Математическое моделирование и оптимизация выбора стреловых кранов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 624.138. 22:347.73

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ВЫБОРА

СТРЕЛОВЫХ КРАНОВ

© 2011 г. В.В. Соболев

Южно-Российский государственный South-Russian State Technical

технический университет (Новочеркасский University (Novocherkassk

политехнический институт) Polytechnic Institute)

Рассматривается математическая модель для оптимизации параметров привязки к объекту монтажного крана с заданной длиной стрелы. Оптимальные параметры монтажного крана определяются согласно расчетным схемам, которые уменьшают вылет стрелы и улучшают эксплуатационные характеристики монтажного крана. Информационная модель минимального вылета крана представлена в виде программы.

Ключевые слова: математическое моделирование; оптимизации параметров монтажного крана; математические методы и модели организации строительства; организации строительства и технологии возведения зданий и сооружения; организационно-технологическое проектирование.

In clause it is considered mathematical model for optimization of parameters of a binding to object of the assembly crane with the set length of an arrow. Optimum parameters of the assembly crane are defined according to settlement schemes which reduce a start of an arrow and improve operational characteristics of the assembly crane. The information model of the minimal start of the crane is presented in the form of the program.

Keywords: мathematical modelling; optimization of parameters of the assembly crane; mathematical methods and models of the organization of construction; the organizations of construction and technology of erection of buildings and constructions; organizational-technological designing.

В условиях постоянно растущей конкуренции на получение заказов в строительстве факторы качества и оптимальности становятся определяющими. Большую роль в этом играет совершенствование технологии и организации монтажных работ. Эффективность производства монтажных работ определяется множеством факторов, важнейшим из которых являются эксплуатационные качества ведущего крана. Поэтому выбор монтажных кранов должен осуществляться после тщательного сопоставления многих технико-экономических показателей: стоимости, грузоподъемности, производительности и других. Значительную роль в совершенствовании организационно-технологического проектирования играет развитие системотехники строительства в направлениях математического и информационного моделирования, а также оптимизации проектных решений.

Рассмотрим математическую модель для оптимизации параметров привязки к объекту монтажного крана с заданной длиной стрелы [1—3]. При выборе монтажного крана его технические

характеристики, как правило, не соответствуют расчетным параметрам. Длина стрелы, высота подъема крюка и грузоподъемность превышают расчетные данные. Вылет стрелы монтажного крана обычно оставляют равным расчетному значению. Но приведенный вылет стрелы монтажного

крана Lc cos а является одной из основных характеристик, так как грузоподъемность и высота подъема находятся с ним в пропорциональной зависимости:

Q _ GM

QjI _ Lc cos а(1 + cos а) ; _ Lcsin а + ^ - К ,

где Q — грузоподъемность крана; GM — грузовой момент крана; L, — длина стрелы; а — угол наклона стрелы к горизонту; hш — высота нижнего шарнира стрелы; hn — расстояние от верхнего шарнира стрелы до грузового крюка; Н — высота подъема крюка.

Расчетные параметры монтажного крана определяются согласно расчетной схеме (рис. 1 а),

а установка монтажного крана с его техническими характеристиками может быть произведена согласно рис. 1 б. Вышет стрелы монтажного крана (рис. 1 б) можно уменьшать до тех пор, пока стрела крана не коснется точки М Дальнейшее приближение стрелы крана к поднимаемому грузу запрещено правилами эксплуатации грузоподъемных механизмов. Уменьшение вышета стрелы улучшает эксплуатационные характеристики монтажного крана, так как при этом повышается его грузоподъемность и высота подъема крюка. Покажем, каким образом привязку монтажного крана возможно производить на минимально допустимом вылете стрелы.

Рис. 1. Схемы монтажа конструкции: а — расчетная; б — возможная

Для этого определим величину минимальной привязки крана. Если ось стрелы крана проходит через точку М (рис. 1 а), то эта прямая принадлежит пучку прямыгх с центром в точке М и подчиняется установленным закономерностям [1]. Тогда длину стрелы можно выразить через отрезок прямой, который отсекается координатными осями:

Lcn ~

X2 +

а • b (x - а)

+ b

После преобразований данная зависимость приобретает следующий вид:

(х2- Ь^)(х- а)2 +Ь2х2 = 0. (1)

Для анализа приведем уравнение к виду многочлена:

PL(x) = x4 - 2ах3 - (l2 - а2 - b2 )x2 +

+ 2aL2x - a2L2 = 0.

