CC BY
87
УДК 612.13.001.575
ПОДХОДЫ К НУЛЬМЕРНОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ СЕРДЕЧНО-СОСУДИСТОЙ СИСТЕМЫ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИ ОЦЕНКЕ МОЗГОВОГО КРОВООБРАЩЕНИЯ
С.В. Фролов, Н.Э. Алиев, А.А. Коробов, С.В. Синдеев
Представлены основные подходы к нульмерному моделированию сердечнососудистой системы. Предлагается обзор простых моделей, адекватно имитирующих базовые гемодинамические процессы в сердечно-сосудистой системе, которые описывают изменение основных переменных сердечно-сосудистой системы: давления, кровотока и внутреннего объема кровеносного сосуда. Исследуемые модели строятся на аналогиях течения жидкости по эластичным трубкам или течения тока по электрическим цепям. Описан подход к применению многомасштабных моделей сердечнососудистой системы для задачи оценки острых нарушений мозгового кровообращения.
Ключевые слова: математическая модель, сердечно-сосудистая система, модели с сосредоточенными параметрами, нарушения мозгового кровообращения.
В настоящее время гемодинамические процессы описывают уравнениями На-вье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости совместно с уравнениями динамики эластичных сосудов [1]. Подобное моделирование больших участков сердечно-сосудистой системы осложняется длительностью по времени и необходимостью применения значительных вычислительных мощностей. Однако в целях медицинской диагностики такая высокая сложность зачастую является излишней, поскольку приоритетными в данном случае являются требования скорости, простоты и доступности информации. В представленной работе предлагается обзор относительно простых моделей, адекватно имитирующих базовые гемодинамические процессы в сердечно-сосудистой системе и их использования при оценке мозгового кровообращения.
Основным критерием классификации существующих моделей гемодинамики является степень упрощения системы кровообращения, а также соблюдение основных законов и закономерностей кровообращения. Исторически сложилось, что модели строятся на основе аналогии течения жидкости по эластичным трубкам или течения тока по электрическим цепям. Существующие модели, по степени своей сложности и детальности описания процессов, разделяют по параметру размерности - 0D, 1D, 2D и 3D [2, 3].
Рассматриваются так называемые нульмерные модели (0D), или модели с сосредоточенными параметрами. Эти модели основаны на упрощенных представлениях компонентов сердечно-сосудистой системы, которые в значительной степени способствуют пониманию физиологии кровообращения. Моделирование с сосредоточенными параметрами зачастую применяет концепцию аналогии системы кровообращения с эквивалентной электрической цепью. Модели с нулевой размерностью описывают изменение основных переменных сердечно-сосудистой системы (давление, кровоток и объем внутри кровеносного сосуда) лишь по времени, в то время как модели с более высокой размерностью (1D, 2D, 3D) учитывают изменение этих параметров в пространстве.
Основные подходы нульмерного моделирования
Опишем основные процессы и закономерности сердечно-сосудистой системы, которые отражают нульмерные модели. Известно, что в регуляции кровяного давления и периферического кровотока центральную роль играют артерии. Также известно, что аорта и крупные артерии имеют не только пассивную функцию переноса кислородосо-держащей крови от сердца к периферии, но и функцию «амортизатора», поскольку они способны гасить ударный объём левого желудочка благодаря их вязкоупругим свой-
ствам. Фактически, каждый сердечный цикл чередуется между фазой сокращения левого желудочка, в которой определенное количество крови принудительно вталкивается в артериальную сеть (систола) и фазой расслабления желудочка (диастола), в которой происходит желудочковое насыщение кровью. Поэтому у крупных артерий возникает задача гашения пульсирующего выхода левого желудочка и изменения ритмической, прерывистой и дискретной активности сердечного насоса к постоянному значению давления (рис. 1). После ударного объёма и закрытия клапанов аорт, в крупных артериях остаётся большое количество крови, которое позже высвободится, тем самым поддерживается необходимое давление в диастоле. Это процесс получил название - Windkessel эффект [2].
Левый желудочек Аорта
Рис. 1. Переход от прерывистого давления левого желудочка к постоянному
давлению аорты
В общем виде, в нульмерных моделях сосуд с эффектом Windkessel описывают как участок электрической цепи. В таких моделях гидродинамическому сопротивлению соответствует электрическое сопротивление, а перепаду давлений - напряжение. Инертности сосуда соответствует индуктивность, а эластичности - ёмкость конденсатора (рис. 2,а). Моделирование разветвлённой сосудистой цени осуществляется за счёт усложнения электрической цепи.
