CC BY
47
ПРОБЛЕМЫ ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ
УДК 373
В. И. ЛЕВИН, В. В. КОСТИНЕВИЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ УЧЕБНОЕО ПРОЦЕССА В ВУЗЕ
Рассмотрены возможности применения математического моделирования и компьютеров для рационализации образовательного процесса в вузе. Рассмотрена матрично-графовая модель процесса и синтез упорядоченного учебного плана на её основе.
За период господства командно-ад м и н и стр ат и в и о й с истем ы, ко гд а об разо ва-тельной науке отводилось весьма скромное место, в стране сложилась неблагоприятная ситуация с образованием, эффективность процесса передачи и усвоения знаний существенно снизилась. В годы формирования новой России положение с образованием существенно не изменилось. Поэтому действующие теперь учебные программы вузов нуждаются в срочной корректировке. Сегодня на повестке дня стоит задача коренной информационной перестройки самого подхода к составлению учебных программ и планов, их реализации. а также к контролю учебного процесса. Уже давно предпринимаются попытки внедрить в образование программно-математические средства для решения различных трудных задач - от количественной оценки педагогического процесса до планирования учебных занятий и курсов; тем не менее до сих пор не существует сколько-нибудь всеобъемлющей системы, позволяющей одновременно разрабатывать в интерактивном режиме проекты учебного процесса и объективно оценивать пригодность конкретного проекта обучения в конкретной ситуации [1]. Здесь эффективную помощь могут оказать математические и машинные методы, совмещающие в себе элемен-ты математического моделирования сложных систем, объектно-ориентированного программирования и моделирования различных ситуаций в учебном процессе с последующей их экспериментальной проверкой [2].
Одним из наиболее простых и наглядных методов моделирования и оптимизации учебного процесса, как и любого другого последовательно-параллельного процесса, является мат-рично-графовый метод [3]. Простейшее из известных представление учебного процесса - так на-
©В. И. Левин. В. И. Костиневич. 2004
зываемый сетевой график работ, выполняемых обучаемым на протяжении всего времени обучения. В общем случае на графе процесса обучения в качестве рёбер могут выступать:
1. Направленные отрезки (векторы), показывающие порядок следования предметов в образовательном процессе на каждом этапе (сетевая модель);
2. Ненаправленные отрезки, отображающие наличие и силу межпредметных связей; здесь вводится вес ребра, который зависит от степени связанности данной пары предметов;
3. Направленные отрезки, моделирующие потоки ресурсов в процессе работы вуза;
4. Ненаправленные отрезки, описывающие картину взаимосвязей студентов в группе, групп и преподавателей и пр.
Вершинами могут быть:
1. Учебные дисциплины или разделы (темы), составляющие дисциплины;
2. Объекты - хранилища ресурсов (лаборатории, библиотеки):
3. Группы студентов, отдельные студенты, преподаватели.
Для формализации задач, решаемых графовыми методами, с целью перевода их в машинные коды удобно описывать графы с помощью наборов матриц. Рассмотрим здесь один из вариантов применения матрично-графового метода к решению задачи упорядочения изучаемых в вузе дисциплин [4]. Установим разветвлённую последовательность, в которой выделяются группы равнозначных элементов знаний (учебных дисциплин), так называемых слоев. Последовательность изучения элементов в слоях зависит от значимости каждого элемента, входящего в данный слой, для предыдущих и последующих слоев.
На начальном этапе выделяются основные элементы знаний (в нашем примере - учебные дисциплины, согласно Государственному образо-
а Ь с с с1 е / Я к 7 • ) к л Го Ух У2 V*
а 1 1 2 2 0 X
Ъ 0 X X X
с 1 1 0 X X
а 1 1 0 X X
е 1 1 1 ] 0
/ 1 1 0 X X
£ • 0 X X X
к 1 1 0 X X
И 1 ] ] 3 3 . 2 0
] 1 1 1 1 0
к 1 1 2 ? 0 X
Слои 0 ] 2 3
Ъ с а е
£ с1 / к к • г * • ]
IV III II I
Рис. 1. Пример заполненной матрицы
нательному стандарту на данную специальность). Для удобства будем обозначать их буквами латинского алфавита. Для выявления взаимосвязей элементов знаний составляется квадратная матрица связей, в которой каждый элемент помечает соответствующие строки и столбцы. Заполнение и обработка матрицы производятся в такой последовательности.
Рассматриваются элементы знаний а и Ъ. Устанавливается, опирается ли данный элемент
а на какой-либо другой - Ъ, то есть, предшествует ли изучению элемента а изучение каких-либо других элементов из числа выделенных.
Если данный элемент (а) опирается в указанном смысле на другой (Ь), то на пересечении столбца данного элемента (а) и строки другого (Ь) ставится 1, в противном случае клетка (а,Ь) остается свободной. Так заполняется вся матрица. Каждая строка заполненной матрицы является вектором
и обозначается с индексом данного элемента знаний., например. Vа[. Точно так же каждый столбец является вектором и обозначается VНиже
показан пример заполненной матрицы (рис. Г). Из неё видно, что элемент а опирается на элементы /.у ; элемент Ъ - на элементы й. к и т. д.