(2)

Все коэффициенты уравнения (2) — действительные числа. Согласно основной теореме алгебры, данное уравнение 4-й степени имеет четыре корня (считая и кратность корней). Для частных случаев представления этого уравнения, когда

какие-либо коэффициенты равны нулю, или равны между собой, существуют формальные правила: приведение уравнения к биквадратному или нахождение через корни возвратного уравнения.

В общем случае (произвольные коэффициенты), проанализируем применимость этих методов решения:

1. Разложение (если удастся) левой части уравнения (2) на множители

Р (х) = (х — Х1 )(х — Х2 )(х — Х3 )(х — Х4 ) ,

что, понятно, не совсем простая задача, так как неизвестно ни одного корня.

2. Нахождение корней. Корни уравнения

х4 + Ьх3 + сх2 + dx + е = 0 (а = 1) совпадают с корнями двух квадратных уравнений

x +

(b + A))

У +

by - d

= 0

где А = ±д/8у + Ь2 — 4с , а у — какой-либо действительный корень кубического уравнения 8у3 — 4 су2 + (2Ьй — 8е) + е (4с — Ь2)— d2 = 0 .

В нашем случае коэффициенты уравнения имеют следующее значение:

Ь = -2а; с = а2+Ь2-Ь2; й = 2аЬ2; е=а2 Ь2.

Тогда сопряженное (к уравнению 4-й степени РЬ(х)) кубическое уравнение имеет вид

у3 + 0,5(Ь2 — а2 — Ь2)у2 — 2а2Ь2 у + + (о,5а2Ь2Ь2 — а2Ь4 )= 0.

Найти решение этого кубического уравнения в общем символьном виде в программной среде МаЛсай 8 не удалось.

3. Приближенное решение уравнений. Приведенные здесь способы приближенного решения уравнений применимы как к алгебраическим, так и к трансцендентным уравнениям. Процесс вычисления корней состоит из двух частей: а) нахождение грубо приближенных значений корней; б) уточнение найденных грубых приближений.

Быполнение вычислений двумя способами. Грубая оценка корней. Если /(х)— непрерывная функция, а /(а) и /(ь) разные знаки, то между а и Ь лежит, по крайней мере, один корень уравнения /(х) = 0 . Давая а и Ь различные значения, всегда можно получить достаточно узкий интервал, в котором будет лежать только один корень рассматриваемого уравнения. Графический метод применяется, если уравнение можно представить в виде ф1(х )= Ф2 (х), причем графики функций Ф1(х) и ф2 (х) могут быть легко построены. Тогда корни уравнения равны абсциссам точек пе-

ресечения кривых у = ф1 (х) и у = ф2 (х). Возможно представить наше уравнение 4-й степени в виде системы двух уравнений

x2 + y2 = L2; ab

y =-+ b, x ф a

x - a

Методы уточнений грубых приближений. Метод Ньютона. Если х0 есть приближенное значение корня а уравнения /(х) = 0 , то в качестве более точного приближения берется значение

x1 = x0

f (xo ) f '(xo

Заменой х0 на х1 может быть получено следующее приближение х2 и т.д.

Линейная интерполяция. Если корень а уравнения /(х) = 0 заключен между а и Ь, то в качестве приближенного значения корня может быть взята величина

~1 = a - f (a)

b - a

f (b)- f (a) ■

в этом случае а является общим корнем многочлена Р(х) и его производных до (к—1)-го порядка включительно. Однократный корень уравнения называется также простым корнем.