Поток крови описывается уравнением неразрывности, законом Пуазейля для устойчивого равновесия стационарного состояния и уравнением Навье-Стокса для нестационарного баланса импульса состояния. Аналогичным образом электрический ток в цепи регулируется действующим законом Кирхгофа. Таким образом, сопоставляя кровяное давление и скорость потока с напряжением и током, описывая эффекты трения, инерции при кровотоке и эластичности сосуда с помощью сопротивления R, индуктивности L и емкости C в электрической цепи, соответственно, хорошо известные методы анализа электрических цепей могут быть применены для исследования динамики сердечно-сосудистой системы.
Участок сосуда в известных работах российских учёных, посвящённых моделированию сердечно-сосудистой системы обычно представляется в виде системы дифференциальных уравнений без рассмотрения аналогии с электрической цепью [4].
Впервые 0D модель была предложена Стивеном Хейлзом (Stephen Hales) в 1733 году. Модель Windkessel состояла из двух, параллельно расположенных элементов - конденсатора C, описывающего свойства больших артерий и резистора R, который описывает небольшие периферийные сосуды, включая артериолы и капилляры (рис. 2,б). Эта модель была разработана для представления элементарных характеристик сети артерий большого круга кровообращения.
Этот подход, предложенный Хейлзом, а позднее математически описанный Отто Франком (Otto Frank), имеющий в своей основе сопоставление кровотока и переменного электрического тока, широко применяется в моделировании. Несмотря на свою грубость по сравнению с более сложными моделями, модель Windkessel используется в клинической практике, и тем самым позволяет адекватно описать снижение давления в аорте за период диастолы.
Позже Ландес (Landes) расширил модель Windkessel для моделирования характеристик артерий, представив дополнительный элемент сопротивления Rc, который соединен последовательно с моделью RC Windkessel (рис. 2,в). Данная модель детально изучалась Вестерхофом (Westerhof) и группой исследователей, её иногда называют моделью Westkessel или моделью RCR [2]. В этой модели сопротивление Rc представляет собой импеданс артериального русла, определяемый как отношение колебательного давления и колебательной скорости потока, при отсутствии отражающих волн. Общее сопротивление Rc и R равно суммарному системному сосудистому сопротивлению в предыдущей модели RC, а емкость C представляет собой эффект эластичности артериальной сети. Несмотря на столь простой подход введения проксимального сопротивления Rc, значительно улучшаются высокочастотные характеристики модели [2]. Применение в естественных условиях и численные исследования показали, что модель RCR субъективно демонстрирует хорошее представление после нагрузки в контексте прогнозирования ударного объема, ударной работы и систолического и диастолического давления аорты.
Параллельно с моделью Westkessel RCR, Burattini, Natalucci разработали трёхэлементную RCR модель [2], чтобы описать артериальные характеристики, в которой небольшое сопротивление Rc было помещено последовательно с конденсатором С, а не последовательно с RC комбинацией (рис. 2,г). Соответственно, небольшое сопротивление RC концептуально связывалось с конденсатором C, чтобы описать вязкоупру-гое свойство стенки сосуда, в то время как в модели RCR Вестерхофа и группы исследователей его использовали для значительного отражения волны в модели.
М (Г)
Рис. 2. Схемы участков цепи и модели: а — участок цепи, моделирующий сосуд;
б — Модель RC Windkessel; в — Модель RCR Westkessel; г — Модель RCR
Путем настройки параметров две модели RCR могли создавать одни и те же частотные характеристики и, следовательно, были в какой-то степени эквивалентны.
Ландес [2] изменил артериальную модель RCR, включив инерционный эффект кровотока, сформулировав модельную конфигурацию RLCRi (рис. 3,а). Вестерхоф также добавил инерционный эффект кровотока в модели RCR и предложил еще одну че-тырехэлементную артериальную модель RLCR2 (рис. 3,б). Включение инерционного элемента L помогло еще больше улучшить точность моделирования импеданса сосуда в среднем частотном диапазоне.
Рис. 3. Схемы: а - модель RLCR1; б - модель RLCR2
242
Было проведено несколько исследований в естественных условиях для сравнения точности моделирования моделей RC, RCR, RLRC1 и RLRC2, и было продемонстрировано, что модель RLRC1 лучше всего воспроизводит характер данных сосудистого импеданса [2].