С другой стороны, на элемент а опираются элементы (1 и / и т. д.
После заполнения матрицы приступаем к вычислениям векторов. Сначала вычисляем вектор
У0, слагаемыми которого будут суммы единиц по каждой строке, то есть все \\:
Уо = га+уь + уе+...+ук.
Вектор }г0 проставляется в первом столбце,
приписанном справа к матрице. Вектор содержит некоторое число нулей. В нашем случае это означает., что соответствующие элементы знаний Ъ и £ не являются исходными для последующих. Они образуют так называемый нулевой слой. Далее в соответствии с полученным результатом вычисляется вектор :
Необходимые векторы Уь и У вычисляются
по соответствующим столбцам. Значение вектора записывается во второй столбец справа от матрицы. Вектор У] содержит нули в строках
£,£"/,/,/?, которые образуют первый слой, это означает, что соответствующие элементы являются
исходными только для элементов Ъ и g. Затем вычисляется вектор К? :
Рис. 2. Взаимосвязи между элементами
Его значение записывается в третий столбец справа от матрицы, здесь появляются два
нуля, соответствующие строкам а и к , которые образуют второй слой. Последним вычисляют вектор .
уъ=Уг-У„-Ук.
Значение вектора У3 записывается в четвёртый столбец справа от матрицы. В этом векторе появляются нули в строках , которые обра-
зуют третий слой. Разложенные на слои основные элементы и взаимосвязи между ними показаны на рис. 2.
Запишем теперь алгоритм моделирования учебного процесса графовым методом в общем виде.
1. Подготовка исходных данных - составление квадратной матрицы связей элементов
Апхп. Элемент матрицы А(г>]) = \ при условии, что У-й элемент опирается на /-й. В противном случае ]) — 0.
2. Расчёт вектора У0 : элементы матрицы
А построчно складываются, результат записывается в новый столбец, приписываемый справа
к матрице А и помечаемый У0.
3. Построчный поиск нулей в столбце У0.
4. Помечаются столбцы матрицы, соответствующие нулям вектора У0.
5. Если нулей изначально нет, то задача зацикливается, появляются обратные связи, необходим выход из алгоритма.
6. Заголовки помеченных столбцов (названия соответствующих элементов) заносятся в первый столбец результирующего массива Я .
7. Расчёт вектора }\ \ построчно из элементов вектора Уд вычитаются соответствующие элементы в помеченных в п. 4 столбцах.
8. Если очередной элемент У0 равен О
(или, в дальнейшем, по ходу алгоритма, уже помечен крестиком), то в соответствующей
ячейке К, ставится крестик.
9. Аналогично помечаются столбцы, соответствующие нулям У\, и далее, как в п. 4.
10. Процесс продолжается, пока в очередном приписанном столбце не останутся одни нули и крестики. Это есть условие выхода из цикла.
11. Полученный массив Я содержит результирующее расположение элементов по слоям. Номера слоев отсчитываются в обратном порядке по отношению к номерам столбцов массива Я .
Итак, посредством применения матрично-графовой модели мы получили граф, однозначно описывающий параллельно-последовательную схему следования предметов в учебном процессе.
Матрично-графовая модель - лишь одна из возможных моделей, служащих для упорядочения изучаемых предметов. Опишем ещё одну полезную модель, предназначенную для той же цели -модель дерева [5]. Пусть имеется множество
предметов А = {а^..... ап } с заданным на нём
бинарным отношением пар предметов К. Известно максимальное число предметов К, которые можно изучать одновременно. Нужно превратить множество А в набор выполняемых одновременно последовательностей работ, удовлетворяющий ограничениям, вытекающим из попарной упорядоченности предметов Я, и ограничениям на число предметов К. Используем модель задачи в виде ориентированного графа Г отношения Я, вершины которого соответствуют предметам а{, а дута из аг в а - отношению 7? между предметами аг и аВ частном случае К = 1 (все предметы должны проходиться последовательно) задача сводится к нахождению в орграфе Г гамильтонова пути, т. е. пути вдоль дуг, включающего все вершины по одному разу. В частном случае К = со (любое
Таблица 1
Предмет а ъ с й е / £ к • 1 • У к
Продолжительность со- 4 2 3 4 2 2 3 4 3 2 5
гласно стандарту
1 семестр
к
а
2 семестр
а Г" 1
к
3 семестр
Рис. 3. Распределение предметов по семестрам
4 семестр
е й й
• 1 к И к ь
• ] а с с £
к /
1 семестр 2 семестр 3 семестр 4 семестр 5 семестр
Рис. 4. Распределение предметов
число предметов может проходиться одновременно) задача сводится к построению дерева всех путей орграфа Г, начинающегося вершиной с наименьшей степенью. В полученном дереве просматриваются сначала вершины 0-го уровня, затем все вершины 1-го уровня и т. д. Как только количество просмотренных вершин составит А, все непросмотренные вершины отсекаются. Оставшееся усечённое дерево и будет решением задачи. В общем случае, при конечном К (К >2), алгоритм поиска решения в основном совпадает с данным для случая К = со .