Основная теорема алгебры: всякое уравнение п-й степени, коэффициенты которого — действительные или комплексные числа, имеет я корней, действительных или комплексных, если к-кратный корень считать за к корней. Если корни Р(х) равны а , в , у,..., и, соответственно, кратности их к, I, т,..., то уравнение имеет вид

Р(х)=(х - а)(х -в))(х -уГ... (3)

Можно упростить нахождение корней уравнения Р(х) = 0 , сведя его к решению уравнения, имеющего те же корни, что и данное, но все однократные. Это достигается разложением многочлена Р (х) на два множителя:

Р (х )= 0 (х )Т (х),

где

0(х)=(х - а)-1 (х -в))-1..., Т(х) = = (х -а)х -в) ...; 0(х)

Если функция /'(х) в интервале между величинами а и Ь не меняет знака, то приближенные значения, полученные по этому методу и по методу Ньютона, будут расположены по разные стороны от корня (за х0 в методе Ньютона следует взять то значение (из а и Ь), для которого /(х0)• /'(х0)> 0). Поэтому параллельное применение обоих методов позволяет судить о достигнутой точности. В нашем случае оценить, меняет ли знак на исследуемом интервале функция /" (х) = РЬ'(х) = 12х2 - 12ах - 2(Ь - а2 - Ь2) , не представляется возможным, так как сложно точно сравнить длину стрелы Ь с геометрическими параметрами объекта в правой граничной точке в аналитическом виде, но даже при наличии такой оценки существует неопределенность — к чему будет сходиться итерационный процесс.

4. Общие свойства алгебраических уравнений я-й степени. Коэффициент а0 при старшем члене делают равным 1 (деля все уравнение на этот коэффициент). Левую часть уравнения

хп + а1хя-1 + ... ап = 0

обозначим через Р (х); корень уравнения Р (х) = 0 называется корнем многочлена Р (х). Если а — корень Р(х) = 0 , то Р(х) делится на ( - а) без остатка; в общем же случае остаток от деления Р(х) на (х - а) равен Р(а). Если Р(х) делится на (( - а, но уже не делится на ( - а)+1, то а называется к-кратным корнем уравнения Р(х) = 0 ;

находится как наибольший общий делитель многочленов Р (х) и Р'(х) (производная), а Т (х) делением Р (х) на 0(х).

Зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами. Если х1, хъ ...,хп — все п корни уравнения (3), то получают

п

х1 + х2 + ... + хп = ^ х1 = -а1;

I=1

п

х1х2 + х1х3 + ... + хп-1хп = ^х1х] = а2 ;

1=1 (< 1)

п

х1х2 х3 + х1х2 х4 + ... + хп-2 хп-1хп = ^ х1х]хк =-а3;

I,}, к=1 (<}<к)

х1х2 ... хп = (- 1)ап '

В нашем случае РЬ(х) по этой зависимости имеет вид

xi + x2 + ... + x4 = 2a;

xix2 ..x4 = -a2L2.

Уравнение с действительными коэффициентами. Комплексные корни уравнения с действительными коэффициентами могут быть только попарно сопряженными, т.е. если такое уравнение имеет корень а = а + Ы , то оно имеет также корень р = а - Ы и притом той же кратности.

Произведение (х - а)* - Р) в этом случае дает равенство

(х - а)х - в) = х2 + рх + q , (4)

где р = -(а + в) = -2а, # = ав = а2 + Ь2 , откуда

.\2

следует

2

V У

-q < 0.

Заменяя в формуле (3) произведение каждой пары таких множителей по формуле (4), получаем разложение многочлена с действительными коэффициентами на действительные множители:

P(x)= (x - a1 )kl (x - a2f2...

...(x2 + Pix + qi)(x2 + P2X + q2)2 ...,

в котором все числа будут действительными и

/ Р f

f - q/ < о.

Число корней уравнения с действительными коэффициентами. Из предыдущего следует, что всякое уравнение нечетной степени имеет, по меньшей мере, один действительный корень. Число действительных корней уравнения P(x) = 0 , заключенных между любыми числами а и b (а < b), не являющимися корнями данного уравнения, может быть точно установлено следующим способом:

1. Отделяют кратные корни уравнения P(x) = 0 , т.е. получают уравнение, имеющее те же корни, что и данное, но простые.

2. Составляют ряд функций Штурма:

P(x) P'(x), Pi(x), P2 (x)..., Pm = const, где P (x) — левая часть данного уравнения; P'(x) — производная; Pi (x) — взятый с обратным знаком остаток от деления величины P(x) на P'(x) ; P2 (x) — взятый с обратным знаком остаток от

деления величины P '(x) на Pi (x) и т.д.; Pm — последний остаток (Pm= const).