Все вышеперечисленные модели имеют общее свойство - они рассматривают сердечно-сосудистую систему как единый блок, т.е. пренебрегают внутренним снижением давления и кровотока, поэтому развитие однокамерных моделей привело к закономерному появлению многокамерных моделей. В таких моделях сердечно-сосудистая система детализируется несколькими сегментами с собственными сопротивлениями, ёмкостями и индуктивностями. В аорте и основных артериях кровеносные сосуды достаточно эластичны, и кровоток является пульсирующим, поэтому необходимо учитывать эффекты полного сопротивления, эластичности и индуктивности (комбинация RLC). В артериолах и капиллярах стенка сосуда относительно жесткая, поток устойчив, а трение является доминирующим фактором, поэтому локальная динамика потока адекватно описывается чистым сопротивлением [2].
Согласно теории Гайтона (Guyton), само по себе сердце не является главным регулятором сердечного выброса [5]. Определение скорости кровотока в сосудах осуществляется совокупностью местных сигналов из тканей (потребность в питательных веществах, кислороде, накопление углекислого газа и прочих продуктов регионарного метаболизма), а также активностью вегетативной нервной системы человека. Поэтому, из теории Гайтона делается вывод, что контроль над сердечным выбросом осуществляется суммой местных потоков крови через ткани организма. Венозный возврат представляется как совокупность сумм потоков крови через все отдельные тканевые сегменты периферической циркуляции. При этом любые показатели, определяющие венозный возврат будут также определять венозный выброс, в силу их эквивалентности в устойчивом состоянии. Кровоток через кровеносные сосуды, согласно Гайтону, определяется сосудистым сопротивлением и градиентом давления в сосудах, а скорость кровотока определяется только разностью давления между двумя точками сосуда, а не абсолютным значением давления в любой точке сосуда.
Также было проведено множество исследований количественной характеристики сердца как насоса. В 1970-х годах Suga et al. [5] предложил модель желудочка, в которой давление в желудочке представлено в виде функции, зависящей от эластичности желудочка и изменения объема желудочка от его ненапряженного объема. Изменение объема желудочков определяется потоком крови в желудочковую камеру и из нее, а эластичность желудочков определяется как изменяющаяся во времени функция, основанная на измерении в естественных условиях активности желудочков во время одного сердечного цикла. Помимо этого, описаны различные альтернативы различной модели эластичности. Так, Zacek и Krause [2] получили модель сердца, в которой механика сердечной мышцы была основана на трехпараметрической модели Хилла. Также создавались модели, которые описывали сердечные камеры не изолированно, а при взаимодействии друг с другом - например, модели предсердно-желудочкового взаимодействия, взаимодействия желудочков, а также модели, описывающие влияние перикарда на сердечную динамику. Отмечая, что предсердно-желудочковая перегородка претерпевает большие смещения во время сердечного цикла и что движение перегородки составляет около 10% от сердечного выброса, Korakianitis и Shi [2] получили подробные уравнения для моделирования движения перегородки. Во время диастолы дисбаланс давления в двух желудочковых камерах вызывает движение перегородки, что в свою очередь приводит к взаимодействию при заполнении двух желудочков. В систоле перегородка также сжимается и вносит свой вклад в сердечный выброс. Для моделирования этого процесса была разработана дополнительная модель на основе переменой эластичности для учета специфической реакции свободных стенок левого и правого желудочков и межжелудочковой перегородки.
На кафедре «Биомедицинская техника» ТГТУ авторами С.В. Фроловым, В. А. Лищуком и др. разработано математическое описание для четырнадцати камерной модели сердечно-сосудистой системы (рис. 4) [6]:
Рис. 4. Схема ОБ модели сердечно-сосудистой системы. РА — легочные артерии;
РС — легочные капилляры; РУ — клапан легочного ствола; ЬА — левое предсердие;
МУ — митральный клапан; ЬУ — левый желудочек; АУ — аортальный клапан;
А - аорта; ЬВА — артерии нижней части тела; ЬВС — капилляры нижней части тела; ЬВУ — вены нижней части тела; ЯА — правый желудочек;
ТУ — трехстворчатый клапан; РУ — легочные вены; ЯУ — правый желудочек; иВУ — вены верхней части тела; иВС — капилляры верхней части тела; иВА — артерии верхней части тела.
Сердечно-сосудистая система представлена в виде последовательно соединенных упругих камер. Разработанная модель ориентирована для применения в интенсивной терапии в составе программно-аппаратных комплексов [6].