Теперь следует распределить полученную последовательность предметов (рис. 2) по отдельным периодам обучения, т. е. по семестрам. Представим каждый отдельный предмет из образовательного стандарта в виде прямоугольника единичной ширины, длина которого кратна продолжительности изучения предмета согласно стандарту. На основании данных, полученных на предыдущем этапе, следует распределить эти прямоугольники по областям семестров так, чтобы выполнялись следующие условия:
- количество одновременно изучаемых предметов в пределах одного семестра не превышает заданного числа К;
- суммарное количество часов, отводимых под изучение дисциплин в пределах одного семестра, не должно превышать граничного значения Т, определяемого максимально допустимой часовой загрузкой одного семестра;
- при превышении лимита суммарной продолжительности в пределах семестра наиболее «длинные» предметы-прямоугольники разбиваются на части с вынесением остатка в область следующего семестра;
- необходимо также обеспечить равномерное распределение учебных часов для «длинных» дисциплин по всему периоду их изучения, чтобы избежать слишком большой загруженности студентов на любом этапе (семестре) обучения.
Проиллюстрируем всё вышеописанное на простом примере. Рассмотрим условный набор предметов из предыдущего примера и зададимся условной продолжительностью каждого предмета согласно табл. 1.
На основании рис. 2 и табл. 1 мы получаем картину распределения, изображённую
на рис. 3. Здесь полагаем, что максимальное количество предметов в семестре - 4, максимальная общая часовая нагрузка - 8 условных единиц времени в семестр. Каждый маленький прямоугольник представляет собой такую условную единицу.
Из рисунка видно, что 2-й и 3-й семестры не удовлетворяют условию максимально возможной суммарной продолжительности предметов (здесь она равна соответственно 9 и 13). Это означает переход ко второму этапу - разбиению самых длинных предметов на части. Во
втором семестре это предмет к, в третьем -
предметы с1 и/или /?. В результате разбиения и сдвига получается следующая картина (см. рис. 4). В результате возникает дополнительная область - 5-й семестр, а основные условия оказываются выполненными.
Важно отметить, что приведённое на рис. 4 разбиение представляет собой лишь одно из множества возможных. Например, можно было
разбить предмет к иначе, тогда и общий результат был бы другим. Конкретный тип разбиения определяется внутренней структурой самих предметов и опирается на условие равномерного распределения учебной нагрузки между семестрами. Этот процесс, очевидно, является эвристическим, так как здесь важно учитывать личный опыт каждого конкретного преподавателя по преподаванию каждого предмета.
Таким образом, в результате последовательного применения двух типов математических моделей мы получаем квазиоптимальное распределение учебных дисциплин в пределах всего курса обучения для данной конкретной специальности, которое может быть усовершенствовано в дальнейшем. Реализация вышеописанных алгоритмов на ЭВМ позволяет применять интерактивные методы моделирования, учитывающие возможности ручной перестановки предметов в учебном процессе с целью более полного учёта критериев оптимальности учебного процесса.
В заключение отметим, что математическое моделирование учебного процесса в вузе, позволяющее формализовать проектирование этого процесса и в последующем оптимизировать его, на самом деле требует использования большого числа разнообразных математических моделей, заимствованных из самых различных областей -производства, вычислительной техники, экономики и других. Использованные в данной статье модели - лишь небольшая их часть.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кларин, М. В. Инновационные модели обучения в современной зарубежной педагогике // Педагогика. - 1994. - № 5.
2. Левин, В. И. Структурно-логические методы исследования сложных систем с применением ЭВМ / В. И. Левин. - М.: Наука, 1987.
3. Исследование операций. Т. 1, 2 / Под ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби. - М.: Мир, 1981.
4. Нифонтов, О. Н. Методики психологического моделирования восприятия / О. Н. Нифонтов. - М, 1981.
5. Левин, В. И. Выбор допустимой последовательности работ // Математические методы и информационные технологии в экономике. Труды V международной конференции. - Пенза: Издательство ПДЗ, 2000.
Левин Виталий Ильич, доктор технических паук, профессор, заведующий лабораторией математического моделирования Пензенской государственной технологической академии. Имеет множество монографий, книг\ статей и докладов по прикладной логике, теории надёжности, математическому моделированию, теории автоматов, проблемам высшей школы.
Костиневич Виталии Вячеславович, ассистент кафедры экологии Пензенского государственного университета. Имеет статьи и доклады по проблемам организации образовательных процессов.