3. Подсчитывают число А перемен знаков (т.е. переходов от «+» к «—», и наоборот) в ряде чисел P(a), P'(a), Pi(a), P2(а), ..., Pm и число В перемен знаков в ряде чисел

P(b), P'(b), P1 (b), P2(b),..., Pm . Если некоторые из этих чисел равны нулю, то при подсчете перемен знаков их пропускают.

Разность А—В равна искомому числу действительных корней уравнения P(x) = 0 в интервале

[a, b] (теорема Штурма).

Число положительных корней уравнения P(x) = 0 не больше числа перемен знаков в ряду коэффициентов многочлена P(x) и может отличаться от него на четное число (правило Декарта).

С использованием программной среды Mathcad 8 были осуществлены различные подстановки в исследуемый многочлен PL(x). Было определено, сколько раз меняется знак в многочлене PL(x): (+--+-) 3 раза; следовательно по правилу Декарта устанавливается, что имеется 3 или 1 положительный корень уравнения

L P(x) = 0 . Осуществив подстановку x = -x, имеем для PL(-x): (++—) — знак меняется один раз, следовательно, имеется только один отрицательный корень. Таким образом, показано, что имеется 3 положительных корня уравнения

LP(x) = 0 . Далее, подставляя вместо x величину x+a, имеем для PL(x+a): (++- ++) при условии L > Lmin, знак меняется 2 раза. Следовательно, имеется 2 положительных корня уравнения

LP (x) = 0, которые больше a. Подставив вместо x величину x+a+c, имеем для PL(x+a+c): (++---) при условии L > Lmin, знак меняется один раз, следовательно, имеется не больше одного положительного корня уравнения L P(x) = 0 , который з/ 2"

больше a+с, где с =Vab . При условии L < Lmin на отрезке a<x<a+c, возможно существование только комплексных корней. Таким образом, установлено, что число корней, больших a, равно 2, а число корней, больших a+с, равно или меньше 1.

Вывод. Согласно проведенному анализу с использованием свойств алгебраических уравнений, правила Декарта было установлено, что уравнение четвертой степени (1) на отрезке

3 / 2

a<x<(a + \ab ) имеет только один действительный корень, который является решением задачи минимальной привязки крана при соблюдении условия L > L . , так как значение аргу-

J ст mm' ^ J

мента для решаемой задачи находится в реально допустимых пределах.

Алгоритм определения минимальной привязки монтажного крана состоит из следующих операций:

1. Ввод значений a, b, Lct.

2. Проверка условия L > L . .

г г J ст min

3. Указание области значений аргумента

а<х<(а + ЧаЬ2).

4. Нахождение корня уравнения (х2—Ьст2)(х— —а)2 +Ь2х2 = 0, который находится в указанной области (например, с помощью Mathcad 8).

Рис. 2. Графическое изображение решения

Информационная модель минимального вылета крана представлена в виде программы «По-линомА4», написанной по приведенному выше алгоритму, и предназначена для выполнения расчёта вещественных корней комбинированным методом, включающим в себя одновременно

Поступила в редакцию

как метод касательных, так и метод хорд. Нахождение корней данного полинома заключается в определении по исходным значениям L a, b, значения X, которое в свою очередь используется при расчёте в информационной модели минимального вылета стрелового монтажного крана. Данная программа написана на языке программирования Object Pascal в Borland Delphi 7.0, с применением справочных данных. Программа «ПолиномА4» определяет корни уравнения не только аналитически, но и строит графики функций и определяет точки их пересечений (см. рис. 2), которые являются вещественными корнями системы уравнений (полинома).

Литература

1. Соболев В. И. Оптимизация строительных процессов: учеб. пособие / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. Новочеркасск, 1999.

2. Соболев В.В. Информационное моделирование в организационно-технологическом проектировании : учеб. пособие / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. Новочеркасск, 2010.

3. Соболев В.И. Совершенствование организационно-технологического проектирования строительного производства: монография / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. Новочеркасск, 2001.

7 декабря 2010 г.

Соболев Валерий Владимирович — канд. техн. наук, доцент, Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт).

Sobolev Valery Vladimirovich — Candidate of Technical Sciences, assistant professor, South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute).