10.1155/2014/871614 // Abstract and Applied analysis. - 2014. - Vol. 2014. - Art. 871614. - URL: https://www.hindawi.com/journals/aaa/2014/871614/ (date of the application 11/18/2022).
X X О го А С.
X
го m
о
to о to
M