В исследованиях Фролова С.В., Синдеева С.В. и Лищука В.А. сердце рассматривается как совокупность специфических участков системы кровообращения, в которых жёсткость и тонус сосудов изменяются по времени [7, 8]. При этом, зависимость тонуса и жёсткости сосудов от объёмов, ритмики и давлений должны находиться в согласовании с экспериментально установленными характеристиками миокарда (хроно-тропные отношения, зависимости сила - скорость, соотношения между фазами сокращения и расслабления и др.). Сердце, в зависимости от задачи исследования, может быть представлено левым, правым, или несколькими обобщенными резервуарами.
Модели сердечных клапанов
В сердце есть четыре сердечных клапана - митральный (двустворчатый), трёхстворчатый, аортальный и легочный. Клапаны предотвращают обратный поток крови из желудочков в предсердия во время систолы (митральный и трёхстворчатый клапаны) или из аорты и легочных артерий в желудочки во время диастолы (аортальный и легочный клапаны). Эти клапаны закрываются и открываются пассивно при различных внешних воздействиях градиента давления через клапан, вихревого потока вблизи клапана, сила сдвига воздействует на поверхности листового клапана и т. д. Обширные аналитические, численные и экспериментальные исследования [2] были проведены для исследования динамики клапана в трех измерениях (3Б), но фундаментальную механику открытия и закрытия по-прежнему трудно охарактеризовать.
В простейших моделях сердечного клапана, используемых в исследованиях сердечно-сосудистой системы в нульмерных моделях, клапан представляется в виде диода вместе с линейным или нелинейным сопротивлением [4]. Клапан имеет небольшое сопротивление потоку, когда разность давления на нем положительная, и поток полностью прекращается, когда разность давления на нём отрицательна. Однако это
идеализированное описание не учитывает более сложные особенности динамики клапана. Клиническое наблюдение также показало, что митральный клапан имеет обратное движение, которое заставляет створки возвращаться в полностью открытое положение до быстрого раннего диастолического закрытия [4].
Так как реальное движение клапана является более сложным процессом, чем простое изменение состояния между открытым и закрытым, как описано идеализированной диодной моделью, Zacek и Krause [2] рассмотрели изменение сопротивления сердечного клапана при движении створок клапана, используя концепцию зависящего от времени коэффициента сопротивления. В своей работе коэффициент сопротивления был предопределенной функцией площади открытого клапана, который приближался к бесконечности, когда клапан был закрыт. Werner et al. [2] описали поведение клапана, включив объем обратного потока во время фазы закрытия: в их исследовании это называлось «объемом мертвого пространства», которое было функцией угла открытия листка клапана и становилось нулевым, когда клапан полностью закрыт. Shi et al. [2] моделировали динамику клапана, рассматривая локальное сопротивление течению и инерционный эффект крови. Клапан описывался с помощью модели диафрагмы, и изменение при открытии клапана было задано на основе предыдущих экспериментальных наблюдений. Хотя каждая из этих моделей способна описать дополнительные детали поведения клапана, во всех случаях это поведение было предписано, в то время как динамика и механизм движения клапана не рассматривались.
Исследование волн давления и потока крови в сети сосудов является одной из самых значимых проблем в изучении сердечно-сосудистой физиологии, поэтому исследования пульсовой волны получили большое внимание. Можно утверждать, что модель, состоящая из серии OD-частей, представляет собой в предельном случае ID-систему [3]. Milisic и Quarteroni [2] предложили формальное доказательство того, что OD-модели сети сосудов можно рассматривать как дискретизации первого порядка одномерных линейных систем. Как обсуждалось ранее, такие модели легко интерпретируются в терминах электрических аналогов.
Исследования по OD-моделированию сердечно-сосудистой системы продолжались более двухсот лет с момента становления концепции Windkessel. В настоящее время 0D модели широко используются в различных областях сердечно-сосудистых исследований, от фундаментальных исследований физиологии до анализа искусственных органов.
Оценка мозгового кровообращения
Применение разработанных моделей и подходов к нульмерному моделированию сердечно-сосудистой системы может быть также распространено на задачи оценки острых нарушений мозгового кровообращения, в частности церебральной аневризмы. Как отмечалось ранее, для оценки локальной гемодинамики церебральной артерии требуется производить решение системы уравнений Навье-Стокса в трехмерной расчетной области [9]. Решение подобной задачи помимо существенных вычислительных затрат сопряжено также с использованием различных допущений, упрощающих представление процесса движения потока крови по выбранному церебральному сосуду [10]. Одним из таких допущений является использование искусственных граничных условий на границах расчетной области. В частности для входной границы используется либо стационарный кровоток, либо пульсирующий кровоток, форма которого определяется из справочной литературы. Для выходной границы, как правило, принимается допущение о свободном вытекании потока крови из артерии, т.е. задается нулевое выходное давление. Однако использование таких допущений не согласуется с реально протекающими процессами в церебральной артерии, что может привести к существенному искажению получаемых гемодинамических характеристик, таких как, например колебательный индекс сдвига (OSI) и осредненный за цикл модуль пристеночного напряжения сдвига (TAWSS).
Одним из способов решения подобной проблемы является применение так называемых многомасштабных моделей сердечно-сосудистой системы, которые сопрягают модели гемодинамики разной пространственной размерности с помощью соответствующих граничных условий [11]. Пример схемы сопряжения моделей приведен на рис. 5. В представленном примере модель локальной гемодинамики церебральной артерии (3.0 модель) связана с нульмерной моделью сердечно-сосудистой системой (00 модель) посредством вспомогательной модели артериального русла (10).
Такое сопряжение позволяет рассмотреть влияние глобальных факторов сердечно-сосудистой системы на кровоток в выбранном участке мозгового кровообращения [12]. Однако в случае, если необходимо только воспроизведение реалистичных граничных условий для 30 модели гемодинамики, то возможно использование лишь упрощенных представлений нульмерной модели сердечно-сосудистой системы в виде КЬС цепи для входной границы церебральной артерии и ЯСЯ цепи для выходной границы. Такое допущение позволяет значительно снизить количество определяемых параметров для нульмерной модели сердечно-сосудистой системы и в то же время отобразить физиологически корректную динамику изменения входных и выходных условий на границах расчетной области.
Рис. 5. Пример схемы сопряжения модели глобальной гемодинамики (0В), модели артериального русла и модели локальной гемодинамики церебральной артерии
Подобный подход может быть использован не только для анализа предоперационного состояния гемодинамики церебральной артерии, но и применен для оценки послеоперационных изменений кровотока, вызванных, например, установкой потоко-направляющих стентов в церебральную артерию с аневризмой [13].
Выводы
Исходя из обзора основных подходов к нульмерному моделированию, конфигурации моделей 00 усложняются и становятся всё более детализированными. Многие модели успешно применяются в изучении сердечно-сосудистой физиологии, а также для оценки новых искусственных сердечно-сосудистых устройств. Некоторые модели разрабатываются для исследования конкретных исследовательских задач, поэтому их сложность должна соответствовать поставленным целям.
Ввиду того, что модель 00 представляет собой абстракцию системы кровообращения высокого уровня, а один модельный компонент часто представляет собой несколько сложных анатомических структур, остаётся важной проблема правильной настройки параметров модели. Имеющиеся на данный момент исследования дали достаточное представление о тех сердечно-сосудистых эффектах, которые необходимо принимать во внимание при 00 подходе к моделированию системы кровообращения: взаимодействие желудочков, влияние перикардиального, предсердно-желудочкового взаимодействия, автоматическая регуляция в некоторых локальных циркуляционных
контурах, вспомогательное действие пульсации на кровоток, вызванное периферическим мышечным сокращением и т. д. Несмотря на то, что эти эффекты интуитивно правильные, до сих пор они подвергались очень ограниченной проверке из-за трудности учёта при изоляции каждого из этих эффектов по отдельности от общей сердечнососудистой реакции. Такая ситуация является следствием взаимодействия между органами человека, а также может возникать вследствие ограничения измерений в естественных условиях. Задачей ближайшего будущего для исследования сердечнососудистой системы будет дальнейшее количественного определения относительной важности каждого из этих эффектов в общей сердечно-сосудистой реакции, механизмов, лежащих в основе возникновения этих эффектов, поиск правильных параметров при их моделировании.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №16-15-10327)
Список литературы
1. Елизарова Т.Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязких течений. Лекции по математическим моделям и численным методам в динамике газа и жидкости. М.: Научный Мир, 2007. 350 с.
2. Shi Y, Lawford P, Hose R. Review of zero-D and 1-D models of blood flow in the cardiovascular system // Biomed Eng Online, 2011.
3. Sindeev S.V., Frolov S.V. Modeling of hemodynamics of the cardiovascular system with cerebral aneurysm // Mathematical models and computer simulations, 2017. Vol. 9(1). P. 108-119.
4. Лищук В. А. Математическая теория кровообращения. М.: Медицина, 1991.
256 с.
5. Suga H, Sagawa K, Shoukas AA. Load Independence of the Instantaneous Pressure // Volume Ratio of the Canine Left Ventricle and Effects of Epinephrine and Heart Rate on the Ratio. Circulation Research, 1973. fXXXII. P. 314-322.
6. Фролов С.В., Маковеев С.Н., Газизова Д.Ш., Лищук В.А. Модель сердечнососудистой системы, ориентированная на интенсивную терапию // Вестник ТГТУ, 2008. Т. 14. № 4. С. 892- 902.
7. Лищук В.А. Система закономерностей кровообращения // Клиническая физиология кровообращения. Научный центр сердечно-сосудистой хирургии им. А. Н. Бакулева, 2005. № 4. С. 14- 24.
8. Frolov S.V., Sindeev S.V., Lischouk V.A., Gazizova D.Sh., Liepsch D., Balasso A. A lumped parameter model of cardiovascular system with pulsating heart for diagnostic studies // Journal of Mechanics in Medicine and Biology, 2017. Vol. 17(5), 1750056 (21 pages).
9. Sindeev S.V., Prothmann S., Frolov S.V., Zimmer C., Liepsch D., Berg P., Kirschke J.S., Friedrich B. Intimal hyperplasia after aneurysm treatment by flow diversion: a case report // World Neurosurgery, 2018. doi: 10.1016/j.wneu.2018.10.107.
10. Frolov S.V., Sindeev S.V., Liepsch D., Balasso A. Mathematical modeling of blood flow in basilar artery bifurcation region // Transactions TSTU. 2014. Vol. 20. № 1. P. 50 - 58.
11. Frolov S.V., Sindeev S.V., Lischouk V.A., Gazizova D. Sh., Liepsch D., Balasso A. Development of multiscale hemodynamics model for research of basilar artery circulation // Problems of Contemporary Science and Practice Vernadsky University, 2013. Vol. 48, № 3. P. 46 - 53.
12. Frolov S.V., Sindeev S.V., Lischouk V.A., Gazizova D. Sh., Liepsch D., Balasso A. Modeling studies of basilar artery blood flow given the global hemodynamics factors // Problems of Contemporary Science and Practice Vernadsky University, 2014. Vol. 54. № 4. P. 86 - 93.
13. Sindeev S.V., Frolov S.V., Liepsch D., Balasso A. Modeling of flow alterations induced by flow-diverter using multiscale model of hemodynamics // Transactions TSTU, 2017. Vol. 23. № 1. P. 25 - 32.
Фролов Сергей Владимирович, д-р техн. наук., профессор, зав. кафедрой, sergej.frolov@,gmail. com, Россия, Тамбов, Тамбовский государственный технический университет,
Алиев Нариман Эльшан оглы, аспирант, [email protected], Россия, Тамбов, Тамбовский государственный технический университет,
Коробов Артем Андреевич, аспирант, korohovl99l@ mail.ru, Россия, Тамбов, Тамбовский государственный технический университет,
Синдеев Сергей Вячеславович, канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник, [email protected], Россия, Тамбов, Тамбовский государственный технический университет
APPROACHED TO LUMPED PARAMETER MODELING OF CARDIOVASCULAR SYSTEM AND THEIR APPLICATION FOR EVALUATION OF THE CEREBRAL
CIRCULATION
S. V. Frolov, N.E. Aliev, A.A. Korohov, S. V. Sindeev
The main approaches to zero-dimensional modeling of the cardiovascular system are described. The paper presents a review of simple models, which correctly reflect basic hemo-dynamic processes in the cardiovascular system, in particular a change of the main cardiovascular variables: pressure, hloodflow and inner volume of a vessel. The studied models are based on analogies offluid flow through elastic tubes or flow of current through electrical circuits. An approach for usage of multiscale models of the cardiovascular system for evaluation of disorders of the cerebral circulation is described.
Key words: mathematical model, cardiovascular system, models with lumped parameters; disorders of the cerebral circulation
Frolov Sergey Vladimirovich, doctor of technical sciences, professor, head of department, sergej.frolov@,gmail. com, Russia, Tambov, Tambov State Technical University,
Aliev Nariman Elshan oglyi, postgraduate, naric_92@mail. ru, Russia, Tambov, Tambov State Technical University,
Korobov Artem Andreevich, postgraduate, korobovl99l aimail.ru, Russia, Tambov, Tambov State Technical University,
Sindeev Sergey Vyacheslavovich, candidate of technical sciences, senior researcher, ssindeev@yandex. ru, Russia, Tambov, Tambov State Technical University
